孙斌-工程数学教案
《工程数学》教学内容和基本要求
《工程数学》教学内容和基本要求2007 年11 月制定适用对象：按后面的模块选择总体要求：重点讲清概念的实际背景以及蕴含的数学思想与方法、数学在工程中的应用案例，不追求计算技巧。
（一）线性代数初步了解行列式的性质；掌握二、三、四阶行列式的计算方法；了解克莱姆法则；理解矩阵的概念；掌握矩阵的计算方法，会用矩阵表示一些简单的实际问题；掌握矩阵的初等变换；了解逆矩阵的概念，会用伴随矩阵法和初等变换法求逆矩阵；会用消元解法讨论线性方程组解的存在性并求出解；了解线性规划问题。
重点：二、三、四阶行列式的计算；矩阵的初等变换；讨论线性方程组解的存在性并求解。
难点：四阶行列式的计算；讨论线性方程组解的存在性并求出解。
（二）多元函数微分学理解二元函数、偏导数、全微分等概念，了解二元函数的极限、连续的概念；掌握二元函数的求导法则，会求简单函数的偏导数和全微分；理解二元函数极值的概念，会求二元函数的极值，了解二元函数条件极值的概念；会求一些简单的最大、最小值应用问题；会求曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程。
重点：求简单函数的偏导数和全微分；求一些简单的最大、最小值应用问题.难点：偏导数的概念；求曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程.（三）多元函数积分学理解二重积分的概念与二重积分的性质。
掌握二重积分的计算方法，会用二重积分解简单的应用题。
重点：二重积分的概念、二重积分的计算与应用；难点：化二重积分为二次积分，元素法。
（四）概率论与数理统计初步了解随机事件、样本空间等概念、事件之间的关系和基本运算；了解古典概型及随机现象的统计规律性，知道概率的统计定义；掌握概率的古典定义，会用概率的古典定义求简单问题的概率；了解概率的加法、乘法公式、条件概率和事件独立性的概念；了解随机变量的概念，理解离散型随机变量的概念及其分布律的概念和性质；掌握两点分布、二项分布，知道泊松分布；理解连续型随机变量及其概率密度的概念和性质，掌握均匀分布，熟练掌握正态分布及查表求概率的方法；知道分布函数及其性质，会利用概率分布律、概率密度以及分布函数计算有关事件的概率，知道随机变量函数及其概率分布的概念。
工程数学教案范文
工程数学教案范文一、教学目标：通过本堂课的学习，学生应该能够：1.了解和理解工程数学的基本概念和应用领域；2.掌握求导和积分的基本方法和技巧；3.利用工程数学的知识分析和解决实际工程问题。
二、教学内容：1.工程数学的基本概念和应用领域介绍（20分钟）-工程数学的定义和目的；-工程数学在实际工程中的应用领域和重要性。
2.求导的基本方法和技巧（30分钟）-函数的极限和连续性；-函数的导数和导数的几何意义；-求导的基本法则（常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和常用组合函数的导数）；-高阶导数和隐函数求导。
3.积分的基本方法和技巧（30分钟）-定积分和不定积分的定义和性质；-积分法则和积分的基本公式；-计算定积分的方法（换元积分法、分部积分法和简单曲线积分法）。
4.工程数学的应用案例分析（40分钟）-实际工程问题中的数学模型建立；-利用求导和积分解决工程问题的案例分析。
三、教学方法：1.探索性学习法：在引入工程数学概念和应用领域时，鼓励学生积极参与讨论和思考，培养学生的自主学习能力。
2.示范性学习法：通过具体的求导和积分例题演示，帮助学生理解其中的方法和技巧，提高解题能力。
3.实践性学习法：通过解决实际工程问题的案例分析，帮助学生将工程数学知识应用到实际工程中，培养学生的实际操作能力。
四、教学过程：1.导入（5分钟）：通过简单的问题引导学生思考，激发学生对工程数学的兴趣和好奇心。
2.知识讲解（40分钟）：-首先介绍工程数学的基本概念和应用领域，让学生了解并认识到工程数学的重要性；-然后详细讲解求导和积分的基本方法和技巧，包括相关定义、性质和示例。
3.练习与讨论（30分钟）：将一些简单的求导和积分题目分发给学生，让学生在课堂上进行练习和讨论，教师及时辅导、指导。
4.工程案例分析（40分钟）：教师提供一些实际工程问题的案例，并引导学生思考和分析问题，运用所学的工程数学知识进行解决。
五、教学评价方式：1.课堂表现评价：根据学生的课堂积极性、参与度和表现情况进行评价。
工程数学电子导学教案
工程数学电子导学教案一、教学目标：1.了解工程数学的基本概念和应用；2.掌握工程数学的基本技能和方法；3.培养学生的工程数学思维和解决问题的能力。
二、教学内容：1.工程数学的定义和作用；2.常见的工程数学问题；3.工程数学的基本技能和方法。
三、教学过程：1.概述工程数学的定义和作用（10分钟）-工程数学是应用数学的一个分支，主要研究如何运用数学方法解决工程实际问题；-工程数学在各个工程领域都有广泛的应用，如机械工程、土木工程、电子工程等。
2.介绍常见的工程数学问题（20分钟）-常见的工程数学问题包括：线性代数问题、微积分问题、概率统计问题等；-线性代数问题主要涉及矩阵的运算和方程组的求解；-微积分问题主要涉及函数的极限、导数和积分等；-概率统计问题主要涉及事件的概率和随机变量的统计分析。
3.讲解工程数学的基本技能和方法（30分钟）-线性代数的基本技能和方法：矩阵乘法、矩阵的逆、方程组的求解等；-微积分的基本技能和方法：函数的极限计算、导数的计算、不定积分和定积分的计算等；-概率统计的基本技能和方法：事件概率的计算、随机变量的期望和方差的计算、数据分析等。
4.案例分析和讨论（40分钟）-给出一些实际工程问题，并用工程数学的方法进行分析和求解；-学生可以结合课堂所学知识，讨论解决问题的思路和步骤；-老师可以帮助学生分析问题，引导学生正确运用工程数学的方法求解。
五、小结和展望（10分钟）-小结本堂课所学内容，强调工程数学在解决实际问题中的重要性；-展望下一堂课的内容，引导学生做好预习准备。
六、教学反思：本节课通过介绍工程数学的定义和作用，让学生了解到工程数学的基本概念和应用领域。
同时，通过讲解常见的工程数学问题和解决方法，培养学生的工程数学思维和解决问题的能力。
但是，由于时间有限，仅仅进行了简单的讲解，对于一些复杂的工程数学问题还需要学生自行学习和深入研究。
因此，建议学生在课后进行更多的练习和实践，以提高自己的工程数学水平。
工程数学理工类教案
工程数学理工类教案一、引言1. 教学目标：使学生了解工程数学在理工科中的重要性，激发学生学习工程数学的兴趣。
2. 教学内容：介绍工程数学的概念、研究领域及应用范围。
3. 教学方法：讲授法、实例分析法。
4. 教学时长：45分钟。
二、线性代数1. 教学目标：使学生掌握线性代数的基本概念、方法和应用。
2. 教学内容：（1）向量及其运算；（2）矩阵及其运算；（3）线性方程组；（4）特征值与特征向量；（5）二次型。
3. 教学方法：讲授法、练习法、案例分析法。
4. 教学时长：90分钟。
三、微积分1. 教学目标：使学生掌握微积分的基本概念、方法和应用。
2. 教学内容：（1）极限与连续；（2）导数与微分；（3）积分与累积；（4）级数；（5）常微分方程。
3. 教学方法：讲授法、练习法、案例分析法。
4. 教学时长：180分钟。
四、概率论与数理统计1. 教学目标：使学生掌握概率论与数理统计的基本概念、方法和应用。
2. 教学内容：（1）随机事件及其概率；（2）离散型随机变量；（3）连续型随机变量；（4）大数定律与中心极限定理；（5）描述性统计与推断性统计。
3. 教学方法：讲授法、练习法、案例分析法。
4. 教学时长：90分钟。
五、数值分析1. 教学目标：使学生掌握数值分析的基本概念、方法和应用。
2. 教学内容：（1）误差与精确度；（2）插值法；（3）数值积分与数值微分；（4）线性方程组的求解；（5）非线性方程（组）的求解。
3. 教学方法：讲授法、练习法、案例分析法。
4. 教学时长：90分钟。
六、离散数学1. 教学目标：使学生掌握离散数学的基本概念、方法和应用。
2. 教学内容：（1）集合与逻辑；（2）图论；（3）组合数学；（4）算法设计与分析；（5）布尔代数与命题逻辑。
3. 教学方法：讲授法、练习法、案例分析法。
4. 教学时长：120分钟。
七、复变函数1. 教学目标：使学生掌握复变函数的基本概念、方法和应用。
2. 教学内容：（1）复数及其运算；（2）复变函数的基本概念；（3）积分变换；（4）级数；（5）复变函数的应用。
《工程数学(1)》教学大纲
《工程数学（1）》教学大纲课程编号：1000050 课程中文名称：工程数学（1）课程英文名称：Engineering Mathematics 学时：54 学分：3 基本面向：7专业本科 一、 本课程的教学目的的性质和任务本课程是高等院校电子专业的一门基础课，复变函数是研究复自变量复值函数的分析过程，积分变换是通过积分运算，把一个函数变成另一个更为简单且易于处理的函数，通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为学习工程力学、电工学，电磁学、振动力学、电子技术等课程奠定必要的基础。
二、 本课程的基本要求通过对本课程的学习，要求学生系统地获得复变函数和积分变换的基本知识，切实掌握所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，具有较熟练的运算能力和初步解决实际问题的能力。
为后继课程的学习奠定良好的数学基础。
第一章 复数与复变函数1. 理解复数的概念及各种表示法2. 掌握复数的四则运算及乘方、开方运算及它们的几何意义，会进行一些不太复杂的运算3. 理解区域的有关概念4. 掌握用复数方程来表示常用曲线及用不等式表示区域的方法5. 理解复变函数及映射的概念，复变函数与一对二元实函数的关系6. 知道复变函数的极限与连续 第二章 解析函数1. 理解复变函数的导数的定义，掌握求导的方法2. 理解解析函数的定义，掌握函数解析的充要条件，会判断一个函数是否解析3. 了解指数函数，对数函数，幂函数，三角函数，反三角函数的定义，及它们的解析性质、运算性质第三章 复变函数的积分1. 了解复变函数积分的概念，积分的存在性及计算公式，复变函数积分与两个二维曲线积分的关系。
2. 理解柯西—古萨基本定理，掌握积分与路径无关的条件，了解原函数与不定积分的概念3. 理解复合闭路定理及柯西积分公式，会计算某些围道的积分4. 理解高阶导数公式，会应用高阶导数公式计算某些积分5. 了解调和函数的概念，掌握解析函数与调和函数的关系，能由解析函数实（虚）部求虚（实）部第四章 级数1. 知道复数列收敛的概念2. 了解复数项级数收敛的有关定理，能判断复数项级数的收敛性3. 理解阿贝尔定理，了解幂级数的收敛情况，掌握求幂级数收敛圆的方法，知道幂级数在收敛域的性质。
《工程数学》课程设计
《工程数学》课程设计一、教学目标本节课的教学目标是使学生掌握《工程数学》中线性代数的基本概念和运算规则，包括矩阵的运算、行列式、向量空间和线性变换等内容。
通过本节课的学习，学生应能理解并熟练运用线性代数的基本知识解决实际工程问题。
在知识目标方面，学生需要了解矩阵的概念及其运算规则，掌握行列式的计算方法，理解向量空间和线性变换的基本性质。
在技能目标方面，学生应能熟练运用线性代数的知识和方法分析、解决工程问题，具备一定的数学建模能力。
在情感态度价值观目标方面，学生应能认识到线性代数在工程领域的重要性，培养对数学的兴趣和热情，形成积极的学习态度。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括矩阵的运算、行列式、向量空间和线性变换四个部分。
1.矩阵的运算：包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法，特殊矩阵的性质和运算规则。
2.行列式：行列式的定义、计算方法以及行列式的性质，包括行列式的展开定理和行列式与矩阵的关系。
3.向量空间：向量空间的概念、基底的概念以及向量空间中的线性变换，包括线性变换的定义、性质和计算方法。
4.线性变换：线性变换的概念、线性变换的矩阵表示以及线性变换的性质，包括线性变换的图像和线性变换的域。
三、教学方法为了提高学生的学习兴趣和主动性，本节课将采用多种教学方法相结合的方式进行教学。
1.讲授法：教师通过讲解线性代数的基本概念和运算规则，使学生掌握相关知识。
2.讨论法：教师引导学生进行小组讨论，探讨线性代数在实际工程中的应用，提高学生的实际问题分析能力。
3.案例分析法：教师通过分析具体案例，使学生了解线性代数在工程领域的重要性，提高学生的学习兴趣。
4.实验法：教师学生进行上机实验，巩固所学知识，提高学生的实际操作能力。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，丰富学生的学习体验，我们将选择和准备以下教学资源：1.教材：《工程数学》线性代数部分的相关内容。
2.参考书：提供一些相关的参考书籍，以便学生课后进一步学习。
第4章 不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动
ω x
=
1 2
⎜⎜⎝⎛
∂w ∂y
−
∂v ∂z
⎟⎟⎠⎞
ω y
=
1 2
⎜⎛ ∂u ⎝ ∂z
−
∂w ⎟⎞ ∂x ⎠
ω z
=
1 2
⎜⎜⎝⎛
∂v ∂x
−
∂u ∂y
⎟⎟⎠⎞
写成矢量形式为
ω = ω2 +ω2 +ω2
x
y
z
ωr
=
ω
x
二、速度势函数的性质 （1）不可压缩流体的有势流动中，势函数ϕ 满足拉普拉斯方程，势函数 ϕ 是调和函数。
∂ 2ϕ + ∂ 2ϕ + ∂ 2ϕ = ∇ 2ϕ = 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
结论：在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊形式，这
样把求解无旋流动的问题，就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。 （2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数 ϕ 值之差。与曲线的形状无关。
以上结论可推广适用于圆内任意区域内。
思考题：
4-1 流体微团的运动一般由哪几部分组成？ 4-2 何谓流体微团的体积膨胀速率？ 4-3 什么是有旋流动和无旋流动？流体是有旋流动还是无旋流动是否与流体微团的运动 轨迹有关？ 4-4 何谓速度环量和旋涡强度？两者之间有什么关系？ 4-5 何谓涡量？涡量和流体运动速度有何关系？
东北电力大学
《工程流体力学》教案
第4章
第 4 章 不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动
授课教师 洪文鹏、张玲、郭婷婷、孙斌、张志达 授课对象
教师工作手册工程数学(孙斌)
兵团广播电视大学开放教育指导教师教学设计工作手册指导教师孙斌职称指导科目工程数学课程性质必修专业 12春土木匠程等层次本科课程注册人数学分4学分教学设计时间 2018 年 03 月 03 日至 2018 年 06 月 23 日开放教育指导教师须知信息技术日异月新，现代远程教育快速发展，人材培育模式的改革火烧眉毛。
以现代教育理论和学习理论为指导，以网络技术和网络教育资源为基础，成立以学生自主学习为主、教师指导为辅的新式课程教学设计模式已成为教师们共同努力的目标。
增强教学设计过程各环节的指导和管理，确实提升教学设计质量，发挥教师在学生自主学习过程中的导学、助学、督学的作用是教师的主要工作任务。
依据中央电大和兵团电大有关要求，总结过去教学设计管理经验，现拟订《兵团广播电视大学指导教师教学设计工作手册》，希望本手册对指导教师的工作可以供给必定的帮助。
一、此手册是教师进行课程教学设计模式改革的详细实行方案，指导教师应该仔细学习中央电大和兵团电大的有关文件，依照手册中规定的工程仔细填写并在教学设计过程中组织实行，不停地进行课程教学设计模式改革的探究，有所总结，不停提升。
二、指导教师一定执行自己的职责，对自己所肩负的工作进行全面的记录和客观的评论，并对重要教学设计环节的工作进行剖析研究，努力改良教学设计，不停提升教学设计质量。
三、指导教师须仔细填写手册并妥当保存，作为教学设计检查工作和教案质量评论的重要依照，同时也是教学设计模式改革研究的一手资料。
兵团电大开放教育 __土木匠程 _专业（本、专科）工程数学课程实行方案新疆财经大学会计学院研二学生，会计专业，在天山职业技术学教院、科瑞科学校做过兼职教师，主讲财务管理，高等数学、审计等课程师介绍课程说明工程数学属于基础公共课, 本课程30 学时， 4 学分，一学期开设，安排 12 节集中面授指导， 2 节集中上网。
《线性代数》《概率论》等课程，系广播电视大学开放教育工科专业（专本科）的必修课。
大一工程数学教案
大一工程数学教案教案名称：大一工程数学教案I. 简介本教案旨在为大一工程专业的学生设计一套完整的工程数学教学计划，帮助他们建立数学思维，提高解决实际工程问题的能力。
通过本教案的学习，学生将能够理解和应用工程数学的基本概念、原理和方法，为将来的专业发展奠定坚实的数学基础。
II. 教学目标1. 了解工程数学的基本概念和应用范围；2. 掌握基础数学知识，如微积分、线性代数、概率统计等；3. 培养解决实际工程问题的能力；4. 培养数学建模和分析问题的能力；5. 培养数学推理和证明能力。
III. 教学内容1. 高等数学- 微积分基础- 极限与连续- 导数与微分- 积分与应用- 重要函数与其应用- 多元函数微积分- 曲线与曲面积分2. 线性代数- 行列式与矩阵- 线性方程组- 向量空间与线性变换- 特征值与特征向量- 正交矩阵与对角化3. 概率统计- 随机事件与概率- 随机变量与分布- 数理统计基本概念- 参数估计与假设检验IV. 教学方法1. 理论授课：基于教材进行系统的理论讲解，引导学生掌握基础概念和理论知识。
2. 实例演练：通过大量实例分析和解决，帮助学生理解数学在实际工程问题中的应用，并培养解决问题的能力。
3. 课堂讨论：组织学生进行小组或全班讨论，鼓励学生提出问题、分享思路，促进思维碰撞和交流。
4. 数学建模：引导学生进行实际工程问题的数学建模，培养学生的实际应用能力和创新思维。
V. 教学评估与考核1. 平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况、小组讨论等；2. 期中考试：闭卷考试，考察学生对基本概念和知识的理解和掌握程度；3. 期末考试：开卷考试，以解决实际工程问题为主线，考察学生的应用能力和分析问题的能力。
VI. 教学资源1. 教材：根据大一工程专业的实际情况选择相应的教材，如《大学数学》、《线性代数与概率论》等；2. 多媒体教具：使用多媒体教具辅助理论讲解和实例演示；3. 实验设备：根据需要配备相应的实验设备，如计算机实验室、投影仪等。
工程数学第二册教学设计
工程数学第二册教学设计一、教学目标：1.理解微分方程的基本概念和解法。
2.掌握变换方法和傅里叶级数的基本原理和应用。
3.培养学生的问题解决能力和实际应用能力。
4.初步培养学生的科学研究和创新能力。
二、教学内容：1.第一章微分方程1.1微分方程的概念和分类1.2一阶微分方程的解法1.3高阶微分方程的解法1.4线性微分方程与常系数齐次线性微分方程2.第二章变换方法2.1拉普拉斯变换2.2傅里叶变换2.3差分方程的变换方法3.第三章傅里叶级数3.1傅里叶级数的基本理论3.2傅里叶级数的计算和应用1.以问题为导向，引导学生进行主动学习和探究。
2.结合案例分析和实际应用，增加课程的实用性和趣味性。
3.采用讲授、讨论和实验相结合的方式进行教学。
4.利用多媒体技术辅助教学，提高教学效果和学生的学习兴趣。
四、教学步骤：1.第一章微分方程1.1讲授微分方程的概念和分类，并通过实例进行说明。
1.2讲授一阶微分方程的解法，重点讲解可分离变量法和线性微分方程的解法。
1.3讲授高阶微分方程的解法，包括常系数齐次线性微分方程的解法。
2.第二章变换方法2.1讲授拉普拉斯变换的基本原理和常用公式。
2.2讲授傅里叶变换的基本原理和常用公式。
2.3利用差分方程的实例介绍差分方程的变换方法。
3.第三章傅里叶级数3.1讲授傅里叶级数的基本概念和性质。
3.2通过实例计算傅里叶级数，并介绍傅里叶级数在工程问题中的应用。
1.通过平时作业和课堂互动评价学生的学习情况。
2.利用小组讨论和案例分析评价学生的问题解决能力和实际应用能力。
3.设置实验和课程设计任务，评价学生的科学研究和创新能力。
4.通过闭卷考试评价学生对课程知识的掌握程度。
通过以上教学设计，可以使学生在学习工程数学第二册的过程中，真正理解并掌握微分方程、变换方法和傅里叶级数等知识，并能将其应用到实际工程问题中去解决问题，从而为将来的工程实践打下坚实的基础。
工程数学第二版教学设计 (2)
工程数学第二版教学设计1. 课程背景《工程数学》是一门基础课程，它旨在为工程和科学领域的学生提供必要的数学知识和技能，以便应用于实际问题的建模、分析和解决。
本文档旨在介绍一份针对《工程数学》第二版的教学设计，旨在帮助学生更好地掌握这门课程。
2. 教学目标通过本课程的学习，学生将：•熟练掌握微积分的基本概念、方法和应用。
•熟悉常微分方程、偏微分方程及其解法。
•熟悉傅里叶级数、傅里叶变换及其应用。
•掌握线性代数基本理论和方法。
3. 教学内容和进度安排3.1 微积分•函数与极限（2周）•导数与微分（4周）•微分中值定理与应用（2周）•不定积分（2周）•定积分（4周）•微积分基本定理及其应用（2周）•空间解析几何（2周）3.2 常微分方程•基本概念及一阶常微分方程（2周）•高阶常微分方程及其解法（4周）3.3 偏微分方程•基本概念及常见偏微分方程（2周）•分离变量法（4周）3.4 傅里叶级数及傅里叶变换•傅里叶级数（2周）•傅里叶变换（4周）3.5 线性代数•向量与向量空间（2周）•矩阵与矩阵运算（2周）•行列式与矩阵的逆（2周）•矩阵特征值与特征向量（2周）•线性方程组与矩阵的相似（4周）4. 教学形式本课程采用多样的教学形式，包括课堂讲授、课程练习、案例研究以及计算机实验。
在课堂讲授中，老师将重点讲解理论知识，并引导学生进行思考、提问与讨论；在课程练习中，老师将提供充足的练习题目，以巩固学生所学知识；在案例研究中，老师将鼓励学生在实际问题中运用所学知识进行分析与解决；在计算机实验中，老师将引导学生了解常见的数学软件应用，如MATLAB等。
5. 总结与展望本文档介绍了一份针对《工程数学》第二版的教学设计，旨在帮助学生更好地掌握这门课程。
此外，我们认为，未来的工程数学课程将会越来越注重跨学科合作、实际问题建模等方面的应用，所以我们应该使我们的教学方式更加贴近实际，更加具有创新意识，以便更好地培养出跨学科合作及其解决实际问题的高素质人才。
《工程数学》教案14条件概率与概率的乘法公式
《工程数学》教案14条件概率与概率的乘法公式一、教学目标1.了解条件概率的概念及其性质。
2.掌握概率的乘法公式的应用。
3.能够解决实际问题中的条件概率问题。
二、教学重点1.条件概率的概念及其性质。
2.概率的乘法公式的应用。
三、教学难点能够解决实际问题中的条件概率问题。
四、教学过程1.引入（10分钟）学生：老师，上节课我们学了联合概率，这节课我们学什么？老师：这节课我们将学习条件概率与概率的乘法公式。
联合概率是指两个事件同时发生的概率，而条件概率是指在一个事件已经发生的前提下，另一个事件发生的概率。
学生：老师，请问条件概率和联合概率有什么区别呢？老师：很好的问题！联合概率是指两个事件同时发生的概率，比如抛掷一枚硬币出现正面和抛掷一枚骰子出现6点的概率。
而条件概率是在一个事件已经发生的前提下，另一个事件发生的概率，比如已知一枚硬币出现了正面，抛掷一枚骰子出现6点的概率。
2.条件概率的定义及性质（20分钟）老师：条件概率的定义如下：设A,B是两个事件，且P(A)>0。
在A发生的条件下，事件B发生的概率记为P(B，A)，其定义为P(B，A)=P(AB)/P(A)学生：老师，如果事件B是事件A的子集，那么P(B，A)是多少呢？老师：很好的问题！如果事件B是事件A的子集，那么P(AB)=P(A)。
所以P(B，A)应该是1学生：明白了！如果事件A和事件B是互斥的，那么P(B，A)是多少呢？老师：如果事件A和事件B是互斥的，那么P(AB)=0。
所以P(B，A)应该是0。
学生：老师，我还有一个问题，如果事件A和事件B是独立的，那么P(B，A)是多少呢？老师：如果事件A和事件B是独立的，那么P(AB)=P(A)P(B)。
所以P(B，A)应该等于P(B)。
3.概率的乘法公式（30分钟）老师：下面我们来学习概率的乘法公式。
设A,B是两个事件，且P(A)>0。
则有P(AB)=P(A)P(B，A)学生：老师，这个公式和条件概率的定义有什么关系呢？老师：很好的问题！我们可以将条件概率的定义代入公式中，可以得到P(AB)=P(A)P(B，A)。
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线性代数课 程 教 案授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式§1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换本授课单元教学目标或要求：1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。
2. 知道n 阶行列式的定义。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法设12n p p p 是1,2,,n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。
先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ； 再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； ……最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =+++。
2. n 阶行列式1212111212122212()12(1)n n n n t p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a ==-∑其中12n p p p 为自然数1,2,,n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列12()n p p p 求和。
n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。
3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用1112112212212122a a D a a a a a a ==-111213212223112233122331132132313233132231122133112332a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==++---重点和难点：理解行列式的定义行列式的定义中应注意两点：(1) 和式中的任一项是取自D 中不同行、不同列的n 个元素的乘积。
由排列知识可知，D 中这样的乘积共有!n 项。
(2) 和式中的任一项都带有符号(1)t -，t 为排列12()n p p p 的逆序数，即当12n p p p 是偶排列时，对应的项取正号；当12n p p p 是奇排列时，对应的项取负号。
综上所述，n 阶行列式D 恰是D 中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的代数和，其中一半带正号，一半带负号。
例：写出4阶行列式中含有1123a a 的项。
解：11233244a a a a -和11233442a a a a 。
例：试判断142331425665a a a a a a 和324314512566a a a a a a -是否都是6阶行列式中的项。
解：142331425665a a a a a a 下标的逆序数为()4312650122016τ=+++++=，所以142331425665a a a a a a 是6阶行列式中的项。
324314512566a a a a a a -下标的逆序数为(341526)(234156)538ττ+=+=，所以324314512566a a a a a a -不是6阶行列式中的项。
例：计算行列式00010020********D =解：0123(1)123424D +++=-⋅⋅⋅=本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。
然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出n 阶行列式的定义。
通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。
本授课单元思考题、讨论题、作业： §1 P.26 1(1)(3) §2 2(5)(6)本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式§5 行列式的性质§6 行列式按行（列）展开 §7 克拉默法则本授课单元教学目标或要求： 1． 知道n 阶行列式的性质。
2． 知道代数余子式的定义和性质。
3． 会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的n 阶行列式。
4． 知道克拉默法则。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：1. 行列式的性质(1) 行列式D 与它的转置行列式TD 相等。
(2) 互换行列式的两行（列），行列式变号。
(3) 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式；或者行列式的某一行（列）的各元素有公因子k ，则k 可提到行列式记号之外。
(4) 行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。
(5) 若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。
(6) 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。
2. 行列式的按行（列）展开(1) 把n 阶行列式中(,)i j 元ij a 所在的第i 行和第j 列划去后所成的1n -阶行列式称为(,)i j 元ij a 的余子式，记作ij M ；记(1)i jij ij A M +=-，则称ij A 为(,)i j 元ij a 的代数余子式。
(2) n 阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。
即可以按第i 行展开：1122(1,2,,)i i i i in in D a A a A a A i n =+++=； 或可以按第j 列展开：1122(1,2,,)j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++=.(3) 行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。
即11220,i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠， 或11220,i j i j ni nj a A a A a A i j +++=≠.3. 克拉默法则含有n 个未知元12,,n x x x 的n 个线性方程的方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩当12,,,n b b b 全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。
(1) 如果方程组的系数行列式0D ≠，那么它有唯一解：(1,2,,)ii D x i n D==，其中(1,2,,)i D i n =是把D 中第i 列元素用方程组的右端的自由项替代后所得到的n 阶行列式。
(2) 如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式0D =。
(3) 如果齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式必定等于零。
用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1) 方程个数等于未知元个数；(2) 系数行列式不等于零。
克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.4. 一些常用的行列式(1) 上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积。
即11121112222122112212n n nn nnn n nna a a a a a a a D a a a a a a a ===特别地，对角行列式等于对角线元素的乘积，即11221122nn nna a D a a a a==.类似地，1(1)2,1212,111(1)nn n n n n n n a a D a a a a ---==-.(2) 范德蒙（Vandermonde ）行列式122221212111112111(,,)()nn n n i j n i j n n n nx x x V x x x x x x x x x x x ≥>≥---==-∏计算行列式常用方法：(1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。
重点和难点：行列式的计算，要注重学会利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。
例：课本P.12例7—例9例：课本P.21例13例：课本P.25例16本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合以从行列式的定义为切入口，引导学生探讨行列式的各种性质。
通过大量的例题引导学生掌握如何利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。
本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题问：当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能否用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解。
本授课单元思考题、讨论题、作业：§5 P.26 4(1)(2)(3)，5(1)(2)，7(1)(2) (5) §6 P.26 5 (4)，7 (3) (6) §7 P.28 8(1)，9本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）授课题目（教学章节或主题）：第二章 矩阵及其运算 §1 矩阵 §2 矩阵运算 §3 逆矩阵 §4 矩阵分块法 本授课单元教学目标或要求：掌握矩阵的定义,矩阵的加减法\数乘\转置\矩阵求逆\矩阵的行列式\分块矩阵等运算,了解矩阵 多项式运算本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：本章拟分3次课完成,第一讲: §1矩阵,§2矩阵的运算;第二讲: §3逆矩阵;第三讲: §4矩阵分块法 第一讲: §1矩阵,§2矩阵的运算; 基本内容:§1 矩阵:一 矩阵的定义,定义1 由M ×N 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的数表mnm m nn a a a a a a a a a 212222111211 称为m 行n 列矩阵,简称M ×N 矩阵,为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记作⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211这M ×N 个数称为菊阵A 的元素,简称为元,数ij a 位于矩阵A 的第i 行j 列,称为矩阵A 的(I,J)元,以数ij a 为(I,J)元的矩阵可简记为)(ij a 或n m ij a ⨯)(,M ×N 矩阵A 也记着n m A ⨯.元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵行数和列数都等于n 的矩阵称为n 阶矩阵或n 阶方阵, n 阶矩阵A 也记作n A . 只有一行的矩阵 )(21n a a a A =称为行矩阵,又称为行向量, 行矩阵也记作),,,(21n a a a A =只有一列的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b A 21称为列矩阵,又称为列向量.两个矩阵的行数相等,列数也相等,称它们是同型矩阵,如果A=)(ij a ,B=)(ij b 是同型矩阵,,并且它们的对应元素相等,即n j m i b a ij ij ,2,1,,,2,1(===),那么就称矩阵A 与矩阵B 相等,级作A=B元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O,不同型的零矩阵是不同的.§2 矩阵的运算一 矩阵的加法定义2 设有两个n m ⨯矩阵A=)(ij a 和B=)(ij b ,那么矩阵A 与B 的和记着A+B,规定为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a221122222221211112121111两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算.矩阵加法满足下列运算规律(设A,B,C 都是n m ⨯矩阵): (i ) A+B=B+A;(ii )(A+B)+C=A+(B+C) A=)(ij a 的负矩阵记为 -A=)(ij a -A+(-A)=O 规定矩阵的减法为A-B=A+(-B)二 矩阵的数乘定义3 数λ与矩阵A 的乘积记作A λ或λA ,规定为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A λλλλλλλλλλ212222111211矩阵数乘满足下列运算规律(设A,B 为n m ⨯矩阵,μλ,为数): (1) )()(A A μλλμ=; (2) A A A μλμλ+=+)( (3) B A B A λλλ+=+)(重点,难点:矩阵乘矩阵:让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义,特别强调前面矩阵的列等于后面矩阵的行的原因.说明矩阵乘法常态下不满足消去率,通过练习提高学生的计算准确率.三 矩阵乘矩阵定义4 设A=(ij a )是一个s m ⨯矩阵,B=(ij b )是一个n s ⨯矩阵,那么矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个n m ⨯矩阵C=(ij c ),其中),,2,1;,,2,1(12211n j m i b a b a b a b a c sk kjik sj is j i j i ij ===+++=∑=把此乘积记为 C=AB 且有=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛sj j j is i i b b b a a a 2121),,,(ij sk kj ik sj is j i j i c b a b a b a b a ==+++∑=12211 例4 求矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20121301与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=4311102311014B 的乘积解 C=AB=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20121301⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4311102311014=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1199129例5 求矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2142与B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6342的乘积AB 与BA 解 AB=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2142⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6342=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1683216 BA=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6342⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2142=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000AB ≠ 对于两个n 阶方阵A,B,若AB=BA,称方阵A 与B 可交换从上面等式可以得出结论:若O A ≠而0)(=-Y X A 也不能得出X=Y 的结论 矩阵的乘法虽不满足交换律,满足结合律和分配律(1) (AB)C=A(BC)(2) λλλλ)()()(B A B A AB ==为数(3) A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA对于单位矩阵E,有n m n n m n m n m m A E A A A E ⨯⨯⨯⨯==, 即:EA=AE=A特殊矩阵: 1 单位矩阵;E=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001 2 数量矩阵=E λ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλ 0000003 对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn a a a00000022114 ;三角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a 000022211211或⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a21222111000可以得到:)()(n n n n n E A A A E λλλ== 表明纯量矩阵跟任何矩阵可交换 定义矩阵的幂为kl l k l k l k A A A A A A A A A A ====+)(,,,1121 其中k 为正整数例6 证明⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ϕϕϕϕϕϕϕϕn n n n nc o s s i n s i n c o s c o s s i ns i n c o s 证 用数学归纳法,1=n 时显然成立,设n =k 时成立,即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ϕϕϕϕϕϕϕϕk k k k kcos sin sin cos cos sin sin cos 当1+=k n 时,有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ϕϕϕϕϕϕϕϕk k k k k cos sin sin cos cos sin sin cos 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ϕϕϕϕcos sin sin cos=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕsin sin cos cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos k k k k k k k k=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-+ϕϕϕϕ)1cos()1sin()1sin()1cos(k k k k 等式得证.四 矩阵的转置定义5 把矩阵A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作TAA=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211.则=T A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n n m m a a a a a a a a a 212221212111A 的转置也是一种运算,满足 (1) A A T T =)((2) T T T B A B A +=+)( (3) T T A A λλ=)((4) (AB)TTTA B =证明(4) 设s m ij a A ⨯=)(,B=n s ij b ⨯)(,记m n ij T T n m ij d D A B c C AB ⨯⨯====)(,)(,有∑==sk kijk ji b ac 1而TB 的第i 行为),,,(21si i i b b b ,TA 的第j 列为T js j a a ),,(1 ,因此∑∑====sk ki jk sk jk ki ij b a a b d 11),,2,1;,,2,1(m j n i c d jiij ===有T T T AB A B )(=例7 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=231102A ,B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-102324171 求T AB )(解 因为=AB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-231102⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-102324171=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1013173140所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1031314170)(TAB若A 是n 阶方阵,如果满足A A T=,即),,2,1,(n j i a a ji ij ==那么A 称为对称矩阵.例 设列矩阵X=Tn x x x ),,,(21 满足1=X X T,E 是n 阶单位阵,TXX E H 2-=,证明H 是对称矩阵,且E HHT=证 T T TXX E H )2(-=HXX E XX E TT T =-=-=22所以H 是对称矩阵.T HH ==2H 2)2(T XX E - =TXX E 4-+))((4T T XX XX =T XX E 4-+))(4T T X X X X =TXX E 4-+TXX 4=E 五 方阵的行列式定义6 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式(各元素位置不变),称为方阵A 的行列式,记作A 或A det.A 满足下列运算规律(A,B 为n 阶方阵,λ为数)(1) A A T=(2)A A n λλ=(3) B A AB =,且BA AB =例9 行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn nnn n A A A A A A A A A 212221212111称为A 的伴随矩阵,试证E A A A AA ==**证明 设)(ij a A =,记)(ij b AA =*,则ij jn in j i j i ij A A a A a A a b δ=+++= 2211 故 )()(E A A A AA ij ij ===*δδ 类似有)())((1E A A A a AA A ij ij nk kj ki===∑=*δδ本授课单元教学手段与方法：讲授为主,练习为辅,主要让学生充分理解矩阵运算的定义,原则,从而掌握矩阵运算,并通过练习 提高学生运算的准确率.本授课单元思考题、讨论题、作业： P53:3.4(1),(2);(3),(4)本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。