专题一 三角恒等变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A.4 2B.30C.29D.2 5解析 因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35. 于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32.所以AB ＝4 2. 答案 A2.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝________.解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝2，∴sin α＝2 cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝55.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(cos α＋sin α)＝31010.答案 310103.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB，即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25. 由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5.4.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值. 解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665. 考 点 整 合1.三角函数公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)辅助角公式：a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tan φ＝b a.2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理在△ABC中，asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC的外接圆半径)；变形：a＝2R sin A，sin A＝a2R，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等. (2)余弦定理在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A；变形：b2＋c2－a2＝2bc cos A，cos A＝b2＋c2－a22bc.(3)三角形面积公式S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B.热点一三角恒等变换及应用【例1】(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值.解(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝9 25，因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－7 25.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－5 5，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝25 5，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.探究提高 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值. 2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角.(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.【训练1】 (1)(2018·广西三市联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4等于( ) A.13 B.－13C.3D.－3 (2)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________.解析 (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ， 又x ∈(0，π)，则tan x ＝2， 故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.(2)因为cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π， 所以sin(2α－β)＝5314. 因为sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝17.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12.因为π4<α＋β<3π4，所以α＋β＝π3.答案 (1)A (2)π3热点二 正弦定理与余弦定理考法1 利用正(余)弦定理进行边角计算【例2－1】 (2018·潍坊一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋2c )cos B ＋b cos A ＝0. (1)求B ；(2)若b ＝3，△ABC 的周长为3＋23，求△ABC 的面积. 解 (1)由已知及正弦定理得(sin A ＋2sin C )cos B ＋sin B cos A ＝0， (sin A cos B ＋sin B cos A )＋2sin C cos B ＝0， sin(A ＋B )＋2sin C cos B ＝0，又sin(A ＋B )＝sin C ，且C ∈(0，π)，sin C ≠0， ∴cos B ＝－12，∵0<B <π，∴B ＝23π.(2)由余弦定理，得9＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∴a 2＋c 2＋ac ＝9，则(a ＋c )2－ac ＝9. ∵a ＋b ＋c ＝3＋23，∴a ＋c ＝23， ∴ac ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×32＝334.【迁移探究1】 若本题第(2)问条件变为“若b ＝3，S △ABC ＝334”，试求a ＋c 的值. 解 由S △ABC ＝12ac ·sin B ＝334，∴12ac ·32＝334，则ac ＝3. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－ac ， 所以(a ＋c )2＝b 2＋ac ＝9＋3＝12，故a ＋c ＝2 3.【迁移探究2】 在第(2)问中，保留条件b ＝3，删去“条件△ABC 的周长为3＋23”，试求△ABC 面积的最大值.解 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，则9＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，所以ac ≤9(当且仅当a ＝c ＝3时，取等号)， 故S △ABC ＝12ac sin B ≤12×9sin 2π3＝934，所以△ABC 面积的最大值为934.探究提高 1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.【训练2】 (2017·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517. (2)由cos B ＝1517及B 为三角形一内角，得sin B ＝817， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.考法2 应用正、余弦定理解决实际问题【例2－2】(2018·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为()A.210(6＋2)米B.1406米C.2102米D.20(6－2)米解析由题意，设AC＝x米，则BC＝(x－40)米，在△ABC内，由余弦定理：BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420(米).在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，由正弦定理：CHsin∠CAH ＝ACsin∠AHC.可得CH＝AC·sin∠CAHsin∠AHC＝1406(米).答案 B探究提高 1.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.2.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.【训练3】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.解析由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°， 解得BC ＝3002(m).在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m). 答案 100 6热点三 与解三角形有关的创新交汇问题【例3】 (2018·郑州质检)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R.若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA →·BC →的值. 解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.因为f (x )的最小正周期为π，所以T ＝2π2|ω|＝π. 又ω＞0，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . 因为f (B )＝－2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，由于0<B <π，解得B ＝2π3. 因为BC ＝3，即a ＝3，又sin B ＝3sin A ， 所以b ＝3a ，故b ＝3.由正弦定理，有3sin A＝3sin2π3，解得sin A ＝12. 由于0＜A ＜π3，解得A ＝π6.所以C ＝π6，所以c ＝a ＝ 3.所以BA →·BC →＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32.探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化. 2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.【训练4】 已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R). (1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝17，求△ABC 中线AD 的长. 解 (1)f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∴T ＝2π2＝π.∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵在△ABC 中f (A )＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3.又cos B ＝17，∴sin B ＝437，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314，在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝a sin A ，得55314＝a32，∴a ＝7，∴BD ＝72，在△ABD 中，由余弦定理得，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝52＋⎝⎛⎭⎪⎫722－2×5×72×17＝1294，∴AD ＝1292.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法. 2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S ＝12ab sin C 来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.一、选择题1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89B.79C.－79D.－89解析 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79. 答案 B2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.34πB.π3C.π4D.π6 解析 由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－2b 2（1－sin A ）2b 2＝sin A .在△ABC 中，A ＝π4.答案 C3.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析 因为S △ABC ＝12ab sin C ，所以a 2＋b 2－c 24＝12ab sin C .由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，得2ab cos C ＝2ab sin C ，即cos C ＝sin C .所以在△ABC 中，C ＝π4. 答案 C4.(2018·合肥质检)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A.4π B.8π C.9π D.36π解析 由题意及正弦定理得2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2R sin(A ＋B )＝2(R 为△ABC 的外接圆半径).即2R sin C ＝2.又cos C ＝223及C ∈(0，π)，知sin C ＝13. ∴2R ＝2sin C＝6，R ＝3.故△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝9π. 答案 C5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A.a ＝2bB.b ＝2aC.A ＝2BD.B ＝2A解析 等式右边＝2sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B .等式左边＝2sin B cos C ＋sin B ，则2sin B cos C ＋sin B ＝sin A cos C ＋sin B ，因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0.所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理，得a ＝2b .答案 A二、填空题6.(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.解析 ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1，①cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0，②①＋②，得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，∴sin(α＋β)＝－12. 答案 －127.(2018·东北三省四校模拟)已知角α的终边经过点P (4a ，3a )(a <0)，则25sin α－7tan 2α的值为________.解析 由题意知tan α＝3a 4a ＝34，sin α＝3a 5|a |＝－35.∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×341－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝247， ∴25sin α－7tan 2α＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－7×247＝－39. 答案 －398.(2018·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________.解析 由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sinC ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝82bc ＝32，所以bc ＝833.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.答案 233三、解答题9.(2018·济南二模)在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，AB ＝23，AM→＝MC →. (1)求BM 的长；(2)设D 是平面ABC 内一动点，且满足∠BDM ＝2π3，求BD ＋12MD 的取值范围.解 (1)在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ， 代入数据，得cos C ＝－12.∵AM →＝MC →，∴CM ＝MA ＝12AC ＝1.在△CBM 中，由余弦定理知：BM 2＝CM 2＋CB 2－2CM ·CB ·cos C ＝7，所以BM ＝7.(2)设∠MBD ＝θ，则∠DMB ＝π3－θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3. 在△BDM 中，由正弦定理知：BD sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝MD sin θ＝BM sin 2π3＝273. ∴BD ＝273sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，MD ＝273sin θ， ∴BD ＋12MD ＝273sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋73sin θ ＝73(3cos θ－sin θ＋sin θ)＝7cos θ， 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 故BD ＋12MD 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，7. 10.(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值.解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6， 得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6， 可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37. 因为a <c ，故cos A ＝27. 因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437， cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314. 11.(2018·湖南六校联考)已知函数f (x )＝3sin(2 018π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x －cos 2x ＋1. (1)求函数f (x )的递增区间；(2)若△ABC 的角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，f (A )＝32，AD ＝2BD ＝2，求cos C .解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋1＝32sin 2x －12(1＋cos 2x )＋1＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .所以递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ). (2)f (A )＝32⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1， 得到2A －π6＝2k π＋π2⇒A ＝k π＋π3，k ∈Z ，由0<A <π得到A ＝π3，所以∠BAD ＝π6.由正弦定理得BD sin ∠BAD＝AD sin B ⇒sin B ＝22，B ＝π4或B ＝3π4(舍去)，π3sin π4－cosπ3cosπ4＝6－24.所以cos C＝－cos(A＋B)＝sin。