江西省南昌三中2014届下学期高三年级第五次考试数学试卷(理科,有答案)

江西省南昌三中2014届下学期高三年级第五次考试数学试卷（理科） 有答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.设全集U 是实数集R ，M ＝{x|x 2＞4}，N ＝{x|1＜x ＜3}，则图中阴影部分表示的集合是 ( )(A){x|－2≤x<1} (B){x|1<x≤2} (C){x|－2≤x≤2} (D){x|x<2} 2. 函数y ＝1log 0.54x －3的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞)3. 若i 为虚数单位，已知a ＋b i ＝2＋i 1－i(a ，b ∈R )，则点(a ，b )与圆x 2＋y 2＝2的关系为( )A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定4. 已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|(其中O 为坐标原点)，则实数a 等于( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 65．平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，满足(AB BC)(AD CD)0－－＝，则三角形ABC 是( )(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等边三角形 6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ， x ≤2000x －102， x >2000，则f [f (2014)]＝________.(A)0 (B) 1 (C) -1 (D)27. 一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m)，则该棱锥的体积是(单位：m 3)．( )A ．4＋2 6B ．4＋ 6 C.23 D.438. 已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin2x ＝( )A ．－195 B.195 C.113 D ．－1139. 函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且f (x ＋1)为奇函数，当x >1时，f (x )＝2x 2－12x ＋16，则直线y ＝2与函数f (x )图象的所有交点的横坐标之和是( )A ．1B ．2C ．4D ．510. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，M ，N 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM 、PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.33第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上) 11. 已知函数f (x )＝ln(1＋x )－ax 的图象在x ＝1处的切线与直线x ＋2y －1＝0平行，则实数a 的值为________．12函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，则正数ω的值为________．13. 若直线ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则1a ＋4b的最小值为________．．14. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E 为AA 1的中点，在对角面BB 1D 1D 上取一点M ，使AM ＋ME 最小，其最小值为________．15. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A (2,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC →·BC→＝0，|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|，则其焦距为________．三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分) 已知{a n }是首项为a 1、公比q (q ≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4，设b n ＝q ＋S n .(1)求q 的值；(2)若数列{b n }是等比数列，求出a 1的值；17.(12分) 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a cos C ＋12c ＝b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．18.(12分) 如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，其中BC//AD ，90,3,BAD AD BC O ∠==是AD 上一点. （I ）若AD=3OD ，求证：CD//平面PBO ；（II ）若1PD AB BC ===，求二面角C-PD-A 的余弦值.19.(12分) 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数()f x 与时刻x （时）的关系为()[]222,0,2413x f x a a x x =-++∈+，其中a 是与气象有关的参数，且1[0,]2a ∈，若用每天()f x 的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作()M a ．（1）令21xt x =+，[]0,24x ∈，求t 的取值范围； （2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？20.(13分) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A ，B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|PA →－PB →|<253时，求实数t 的取值范围．21.(14分) 已知函数2()(25)5ln ()f x ax a x x a R =-++∈. (Ⅰ)若曲线()y f x =在3x =和5x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间； (Ⅲ)设25()-2g x x x =，若对任意15(0,]2x ∈，均存在25(0,]2x ∈，使得12()()f x g x <， 求a 的取值范围.高三数学（理）答案一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题5分,共25分） 11．______1_______________ 12．________1_____________ 13．_______16______________14．________32a ___ __________15．________463____________三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(12分)解： (1)由题意知5S 2＝4S 4，S 2＝a 11－q 21－q ，S 4＝a 11－q 41－q，∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，又q >0，∴q ＝12.(2)∵S n ＝a 11－q n 1－q ＝2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，于是b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，若{b n }是等比数列，则12＋2a 1＝0，∴a 1＝－14.17.(12分)解(1)由a cos C ＋12c ＝b 得，sin A cos C ＋12sin C ＝sin B ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，∴12sin C ＝cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由正弦定理得：b ＝a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝23sin C l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )＝1＋23(sin B ＋sin(A ＋B ))＝1＋2⎝⎛⎭⎪⎫32sin B ＋12cos B ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6∵A ＝π3，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.故△ABC 的周长l 的取值范围是(2,3]． 18.(12分) (1)略19.(12分)解：（1）当0x =时，t ＝0； 当024x <≤时，12x x+≥（当1x =时取等号）， ∴2110,112x t x x x⎛⎤==∈ ⎥+⎝⎦+，即t 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……4分 （2）当10,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，记()223g t t a a =-++则()23,0321,32t a t a g t t a a t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪++<≤⎪⎩…6分∵()g t 在[]0,a 上单调递减，在1,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，且()()2171103,,0232624g a g a g g a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故()()1171,0,024********,0,34242g a a a M a a a g a ⎧⎛⎫⎧≤≤+≤≤ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎨⎪⎪+<≤<≤⎪⎪⎩⎩. ……………………12分 ∴当且仅当49a ≤时，()2M a ≤. 故当409a ≤≤时不超标，当4192a <≤时超标． ……………………14 20.(13分)解： (1)由题意知：e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2.又∵圆x 2＋y 2＝b 2与直线x －y ＋2＝0相切，∴b ＝1，∴a 2＝2， 故所求椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则其方程为：y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，x 22＋y 2＝1，消去y 得，(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，∴k 2<12. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，∴x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k2.∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t 1＋2k 2，y ＝y 1＋y 2t ＝1t[k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4kt 1＋2k 2. ∵点P 在椭圆上，∴8k 22t 21＋2k 22＋2－4k 2t 21＋2k 22＝2，∴16k 2＝t 2(1＋2t 2)．∵|PA →－PB →|<253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209，即(1＋k 2)[64k41＋2k 22－4·8k 2－21＋2k 2]<209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，解得：k 2>14，∴14<k 2<12. 又16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k2，∴83<t 2<4，∴－2<t <－263或263<t <2. 故实数t 的取值范围是(－2，－263)∪(263，2)．21.(14分)解：5()2(25)(0)f x ax a x x '=-++> (Ⅰ）(3)(5)f f ''=，解得16a =. (Ⅱ）(1)(25)()ax x f x x--'=(0)x >.①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间5(0,)2上，()0f x '>；在区间5(,)2+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是5(0,)2，单调递减区间是5(,)2+∞. ②当205a <<时，152a >， 在区间5(0,)2和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间51(,)2a 上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是5(0,)2和1(,)a+∞，单调递减区间是51(,)2a .③当25a =时，254()2()5x f x x-'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ④当25a >时，1502a <<， 在区间1(0,)a 和5(,)2+∞上，()0f x '>；在区间15(,)2a 上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和5(,)2+∞，单调递减区间是15(,)2a .(Ⅲ）由已知，在5(0,]2上有max max ()()f x g x <. 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，①当25a ≤时，()f x 在5(0,]2上单调递增， 故max 52555255()()(25)5ln 55ln 242242f x f a a a ==-++=--+， 所以，25555ln 042a --+<，解得45(ln 1)52a >-，故452(ln 1)525a -<≤.②当25a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在15(,]2a 上单调递减， 故max 11111()()55ln 5(ln 1)f x f a a a a a==--+=-+-. 由25a >可知15151ln ln 1ln 1022e a a a<<∴<<∴-<, 所以25a >，max ()0f x <， 综上所述， a 的取值范围为454(ln ,)525-+∞.。