2002年考研数学二试题及答案

2002年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题解析

一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）

（1）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,

e ,0,2arcsin e 1)(2tan x a x x x

f x

x

在0=x 处连续，则=a ______．

【答案】2-

【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

若函数)(x f 在0x x =处连续，则有;)()(lim )(lim 00

x f x f x f x x x x ==+-→→

解析：tan 0001tan lim ()lim lim 2arcsin

22

x x x x e x

f x x x

+++→→→--=-== 20

lim ()lim ,(0),x

x x f x ae a f a --

→→===

()f x 在0x =处连续(0)(0)(0),f f f +

-

⇔==即 2.a =- （2）位于曲线x

xe y -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______．

【答案】1

【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积 【难易度】★★

【详解】解析：所求面积为1)(0

0=-=+-=-==

+∞

-∞

+-+∞--∞

+∞

+-⎰⎰

⎰x

x x

x x

e

dx e xe

e xd dx xe S ．

其中，(

)01

lim lim lim =--=-+∞

→+∞

→-+∞

→x

x x

x x

x e e x xe

洛必达.

（3）微分方程02

='+"y yy 满足初始条件10

==x y ，2

1

|0=

'=x y 的特解是______．

【答案】y =

【考点】可降阶的高阶微分方程

【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

可降阶的高阶微分方程,若缺x ，则令dy

dp p

y p y =''=',. 解析：方法1：将2

0yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=.以初始条件1

(0)1,(0)2

y y '==

代入，有1112

C ⨯

=，所以得1

2yy '=.即21yy '=，改写为2()1y '=.解得2,y x C =

+y =

再以初值代入，1=""+且21C =.

于是特解y =

方法2：这是属于缺x 的类型(,)y f y y '''=.命,dp dp dy dp

y p y p dx dy dx dy

'''==

==. 原方程2

0yy y '''+=化为20dp yp

p dy +=，得0p =或0dp

y p dy

+= 0p =即

0dy dx =，不满足初始条件1

'02

y x ==，弃之， 由0dp y

p dy +=按分离变量法解之，得1.C y 由初始条件11,'002

y y x x ====可将1C 先定出来：

1111

,212

C C ==.于是得12dy dx y =,

解之，得22,y x C y =+=以0

1x y ==

代入，得

1=，所以应取“+”号且21C =.

于是特解是y =（4）++++∞→n

n n n π

2cos 1πcos 1[1lim

=++]πcos 1n n ______．

【考点】定积分的概念 【难易度】★★★

【详解】解析：记

1n u n =

11n i n == 所以

01

1lim lim n n n n i u n →∞→∞===⎰

1

1

cos

cos

2

2

x

x

dx dx ππ===⎰

1

2

sin

2x ππ

π

==

.

（5）矩阵⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----222222220的非零特征值是______．

【答案】4

【考点】矩阵的特征值的计算 【难易度】★★

【详解】解析：22222

2

2

022

22

22E A λ

λ

λλλλ

λλ-=--=--20

001

1

(4)222

λλλλλ==--

故4λ=是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是0λ=(二重)）

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）

（1）设函数)(u f 可导，)(2

x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为1.0，则)1(f '＝（ ） （A ）－1． （B ）0.1．

（C ）1．

（D ）0.5．

【答案】D

【考点】导数的概念、复合函数的求导法则 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点： ①dy 为y ∆的线性主部； ②)()]([))]([(x g x g f x g f ''='； 解析：在可导条件下，0

()x x dy

y x o x dx

=∆=∆+∆.

当

00x x dy dx =≠时0

x x dy

x dx =∆称为y ∆的线性主部，

现在2()2dy

x f x x x dx

'∆=∆，以1,0.1x x =-∆=-