专题一 三角恒等变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形

高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.

真 题 感 悟

1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝5

5，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )

A.4 2

B.30

C.29

D.2 5

解析 因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×

⎝ ⎛⎭

⎪⎫552

－1＝－3

5. 于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×

⎝ ⎛⎭⎪⎫

－35＝32.所以AB ＝4 2. 答案 A

2.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫α－π4 ＝________.

解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫

0，π2，且tan α＝2，∴sin α＝2 cos α，

又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝5

5

.

所以cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α－π4＝22(cos α＋sin α)＝31010.

答案 310

10

3.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.

(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .

解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得

BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB

，即5sin 45°＝2

sin ∠ADB ，

所以sin ∠ADB ＝

25

. 由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝

1－

225＝235

. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝2

5

. 在△BCD 中，由余弦定理得

BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×2

5

＝25. 所以BC ＝5.

4.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3

5，－45.

(1)求sin(α＋π)的值；

(2)若角β满足sin(α＋β)＝

5

13

，求cos β的值. 解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－3

5，－45，

得sin α＝－4

5

，

所以sin(α＋π)＝－sin α＝4

5

.

(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3

5，－45，得cos α＝－35

，

由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±12

13.

由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－

5665或cos β＝1665

. 考 点 整 合

1.三角函数公式

(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝

tan α±tan β

1∓tan αtan β

.

(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

(3)辅助角公式：a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tan φ＝b a.

2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理

在△ABC中，

a

sin A＝

b

sin B＝

c

sin C＝2R(R为△ABC的外接圆半径)；

变形：a＝2R sin A，sin A＝

a

2R，

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等. (2)余弦定理

在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A；

变形：b2＋c2－a2＝2bc cos A，cos A＝b2＋c2－a2

2bc.

(3)三角形面积公式

S△ABC＝1

2ab sin C＝

1

2bc sin A＝

1

2ac sin B.

热点一三角恒等变换及应用

【例1】(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝4

3，cos(α＋β)＝－

5

5.

(1)求cos 2α的值；

(2)求tan(α－β)的值.

解(1)因为tan α＝4

3，tan α＝

sin α

cos α，

所以sin α＝4

3cos α.

因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝9 25，

因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－7 25.

(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).

又因为cos(α＋β)＝－

5 5，

所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝25 5，