孙斌-工程数学教案

线性代数

课 程 教 案

授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式

§1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换

本授课单元教学目标或要求：

1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。

2. 知道n 阶行列式的定义。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法

设12

n p p p 是1,2,

,n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。

先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ； 再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； ……

最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =+++。

2. n 阶行列式

12

12

11

1212122212()

1

2

(1)n n n n t p p np p p p n n nn

a a a a a a D a a a a a a =

=

-∑

其中12

n p p p 为自然数1,2,

,n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列

12()n p p p 求和。

n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。

3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用

1112

112212212122

a a D a a a a a a =

=-

11

1213

21

222311223312233113213231

32

33

132231122133112332

a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==++---

重点和难点：理解行列式的定义

行列式的定义中应注意两点：

(1) 和式中的任一项是取自D 中不同行、不同列的n 个元素的乘积。由排列知识可知，D 中这样的

乘积共有!n 项。 (2) 和式中的任一项都带有符号(1)t -，t 为排列12

()n p p p 的逆序数，

即当12n p p p 是偶排列时，

对应的项取正号；当12

n p p p 是奇排列时，对应的项取负号。

综上所述，n 阶行列式D 恰是D 中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的代数和，其中一半

带正号，一半带负号。

例：写出4阶行列式中含有1123a a 的项。

解：11233244a a a a -和11233442a a a a 。

例：试判断142331425665a a a a a a 和324314512566a a a a a a -是否都是6阶行列式中的项。

解：142331425665a a a a a a 下标的逆序数为()4312650122016τ=+++++=，所以142331425665a a a a a a 是6阶行列式中的项。

324314512566a a a a a a -下标的逆序数为(341526)(234156)538ττ+=+=，所以324314512566a a a a a a -不是6阶行列式中的项。

例：计算行列式0

0010

020********

D =

解：0123(1)123424D +++=-⋅⋅⋅=

本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合

首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出n 阶行列式的定义。

通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。

本授课单元思考题、讨论题、作业： §1 P.26 1(1)(3) §2 2(5)(6)

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）

授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式

§5 行列式的性质

§6 行列式按行（列）展开 §7 克拉默法则

本授课单元教学目标或要求： 1． 知道n 阶行列式的性质。

2． 知道代数余子式的定义和性质。

3． 会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的n 阶行列式。 4． 知道克拉默法则。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：

1. 行列式的性质

(1) 行列式D 与它的转置行列式T

D 相等。 (2) 互换行列式的两行（列），行列式变号。

(3) 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式；或者行列式的

某一行（列）的各元素有公因子k ，则k 可提到行列式记号之外。

(4) 行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。

(5) 若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。

(6) 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列

式的值不变。

2. 行列式的按行（列）展开

(1) 把n 阶行列式中(,)i j 元ij a 所在的第i 行和第j 列划去后所成的1n -阶行列式称为(,)i j 元ij a 的

余子式，记作ij M ；记(1)

i j

ij ij A M +=-，则称ij A 为(,)i j 元ij a 的代数余子式。

(2) n 阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。即可以按第

i 行展开：

1122(1,2,,)i i i i in in D a A a A a A i n =+++=； 或可以按第j 列展开：

1122(1,2,

,)j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++=.

(3) 行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即

11220,i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠， 或

11220,i j i j ni nj a A a A a A i j ++

+=≠.

3. 克拉默法则

含有n 个未知元12,,

n x x x 的n 个线性方程的方程组

11112211211222221122n n n n n n nn n n

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪++

+=⎩

当12,,,n b b b 全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。