小学奥数精华15讲 第一讲 数形结合

a b
a
2

b2
20 40

(a

b) (a

b)

20

a

b

2

a b
11 9 ，则大正方面积为112
121 平方厘米.
9. 利用平方差公式速算：
（1）102 98
；
（2）1 1 14
；
15 15
（3） 8642 1362
.
【答案】（1）9996 （2） 224 （3）728000 225
6. 定义符号“ a ”，称作 a 的绝对值．绝对值的几何意义是：如下图所示， a 表示数 a 的点到原点 （下图中的 0）的距离；距离不能小于 0．
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
如：3 到原点距离是 3，所以 3 的绝对值是 3；同样 3 的绝对值也是 3；
（1）若 a 1 、 b 2 ，且 b a 0 ，则 a b
18 5 4 3 12
17 16 15 14 13
【答案】10101 【解析】显然，拐角总是发生在一个长方形或正方形结束后，例如：
第 3 个拐角 32π 4π 28π 87.92 ；
第
4
个拐角
π
π
22 32
4
3
3

1；
第 5 个拐角 1 62 10 120 ； 3
第 6 个拐角120 ( 52 ) 4.8 ；
......
则，第
1 3
个拐角
1 3
1 3
1 3

1 27
；第
260

x

1 3V圆柱
V大圆锥

27x
个拐角
x
10
ຫໍສະໝຸດ Baidu
；
则第 200 个拐角 27x 270
13. 已知两个完全平方数的差是 51，请求出这两个平方数. 【答案】676 和 625，或 100 和 49
【解析】我们由已知画图,设正方形的边长为
x
米，则我们可以列方程
x

1 4
x


3
3 4
x
，那么
x 9 ．故正方形的面积为 81 ．
\4/
深化练习 11. 计算：1 4 2 9 314 40 199 . 【答案】109880 【解析】踢三角的应用， (199 199 4) (1 2 3
40) 3 109880 .
12. 将正整数从 1 开始依次按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2 在第 1 个拐角处，3 在第 2 个
拐角处，5 在第 3 个拐角处，7 在第 4 个拐角处，......，那么，在第 200 个拐角处的数是
.
21 ……
20 7 8 9 10
19 6 1 2 11
进而推知 n2
；
（2）若研究如下正方形的虚线斜行，可得： 42 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ； 同理可得： 52 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 进而推知 n2 _______________________;
4 8 12 16
综上两题，可以推断13 23 33 n3
.
【答案】见解析 【解析】（1）“天下无双，项数平方” 42 1 3 5 7 ； 52 1 3 5 7 9 ； n2 1 3 5 (2n 1)
（2）所谓“金字塔数列” 42 1 2 3 4 3 2 1 ； 52 1 2 3 4 5 4 3 2 1 ；
4. 乌龟和兔子从同一起点出发，快跑的兔子在途中休息，直到乌龟从身边跑过一段时间后，兔子再 以原来的速度去追赶.根据下图信息可知： （1）兔子的速度是每分多少米？ （2）若兔子要在到达终点之前超过乌龟，则比赛路程至少应超过多少米？
【答案】（1）30 米 （2）210 米 【解析】⑴ 兔子的速度为 150 5 30 （米/分） ⑵乌龟速度为 v乌龟 150 30 5 （米/分） 40 5 200 （米） (200 150) (30 5) 2 （分） (40 2) 5 210 （米）
【解析】（1）如下图
55 5 5
6
6
（2）第 n 个图形对应的等式为： n n n n n 1 n 1
2. 用数形结合的方法求： (a b)(c d e) ______ . 【答案】见解析 【解析】如图，根据长方形面积可得： (a b)(c d e) ac ad ae bc bd be
7. 计算：12 22 32 42 20052 20062 20072 . 【答案】2015028 【解析】原式 20072 20062 52 42 32 22 12 (2007 2006) (2007 2006) (2005 2004) (2005 2004)
3a b 5 0
a 3
而它们的和是 0，故只能 b c 9 0 ，解此方程组，得 b 4 ，故 a b c 12 .
a c 8 0
c 5
\3/
（3） x 1 x 5 的几何意义是数轴上 x 这个点到 1 这个点的距离，加上 x 这个点到 5 这个点的距 离的和. 显然当1 x 5 时，这个距离和最小，为 5 1 4 .
A
2元
B 12本
15. 某城镇沿环形路上依次排列有五所小学： A1 、 A2 、 A3 、 A4 A5 ,它们顺次有电脑 15 台、7 台、11 台、3 台、14 台,为使各校的电脑数相同,允许一些小学向相邻小学调出电脑,问怎样调 配才能使调出的电脑总台数最少?并求出调出电脑的最少总台数． 【答案】12 【解析】如图，用 A 、 B 、 C 、 D 、 E 顺时针排列依次表示一至五所小学且顺次向邻校调给 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 台电脑，依题意得 7 x1 x2 11 x2 x3 3 x3 x4 14 x4 x5 15 x5 x1 10 ， 得 x2 x1 3 ， x3 x1 2 ， x4 x1 9 ， x5 x1 5 ，本题要求 y x1 x2 x3 x4 x5 x1 x1 3 x1 2 x1 9 x1 5 的最小值． 由绝对值几何意义知，当 x1 3 时， y 有最小值 12，此时有 x2 0 ， x3 1 ， x4 6 ， x5 2 ，即 一小向二小调出 3 台，三小向四小调出 1 台，五小向四小调出 6 台，一小向五小调出 2 台，这样调 出的电脑总台数最少数目为 12 台．
5. 平方数也称“正方形数”，若 n 为平方数，则可将 n 个点排成一个正方形. 例如16 42 就是一个正 方形数，如下图所示. （1）若研究如下正方形的转折线，可得： 42 ( ) ( ) ( ) ( ) ；
同理可得： 52 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
【解析】（1）102 98 1002 22 9996 ；
（2）1 1 15
14 15
12


1
2

15
1
1 225

224 225
；
（3） 8642 1362 (864 136) (864 136) 728000 .
10. 一个正方形，如果一边减少 25%，另一边增加 3 米，所得到的长方形与原来正方形面积正好相 等，那么正方形面积是多少? 【答案】81
n2 1 2 3 n 1 n n 1 3 2 1
（3）左图所有数之和为 1 2 3 4 1 2 3 4 = 1 2 3 42 ；
右图所有数之和为13 23 33 43 ；13 23 33 n3 1 2 3 n2 .
【解析】
a2
b2

(a

b)(a

b)

51
，故
a a

b b
51 或 1
a a
b b
17 3
，解得
a b

26 25
或
a b
10 7
，所以这
两个平方数是 676 和 625，或 100 和 49.
\5/
14. 六年级（1）班还有班费 m（m 为小于 400 的整数）元，拟为每位同学买 1 本相册. 某批发兼零 售文具店规定：购相册 50 本起可按批发价出售，少于 50 本则按零售价出售，批发价比零售价每本 便宜 2 元，班长若为每位同学买 1 本，刚好用完 m 元；但若多买 12 本给任课教师，可按批发价结 算，也恰好只要 m 元. 那么该班有______名同学.班费 m=______元. 【答案】42， 378 【解析】如图，以横线表示本数，纵线表示单价，因为矩形 A 的面积与矩形 B 的面积相等，所以矩 形 A 的长是矩形 B 的宽的 6 倍，设批发价为 x 元（图中矩形 B 的宽），因此按批发价买了 (6x 12) 本，则有： x(6x 12) m ，即 6x(x 2) m ，根据题意按批发价买了 (6x 12) 本应该大于 50，所 以 x 6 ，且 m 400 ，当 x 7 时，有 m 6 7 9 378 400 ，当 x 8 时， m 6 8 10 480 400 .所以 x 7 ，因此该班有 6 7 42 人，班费有 378 元
第 1 讲 数形结合
同步练习： 1. 观察右面的图形（每个正方形的边长均为 1）和相应等式，探究其中的规律：
①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34 ④4×45＝4－45
……
（1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：
（2）猜想并写出与第 n 个图形相对应的等式. 【答案】见解析
c
d
e
a
b
3. 在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形（a＞b），如图（1），把余下部分拼成 一个矩形如图（2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( ).
（1）
（2） \1/
A. (a b)2 a2 2ab b2 B. (a b)2 a2 2ab b2 C. a2 b2 (a b)(a b) D. (a 2b)(a b) a2 ab 2b2 【答案】C 【解析】第一个图形的阴影部分面积为 a2 b2 ，第二个图形的应用部分面积为 (a b)(a b) ，可得 a2 b2 (a b)(a b) .
(3 2) (3 2) 1
2007 2006 2005 2004 3 2 1 1 2007 1 2007 2015028
2
8. 如图,大正方形面积比小正方形面积大 40 平方厘米,大正方形面积是多少平方厘米?
20 厘米
【答案】121 【解析】设大正方形变成为 a ，小正方形边长为 b ，则有：
3
第四行的数和为： 1 2 3 4
； 4 8 12 16 12 8 4
3
综上可知，所有数的和为
2 ； 综上可知，所有数的和为：13 3 3 3
1234
1234
2468 3 6 9 12
2468 3 6 9 12
4 8 12 16
．
（2）若 3a b 5 b c 9 a c 8 0 ，则 a b c
．
（3）请问：式子 x 1 x 5 的最小值是多少？x 取什么样的数时，这个式子能达到最小值？
【答案】（1）3 （2）12 （3）4，1 x 5 【解析】（1）由题意可知 a 1， b 2 ，故 a b 3 . （2）题目叙述“绝对值”的直观几何意义是数轴上线段两端的“距离”，可见绝对值大于等于 0，等号 成立的条件是绝对值内的数（或式子）等于 0. 由于 3a b 5 、 b c 9 、 a c 8 都大于等于 0，
\2/
（3）根据左表，第一行的数和为1 2 3 4 ； 根据右表，左上角的1 13
第二行的数和为： 1 2 3 4
； 2 4 2 (1 2 1) 2
3
第三行的和为： 1 2 3 4
； 3 6 9 6 3 (1 2 3 2 1) 3