高空跳伞动力学分析

2018年9月

“一条龙”和并联式的审批服务。

让工程项目建设程序监管平台成为城建建设管理的业务工作平台,解放人力,减少与企业、人员的接触,提高工作效率,促进廉政建设,打造国际化营商环境。

3.5诚信管理构建信用惩戒大格局

国务院颁发的《关于建立完善守信联合激励和失信联合惩戒制度加快推进社会诚信建设的指导意见》,提出要加快推进社会信用体系建设,促进市场主体依法诚信经营,维护市场正常秩序,营造诚信社会环境。

建筑市场诚信评价管理平台,通过其它各个业务办理环节以及日常的现场监督管理,对企业、人员的良好行为和不良行为进行采集记录,分企业类别按照全市统一的评分内容、统一的评分标准对建筑业企业、工程监理企业、勘察设计企业、招标代理机构、造价咨询企业、质量检测机构等进行诚信评价。评价结果进行网上公布,加强诚信评价结果的运用,提升政府的信息公开形象,让公众对企业进行查询与监督。将评价结果作为市场准入、招标投标、资质管理、工程担保、评先选优等的重要依据,构建“一处失信、处处受限”的信用惩戒大格局,让失信者寸步难行。

习近平总书记在党的十九大报告中指出,“必须坚持人民主体地位,坚持立党为公、执政为民,践行全心全意为人民服务的根本宗旨,把党的群众路线贯彻到治国理政全部活动之中,把人民对美好生活的向往作为奋斗目标”。我们要转变政府职能,建设服务型政府。借助沈阳市建设工程智慧监管与诚信管理平台,通过思路创新与模式创新,加强信息资源的整合及管理部门的信息共享与业务协同,实现管理方法多样化、管理手段高端化、管理过程精准化、管理水平高效化,依托智慧化技术打造城乡建设管理的新模式。

收稿日期：2018-8-10

高空跳伞动力学分析

张蔷（海淀实验中学高三（4）班，北京100089）

【摘要】本文讨论了高空跳伞高度与开伞高度，计算了不同空气阻力系数、迎风面积时的终端速度，推导了开伞前与开伞后至达到终端速度期间的速度、位移对时间的函数关系式，同时也计算了着地缓冲加速度，最后得到以下结论：一是同等条件下，空气阻力系数较小时跳伞者终端速度较大；二是着地后缓冲时间超过1s时，跳伞者比较安全；否则低于1s，跳伞者就存在生命危险。

【关键词】高空跳伞；动力学分析；终端速度；缓冲加速度；极限跳伞高度

【中图分类号】O313【文献标识码】A【文章编号】1006-4222（2018）09-0280-02

1引言

蹦极、过山车、高空跳伞等都是近年兴起的刺激性户外运动,其中高空跳伞不仅给运动者提供开伞前自由落体下落时耳旁呼呼风声带来的紧张恐惧感,中间还夹杂些许难以抑制的兴奋感,开伞后则让人产生心如止水的平静与释然。抛开这些刺激体验,深究其底层诸如动力学主要技术指标,揭示其底层动力学规律,无疑是一种更高层次的挑战。

2跳伞高度与开伞高度分析

据有关资料介绍[1],高空跳伞高度通常是3000~4500m,时速可达到200km/h,跳伞者将经历30~60s自由落体以及开伞后6~10min的伞下飞行。一般高空跳伞出舱高度为4500m以下,1000m左右开伞。

若跳伞者在3000m高度起跳,在1000m高度开伞。忽略空气阻力时,跳伞者开伞前作自由落体运动。利用位移速度公式,可算出其末速度为198.1m/s,折合713.13km/h,这与上文提到的高空跳伞时速可达200km/h有较大出入。再利用位移时间公式,算出从3000m降至1000m高度历时t=20.19s,这与上文提及的跳伞者历时30~60s自由落体有一定出入。原因在于不计空气阻力。下文将研究考虑阻力时跳伞者的受力与运动规律。

3终端速度讨论

在流体动力学中,当物体在流体中运动时受阻力作用,当所受阻力等于驱动力时,物体运动速度不再变化,此时其运动速度成为终端速度[3]。

因物体自由下落时所受浮力与自重、空气阻力相比小得多,因此下文研究自由落体力平衡条件时忽略浮力。

物体在近地球表面下落时所受合力F net=ma=mg-F D,其中a为加速度,m为物体质量,F D为空气阻力。

空气阻力F D的计算式为F D=0.5ρv2C d A,其中ρ为空气密度,近地球表面时取1.293kg/m3;ν为竖直运动速度;C d为空气阻力系数,C d=0.28-0.4;A为物体的迎风面积。

据力平衡条件,物体受力平衡时,合力为零,则有mg-0.5ρv2C d A=0。

由此推出不计浮力的终端速度v end计算式:

v end=[2mg/(ρAC d)]0.5(1)查文献[2]知,人以腹部朝地姿势从高空跳下时的终端速度为198km/h。为验证该描述,取一个标准人体数据,其身高1.70m,身宽0.46m,体重70kg。可算出他以腹部朝地姿势从高空跳下时迎风面积A=0.782m2。空气阻力系数C d取0.4,代入式(1),则得其终端速度为58.27m/s,折合209.77km/h。这与文献[2]描述的198km/h比较接近。

下面是商品化降落伞数据[3],即55kg20m2,60kg22m2,80kg 25m2。跳伞运动员正常体重m取70kg,利用线性插值算出他

所用降落伞面积A1=23.5m2。

C d取0.28时,可算出跳伞者不开伞、开伞时的终端速度分别为69.65、12.71m/s;C d取0.4时,跳伞者不开伞、开伞时的终端速度分别为58.27、10.63m/s。

可看出:同等条件下,C d较小时跳伞者终端速度较大;C d 相同时,不开伞时终端速度较大,而开伞时终端速度明显较小。4跳伞者下降速度与位移对时间的微分方程

求解

开伞时间大约3~5s。开伞过程中伞不断打开,迎风面积不

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断增大,解析描述这个过程比较复杂,为保守起见,将开伞过程用开伞前公式描述。

4.1跳伞者开伞前速度与位移对时间的函数关系式的确定

考虑空气阻力的高空跳伞者在竖直方向所受合力遵守牛顿第二定律。因加速度a是速度v对时间t的一阶导数,则上式可改写为:

mdv/dt=mg-ρAC dν2/2(2)

令ρAC d/(2m)=C1,则利用可分离变量法积分得:

1/[2(gC1)0.5]ln{[(g/C1)0.5+v]/[(g/C1)0.5-v]}=t+C2(3)利用初始条件时间t=0时,速度v=0,确定出C2=0。于是将式(3)恒等变换为

v=(g/C1)0.5{exp[2(gC1)0.5t]-1}/{exp[2(gC1)0.5t]+1}(4)因速度v是竖直方向位移x对时间t的一阶导数,则式(4)可整理为:

dx/dt=(g/C1)0.5{exp[2(gC1)0.5t]-1}/{exp[2(gC1)0.5t]+1}

利用Matlab积分函数int()求解积分式方法,将上式积分得:

x=ln{exp[2(gC1)0.5t]+1}/C1-ln{exp[2(gC1)0.5t]}/(2C1)+C3(5)

根据初始条件时间t=0时,竖直位移x=0,确定出C3=-ln2/ C1。将之代入式(5)则得:

x=ln{exp[2(gC1)0.5t]+1}/C1-ln{exp[2(gC1)0.5t]}/(2C1)-ln2/C1(6)取空气密度ρ=1.293kg/m3,腹部朝下姿态跳伞时普通人迎风面积A=0.782m2,空气阻力系数C d取0.28,普通人体重m= 70kg,则式(8)中C1=0.002。

若跳伞者从3000m高度起跳,在1000m高度开伞,则开伞前位移为2000m。取Cd=0.28,利用MATLAB中fzero解式(6)超越方程,反算出下落时间为33.636s。将之代入式(4),可算出降至1000m高度时瞬时速度为69.6386m/s;若跳伞者从4500m高度起跳,在1000m高度开伞,同样方法可算出下落时间为55.173s,降至1000m高度时瞬时速度为69.6493m/s,与第3点中算出的终端速度69.65m/s相吻合。

4.2开伞后至达到终端速度期间跳伞者速度与位移关系式的确定

式(4)、(6)为开伞前跳伞者速度、位移对时间关系式。下文研究开伞后至终端速度期间跳伞者速度、位移对时间的关系。达到终端速度后至落地期间,跳伞者作匀速直线运动。70kg专业跳伞运动员所用降落伞面积A1为23.5m2,C d保守地取0.28。

开伞后跳伞者动力学微分方程列入下式,与式(2)类似,区别是C1变为C1′,C1′=ρA1C d/(2m),其余参数不变。因跳伞者所受空气阻力大于自重,故作减速运动。

dv/(g-C1′v2)=dt(7)将式(7)两边进行定积分,则有:

v

v1∫dv g-C1′v2=t t1∫dt

式中v1为伞全开时的瞬时速度,C1′=0.060771,t1为伞全开时经历时间,则得:

ln{[v+(g/C1′)0.5]/[v-(g/C1′)0.5]}/[2(gC1′)0.5]-ln{[v1+(g/C1′)0.5]/ [v1-(g/C1′)0.5]}/[2(gC1′)0.5]=t-t1令ln{[v1+(g/C1′)0.5]/[v1-(g/C1′) 0.5]}/[2(gC1′)0.5]=C4,则上式经恒等变换为

v=dx/dt=(g/C1′)0.5{exp[2(gC1′)0.5(t-t1+C4)]+1}/{exp[2(gC1′)0.5 (t-t1+C4)]-1}(8)将上式进行定积分得:

x=ln{exp[2(gC1′)0.5(t-t1+C4)]-1}/C1′-ln{exp[2(gC1′)0.5(t-t1+ C4)]}/(2C1′)+C5(9)

保守地取开伞时间为5s,将开伞到全开这段运动按未开伞处理。则可算出从3000m高度跳下,1000m高度开伞,伞全开时瞬时速度v1=69.647m/s,位移x1=2348.22m,式(8)中C4= 0.2389,再利用边界条件t=t1时x=x1,算出C5=2364.533;同样方法可算出从4500m高度跳下,1000m高度开伞,伞全开时瞬时速度v1=69.649m/s,位移x1=3848.248m,式(8)中C4=0.2389,再利用边界条件t=t1时x=x1,算出C5=3864.562。

由式(8)可反算出:跳伞者从3000m起跳达到终端速度时所用时间t=43.9689s,再由式(9)算出跳伞者达到终端速度时的位移为2435.3m,此后匀速下降,到落地总历时88.3985s。同样方法可算出从4500m起跳达到终端速度时所用时间t= 65.5059s,再由式(9)算出跳伞者达到终端速度时的位移为3935.4m,到落地总历时109.9276s。

5着陆缓冲加速度计算

着地缓冲结束时速度取零,着地速度取开伞后的终端速度12.71m/s,可算出不同缓冲时间t=0.03、0.05、0.08、0.1、1s时缓冲加速度a=-423.5114、-254.1068、-158.8168、-127.0534、-12.7053m/s2;以重力加速度g为单位,则a=-43.1714、-25.9028、-16.1893、-12.9514、-1.2951,负号表明加速度方向与速度方向相反。

普通人在4~5g加速度下持续5~10s,经常会引起管状视,然后失去知觉。部分人在3g加速度环境下就会晕倒。由此看出:缓冲时间为1s时,跳伞者缓冲加速度为-1.2951g,比较安全。缓冲时间低于1s,如0.1s,则其缓冲加速度可达到-12.9514g,跳伞者就会出问题。因此跳伞者还需配备缓冲装置,提高安全裕度。

6结论

本文讨论了高空跳伞高度与开伞高度,计算了不同空气阻力系数、迎风面积时的终端速度,推导了开伞前、开伞后至达到终端速度期间跳伞者速度、位移对时间的关系式,同时也计算了着地缓冲加速度,于是得到以下结论:

(1)同等条件下,空气阻力系数较小时跳伞者终端速度较大。

(2)当空气阻力系数为0.28,开伞时间为5s,跳伞者体重为70kg,降落伞面积为23.5m2时,跳伞者终端速度为12.71m/s;他从3000m起跳至达到终端速度时历时43.9689s,下落高度为2435.3m;从4500m起跳达到终端速度时历时65.5059s,下落高度为3935.4m。

(3)缓冲时间为1s时,跳伞者缓冲加速度为-1.2951g,此时比较安全;若低于1s,则跳伞者存在生命危险。建议增加缓冲装置,提高安全裕度。

参考文献

[1]高空跳伞是怎样一种体验.

[2]终端速度.

[3]想知道能保障人安全的降落伞做小面积大小.

收稿日期：2018-8-9

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