小波基选择

的塔型结构中无须相位补偿， 同时支集较短便于快速实现和进行边界处理，因此 在图像编码领域得到广泛应用。 对于非平稳图像信号， 则采用非对称滤波器 （AFB） 比传统滤波器（如 FIR）图像重建后的视觉效果要好。小波基与待压缩图像的相 似性对压缩效果的影响实验证明， 在小波函数基本图像与压缩图像的结构较相似 的情况下，可以忽略正则性，结构越相似压缩效果越好。 （3）小波变换的级数由一维小波采用张量积构成的可分离的二维小波变换是 将原始图像分解成一个低频信号和三个方向的高频分量信号。 即每层分解为四个 子带信号，每层的低频信号又可以进一步分解成四个子带信号，总的子带数为 3K+1，其中 K 为分解层数。 3、小波基选择的评价标准 （1）熵 熵是信源平均信息量的一种度量，当熵的单位取为bps(位每符号) 时，熵便 是信源在无失真编码情况下所能达到的最低比特率［6］ 。熵的定义为:
非平稳，非线性问题的理想手段，并已取得了一些可喜的成果． 小波分析本身是一门交叉学科， 将小波分析与其他理论的综合运用是今后小 波变换技术发展的必然趋势． 近几年主要有以下发展： （1）第二代小波，称提升算法，可用于整数小波。 （2）嵌入零树法，获得更优良的效果。 （3）小波与统计理论结合。 （4）商品化，如“JPEG2000”小波图象压缩标准，MATLAB 小波计算包等。
问题:小波基如何选择？最近几年小波基有何发展？ 解答：
1.小波函数特性： 由于小波变换是将原始图像与小波基函数以及尺度函数进行内积运算， 基于 小波变换的数据压缩目的就是希望经小波分解后得到的三个方向的细节分量具 有高度的局部相关性，而整体相关性能最大限度的消除。因此对于同一幅图像， 选择不同的小波基进行分解所得到的数据压缩效果是不同的。 本文即是对小波函 数的特征进行研究，分析不同小波基对图像压缩编码的影响。 小波变换以其优异的时域和频域局部化能力、 方向选择能力和与人眼视觉特 性相符的多分辨率分析能力, 被广泛应用于图像压缩领域 , 并取得了很好的效 果。 将小波变换用于图像压缩时, 并非所有的小波基都适合图像分解, 小波基的 选择直接影响到整个算法的编码能力、 变换的复杂性和重构图像的质量, 因此小 波基的选择是图像压缩中的一个关键问题。 ，对于图像压缩来说理想的小波基应 该具有下列性质: (1) 正交性 用正交小波基由多尺度分解得到的各子带数据分别落在相互正交的 L2(R2) 的子空间中， 使各子带数据相关性减小。 但是能准确重建的、 正交的、 线性相位、 有限冲击响应滤波器组是不存在的，此时一般放宽正交性条件为双正交。 (2) 紧支性与衰减性 称小波Ψ(t)是紧支的，如果它有紧支集;称小波Ψ(t)是急衰或急降的，如 果当时 t→∞时，它快速衰减或具有指数规律衰减。紧支性与衰减性是小波的重 要性质，紧支宽度越窄或衰减越快，小波的局部化特性越好;紧支小波不需做人 为的截断，应用精度很高，但是一个函数不可能在时域和频域都是紧支的，最多 有一个是紧支的，另一个是急衰的。一般希望小波基能够在时域上具有紧支性。 (3) 对称性 对称或反对称的尺度函数和小波函数是非常重要的， 因为可以构造紧支的正 则小波基，而且具有线性相位。Daubechies 已经证明，除了 Haar 小波基，不存 在对称的紧支正交小波基。 而对于双正交小波基，可以合成具有对称或反对称的 紧支撑小波基。
G
in 2
g
n 0
2
L 1
2
(n)( i )
2 i
M 1
1 m
式中: in 为输入信号方差; i 为第i 子带的方差;M 为子带数，L 为小波的长
2
度 (3) 最低频子带重构图像的信噪比PSNR 根据对人眼视觉特性的研究知，人眼对对低频信号敏感而对高频较不敏感。 所以，在选择小波基时，可以甩掉小波变换பைடு நூலகம்数的高频分量，仅保留最低频的子 图像， 用其重构图像的信噪比及视觉效果作为评价小波基性能的一个标准。PSNR
(4) 正则性 正则性是函数光滑程度的一种描述，也是函数频域能量集中的一种度量。若 Ψ(t) 具有 N 阶连续导数，正则性阶数 r 越大，意味着Ψ(t)越光滑，其频域的 能量越集中，一般而言数据压缩的结果也越好。 (5) 消失矩 小波基函数应具有消失矩性质，即:


t (t )dt 0; k 0,1,........n 1
图像中，放大的程度和范围由综合小波 (t ) )的长度和振荡幅度决定。为了综合
地刻划小波的长度、振荡幅度(形状) 对量化误差的放大作用。定义了一个称为 峰－ 峰比率(Peak-Peak Ratio)的量PPR。
PPR
最大值 - 峰值 第二与第三峰 - 峰值的算术平均值
由此定义知， PPR 越大， 小波变得越 “集中” ， 对量化误差的放大越不显著， 因此，失真的可见度越低，视觉效果越好。 4.小波研究发展趋势 事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号 分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机 分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大 型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数 值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去 噪声、 压缩、 传递等。 在图象处理方面的图象压缩、 分类、 识别与诊断， 去污等。 在医学成像方面的减少 B 超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。 小波应用的范围虽广, 但真正取得极佳效果的领域并不多,人们也正在挖掘 有前景的应用领域。 小波分析刚刚打开一扇不稳定，不统一，非时间不变的信号处理的大门，这 个领域远比 Fourier 分析处理的时不变系统复杂．在这个大领域里，小波分析 是一个重要工具，同时也需要其他的理论和工具． 最近几年，一些学者将小波变换与神经网络、模糊数学、分形分析、遗传优 化等方法相结合，形成的小波神经网络、小波模糊网络、小波分形等方法是分析
H ( x) p(i) lg p(i)
i 1
L
式中:L 为灰度等级，p(i) 为第i 个灰度等级出现的概率。图像经小波变换后的 熵可作为衡量滤波器优劣的一种尺度，熵越低，小波基的无失真编码能力越强， 反之越弱。 (2) 编码增益 编码增益增益被广泛用作滤波器性能的一种度量， 双正交情况下增益的表达 式为:
越大，小波变得越“集中” ，对量化误差的放大越不显著，因此，失真的可见度 越低，视觉效果越好。 (4) 峰－ 峰比PPR 在小波编码中，失真是由于对小波系数的量化引起的，一般说来，粗的量化 引起大的失真，细的量化引起小的失真。但小波的长度、形状等对失真的影响也 是不可忽视的。也就是说，在同样的量化误差下，不同的小波引起的失真大小以 及失真的可见性是不同的。 小波系数的量化误差被综合小波 (t ) 放大并带入重构
k

其中Ψ(t) 有 n 个连续的零点，我们说Ψ(t) 的消失矩为 k。当 k = 0 时 有,这表明Ψ(t) 是一个迅速
t
k
(t )dt 0
衰减且平均值为 0 的波。消失矩
的大小决定了用小波逼近光滑函数的收敛率。当图象光滑时，越大的消失矩，将 导致越小的小波系数 2.小波函数选择应考虑的因素： 在不同的应用领域, 小波基的选取标准不同,不同的小波基适应不同的具体 情况。小波变换中的小波基的选择转换为正交镜像滤波器组 QMFB 的选择。 小 波基的选取应从一般原则和具体应用两方面考虑。根据小波函数特征， 一般原则 如下: (1)小波基的正则性阶数对图像压缩效果有影响。 正则性是函数光滑程度的的一种描述， 也是函数频域能量集中的一种度量。 在小波变换过程中， 对于正则性较弱的滤波器，输入信号光滑部分会因变换级数 的增加而发生不连续的情况， 这种非信号本身的不连续性也将反映在图像压缩时 的离散小波的变换系数中， 量化过程使得这些系数出现误差， 导致图像重建失真， 正则性越弱，则图像变化部分越不光滑，视觉效果越差，反之小波函数正则性越 强，图像重建效果越好。小波正交性、能量集中性和图像压缩小波基恰当选择使 得信号经小波正交变换后，其能量大部分集中在其中 k 个变换系数上，若 k 越 小，则表明该变换能量越集中。在图像压缩中，为提高压缩比可只保留权值较大 的前 n 个分量。可见，能量集中特性越好，图像压缩效果越好。 （2）小波滤波器长度的选择对称的双正交小波基可以满足图像处理中比较 严格的线性相位特性要求， 不仅可减少或消除重建图像的边缘失真，而且在级联