人教版八年级数学上直角三角形
人教版数学八年级上册13.3：含30°角的直角三角形的性质(教案)
1.引入新课：通过复习直角三角形的定义和性质，引入含30°角的直角三角形，激发学生的好奇心。
2.探索新知：引导学生观察含30°角的直角三角形的图形，发现并证明30°角所对的直角边是斜边的一半，斜边上的中线等于斜边的一半。
3.应用拓展：设计实际问题，让学生运用含30°角的直角三角形的性质解决问题，巩固所学知识。
-难点四：学生可能难以将含30°角的直角三角形的性质与其他知识点进行有效结合。举例：在解决综合问题时，学生可能不知道如何将含30°角的直角三角形的性质与勾股定理、相似三角形的性质等知识点结合起来。
针对以上教学难点，教师应采取以下措施：
1.利用直观的图形和实际操作，引导学生发现含30°角的直角三角形的性质，帮助学生理解比例关系。
-重点二：掌握含30°角的直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。举例：在直角三角形ABC中，若∠B=30°，则斜边AC上的中线BD等于AC的一半。
-重点三：能够运用含30°角的直角三角形的性质解决实际问题，如计算直角三角形各边长度等。
2.教学难点
-难点一：学生难以理解含30°角的直角三角形性质中的比例关系。举例：为什么30°角所对的直角边是斜边的一半，需要通过直观图形和实际操作引导学生理解。
人教版数学八年级上册13.3：含30°角的直角三角形的性质（教案）
一、教学内容
人教版数学八年级上册13.3：含30°角的直角三角形的性质。本节课我们将学习以下内容：
1.掌握含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半。
2.理解并掌握含30°角的直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使得学生们能够更深入地理解含30°角的直角三角形的性质。每个小学生的合作能力和表达能力。但同时，我也观察到部分学生在讨论过程中过于依赖同伴，缺乏独立思考。针对这一问题，我将在后续教学中注重培养学生的独立思考能力。
八年级-人教版-数学-上册-第4课时 直角三角形的性质——含30°角的直角三角形
1．等边三角形的性质．
边 三条边都相等
等边三角形的性质 角
三个内角都相等， 并且每一个角都 等于 60°
对称性
三线合一； 轴对称图形， 三条对称轴
2．等边三角形的判定． 图形 A
等边三角形
B
C
判定 三条边都相等的三角形 三个角都相等的三角形
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边 等于斜边的一半．
A 符号语言：
∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝
1 2
AB．
B
30°
C
例1 如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点， 立柱BC，DE 垂直于横梁 AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°．立柱 BC， DE 要多长？
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，
∴BC＝
1 2
AB，DE＝
1 2
AD．
∴BC＝
1 2
×7.4＝3.7（m）．
30°
又
AD＝
1 2
AB，
∴DE＝
1 2
AD＝
12×3.7＝1.85（m）．
答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m．
30°
例2 已知等腰三角形的底角为 15°，腰长为 2a．求腰上的高．
B
A
30° E
60° C
在△ACE 中，
∵∠A＝30°，∠ACE＝30°，
∴△AEC 是等腰三角形．
∴CE＝AE．
∴BC＝BE＝CE＝AE．
∴BC＝BE＝AE＝
1 2
人教版数学八年级上册《含30°角的直角三角形的性质》教案
人教版数学八年级上册《含30°角的直角三角形的性质》教案一. 教材分析人教版数学八年级上册《含30°角的直角三角形的性质》这一节，主要让学生掌握含30°角的直角三角形的性质。
在学习了锐角三角函数、直角三角形的性质等知识的基础上，通过探索含30°角的直角三角形的性质，培养学生的观察、思考、归纳能力。
二. 学情分析学生在之前的学习中，已经掌握了锐角三角函数、直角三角形的性质等知识，具备了一定的观察、思考、归纳能力。
但对于含30°角的直角三角形的性质，可能还较为陌生，需要通过实例来引导学生探索、总结。
三. 教学目标1.理解含30°角的直角三角形的性质。
2.能够运用含30°角的直角三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察、思考、归纳能力。
四. 教学重难点1.含30°角的直角三角形的性质的掌握。
2.运用含30°角的直角三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、小组合作法等，引导学生观察、思考、探索，培养学生的观察、思考、归纳能力。
六. 教学准备1.PPT课件七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示含30°角的直角三角形的图片，引导学生观察，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过三角板演示含30°角的直角三角形，让学生直观地感受其性质。
同时，引导学生思考、归纳，总结出含30°角的直角三角形的性质。
3.操练（10分钟）学生分组合作，利用三角板和练习题，进行实践活动，巩固含30°角的直角三角形的性质。
4.巩固（10分钟）教师通过PPT课件，呈现一些有关含30°角的直角三角形的性质的题目，让学生独立完成，检查学生对知识点的掌握情况。
5.拓展（10分钟）教师引导学生运用含30°角的直角三角形的性质，解决实际问题，如测量高度、距离等。
2023-2024人教版八年级数学上册122三角形全等的判定第4课时用“HL”判定直角三角形全等
∴△ABC 和△APQ 全等有2种情况：① Rt△ABC≌Rt△QPA；②Rt△ABC≌Rt△PQA
第4课时 用“HL”判定直角三角形全等
①当 P 运动到 AP＝BC 时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中，
PQ＝AB， AP＝BC， ∴ Rt△ABC≌Rt△QPA (HL). ∴ AP＝BC＝5 cm；
人教版
八年级上
01
03
02
04
第4课时 用“HL”判定直角三角形全等
学习目标
1. 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
2. 灵活运用直角三角形全等定理进行证明.
难点
重点
第4课时 用“HL”判定直角三角形全等
新课引入
思考 对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足
几个条件，这两个直角三角形就全等了?
证明：∵CE = BF. ∴CE – EF = BF - EF，即 CF = BE. ∵AE⊥BC，DF⊥BC ∴∠AEB =∠DFC = 90°. 在 Rt△ABE 和 Rt△DCF 中，
AB = DC， CF = BE， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF (HL). ∴AE = DF.
第4课时 用“HL”判定直角三角形全等
第4课时 用“HL”判定直角三角形全等
②当 P 运动到与 C 点重合时，AP＝AC. 在 Rt△ABC 与 Rt△PQA 中，
AB＝PQ， AC＝PA， ∴ Rt△ABC≌Rt△PQA (HL). ∴ AP＝AC＝10 cm. 综上， 当 AP＝5 cm 或 10 cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等.
下面，让我们来研究一下这个问题.
人教版八年级数学上《直角三角形全等的特殊条件》课堂笔记
《直角三角形全等的特殊条件》课堂笔记
一、定义与条件
1.HL判定：在直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，
那么这两个三角形全等。
2.ASA判定：在两个三角形中，如果两个角和它们的夹边分别相等，那么这两个
三角形全等。
二、应用与实例
1.HL判定应用：在解决实际问题时，如果已知两个直角三角形的斜边和一条直角
边分别相等，那么可以直接使用HL判定来证明这两个三角形全等。
2.ASA判定应用：当已知两个三角形中的两个角和它们的夹边分别相等时，可以
使用ASA判定来证明这两个三角形全等。
三、注意事项
1.HL判定注意事项：在使用HL判定时，必须确保两个直角三角形的斜边和一条
直角边分别相等，不能出现其他条件的不符合。
2.ASA判定注意事项：在使用ASA判定时，必须确保两个角和它们的夹边分别
相等，不能出现其他条件的不符合。
四、练习与巩固
为了巩固所学知识，可以进行以下练习：
1.给出两组条件，判断是否能够使用HL或ASA判定证明两个三角形全等。
2.给出多个三角形，选择其中两个，使用适当的判定方法证明它们全等。
五、总结与回顾
本节课学习了直角三角形全等的特殊条件，包括HL判定和ASA判定。
通过学习，我们掌握了这些判定方法的应用和注意事项。
在今后的学习中，我们将继续运用这些方法来解决实际问题。
八年级数学人教版(上册)第4课时用“HL”判定直角三角形全等
BD＝AC， AB＝BA， ∴Rt△DAB≌Rt△CBA(HL). ∴DA＝CB．
3.如图，点 C，E，B，F 在同一条直线上，AB⊥CF 于点 B， DE⊥CF 于点 E，AC＝DF，AB＝DE.求证：AC∥DF.
证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF， ∴∠ABC＝∠DEF＝90°. 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， AC＝DF， AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). ∴∠C＝∠F. ∴AC∥DF.
知识点 2 选择适当的方法判定两个直角三角形全等 4.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( C ) A．一个锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等 C．两个锐角对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等
∴∠APE＝∠BPF. ∴∠APB＝∠APE＋∠BPE＝∠BPF＋∠BPE＝∠EPF＝90°. ∴PA⊥PB．
(2)若点 A 的坐标为(8，0)，则点 B 的坐标为 (0，－4) . (3)OA－OB 的值为 4 .
(4)如图 2，当点 B 在 y 轴正半轴上运动时，求 OA＋OB 的值. 解：过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，PF⊥y 轴于点 F， 同(1)可得，Rt△APE≌Rt△BPF， ∴AE＝BF. ∵AE＝OA－OE＝OA－2，BF＝OF－OB＝2－OB， ∴OA－2＝2－OB． ∴OA＋OB＝4.
又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，
∴∠BCD－∠ACF＝∠EDC－∠ADF， 即∠BCA＝∠EDA．
BC＝ED， 在△ABC 和△AED 中，∠BCA＝∠EDA，
AC＝AD，
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第12章12.2 三角形全等的判定(第4课时)
第十二章全等三角形12.2.三角形全等的判定第4课时直角三角形全等的判定一、教学目标【知识与技能】掌握直角三角形全等的条件:“斜边、直角边”.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.【过程与方法】经历探究直角三角形全等条件的过程,体会一般与特殊的辩证关系.【情感、态度与价值观】通过画图、探究、归纳、交流,发展学生的实践能力和创新精神.二、课型新授课三、课时第4课时，共4课时。
四、教学重难点【教学重点】掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法——HL.【教学难点】熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。
学生：三角尺、直尺、圆规。
六、教学过程（一）导入新课小明去公园玩,在公园看到了如下两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等,小明说只要测量出左边滑梯AB的长度就可以知道右边滑梯有多高了,小明的说法正确吗?（出示课件2-4）（二）探索新知1.师生互动，探究直角三角形全等的判定方法教师问1：判定两个三角形全等的条件有哪些？（出示课件6）学生回答：SSS、SAS、AAS、ASA教师提出问题：前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？（出示课件7）教师问2：两个直角三角形，除了直角相等外，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？（出示课件8）(让学生观察课件中的两个直角三角形并思考回答：分析：1.再满足一边一锐角对应相等，就可用“AAS”或“ASA”证全等了.2.再满足两直角边对应相等，就可用“SAS”证全等了.教师问3：那么，如果满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？学生不能作肯定回答，经过小组讨论，只能作出猜测：可能全等.教师讲解：现在不要求马上给出结论.看看通过动手探究，你是否能得出结论.直角三角形我们用Rt△表示.教师问4：如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF 吗？（出示课件9）学生讨论并回答：证明三角形全等不存在SSA定理.所以一般的三角形不一定全等.教师问5：如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？（出示课件10）我们完成下边的问题：思考：任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°，再画一个Rt△A′B′C′，使B′C′＝BC，A′B′＝AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC 上，看看它们是否全等.(课件出示11-14，师生一起看题)(学生独立探究，动手作图)分析：画法直接由教师给出，而不安排学生画出，是考虑学生画图有一定的难度，况且作图不是本节课的重点.教师问6：Rt△ABC就是所求作的三角形吗？学生回答：是要求作的三角形.教师问7：画好后，把Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，看它们全等吗？学生动手做后回答：全等.教师问8：这样你发现了什么结论？学生回答：有一条斜边和直角边相等的两个直角三角形全等》教师板书：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边，直角边”或“HL”).总结点拨：（出示课件15）“斜边、直角边”判定方法文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.几何语言：在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，AB=A′B′，BC=B′C′,∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).警示注意：（1）一是“HL”是仅适用于Rt△的特殊方法；二是应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个三角形是Rt△的条件.（2）“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.例1：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD.求证：BC﹦AD.（出示课件17）师生共同解答如下：证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C与∠D 都是直角.在Rt△ABC 和Rt△BAD 中，AC=BD .∴Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).∴ BC﹦AD.例2：如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.（出示课件22）师生共同解答如下：证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC ＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF. 即BC＝BE.总结点拨：（出示课件23）证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？师生共同解答如下：解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF .∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等).∵∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°.（三）课堂练习（出示课件29-34）1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.两个锐角对应相等2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长为（）A．1 B．2 C．3 D．43.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC________（填“全等”或“不全等”），根据_______________（用简写法）.4. 如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.5. 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC, AE=CF.求证：BF=DE.6. 如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P,Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？参考答案：1.D2.A3. 全等HL4. 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠BDC=90 °.在Rt△EBC 和Rt△DCB 中，CE=BD,BC=CB .∴Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).5. 证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90 °.∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD,AF=CE.∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.6. 解：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.直角三角形“HL”判定方法2.灵活选择三角形全等的判定方法来解决问题（五）课前预习预习下节课（12.3）教材48页到49页的相关内容。
人教版八年级上册数学第11章 直角三角形的性质与判定1(20页)
∴△EFP为直角三角形．
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
归纳总结
“有一个角是直角的三角形是直角三角形”是直角三 角形的定义，据此可判定直角三角形；“有两个角互余的 三角形是直角三角形”是直角三角形的判定，由三角形内 角和定理可知第三个角是直角，因此它的实质还是直角三 角形的定义．
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
练一练
1.已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为( C )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上都有可能
2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( D )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A＝
1 2
1 ∠B＝ 3
∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝2∠B＝3∠C
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
探究新知 知识点1：直角三角形两锐角的关系
观察这两个直角三角形，它们两锐角之和分别为多少？ 那对于任意直角三角形，这一结论是否还成立呢？
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
如图， 在直角三角形ABC中，∠C = 90°， 由三角形内角和
定理，得∠ A+ ∠ B+ ∠ C = 180°，即
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
练一练
1.如图，∠ACB=90°， CD丄AB，垂足为D.∠ACD与∠B有什
么关系？为什么？
C
解： ∠ACD＝∠B.理由如下：
因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD＋∠BCD＝90°.
因为CD⊥AB，
A
所以∠BCD＋∠B＝90ห้องสมุดไป่ตู้.
含30°角的直角三角形的性质(教学课件)-八年级数学上册(人教版)
如图1所示的是某超市人口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边 缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝62cm，且与闸机侧 立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的 最大宽度． 解：如图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，
斜边的一半.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°. 证法②截半法
求证：BC=
1 2
AB.
证明：在BA上截取BD=BC，连接DC. ∵ ∠B=90°-∠A=60°，BD=BC
∴ △BCD是等边三角形 ∴ ∠BDC=60°，BD=DC=BC ∴ ∠DCA=∠BDC-∠A=30°=∠A
1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．（难点）
用两个含30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼成 一个等边三角形吗？说说你的理由.
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小 关系？能证明你的结论吗？
10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作
DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明
理由． 解： CD 1 DB.
2
理由如下：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°. ∵DE是∠ADB的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE.
又∵DE＝DE， ∴△AED≌△BED(ASA)，
八年级上册数学直角三角形的判定
八年级上册数学直角三角形的判定一、直角三角形的判定方法（人教版八年级上册）1. 定义法。
- 定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
- 例如：在△ABC中，如果∠C = 90°，那么△ABC就是直角三角形。
这是最直接判定直角三角形的方法，只要确定三角形中有一个角为90°即可。
2. 勾股定理的逆定理。
- 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即a^2+b^2=c^2（其中a、b为直角边，c为斜边）。
- 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
- 例如：已知三角形的三边长分别为3、4、5，因为3^2+4^2=9 +16=25=5^2，所以这个三角形是直角三角形，其中边长为5的边所对的角为直角。
- 应用步骤：- 确定三角形的三条边的长度a、b、c（c为最长边）。
- 然后，计算a^2+b^2和c^2的值。
- 比较a^2+b^2与c^2是否相等，如果相等则该三角形为直角三角形。
3. 直角三角形的判定定理（两个锐角互余）- 定理：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形。
- 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C = 180°（三角形内角和定理），如果∠A+∠B = 90°，那么∠C=180°-(∠A + ∠B)=90°，所以△ABC是直角三角形。
- 例如：在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 60°，因为∠A+∠B=30° + 60° = 90°，所以△ABC是直角三角形。
人教版八年级数学上册含°角的直角三角形的性质
人教版八年级数学上册 13.3.2含30°角的直角三角形的性质
动手操作，探索性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么
它所对的直角边等于斜边的一半. A
符号语言：
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
∴
BC =
1 2
AB．
B
C
人教版八年级数学上册 13.3.2含30°角的直角三角形的性质
22
(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角 边等于斜边的一半).
人教版八年级数学上册 13.3.2含30°角的直角三角形的性质
人教版八年级数学上册 13.3.2含30°角的直角三角形的性质
小结
拓展
回味无穷
• 等边三角形的性质: 三边相等,三个角都是600,”三线合一”,三条对 称轴.
1.三边相等的三角形是等边三角形. 2.三个内角都等于60 °的三角形是等边三角形. 3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形.
2020/11/21
2
Байду номын сангаас
教学过程。
如图，已知△ABC是等边三角形，AD是它的高， 请完成下面的推理.
证明：∵△ABC是等边三角形（已知）
∴AB＝AC＝BC（等边三角形定义）
人教版八年级数学上册 13.3.2含30°角的直角三角形的性质
例1：如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°， ∠B＝30°，且斜边BC＝4.
（1）求AC的长度；
解：在Rt△ABC中
C
∵∠A＝90°，∠B＝30°
∴AC＝1/2BC
又∵BC＝4
∴AC＝1/2×4＝2
A
B
人教版八年级数学上册 13.3.2含30°角的直角三角形的性质
人教版八年级数学上册课件：直角三角形的性质
A
你还能用其他
方法证明吗?
人教版八年级数学上册课件：13.3.2 直角三 角形的 性质(共 15张PP T)
B
C
D
人教版八年级数学上册课件：13.3.2 直角三 角形的 性质(共 15张PP T)
在直角三角形中,如果一个锐角等 于30°，那么它所对的直角边等于斜 边的一半.
A
数学符号表示
30°
在Rt△ABC中
B┓
∵∠A＝30° C ∴AC＝2BC
人教版八年级数学上册课件：13.3.2 直角三 角形的 性质(共 15张PP T)
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例５，下图是屋架设计图的一部分,点D是 斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于 横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱 BC 、 DE要多长?
人教版八年级数学上册课件：13.3.2 直角三 角形的 性质(共 15张PP T)
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小试牛刀：
１、如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｃ＝
３０° ，ＤＡ⊥ＢＡ于Ａ，ＢＣ＝１４．４cm,
则ＡＤ＝ 4.8
Ａ
２、如图２、 ∠Ｃ＝Ｂ ９０°Ｄ，ＤＣ是ＣＡ的延
证明:∵ △ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=AC,BE=BD,∠ABC=∠DBE=60°
在△ABE和△CBD中,
AB=AC ∠ABC=∠DBE,BE=BD
∴ △ABE≌△CBD
A
∴AE=CD
B EC
D
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人教版八年级上册数学课时课件 第十一章 三角形 三角形的内角(第2课时)
数学
8年级/上
第十一章 三角形
学习新知
检测反馈
学习新知
1.观察图形，找出 图中所包含的直角 三角形； 2.回顾已学习的直 角三角形知识，如： 直角三角形及相关 概念——直角边、 斜边等.
一、直角三角形的表示方法
三角形ABC表示△ABC，直角三角形应该
如何表示呢？
直角三角形可以用符号“Rt△”
检测反馈
1．一个三角形三个内角之比为1：1：2，则三角形 的形状是 等腰直角三角形 .
解析：设三角形三个内角度数分别为x，x， 2x，则x+x+2x=180°，解得x=45°，所以三 角形三个内角分别为45°，45°，90°，故此 三角形为等腰直角三角形.
2．直角三角形两锐角的平分线所成的夹角的度数
4.如图所示，从观测点C处看高山顶点A的 仰视角为30°，走进一段距离后再在D处观 测仰视角为45°，请你求出从A处观测 C、 D两处视角∠CAD的度数.
解析：过点A作AB⊥CD的延长线于点B，
构造直角三角形，然后利用直角三角形中
两个锐角互余求角∠CAB和∠DAB的度数，
再利用角的差即可求出∠CAD.
画一个直角三角形ABC，其中∠C= 90°，用量 角器分别量出∠A、∠B的度数，并且求出∠A+∠B的
值.
通过对问题的计算你发现∠A和∠B
有什么关系？
直角三角形的两个锐角互余.
结合图形你能写出已知、求证和证明吗？
证明过程
A
已知：Rt△ABC， ∠C= 90°
求证： ∠A+∠B= 90°. C
B
证明：如图，在Rt△ABC中． ∵∠A+∠B +∠C=180°,
参照直角三角形性质的几何推理过程，判定 定理几何推理过程又该怎样表示呢？
人教版(部编)八年级数学上册-直角三角形的性质和判定
总结归纳
思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本 图形吗？
基本图形
AB o
A
B
o D
C
D
∠A=∠D
C
∠A=∠C
二 有两个角互余的三角形是直角三角形
问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC 是直角三角形吗？
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是 △ABC是直角三角形.
C．∠BCD和∠A
D．∠BCD
7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是 AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角 三角形．
证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形.
课堂小结
直角三角 形的性质 与判定
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第2课时 直角三角形的性质和判定
导入新课
情境引入
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟 非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它 指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样 大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们 这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷. 你知道其中的道理吗？
B．50°
C．60°
D．70° 5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是
（ D） A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
人教版八年级上册数学直角三角形
B
C
D
1.等边三角形的性质
知识回顾:
（1）等边三角形的三条边相等。
（2）等边三角形的内角都相等,且都等于60 °
（3）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
（4）等边三角形各边上中线,高和所对角的平 分线都三线合一.
2.等边三角形的判定:
（1）三边相等的三角形是等边三角形. （2）三个内角都等于60 °的三角形是等边三角 形. （3）有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边 三角形.
用两个大小一样且含有30°的三角尺你 能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个 等边三角形吗？请说说你的理由．
A
你能用哪些 方法证明?
B
C
D
２．如图，你能借助这个图形,找 到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之 间的数量关系吗?
A A
30
BCD
B
C
D
∵ △ABD是等边三角形
∴ＡＢ＝ＡＤ＝ＢＤ
∵AC⊥BD 1 ∴BC＝DC＝ AB
A
M
C
D
B
2
求证：在直角三角形中，如果一个锐角等 于３０°，那么它所对的直角边等于斜边 的一半。
已知：如图在Rt△ABＣ中，∠Ｃ＝９０°
∠ＢＡＣ＝３０°
求证：ＢＣ＝ 1 AB
Ａ
2
Ｂ
Ｃ
Ｄ
结论： 在直角三角形中，30°所 对的直角边等于斜边的一半。
用符号语言表示为：
Ａ
在Rt△ABC中 ∵∠A＝30° ∴AB＝2BC
在Rt△ABC中,∠Ｃ＝９０°, ∠B=2∠A, ∠B和∠A各是多少度? 边AB与BC之间有什么关系?
在直角三角形中，30°角所 对的直角边等于斜边的一半。
人教版八年级数学上册第12章第5课时 三角形全等的判定——HL
小结：在一线三直角模型中，推出对应角相等，进而判定全 等，得到相关线段相等，最后判断数量关系.
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数学
★12.(1)如图(1)，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE， 试说明 BC⊥CE 的理由； (2)如图(2)，若△ABC 向右平移，使得点 C 移到点 D，AB⊥ AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索 BD⊥CE 的结论是 否成立，并说明理由．
返回
数学
10.如图，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，下列结论不成立的是 ( C) A．∠DAE＝∠CBE B．CE＝DE C．△DAE 与△CBE 不一定全等 D．∠1＝∠2
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数学
7.【例 3】如图，BD，CE 分别是△ABC 的高，且 BE＝CD， 求证：Rt△BEC≌Rt△CDB. 证明：∵BD，CE 分别是△ABC 的高，
第十二章 全等三角形
第5课时 三角形全等的判定(4)——HL
数学
目录
01 学习目标 02 知识要点 03 对点训练 04 精典范例 05 变式练习
数学
学习目标
1.掌握用 HL 证明两个三角形全等． 2．能灵活运用全等三角形的性质解决线段或角 相等的问题． 3．通过画、量、观察、比较和猜想等过程，探 索、归纳、证明两个三角形全等的条件，提高运 用知识的能力.
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在 Rt△BEC 和 Rt△CDB 中，BBCE＝＝CCBD ，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).
小结：根据高的定义求出∠BEC＝ ∠CDB＝90°，再根据 HL 证明.
返回
数学
11.如图，在△ABC 中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F 为 AB 延 长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE＝CF.求证：Rt△ABE≌ Rt△CBF.
数学人教版八年级上册《第三节 直角三角形的性质》
数学人教版八年级上册《第三节直角三角形的性质》直角三角形是初中数学中比较重要的概念之一，它具有一些独特的性质。
本文将介绍《数学人教版八年级上册》第三节《直角三角形的性质》，包括直角三角形的定义、勾股定理、特殊的直角三角形以及与直角三角形相关的一些例题和应用。
通过学习本节内容，读者将能够更好地理解和运用直角三角形的性质。
直角三角形是指一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，有一个特殊的定理，被称为勾股定理。
勾股定理表明，在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边平方的和。
例如，在一个直角三角形中，较短的直角边为3，较长的直角边为4，那么斜边的长度可以通过勾股定理计算得出，即斜边的长度为5。
勾股定理是直角三角形的重要性质，我们可以通过它解决一些实际问题，比如测量不可直接测量的距离或确定物体之间的距离和角度关系。
除了勾股定理，直角三角形还有一些特殊的性质。
我们先来看一下等腰直角三角形。
等腰直角三角形是指两条直角边长度相等的直角三角形。
在等腰直角三角形中，斜边的长度可以通过直角边的长度计算得出，即斜边长度为直角边长度的平方根乘以2。
比如，如果等腰直角三角形的直角边长为3，那么斜边的长度可以通过计算√3^2+3^2得出，即斜边的长度为3√2。
另一个特殊的直角三角形是45度角三角形。
45度角三角形是指一个角为45度的直角三角形。
在45度角三角形中，两条直角边长度相等，即两条直角边的长度均为斜边长度的平方根。
比如，如果45度角三角形的斜边长度为2，那么两条直角边的长度也为2的平方根。
45度角三角形经常在实际问题中出现，比如在建筑和几何图形设计中的应用。
了解了直角三角形的基本性质和特殊情况后，我们来看一些与直角三角形相关的例题和应用。
通过解答这些问题，我们可以更深入地理解直角三角形的性质。
例如，题目如下：已知一个直角三角形的直角边为3，斜边为5，求另一直角边的长度。
解答：根据勾股定理，直角边的长度可以通过计算√5^2-3^2得出，即直角边的长度为4。
人教版八年级数学上册第十一章 直角三角形的性质和判定
(2)如图②，∠B＝∠D＝90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有 什么关系？请说明理由．
∠A＝∠C.理由：∵∠B＝∠D＝90°， ∴∠A＋∠AOB＝90°，∠C＋∠COD＝90°. 又∵∠AOB＝∠COD，∴∠A＝∠C.
你还有其他的方法能解决刚才的问题吗？
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
则下列结论不一定成立的是( B )
A．∠1＋∠2＝90° B．∠3＝60°
C．∠2＝∠3
D．∠1＝∠4
例2：如图，将直尺与含30°角的三角尺叠放在一起，若∠1=40°，
则∠2的度数是（ D）
A.40°
B.60°
C.70°
D.80°
例3：在直角三角形ABC中，∠A ∶∠B ∶∠C＝2 ∶m ∶4，则m
那么直角三角形的角有什么特殊呢？
如图，MN为树，为了小树的安全起见，在树干的点A处放置柱 子，使柱子AB与树干MN的夹角∠BAN=58°.为了保证角度准确 ，在地面固定点B时，应该使∠ABN的度数是多少？∠CAN与 ∠ACN又满足什么样的数量关系？
我们观察一下中间这两个三角形，有什么特殊？ 两个锐角的度数有什么关系呢？
本节课我们学习了哪些知识？
（1）直角三角形的性质 （2）直角三角形的判定 （3）8字模型
【教材习题】完成课本14页练习2 题和16页习题4题. 【作业本作业】
旧知回顾 什么是直角三角形？
(有一个角是直角的三角形叫做直角三角形)
在国外，边长之比为3∶4∶5的直角三角形被称为“埃及 三角形”.这是因为早在古埃及时，人们就学会了用特质 的绳子来构造它，以供生活、生产使用.绳子上要有多个 均匀分布的绳结，三个人如图所示抓住对应的绳结拉紧就 可以得到直角三角形.
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初中数学试卷直角三角形知识导引1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°。
2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、注意直角三角形的性质和判定之间的互逆关系。
4、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是45°，且两条直角边相等，等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。
典例精析例1：已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为（ ） A 、45° B 、75° C 、45°或75° D 、60°例2：两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连结CD 。
（1）请找出图②中的全等三角形并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试说明：CD ⊥BE 。
例3：如图所示，四边形ABCD 由一个∠ACB=30°的Rt △ABC 与等腰Rt △ACD 拼成，E 为斜边AC 的中点，则∠BDE= 。
例3—1：如图，已知AD ⊥BD ，AC ⊥BC ，E 为AB 的中点，试判断DE 与CE 是否相等并说明理由。
例4：已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，试说明AE=AF 。
例5：如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，CE ⊥BD ，交其延长线于点E ，求证：CE=21BD探究活动例：小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线AC剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中∠ACB=α，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，△DEF纸片的直角顶点D 落在纸片△ABC的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上。
（1）若DE与BC相交于点G，取AG中点M，连接BM、DM，当△DEF纸片沿CA方向平移时（如图3），请你观察、测量BM、DM的长度，猜想并写出BM与DM的数量关系，然后证明你的猜想；（2）在（1）条件下，求出∠BMD的大小（用含α式子表），并说明当α=45°时，△BMD是什么三角形；（3）在图3的基础上，将△DEF绕点C逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°），此时△CGD变成△CHD，同样取AH的中点M，连接BM、DM（如图4），请继续探究BM与DM的数量关系和∠BMD的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明α为何值时，△BMD为等边三角形．学力训练A组务实基础1、下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角。
它们的逆命题是真命题的个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）A、 B、C、 D、3、如图，Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D。
E、F分别是CD，AD上的点，且CE=AF。
如果∠AED=62°，那么∠DBF=（）A、62°B、38°C、28°D、26°（第3题图）（第4题图）（第5题图）4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AC、AB的中点，连结DE、CE，则下列结论中不一定正确的是（）A、DE∥BCB、DE⊥ACC、∠ACE=∠BCED、AE=CE5、如图，将一副三角板叠放在一起且直角的顶点重合于点O，则∠AOB＋∠DOC＝度6、如图，Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，如果∠A=30°，BD=1cm，那么∠BCD= ，BC= cm，AD= cm。
（第6题图）（第7题图）（第8题图）7、如图所示，已知△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，垂足为点D，E为AC的中点，AD=DE=6cm，则∠ACD= ，AC= cm，∠DAC= ，△ADE是三角形。
8、如图所示，一根长a米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍的A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行，请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离（填“发生”或“不发生”）变化，理由是9、如图，只剪两刀把一个直角三角形分割成三个直角三角形。
（至少给出三种剪法，用铅笔作出分割线，只要有一条分割线不同，就视作不同的剪法）10、如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数。
11、如图，在直角三角形ABC中，CM是斜边AB上的中线，MN⊥AB，∠ACB的平分线CN交MN于点N，求证：CM=MN12、（1）等腰直角△ABC和等腰直角△CDE的位置如图1所示，连结BE，并延长交AD于点F，试问：AD与BE之间有什么关系？证明你的结论。
（2）若保持其他条件不变，等腰直角△CDE绕C点旋转，位置如图2所示，试问：AD与BE 之间的关系还存在吗？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。
B组瞄准中考1、（枣庄中考）如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于（）A、315°B、270°C、180°D、135°（第1题图）（第2题图）（第3题图）2、（潍坊中考）如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于点E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（）A、AB=BFB、AE=DEC、AD=CDD、∠ABE=∠DFE3、（贵阳中考）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（）A、3.5B、4.2C、5.8D、74、（贵阳中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于点F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A、3B、2C、3D、1（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）5、（威海中考）如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=90°，AB=AC，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A 、25°B 、65°C 、70°D 、75°6、（日照中考）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形1111D C B A ；在等腰直角三角形11B OA 中，作内接正方形2222D C B A ，在等腰三角形22B OA 中，作内接正方形3333D C B A ；…；依次作下去，则第n 个正方形n n n n D C B A 的边长是（ ）A 、131-nB 、n 31C 、131+nD 、231+n 7、（益阳中考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，AD 是地边上的高，E 为AC 中点，则DE ＝8、（内江中考）下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有 个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有 个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有 个。
（第8题图）9、（珠海中考）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，AM 是△ABC 外角∠CAE 的平分线。
（1）用尺规作图的方法，作∠ADC 的平分线DN 。
（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN 与AM 交于点F ，判断△ADF 的形状（只写结果）10、（朝阳中考）如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且CD=CE ，连结DE 。
（1）线段BE 与AD 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图2，当△CDE 绕点C 顺时针旋转一定角度α后，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由。
11、（杭州中考）已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，点M 为CE的中点。
（1）如图1，当点D，E分别在AC，AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形；（2）如图2，将图中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时问题（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明。
12、（河北中考）如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC，△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP。
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ，你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
C 组 冲击金牌1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，若∠B 与∠C 互余，则MN 与BC －AD 的关系是（ ）A 、2MN ＜BC －ADB 、2MN ＞BC －ADC 、2MN ＝BC －AD D 、MN ＝2（BC －AD ）2、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D ，E 分别在AC ，BC 边上运动，且保持AD=CE ，连结DE ，DF ，EF ，在此运动变化过程中，有下列五个结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形；③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8，其中正确的结论是 3、如图所示的△ABC 是电子跳蚤游戏盘，AB=AC=BC=6，如果跳蚤开始时在BC 边的0P 处，20=BP ，跳蚤第一步从0P 跳到AC 边的1P （第1次落点）处，且01CP CP =；第二步从1P 跳到AB 边的2P （第2次落点）处，且12AP AP =；第三步从2P 跳到BC 边的3P （第3次落点）处，且23BP BP =；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为n P （n 为正整数），则点2009P 与点2010P 之间的距离为 。