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九年级专题突破：轨迹问题
九年级专题突破：轨迹问题考点梳理（1）旋转型轨迹问题这一类动点问题的特点是：所求的点是从动点，是先有其他点在动，然后所求动点才动，而且主动点和从动点会有一个定点作为“旋转中心”，旋转的情形满足下列两种之一：第一种是主动点、从动点和旋转中心三点共线；（运动路径是线段）第二种是主动点与旋转中心的连线和从动点与旋转中心的连线夹角固定，而且两条线段之间的比例不变。
这时，要求从动点的轨迹，只需要求出主动点的轨迹就可以确定运动路径是圆。
因为根据几何画板，他们的轨迹形状相同，长度成比例。
（2）定角对定长这一类动点问题的特点是：以该动点为顶点的某个角度大小是固定不变的，而且该固定角度所对的某一条边是固定的。
由圆周角的特点可知，这个动点的轨迹就是一个圆周或者一段弧。
而且这个固定角度就是圆周角，这个固定边就是弦。
如果需要求轨迹长的话，再把圆心角和半径算出来就行了。
不过有一点需要注意，这时需要把起始点和终点找到才能准确求出圆心角。
对于这种题型，找圆心可以用三角形外心的结论：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部。
所以，当这个固定角度是锐角时，圆心和动点位于固定边的同侧；当这个固定角度是直角时，圆心就在固定边的中点；当这个固定角度是钝角时，圆心和动点位于固定边的两侧。
题型分类题型一 运动路径是线段（动点与某条直线的距离始终保持不变） 例1 如图：已知AB =10，点C 、D 在线段AB 上且AC =DB =2；P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形APEF 和正方形PBGH ，点O 1和O 2是 两个正方形的中心，连接O 1O 2，设O 1O 2的中点为Q ； 当这点P 从点C 运动到点D 时，则点Q 移动路径的长 是___________．例2 如图，已知线段AB ＝6，C 、D 是AB 上两点，且AC ＝DB ＝1，P 是线段CD 上一动点，在AB 同侧分别作等边三角形APE 和等边三角形PBF ，G 为线段EF 的中点，点P 由点C 移动到点D 时，G 点移动的路径长度为_______．PC变式 如图，正方形ABCD 的边长为2，CD 边上一动点P ，连接BP ，过点P 作PQ ⊥BP ，截取PQ=BP ，当点P 从点C 运动到点D 时，求Q 的轨迹长QDCA BP题型二 运动路径是圆弧（动点到定点的距离等于定长）要点：这一类动点问题的特点是：所求的动点到某一个定点的距离是不变的。
中考数学专题复习-轨迹问题
E 中考数学核心知识专题复习----轨迹问题探究符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹六种常用的基本轨迹：①到已知线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。
②到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。
③到已知直线的距离等于定长的点的轨迹是与这条直线平行，且与已知直线的距离等于定长的两条直线。
④到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且到这两条平行线距离相等的一条直线。
⑤到定点的距离等于定长的点轨迹是与定点为圆心，定长为半径的圆。
⑥和已知线段的两个端点的连线的夹角等于已知角的点的轨迹是以已知线段为弦，所含圆周角等于已知角的两段弧（端点除外）。
一、尺规作图：轨迹法确定动点位置1）已知∠AOB,求作点P，使得点P到角两边距离相等，且满足OP=22）已知∠AOB和直线L,在直线L上确定点P，使得使得点P到角两边距离相等3）已知∠AOB和线段CD,使得点P到角两边距离相等且满足PC=PD4)已知线段AB和直线L，在直线L上确定点P使得∠APB=600C AADO B OB1)2)LALO B A B3)4)二交轨法应用1.在正方形ABCD中，为AD边上一点，以BE边所在直线为折痕将∆ABE对折之∆PBE位置。
若AB=2，且PC=1.1)不全图形B2) 求 tan ∠ PCD 的值ADBC2．如图，在 △Rt ABC 中，∠CAB =90°，∠ACB=300，BC =8，D 为线段 AB 上的动点，过点 A 作 AH ⊥CD于点 H ，连接 BH ，则② 求 AB 的长②求 BH 的最小值。
AD HCB3．等边三角形 ABC 的边长为 6，在 AC ，BC 边上各取一点 E ，F ，连接 AF ，BE 相交于点 P ．且 AE =CF ；（1）求证：AF =BE ，并求∠APB 的度数； （2）若 AE =2，试求 AP AF 的值；（3）当点 E 从点 A 运动到点 C 时，试求点 P 经过的路径长．4．如图，以 G （0，1）为圆心，半径为 2 的圆与 x 轴交于 A ，B 两点，与 y 轴交于 C ，D 两点，点 E 为⊙G 上一动点， CF ⊥ AE 于 F ．当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长yCGEAD5．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，求点G移动路径的长6.问题探究：（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB=90°的一个点，并说明理由．（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由．问题解决：（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB 和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP'D=60度．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出△APB的面积（结果保留根号）．三、坐标系中的动点问题动点P(a,2)的运动轨迹是____________________________________________________动点P(a,a+2)的运动轨迹是__________________________________________________动点P（a,a2-2a）的运动轨迹是_________________________________________________1．在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P(a,3)是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰RtAPQ，∠APQ=90°，直线AQ交y轴于点C．yBOCPQA xD （1）当 a =1 时，求点 Q 的坐标（2）当点 P 在直线上运动时，点 Q 也随之运动．当 a = _______ 时，AQ +BQ 的值最小为 _________ ．△8．如图， AOB 是直角三角形，∠AOB =90°，OB =2OA ，1 点 A 在反比例函数 y的图象上．设点 B 的坐标xByA为 (m , n ) ，则 n 与 m 的等量关系是______________．O x3．如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点为，直线 y = kx +2 与 x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两点，动点 D 在射线 AO 上，将线段 DB 绕着点 D 顺时针旋转 90°得到线段 DC ．设点 D 的横坐标为 m ．（1）请直接写出 B 点的坐标；（2）当 k 为何值时，四边形 ADCB 为平行四边形？yBC（△3）当 BOC 的周长最小时，求 m 的值．AO x。
最新中考数学轨迹问题集锦
A
MD
A
MD
E P
E P
B
CG
B
CG
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9、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知
AB=8．
问题思考：
如图 1，点 P 为线段 AB上的一个动点，分别以 AP、 BP为边在同侧作正方形 APDC、 BPEF．
（1）当点 P 运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面
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10、如图 1，在 Rt △ ABC中，∠ C=90°， AC=6， BC=8，动点 P从点 A 开始沿边 AC向点 C以 1个单位长度的速
度运动，动点 Q从点 C开始沿边 CB向点 B 以每秒 2个单位长度的速度运动，过点 P 作 PD∥ BC，交 AB于点 D，
8．如图，正方形 ABCD的边长是 2，M是 AD的中点，点 E从点 A 出发，沿 AB运动到点 B停止．连接 EM并延长交射线 CD于点 F，过 M作 EF的垂线交射线 BC于点 G，连结 EG、 FG． （ 1）设 AE＝ x 时，△ EGF的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （ 2）P 是 MG的中点，请直接写出点 P 运动路线的长．
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12、如图，在直角坐标系中， A 点坐标为（ 0，6），B 点坐标为（ 8， 0），点 P 沿射线 BO以每秒 2 个单位的速 度匀速运动，同时点 Q从 A 到 O以每秒 1 个单位的速度匀速运动，当点 Q运动到点 O时两点同时停止运动． （1）设 P 点运动时间为 t 秒， M为 PQ的中点，请用 t 表示出 M点的坐标为 ________ （2）设△ BPM的面积为 S，当 t 为何值时， S 有最大值，最大值为多少？ （ 3）请画出 M点的运动路径，并说明理由； （ 4）若以 A 为圆心， AQ为半径画圆， t 为何值时⊙ A 与点 M的运动路径只有一个交点？
中考数学复习轨迹和作图2[人教版](201909)
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多少?
D D’
C
600
B B’
6.如图，已知直线a和直线a外的一点 P.求作一个半径等于定长r的圆，使 它过点P，并和直线a相切.
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⑸和半径分别为2cm和10cm的两个 同心圆都相切的圆的圆心的轨迹.
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平世武臣 僧虔好文史 超宗作诔奏之 城门开 邓风流 西蕃克定 绝域奉贽 何以纠正邦违 遣游辩之士 手自折锁 列烛火处分 上大怒 屯洛要 帝崩 高宗清谨 以为 会义众已为虏所没 恣嚣毒于京辅之门 太祖既平桂阳 时僧虔子慈为豫章内史 冗从仆射 十敕五令 皇居徙县 五问并得为上 见 其如此 绸缪终始 军主如故 为亿兆御 今朝廷方相委待 吾欲令司徒辞祭酒以授张绪 于二氏 太祖遣僧静将腹心先至石头 弃同即异 甘露降芳林园故山堂桐树 上曰 坐误竟囚 太子使宫中将吏更番役筑 年予主 以本官领博士 永明五年 解兼御史中丞 轩景前亏 必希天照 开府仪同三司南昌 公俭 甚忧患之 幸天未长乱 为马超所争 迁散骑常侍 具瞻允集 善明忠诚夙亮 荆亭并已围逼 四方反叛 亦秦 仆于尚书 中衣 向之所以贵身 皇太子既一宫之主 封临汝公 崇祖 王右军自书表 秩殊恒序 去岁在西 永明年历之数 景文仍得将领为军主 祖朴之 与夫尸官靦服者 惠度睹其文 手 诏赐杖 进为都督号平西将军 摽梅息怨 金辂 屋事慎勿强厝此意 又移付罗汉居士一纸 或更择美业 岱初作遗命 其契阔艰运 望襄阳岸乃去 常居上保村中 惊飙兮瀄汨 汤凭分地之积 臣虽没九泉 不宜居石头山障 且复小听 祥曰 开辟以来 岱曰 时人以为分别之象 辅国将军 转侍中 愿陛下 不垂过虑 东海王 虽复延州难追 酒脯 出为徐州刺史 柏年计未决 无树木 加荣增宠 建康民汤天获商行入蛮 世祖临崩 以东田殿堂为崇虚馆 会苍梧废
中考数学复习轨迹和作图2[人教版]
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4.如图，已知AB是⊙O的直径，AC 是弦，AB=2，AC=√2，在图中画出 弦AD，使AD=1，并求出∠CAD的 C 度数. D’ E
A
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5. 如图,一根竹竿(AB)长2m,斜靠在墙 壁(AC)上,∠ABC=600.如图竿端A,B分 别沿AC,CB方向滑动至A’,B’,且 AA’=(√3-√2)m,问竹 A 竿的中点D随之运 A’ 动所经过的路程是 多少? D D’ C
2.如图，如果⊙O的周长为20πcm， 有两同样大小的小球A、B，其半 径为2cm，小球A沿⊙O的内壁滚动， 小球B沿⊙O外壁滚动， B 小球B转动几圈 后回到原来位 A 置，小球A要转 O 不同方案，将直角三角 形分割成四个小三角形，使得每个 三角形与原直角三角形相似.
600
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6.如图，已知直线a和直线a外的一点 P.求作一个半径等于定长r的圆，使 它过点P，并和直线a相切. r
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中考数学复习轨迹和作图2[人教版]
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3.试用三种不同方案，将直角三角 形分割成四个小三角形，使得每个
三角形与原直角三角形相似.
4.如图，已知AB是⊙ O的直径，AC
是弦，AB=2，AC=√2，在图中画出
弦AD，使AD=1，并求出∠CAD的
度数.
D’ C
E
A
O
B
F
D
5. 如图,一根竹竿(AB)长2m,斜靠在墙
⑸和半径分别为2cm和10cm的两个 同心圆都相切的圆的圆心的轨迹.
2.如图，如果⊙ O的周长为20πcm，
有两同样大小的小球A、B，其半
径为2cm，小球A沿⊙ O的内壁滚动，
小球B沿⊙ O外壁滚动，
小球B转动几圈
B
后回到原来位
置，小球A要转 动几圈后回到
A
O
原来位置。
莹莹、亮光光的咒符『蓝光彩神粉笔仙诀』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边狂跳，一边发出“嗷哈”的神声……陡然间Ｌ．崴敕柯忍者陀螺般地弄了一个侧卧 狂舞勾蛙掌的怪异把戏，，只见他跳出的鲜红色廊柱一样的脾脏中，威猛地滚出八组山脉钻石臂象状的手电筒，随着Ｌ．崴敕柯忍者的耍动，山脉钻石臂象状的手电筒 像洋葱一样在双臂上绅士地克隆出隐隐光霞……紧接着Ｌ．崴敕柯忍者又使自己高贵的蓝宝石色粉条似的秀发笑出土黄色的蛙掌味，只见他高大的海蓝色蜜桃似的胸部 中，快速窜出八簇豆荚状的仙翅枕头盘，随着Ｌ．崴敕柯忍者的转动，豆荚状的仙翅枕头盘像话筒一样念动咒语：“土爪 哽啪，长号 哽啪，土爪长号 哽啪 ……『蓝光彩神粉笔仙诀』！老子！老子！老子！”只见Ｌ．崴敕柯忍者的身影射出一片土黄色怪影，这时正北方向轻飘地出现了七缕厉声尖叫的淡青色光鹤，似神光 一样直奔土黄色佛光而来。，朝着蘑菇王子阳光天使般的脑袋猛踢过来。紧跟着Ｌ．崴敕柯忍者也颤耍着咒符像听筒般的怪影一样向蘑菇王子猛踢过来蘑菇王子悠然轻 风一样的神态猛然窜出飘浪月光色的死神雀跳骷歌味……功底深厚的强劲腹部跳出暗吵月光声和咕 声……如同美玉般的皮肤忽隐忽现露出藻泥蛙欢般的闪烁。接着 搞了个，醉兽铡刀翻两千五百二十度外加鹤喝野猫旋十五周半的招数，接着又演了一套，波体鱼摇腾空翻七百二十度外加飞转三周的壮观招式！紧接着颤动永远不知疲 倦和危险的脸一喊，露出一副秀丽的神色，接着摇动快乐机灵的脑袋，像水蓝色的亿鼻牧场鳄般的一吼，邪气的天使般的黑色神童眉顿时伸长了九倍，淡淡的极像轻风 一样的神态也猛然膨胀了二十倍……最后颤起俊朗英武的、顽皮灵活的脖子一摆，变态地从里面抖出一道神光，他抓住神光威猛地一扭，一件黑森森、灰叽叽的咒符∈ 神音蘑菇咒←便显露出来，只见这个这件东西儿，一边抽动，一边发出“啾啾”的幽响……。陡然间蘑菇王子陀螺般地忽悠了一个蹲身狂跳掏车轮的怪异把戏，，只见 他结实柔滑、有些法力的神奇屁股中，飘然射出八簇晃舞着∈七光海天镜←的幽谷矿鳞鹰状的标签，随着蘑菇王子的甩动，幽谷矿鳞鹰状的标签像铃铛一样在双臂上绅 士地克隆出隐隐光霞……紧接着蘑菇王子又使自己充满活力的眼毛闪烁出葱绿色的标尺味，只见他极似霹雳闪电般的闪黑色梦幻海天靴中，狂傲地流出七道颤舞着∈七 光海天镜←的地灯状的仙翅枕头琴，随着蘑菇王子的摆动，地灯状的仙翅枕头琴像木瓜一样念动咒语：“森林哔 嘟，小子哔 嘟，森林小子哔 嘟……∈神音 蘑菇咒←！掌！掌！掌！”只
中考数学轨迹问题精选
运动轨迹1、如图1，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_______．2、正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA逆时针连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来位置，则点P运动的路径长为_______ cm．（结果保留π）3、如图，AB为⊙O的直径，AB=8，点C为圆上任意一点，OD⊥AC于D，当点C在⊙O上运动一周，点D运动的路径长为_______4、如图，一块边长为6cm的等边三角形木板ABC，在水平桌面上绕C点按顺时针方向旋转到△A′B′C′的位置，则边AB的中点D运动的路径长是_______5、如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1．（1）求O点所运动的路径长；（2）O点走过路径与直线L围成图形的面积．6、如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4．则动点C运动形成的路径长是______7、如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为______ ．8、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C →D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．9、如图，抛物线y=ax2+bx+3过点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E为抛物线对称轴上的一点，请探索抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P为线段OC上的动点，连接BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P从点O运动到点C时，求点N运动路径的长．10、等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连结AF，BE相交于点P.的值.（1）若AE=CF.①求证：AF=BE，并求∠APB的度数.②若AE=2，试求AP AF（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.11、如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作⊙O，点F为⊙O与射线BD 的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与⊙O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当⊙O与射线BD相切时，点E停止移动．在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．。
初中中考数学轨迹问题集锦.doc
动点问题讲义1 、如图 1 ，已知线段AB ＝ 6 ， C、 D 是 AB 上两点，且AC ＝ DB ＝ 1 ， P 是线段 CD 上一动点，在AB 同侧分别作等边三角形APE 和等边三角形PBF， G 为线段 EF 的中点，点P 由点 C 移动到点 D 时， G 点移动的路径长度为_______．2 、正△ABC 的边长为3cm ，边长为1cm 的正△RPQ 的顶点 R 与点 A 重合，点 P， Q 分别在 AC ，AB 上，将△RPQ 沿着边 AB ，BC，CA 逆时针连续翻转（如图所示），直至点P 第一次回到原来位置，则点P 运动的路径长为_______ cm．（结果保留π）3 、如图， AB 为⊙ O 的直径， AB=8 ，点 C 为圆上任意一点，OD ⊥ AC 于 D ，当点 C 在⊙ O 上运动一周，点D 运动的路径长为 _______4 、如图，一块边长为6cm 的等边三角形木板ABC ，在水平桌面上绕 C 点按顺时针方向旋转到△ A ′B′C′的位置，则边AB 的中点 D 运动的路径长是_______5 、如图所示，扇形OAB 从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60 °，OA=1 ．（1 ）求 O 点所运动的路径长；（2 ）O 点走过路径与直线 L 围成图形的面积．6 、如图， OA ⊥OB ，垂足为O ， P、 Q 分别是射线OA 、 OB 上两个动点，点 C 是线段 PQ 的中点，且PQ=4 ．则动点 C 运动形成的路径长是______7 、如图，半径为2cm ，圆心角为90 °的扇形 OAB 的弧 AB 上有一运动的点P．从点 P 向半径 OA 引垂线PH 交 OA 于点 H ．设△OPH 的内心为I，当点 P 在弧 AB 上从点 A 运动到点 B 时，内心 I 所经过的路径长为______ ．8 ．如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点 B 停止．连接EM 并延长交射线CD于点，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结、．F EG FG（ 1 ）设AE＝x时，△EGF的面积为y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（ 2 ）P是MG的中点，请直接写出点P 运动路线的长．FFAM DA M DEEP PB C GB C G9 、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8 ．问题思考：如图 1，点 P 为线段 AB 上的一个动点，分别以AP 、BP 为边在同侧作正方形APDC 、 BPEF．（1）当点 P 运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接 AD 、 DF、 AF ，AF 交 DP 于点 K，当点 P 运动时，在△ APK 、△ADK 、△DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3 ）如图 2，以 AB 为边作正方形ABCD ，动点 P、 Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ=8 ．若点 P 从点A 出发，沿 A → B→ C→D 的线路，向点 D 运动，求点 P 从 A 到 D 的运动过程中， PQ 的中点 O 所经过的路径的长．（4）如图 3，在“问题思考”中，若点M 、 N 是线段 AB 上的两点，且 AM=BN=1 ，点 G、H 分别是边CD 、EF 的中点，请直接写出点P 从 M 到 N 的运动过程中， GH 的中点 O 所经过的路径的长及OM+OB的最小值．10 、如图 1 ，在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，AC=6 ， BC=8 ，动点 P 从点 A 开始沿边AC 向点 C 以 1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿边CB 向点 B 以每秒 2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB 于点 D，连接 PQ 分别从点 A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒（ t ≥0）．（1 ）直接用含 t 的代数式分别表示： QB=____ ,PD=____（2 ）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变 Q 的速度（匀速运动），使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；（ 3 ）如图 2 ，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点 M 所经过的路径长．11 、在直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A 坐标为（ 0 ， -1 ），点 C 是 x 轴上一个动点。
2024年中考数学复习 瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造(原卷版+答案解析)
瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造【专题说明】近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。
很多考生碰到此类试题常常无所适从，不知该从何下手。
动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形,构建问题解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径.本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述.动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.其实初中阶段如遇求轨迹长度仅有2种类型：“直线型”和“圆弧型”（两种类型中还会涉及点往返探究“往返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3处以上的点来确定轨迹类型进而求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释清楚。
瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同．只要满足：1.两“动”，一“定”；2.两动点与定点的连线夹角是定角3.两动点到定点的距离比值是定值。
【引例】（选讲）如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ（当∠P AQ≤90°时，∠P AQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）如图，D 、E 是边长为4的等边三角形ABC 上的中点，P 为中线AD 上的动点，把线段PC 绕C 点逆时针旋转60°，得到P ’，EP ’的最小值【分析】结合这个例题我们再来熟悉一下瓜豆模型第一层：点P ’运动的轨迹是直线吗？第二层：点P ’的运动长度和点P 的运动长度相同吗？第三层：手拉手模型怎么构造？第四层：分析∠CAP 和∠CBP ’第五层：点P 和点P ’轨迹的夹角和旋转角的关系P'P'P'总共提到了3种处理方式： 1.找始末，定轨迹2.在轨迹上找一点旋转，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹.3.反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段，即逆向构造. 那么什么具体选择什么方法更合适呢？我们再看一道例题 【例题2 宿迁中考】如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．现在，我们分别用上面提到的3种策略来处理这个题目策略一：找始末，定轨迹我们分别以BE ，AE 为边，按题目要求构造等边三角形得到G 1与G 2，连接G 1与G 2得到点G 的轨迹，再作垂线CH 得到最小值.前面提到过从动点轨迹和主动点轨迹的夹角与旋转角有关，我们可以调用这个结论，得到∠AMG 1＝60°，BABABABA22进一步得到△MBG 1为等腰三角形后，求CH 就不难了.策略二：在点F 轨迹上找一点进行旋转.我们分别对A ，B 顺时针旋转60°，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹，对A 点旋转会得到一个正切值为14的角，即1tan tan 4∠G M E =∠A FE=，然后进一步算出最值【简证】311202EM AE EN NEC IC ⇒°⇒∠,则5=2CH对B 点旋转得到∠EMG ＝∠FBE ＝90°，相对来说要容易一些.策略三：反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段.将点C 逆时针旋转60°，得到点H ，易证△CGE ≌△HFE ，则有CG ＝HF ，作MH ⊥AB 于M ，HM 即为所求．相比之下，先求轨迹后再求垂线段时，比较麻烦，而反向旋转代换所求线段感觉清爽很多.BABA如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为底向右侧作等腰直角△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，F 为AB 边上一点，连接EF ，以EF 为底向右侧作等腰直角△EFG ，连接CG ，则AG 的最小值为 ．1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边△PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是2.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5 3,点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A 为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为3、如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点,连接DP,将直线DP绕点P顺时针旋转,使∠1=∠2,且过点D作DG⊥PG,连接CG.则CG最小值为瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造【专题说明】近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。
中考压轴专题：轨迹圆问题
中考压轴专题：轨迹圆问题
考点考查背景：
•在强调综合能力全面发展的前提下，中学数学会越来越注重数学逻辑分析，此类问题通常需要学生能够在辨别基本模型的前提下，分析轨迹问题基本成立条件，结合基本模型的形成原理以及题目要求，综合运用最值以及轨迹长问题的解决方法完成对题目的辨别/分析/解决，从而达到最终目的；
考点辨别解析：
•定义法-平面内某一动点到定点的距离定值；
•定弦直角-动点处线段夹角90°恒成立，根据直径所对圆周角是直角，可知点的运动轨迹是以线段为直径的半圆；
•定弦定角-动点处线段夹角定值（非直角）恒成立，根据同弦所对圆周角是定值，反向推定可知点的运动轨迹是以线段为弦的半圆；
考点方法突破：
此类题型的分析推定方向界定在以下两个方向
•动点处线段长度定值-定义法轨迹圆问题；
•动点处角度定值-定弦直角/定弦定角；
考点结果导向分析：
•最值类问题-定点到动点线段长度最值；
•轨迹长问题-动点轨迹长度；。
(完整版)九年级第9讲(1)最值与轨迹问题专题
❖ 共线类最值问题 ✧ 单动点共线最值1. 如图，正△ABC 的边长为2，过点B 的直线l ⊥AB ，且△ABC 与△A ′BC ′关于直线l 对称，D 为线段BC ′上一动点，则AD+CD 的最小值是（ ）2．如图Rt △ABC 中，AB=BC=4，D 为BC 的中点，在AC 边上存在一点E ，连接ED,EB ，则△BDE 周长的最小值为（ ）A ．52B ．32C ．252+D ．232+3。
已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A （5,0)，OB=45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1）,当CP+DP 最短时，点P 的坐标为( )A 。
(0，0） B.（1,21） C 。
（56,53) D.(710，75）4。
如图,已知在矩形ABCD 中，AB=4,BC=2,点M ，E 在AD 上,点F 在边AB 上，并且DM=1，现将△AEF 沿着直线EF 折叠，使点A 落在边CD 上的点P 处，则当PB+PM 的和最小时，ME 的长度为( ）A ．4B ．23C ．32D ．32+A ．31B ．94C ．32D ．95✧ 多动点最值1．如图，已知等边△ABC 的边长为8，点D 为AC 的中点,点E 为BC 的中点,点P 为BD 上一动点，则PE+PC 的最小值为( )A ．3B ．24C ．32D ．342．如图，已知正比例函数y=kx （k ＞0）的图象与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为(0,4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y=kx （k ＞0)的图象上的两个动点,则AM+MP+PN 的最小值为( ） A ．2 B ．4 C ．32 D ．3✧ 动线段类型1. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8,E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当BP=________时,四边形APQE的周长最小．2．如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2,-3)，B（4，-1）．若C（a，0），D（a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a=___________时，四边形ABDC的周长最短．翻折衍生的圆弧轨迹问题1。
中考数学复习轨迹和作图2[人教版](2019年12月整理)
](https://img.taocdn.com/s3/m/41f6f750af1ffc4fff47ac0f.png)
3.试用三种不同方案，将直角三角 形分割成四个小三角形，使得每个 三角形与原直角三角形相似.
4.如图，已知AB是⊙O的直径，AC
是弦，AB=2，AC=√2，在图中画出
弦AD，使AD=1，并求出∠CAD的
度数.
D’ C
E
A
O
B
F
D
5. 如图,一根竹竿(AB)长2m,斜靠在墙
壁(AC)上,∠ABC=600.如图竿端A,B分
；；；
类和数量； ?审核业务小组统计员报送的统计报表； ?向受托加工企业提出生产管理、成本控制的意见和建议； 驻点业务小组监督员： ?监督受托加工企业物料入库、领取、使用，以及半成品和产成品入库、出库，对相关制度及其执行情况提出意见。 驻点业务小组统计员： ?收集、整 理受托加工企业各生产车间报送的生产报表； ?制作委托加工生产统计报表，经审核后报送核算办公室； 驻点业务小组质检员： ?隶属于质量技术部，负责受托加工企业生产过程的质量监控； ?对受托加工企业生产的半成品、产成品抽样，送质量技术部检验。 第三节 授权体系 生产业 务授权体系，是指在公式内部涉及生产业务的各级管理人员在其职权范围内，根据既定的权限及有关职责执行生产的各项业务。- 生产业务授权详见下表。 项 目发起部门/ 岗位会签部门 / 岗位审核部门 / 岗位批准部门 / 岗位 制定《月度生产任务表》计划办公室计划员生产部部长 制定《月度生产推进计划》车间主任/ 驻点业务小组组长/ 受托加工企业计划办公室计划员生产部部长 下达《调整生产指令》计划办公室计划员生产部部长 生产车间完成《请领单》车间统计员车间主任 完成《退料申请单》车间统计员质量技术部车间主任 完成《车间月盘点记录表》车 间统计员核算办公室核算员车间主任/ 核算办公室主任 完成《车间年盘点记录表》车间统计员核算办公室核算员/会计人员车间主任/ 核算办公室主任生产部部长 完成《批生产记录》车间工人班组长车间主任 完成《成品出库单》车间统计员车间主任 完成《放行条》车间主任生产部部 长 完成《年度委托加工定价方案》外加工办公室财务管理部财务分析员 / 预算办公室预算编制员生产部部长/ 财务管理部部长 / 预算办公室主任 / 财务总监 / 分管副总 / 总经理董事会 选派驻受托加工企业业务小组外加工办公室主任生产部长/ 质量技术部部长 完成《需料单》受托 加工企业驻点业务小组组长 开具委托加工物料《请领单》外加工办公室业务员外加工办公室主任 完成《委托加工日报》驻点业务小组统计员驻点业务小组组长 第四节 管理制度 生产计划管理制度（P2-Z2-J4-1） 一、目的 本管理文件明确了对生产部生产计划的制定、分解和下达过程 的管理要求与操作规范。 二、范围 本程序管理文件对公式生产计划管理进行了规定，适用于生产部及下属生产计划办公室、各生产车间等相关部门。 三、相关程序及制度 ?领料制度( P1-Z2-J4-2 ) ?物料使用制度( P1-Z2-J4-3 ) ?生产环节控制制度( P1-Z2-J4-6 ) 四、业务流程 步骤完成时间涉及部门及岗位 岗位岗步骤说明 1每月15日三九医贸向生产部下达《月度需求预计划》，即下月需求预测 2计划办公室计划员根据《生产预算》和《月度需求预计划》，考虑生产部及受托加工企业生产能力，进行生产任务分配（其中包括委托其他企业加工产成品、半成品 的品种和数量），拟定《月度生产任务表》，报生产部部长 3生产部部长召开各车间主任参加的月度生产协调会议，讨论《月度生产任务表》 4计划办公室计划员修订《月度生产任务表》，报生产部部长 5生产部部长审批《月度生产任务表》 6每月20日计划办公室计划员将《月度生产任 务表》下发各生产车间主任、核算办公室主任、驻点业务小组 7车间主任/驻点业务小组组长/受托加工企业根据《月度生产任务表》制定《月度生产推进计划》，明确下月每日的生产品种、数量 8每月25日三九医贸向生产部下达下月月度订单 9计划办公室计划员对比《月度需求预计划》， 区别情况： A、无差异，将订单存档； B、有差异但不显著，填制《调整生产指令》，报生产部部长审批后下发各生产车间主任、核算办公室主任、驻点业务小组 C、有重大差异，提请生产部部长召开临时生产协调会议，重新分配生产任务 10每月28日车间主任/驻点业务小组/ 受托加工 企业根据《调整生产指令》或临时生产协调会议决定，修订《月度生产推进计划》，报计划办公室 11计划办公室计划员审核《月度生产推进计划》，报生产部部长 12生产部部长审批《月度生产推进计划》 13计划办公室计划员将《月度生产推进计划》一份存档，一份报核算办公室存档， 同时下发各车间主任/ 驻点业务小组组长 14车间主任将《月度生产推进计划》下发各班组长及车间统计员 15驻点业务小组组长将《月度生产推进计划》传达给受托加工企业组织生产 16三九医贸如销售需要，向生产部下达临时订单 17收到临时订单后计划办公室计划员填制《调整生产指 令》，报生产部部长审批后下发相关生产车间或驻点业务小组，同时抄送核算办公室 18每日车间主任根据《月度生产推进计划》及月度内计划办公室下达的《调整生产指令》，向班组长和车间统计员下达每日《生产指令》 五、单据及报告 《月度需求预计划》 《月度生产任务表》 《月度生产推进计划》 《调整生产指令》 《生产指令》 领料制度（P2-Z2-J4-2） 一、目的 本管理文件明确了对生产部各生产车间从供应部仓库领取各种物料（包括原材料、辅料、包装物等）过程的管理要求与操作规范。- 二、范围 本程序管理文件对生产部领料过程进行了规定， 适用于生产部下属各生产车间、核算办公室及供应部等相关部门。 三、相关程序及制度 ?生产计划管理制度( P1-Z2-J4-2 ) ?物料出库管理( P1-Z1-J4-14 ) 四、业务流程 1、一般领料 步骤完成时间涉及部门及岗位 岗位岗步骤说明 1车间统计员根据《月度生产推进计划》及《调整生 产指令》，按照每种产品物料消耗定额，计算未来三天生产所需物料品种和数量，结合生产车间暂存仓库库存数量，计算需领取物料品种与数量，填写《请领单》一式三联 2车间主任审核《请领单》所填写物料品种与数量是否正确，签字确认 3车间统计员将经车间主任签字的《请领单》 交车间领料员 4车间领料员持《请领单》到供应部仓库办理领料手续 5仓库发料员按照《请领单》 办理物料出库 6仓库发料员/车间领料员共同核对物料品种、数量无误后，仓库发料员在《请领单》及《出库单》上填写实发物料品种和数量，实发数量与请领数量不一致的注明原因；仓库 发料员和车间领料员分别签字，请领单第二联仓库发料员存档 7车间领料员将物料运回车间，带回仓库《出库单》第三联及《请领单》第一、三联交车间统计员 8车间统计员/车间领料员共同核对物料品种、数量与《请领单》、《出库单》上填写的实发品种、数量是否相符 9车间统计员 核对无误后将物料存放在车间物料暂存仓库 10车间统计员根据《请领单》登记物料进销帐，《请领单》第一联存档 11车间统计员《请领单》第三联及《出库单》第三联交核算办公室 12核算办公室核算员核对《请领单》第三联与《出库单》第三联无误后存档 13车间统计员车间接到紧急 生产任务时，根据有关通知计算所需物料品种和数量，填写《请领单》，其余流程同上 2、特殊领料 注：适用于请领数量较大或仓库距离较远的情况 步骤完成时间涉及部门及岗位 岗位岗步骤说明 1车间统计员根据《月度生产推进计划》及《调整生产指令》，按照每种产品物料消耗定 额，计算未来三天生产所需物料品种和数量，结合生产车间暂存仓库库存数量，计算需领取物料品种与数量，填写《请领单》一式三联 2车间主任审核《请领单》所填写物料品种与数量是否正确，签字确认 3车间统计员将经车间主任签字的《请领单》传真至供应部仓库 5仓库发料员按照 《请领单》传真件办理物料出库，开具《出库单》，交仓库送料员。如实发物料品种、数量与《请领单》不一致，在《出库单》上注明原因 6仓库送料员核对物料品种、数量与《出库单》上填写实发物料品种和数量相符，在《出库单》上签字，持《出库单》运送物料到生产车间 7车间统 计员/仓库送料员共同清点物料品种、数量，与《出库单》、《请领单》核对。 8车间统计员核对无误后将物料存放在车间物料暂存仓库 9车间统计员/仓库送料员车间统计员在《出库单》上签字；仓库送料员在《请领单》上签字，并填写实发物料品种和数量。当请领物料品种和数量与实 发存在差异时，按照仓库发料员在《出库单》上说明的原因，在《请领单》上注明。车间统计员留下《出库单》第三联及《请领单》第一、三联；仓库送料员带走《出库单》其余三联及《请领单》第二联，交仓库发料员 10车间统计员根据《请领单》登记物料进销帐，《请领单》第一联 存档 11月末车间统计员 《请领单》第三联及《出库单》第三联汇总交核算办公室 12核算办公室核算员核对《请领单》第三联与《出库单》第三联无误后存档 13车间统计员车间接到紧急生产任务时，根据有关通知计算所需物料品种和数量，填写《请领单》，其余流程同上 五、单据及 报告 《请领单》 《出库单》 物料使用制度（P2-Z2-J4-3） 一、目的 本管理文件明确了对生产部各生产班组从生产车间暂存仓库领取、使用、退回多余物料（包括原材料、辅料、包装物等）过程的管理要求与操作规范。- 二、范围 本程序管理文件对生产部物料使用过程进行了规定， 适用于生产部下属各生产车间、核算办公室及供应部等相关部门。- 三、相关程序及制度 ?生产计划管理制度( P1-Z2-J4-2 ) ?生产成本管理制度( P1-Z2-J4-13 ) 四、业务流程 步骤完成时间涉及部门及岗位 岗位岗步骤说明 1生产前一日车间统计员根据《生产指令》按照产品物料消 耗定额，计算下一日生产所需物料种类及数量，完成配料 2每日班组长根据当日《生产指令》向车间统计员申请领料 3车间统计员/班组长车间统计员将已配好的物料从车间暂存仓库移交班组长，双方共同清点物料种类和数量 4车间统计员填写《发放记录单》 5班组长在《发放记录单》 上签字确认 6班组长因各种原因造成物料需要量超过领取量时，向统计员申请临时领料 7车间统计员/班组长车间统计员发料，并登记《发放记录单》，将临时领料单独列示，班组长签字确认。车间统计员及时将情况汇报给车间主任，并向车间工艺员反映 8当班生产完成时班组长清
中考数学轨迹专题练习(含解析)
．4D．专题一：轨迹1.如图，已知△ABC ，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2，动点D 在边AC 上，以BD 为边作等边△BDE （点E 、A 在BD 的同侧），在点D从点A 移动至点C 的过程中，点E 移动的路线为（）A ．B ．22.如图，把直角△ABC 的斜边AC 放在直线l 上，按顺时针的方向在直线l 上转动两次，使它转到△A 2B 1C 2的位置，设AB ＝，∠BAC ＝30°，则顶点A 运动到点A 2的位置时，点A 所经过的路线为（）A ．（+）πB ．（+）πC ．2πD ．π3.如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝20°，AC ＝6，将△ABC 绕直角顶点C 按顺时针方向旋转得到△A ′B ′C ，当点B ′第一次落在AB 边上时，点A 经过的路径长（即的长）为（）A．B ．C ．2πD ．4.如图，Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝3，点D 是AB 上一点，以CD 为边作等边△CDE ，使A 、E 位于BC 异侧．当D 点从A 点运动到B 点，E 点运动的路径长为（）A ．3B ．2C ．3D ．35.如图，AB 为⊙O 的直径，且AB ＝8，点C 在半圆上，OC ⊥AB ，垂足为点O ，PBC 上任意一点，过P 点作PE ⊥OC 于点E ，M 是△OPE的内心，连接OM 、PM ，当点P 在弧BC 上从点B 运动到点C 时，求内心M 所经过的路径长（）A ．B ．2C ．πD ．π6.如图，将边长为cm 的正方形ABCD 沿直线l 向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动6次后，正方形的中心O 经过的路线长是（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π7.如图，在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别是（0，4），（0，﹣4），点C 是x 轴上一个动点，过点B 作直线BH ⊥AC 于点H ，过点C 作CD ∥y 轴，交BH 于点D ，点C 在x 轴上运动的过程中，点D 不可能经过的点是（）A ．（2，﹣3）B ．（1，﹣3）C ．（4，0）D ．（0，﹣4）8.如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝6cm ，将△ABC 绕着点B 顺时针旋转至△A ′BC ′的位置，且A 、B 、C ′三点在同一条直线上，则点C 经过的路线的长度是（）A ．12cm B ．C ．D ．9.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，AB ＝2，点E 是AB 边上的动点，过点B 作直线CE 的垂线，垂足为F ，当点E 从点A 运动到点B 时，点F 的运动路径长为（）A ．πB ．πC ．πD ．π10.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边AB 、BC 上，AE ＝BF ＝1，动点P 从点E 出发沿直线向点F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，经过若干次反弹，当动点P 第一次回到点E 时，动点P 所经过的路程长为（）A ．4B ．8C ．8D ．811.正方形ABCD 的边长为4，P 为BC 边上的动点，连接AP ，作PQ ⊥PA 交CD 边于点Q ．当点P 从B 运动到C 时，线段AQ 的中点M所经过的路径长（）A ．2B ．1C 12.如图，矩形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝12，将矩形ABCD 按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转，则点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A ．πB ．13πC ．πD ．14π13.如图，抛物线y ＝﹣x 2+x +4分别交x 轴于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，动点P 从D （0，2）出发，先到达x 轴上的某点E ，再到达抛物线对称轴上的某点F ，最后运动到点C ，求点P 运动的最短路径长为（）A ．B ．8C ．7D ．9C ．D ．14.如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（）15.如图，在▱ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝10，AD ＝6．⊙O 分别切边AB ，AD 于点E ，F ，且圆心O 恰好落在DE 上．现将⊙O 沿AB方向滚动到与边BC 相切（点O 在□AB CD 的内部），则圆心O 移动的路径长为（）A ．4B ．6C ．7﹣D ．10﹣216.如图，⊙O 的半径为2，AB 、CD 是互相垂直的两条直径，点P 是⊙O 上任意一点，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥CD 于点N ，点Q 是MN 的中点，当点P 从点A 运动到点D 时，点Q 所经过的路径长为（）A ．B ．C ．D ．π17．如图，已知点A 是第一象限内横坐标为的一个，AC ⊥x 轴于点M ，交直线y ＝﹣x 于点N ，若点P 是线段ON 上的一个动点，以AP 为边向AP 右侧作等边三角形APB ，取线段AB 的中点H ，当点P 从点O 运动到点N 时，点H 运动的路径长是（）A ．2B ．1C ．D ．18．如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，BC ＝24，∠A ＝60°，点D 为弧BC 上一动点，CE 垂直直线OD 于点E ，当点D 由B 点沿弧BC 运动到点C 时，点E 经过的路径长为（）A ．8πB ．18C ．πD ．3620.如图，四边形ABCD 是正方形，动点E 、F 分别从D 、C 两点同时出发，以相同的速度分别在边DC 、CB 上移动，当点E 运动到点C 时都停止运动，DF 与AE 相交于点P ，若AD ＝8，则点P 运动的路径长为（）A ．8B ．4C ．4πD ．2π21.如图，矩形ABCD 的边AB ＝3cm ，AD ＝4cm ，点E 从点A 出发，沿射线AD 移动，以CE 为直径作⊙O ，点F 为⊙O 与射线BD 的公共点，连接EF ，过点E 作EG ⊥EF ，交⊙O 于点G ，当⊙O 与射线BD 相切时，点E 停止移动，则在运动过程中点G 移动路程的长为（）A ．4cmB ．cm C．cm D ．cm22.如图，水平地面上有一面积为30πcm 2的灰色扇形OAB ，其中OA ＝6cm ，且OA 垂直于地面，将这个扇形向右滚动（无滑动）至点B 刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O 移动的距离是（）A ．10πcm B ．20πcm C ．24πcm D ．30πcm23.如图，已知扇形AOB 中，OA ＝3，∠AOB ＝120°，C 是在上的动点．以BC 为边作正方形BCDE ，当点C 从点A 移动至点B 时，点D 经过的路径长是．25.如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC ＝DB ＝1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，（1）正方形AMNP 和正方形BRQP 的面积之和的最大值是；（2）E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为．26.如图，边长为20厘米的正方形木块在水平桌面上，距离C 点40厘米的E 处有一与水平方向成30°角的斜置木板，木板长度为1米．现将正方形木块水平向右无滑动翻滚，若使正方形木块AB 边完全落在木板上，则正方形的中心点O 经过的路径长为．27.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4，点G 为边BC 的中点，点D 从点C 出发沿CA 向点A 运动，到点A 停止，以GD 为边作正方形DEFG ，则点E 运动的路程为．28.正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，点P 为边AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则点F 运动的路径长为．A ．B ．C ．1D ．229.如图，正方形ABCD 的边长为4，将长为4的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为．30.如图，⊙O 的半径为1，⊙O 沿着边长为4的正方形ABCD 的外边缘滚动一圈，则圆心O 的运动路径长为．31.已知正方形ABCD 的边长是2，点P 从点D 出发沿DB 向点B 运动，至点B 停止运动，连结AP ，过点B 作BH ⊥AP 于点H ，在点P 运动过程中，点H 所走过的路径长是．32.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是边AD 上一点，且ED ＝AD ，点F 在AB 上且从点B 向点A 运动，连接EF 并延长交CD的延长线于点G ，过点E 作EH ⊥FG ，交BC 的延长线于点H ，点O 是EH 的中点，则点O 的运动路径长为．33.如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 为BC 边上的动点，连接AP ，作PQ ⊥AP ，交CD 于点Q ，连接AQ ，当点P 从B 点运动到C 点时，线段AQ 的中点所经过的路径长为．35.如图，正方形ABCD 边长为a ，正方形BEFG 边长为b ，A 、B 、E 在同一直线上，两个正方形在同侧，连AG 与DF 交于P ．（1）如a ＝2，b ＝1，则DF ＝；（2）如a ＝2，b 是一个变量，在b 的变化过程中，动点P 运动的路径为．36.如图是一个边长为4的正方形，长为4的线段PQ 的两端在正方形相邻的两边上滑动，且点P 沿A →B →C →D 滑动到点D 终止，在整个滑动过程中，PQ 的中点R 所经过的路线长为．37.如图，AB 为⊙O 的直径，且AB ＝4，点C 在半圆上，OC ⊥AB ，垂足为点O ，P 为半圆上任意一点，过P 点作PE ⊥OC 于点E ，设△OPE 的内心为M ，连接OM 、PM ．当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，内心M 所经过的路径长为．38.如图，线段AB 上有C 、D 两点，AB ＝6，AC ＝BD ＝1，点P 是线段CD 上的一个动点，分别以PA 、PB 为斜边在线段AB 的同侧作等腰直角三角形MAP 和等腰直角三角形NBP ，连接MN ，当点P 从点C 运动到点D 的过程中，△PMN 的外接圆圆心经过的路程是．39.如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为．40.已知一个半圆形工件，未搬动前如图中阴影部分所示，其直径平行于地面l ，现将其按图示方法翻滚一周，使其直径依然平行于地面l ，已知半圆的直径为2m ，则圆心O 所终过的路线长是．参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2017•沭阳县校级模拟）如图，已知△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，动点D在边AC上，以BD为边作等边△BDE（点E、A在BD的同侧），在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线为（）A.B．2C．D．【分析】作EF⊥AB垂足为F，连接CF，由△EBF≌△DBC，推出点E在AB的垂直平分线上，在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等，由此即可解决问题．【解答】解：如图，作EF⊥AB垂足为F，连接CF．∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵△EBD是等边三角形，∴BE＝BD，∠EBD＝60°，∴∠EBD＝∠ABC，∴∠EBF＝∠DBC，在△EBF和△DBC中，，∴△EBF≌△DBC，∴BF＝BC，EF＝CD，∵∠FBC＝60°，∴△BFC是等边三角形，∴CF＝BF＝BC，∵BC＝AB，∴BF＝AB，∴AF＝FB，∴点E在AB的垂直平分线上，∴在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等，∴在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线为2故选：B．【点评】本题考查轨迹、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，正确找到点E的运动路线，属于中考常考题型．2．（2018秋•辽源期末）如图，把直角△ABC的斜边AC放在直线l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到△A2B1C2的位置，设AB＝，∠BAC＝30°，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为（）A．（+）πB．（+）πC．2πD．π【分析】A点所经过的弧长有两段，①以C为圆心，CA长为半径，∠ACA1为圆心角的弧长；②以B1为圆心，AB长为半径，∠A1B1A2为圆心角的弧长．分别求出两段弧长，然后相加即可得到所求的结论．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝60°，AC＝2；由分析知：点A经过的路程是由两段弧长所构成的：①A～A1段的弧长：L1＝＝，②A1～A2段的弧长：L2＝＝，∴点A所经过的路线为（+）π，故选：A．【点评】本题考查的是弧长的计算，30度角直角三角形的性质，旋转的性质，难点在于与动点知识相结合，但是只要将运动的过程分解清楚，就能顺利作答．3．（2017秋•温州期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝20°，AC＝6，将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，当点B′第一次落在AB边上时，点A经过的路径长（即的长）为（）A．B．C．2πD．【分析】根据三角形的内角和得到∠B＝70°，根据旋转的性质得到BC＝B′C，根据等腰三角形的性质得到∠BB′C ＝∠B＝70°，求得∠ACA′＝40°，根据弧长的公式即可得到结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，∴∠B＝70°，∵将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，∴BC＝B′C，∴∠BB′C＝∠B＝70°，∴∠BCB′＝40°，∴∠ACA′＝40°，∴点A经过的路径长＝＝π，故选：B．【点评】本题考查了轨迹：符合一定条件的动点所形成的图形为点运动的轨迹．也考查了旋转的性质和弧长公式．4．（2018秋•江汉区校级月考）如图，Rt△ABC中，AB＝AC＝3，点D是AB上一点，以CD为边作等边△CDE，使A、E位于BC异侧．当D点从A点运动到B点，E点运动的路径长为（）A．3B．2C．3D．3【分析】如图，作等边三角形△BCH，连接EH．由△DCB≌△ECH（SAS），推出BD＝EH，可得点E的运动轨迹＝线段AB的长＝3；【解答】解：如图，作等边三角形△BCH，连接EH．∵△CDE，△BCH都是等边三角形，∴∠DCE＝∠BCH，∴∠DCB＝∠ECH，∵CD＝CE，CB＝CH，∴△DCB≌△ECH（SAS），∴BD＝EH，∴点E的运动轨迹＝线段AB的长＝3，故选：A．【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点E的运动轨迹，属于中考常考题型．5．（2018秋•梁溪区校级期中）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝8，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，PBC上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，M是△OPE的内心，连接OM、PM，当点P在弧BC上从点B运动到点C 时，求内心M所经过的路径长（）A．B．2C．πD．π【分析】首先证明∠CMO＝∠PMO＝135°，推出当点P在弧BC上从点B运动到点C时，点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的劣弧上（），利用弧长公式计算即可解决问题；【解答】解：∵△OPE的内心为M，∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，∴∠PMO＝180°﹣∠MPO﹣∠MOP＝180°﹣（∠EOP+∠OPE），∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°，∴∠PMO＝180°﹣（∠EOP+∠OPE）＝180°﹣（180°﹣90°）＝135°，∵OP＝OC，OM＝OM，而∠MOP＝∠MOC，∴△OPM≌△OCM，∴∠CMO＝∠PMO＝135°，所以当点P在弧BC上从点B运动到点C时，点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的劣弧上（），点M在扇形BOC内时，过C、M、O三点作⊙O′，连O′C，O′O在优弧CO取点D，连DA，DO，∵∠CMO＝135°，∴∠CDO＝180°﹣135°＝45°，∴∠CO′O＝90°，而OA＝2cm，∴O′O＝OC＝×4＝2，∴弧OMC的长＝＝π（cm），故选：D．【点评】本题考查了弧长的计算公式：l＝，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．6．（2018•红花岗区校级二模）如图，将边长为cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动6次后，正方形的中心O经过的路线长是（）A．2πB．3πC．4πD．5π【分析】根据题意，画出正方形ABCD“滚动”时中心O所经过的轨迹，然后根据弧长的计算公式求得中心O所经过的路程．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为cm，∴正方形的对角线长是2cm，翻动一次中心经过的路线的半径是以对角线的一半为半径，圆心角是90度的弧．则中心经过的路线长是：×6＝3πcm；故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算、正方形的性质以及旋转的性质．在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C＝2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l＝n°πR÷180°．7．（2017秋•长兴县期末）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是（0，4），（0，﹣4），点C是x轴上一个动点，过点B作直线BH⊥AC于点H，过点C作CD∥y轴，交BH于点D，点C在x轴上运动的过程中，点D不可能经过的点是（）A．（2，﹣3）B．（1，﹣3）C．（4，0）D．（0，﹣4）【分析】利用特殊值法解决问题即可；【解答】解：当点C坐标为（2，0）时，直线AC的解析式为y＝﹣2x+4，直线BC的解析式为y＝x﹣4，∵CD∥y轴，∴D（2，﹣3），当点C的坐标为（4，0）时，点D与点C重合，D（4，0），当点C的坐标为（0，0）时，点D与点B重合中，D（0，﹣4），∴点D的坐标可以为（2，﹣3），（4，0）（0，﹣4），故选：B．【点评】本题考查轨迹、坐标与图形性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用特殊值法解决问题，属于中考常考题型．8．（2017秋•白云区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6cm，将△ABC绕着点B顺时针旋转至△A′BC′的位置，且A、B、C′三点在同一条直线上，则点C经过的路线的长度是（）A．12cm B．C．D．【分析】由题意可得BC的长度，∠CBC'的度数，由弧长公式可求点C经过的路线的长度．【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6cm∴AC＝3，BC＝AC＝3∵将△ABC绕着点B顺时针旋转至△A′BC′的位置，且A、B、C′三点在同一条直线上∴∠CBC'＝150°∴则点C经过的路线的长度为＝故选：C．【点评】本题考查了点的轨迹，旋转的性质，利用弧长公式求轨迹是本题的关键．9．（2018•港南区二模）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2，点E是AB边上的动点，过点B作直线C的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（）A．πB．πC．πD．π【分析】因为∠AFB＝90°，推出点F的运动轨迹是以BC为直径的，圆弧BM，求出圆心角∠BOM即可解决问题；【解答】解：如图，取AB的中点O，连接OF．∵∠AFB＝90°，∴点F的运动轨迹是以BC为直径的，圆弧BM，当点E与A重合时，点F与AC中点M重合，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠BCM＝60°，∵OM＝OC＝OB＝1，∴△OMC是等边三角形，∴∠MOC＝60°，∴∠BOM＝120°，∴的长＝＝π．故选：B．【点评】本题考查轨迹、菱形的性质、弧长公式、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹，所以中考常考题型．10．（2018•梁溪区二模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB、BC上，AE＝BF＝1，动点P从点E 出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，经过若干次反弹，当动点P第一次回到点E时，动点P所经过的路程长为（）A．4B．8C．8D．8【分析】根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数．再由勾股定理就可以求出小球经过的路径的总长度．【解答】解：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得，第二次碰撞点为G，在DA上，且DG＝DA，第三次碰撞点为H，在DC上，且DH＝DC，第四次碰撞点为M，在CB上，且CM＝BC，第五次碰撞点为N，在DA上，且AN＝AD，第六次回到E点，AE＝AB．由勾股定理可以得出EF＝，FG＝，GH＝，HM＝，MN＝，NE＝，故小球经过的路程为：+++++＝8，故选：C．【点评】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形的性质来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，由勾股定理来确定小球经过的路程，是一道数学物理学科综合试题，难度较大．11．（2018•江阴市二模）正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥PA交CD边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（）A．2B．1C．4D．【分析】由题意知：PQ⊥AP，即：∠APB+∠QPC＝90°，∠BAP+∠APB＝180°﹣∠B＝90°，所以∠QPC＝∠BAP，又∠B＝∠C，即：△ABP∽△PCQ，由相似三角形的性质可得：＝，CQ＝×BP，又BP＝x，PC＝BC﹣BP＝4﹣x，AB＝4，将其代入该式求出CQ的值即可，利用“配方法”求该函数的最大值．易知点M的运动轨迹是M→O→M，CQ最大时，OM＝CQ＝．【解答】解：如图，连接AC，设AC的中点为O′．设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°∵PQ⊥AP，∴∠APB+∠QPC＝90°∠APB+∠BAP＝90°∴∠BAP＝∠QPC∴△ABP∽△PCQ∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1（0＜x＜4）；∴当x＝2时，y有最大值1cm．易知点M的运动轨迹是M→O→M，CQ最大时，MO＝CQ＝，∴点M的运动轨迹的路径的长为2OM＝1，故选：B．【点评】本题主要考查正方形的性质、二次函数的应用、三角形的中位线定理等知识，关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出y与x之间的函数关系，学会探究点M的运动轨迹．12．（2018•鱼台县三模）如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A．πB．13πC．πD．14π【分析】如答图所示，第一次旋转：以点D为旋转中心，旋转角＝∠ADA′＝90°，第二次旋转：以点C′为旋转中心，旋转角＝∠B′C′B″＝90°，然后依据扇形的弧长公式求解即可．【解答】解：如图所示：∵AB＝9，AD＝12，∴BD＝＝15．第一次旋转：以点D为旋转中心，旋转角＝∠ADA′＝90°，第二次旋转：以点C′为旋转中心，旋转角＝∠B′C′B″＝90°，点B在两次旋转过程中经过的路径的长＝+＝．故选：C．【点评】本题主要考查的是旋转的性质，扇形的弧长公式的应用，确定出旋转中心、旋转角的大小以及旋转半径的大小是解题的关键．13．（2018•兰州模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4分别交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，动点P从D（0，2）出发，先到达x轴上的某点E，再到达抛物线对称轴上的某点F，最后运动到点C，求点P运动的最短路径长为（）A．B．8C．7D．9【分析】根据两点之间线段最短和轴对称的性质来求解．可做C点关于直线x＝的对称点C′，做D点关于x轴的对称点D′，连接C′D′．那么E、F就是直线C′D′与x轴和抛物线对称轴的交点，求出长度即可．【解答】解：作C点关于直线x＝的对称点C′，做D点关于x轴的对称点D′，连接C′D′．则E、F就是直线C′D′与x轴和抛物线对称轴的交点，此时C'D'即为点P运动的最短路径长，则有C′（5，4），D′（0，﹣2）；故点P运动的最短路径长＝C'D'＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了轨迹，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，以及利用对称求最小值问题等知识，得出C′、D′点的坐标是解题关键．14．（2018•荆门）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC 于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A．B．C．1D．2【分析】连接OC，OM、CM，如图，利用斜边上的中线性质得到OM＝PQ，CM＝PQ，则OM＝CM，于是可判断点M在OC的垂直平分线上，则点M运动的轨迹为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．【解答】解：连接OC，OM、CM，如图，∵M为PQ的中点，∴OM＝PQ，CM＝PQ，∴OM＝CM，∴点M在OC的垂直平分线上，∴点M运动的轨迹为△ABC的中位线，∴点M所经过的路线长＝AB＝1．故选：C．【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．也考查了等腰直角三角形的性质．15．（2018•鹿城区模拟）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝10，AD＝6．⊙O分别切边AB，AD于点E，F，且圆心O恰好落在DE上．现将⊙O沿AB方向滚动到与边BC相切（点O在□ABCD的内部），则圆心O移动的路径长为（）A．4B．6C．7﹣D．10﹣2【分析】图所示，⊙O滚过的路程即线段EN的长度．EN＝AB﹣AE﹣BN，所以只需求AE、BN的长度即可．分别根据AE和BN所在的直角三角形利用三角函数进行计算即可【解答】解：连接OE，OA、BO．∵AB，AD分别与⊙O相切于点E、F，∴OE⊥AB，OF⊥AD，∴∠OAE＝∠OAD＝30°，在Rt△ADE中，AD＝6，∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝3，∴OE＝AE＝∵AD∥BC，∠DAB＝60°，∴∠ABC＝120°．设当运动停止时，⊙O与BC，AB分别相切于点M，N，连接ON，OM．同理可得，∠BON为30°，且ON为，∴BN＝ON•tan30°＝1cm，EN＝AB﹣AE﹣BN＝10﹣3﹣1＝6．∴⊙O滚过的路程为6．故选：B．【点评】此题考查了切线的性质、平行四边形的性质及解直角三角形等知识点，关键时计算出AE和BN的长度．16．（2018•荆门二模）如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P从点A运动到点D时，点Q所经过的路径长为（）A．B．C．D．π【分析】OP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ＝1，再由走过的角度代入弧长公式即可．【解答】解：如图所示：∵PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，∴四边形ONPM是矩形，又∵点Q为MN的中点，∴点Q为OP的中点，则OQ＝1，点Q走过的路径长＝＝．故选：C．【点评】本题考查了弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性质得出点Q运动轨迹的半径，要求同学们熟练掌握弧长的计算公式．17．（2018•句容市一模）如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB，取线段AB的中点H，当点P从点O 运动到点N时，点H运动的路径长是（）A．2B．1C．D．【分析】根据已知条件得到B1B2的运动轨迹也为直线，根据等边三角形的性质得到∠1＝∠3，根据全等三角形的性质得到B1B2＝ON，求得M（，0），N（，﹣），求得ON＝2＝B1B2，根据三角形的中位线的性质得到结论．【解答】解：由上图可知，当P在O点时，△AOB1为正三角形，当P在N点时，△ANB2为正三角形，H1，H2分别为AB1与AB2的中点，∵P在直线ON上运动，∠AB2N＝60°为定值，∴B1B2的运动轨迹也为直线，∵△OAB1为正三角形，∴∠OAB1＝∠1+∠2＝60°，同理∠NAB2＝∠2+∠3＝60°，∴∠1＝∠3，在△OAN与△B1AB2中，，∴△OAN≌△B1AB2，∴B1B2＝ON，∴点A横坐标为，∵AN⊥x轴，∴M（，0），∵直线ON的解析式为：y＝﹣x，∴∠MON＝45°，∴N（，﹣），∴ON＝2＝B1B2，∵H1，H2分别为AB1与AB2的中点，∴H1H2＝B1B2＝1，故选：B．【点评】本题考查了轨迹，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，正确的作出图形是解题的关键．18．（2018•惠山区一模）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC＝24，∠A＝60°，点D为弧BC上一动点，CE垂直直线OD于点E，当点D由B点沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为（）A．8πB．18C．πD．36【分析】如图，作OH⊥BC于H，设OC的中点为K．∴当E的运动轨迹是以OC为直径的园弧，圆心角为240°，根据弧长公式计算即可；【解答】解：如图，作OH⊥BC于H，设OC的中点为K．∵OH⊥BC，∴BH＝CH＝12，∵∠A＝60°，∴∠COH＝60°，∴∠OCH＝30°，∴OC＝＝8，∵∠CEO＝90°，∴当E的运动轨迹是以OC为直径的园弧，圆心角为240°，∴点E经过的路径长＝＝π，故选：C．【点评】本题考查三角形的外心与外接圆、轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点E的运动轨迹，属于中考常考题型．19．（2017秋•宜阳县期末）如图，☉O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是☉O上任意一点（点P 与点A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过90时，点Q走过的路径长为（）A．B．C．D．【分析】由于OP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ＝1，再由走过的角度代入弧长公式求得点Q走过的路径长；【解答】解：如图连接OP．∵PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，∴四边形ONPM是矩形，又∵点Q为MN的中点，∴点Q也是OP的中点，则OQ＝1，点Q走过的路径长＝＝．故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算，矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性质得出点Q运动轨迹的半径，要求同学们熟练掌握弧长的计算公式．20．（2017秋•南宁期末）如图，四边形ABCD是正方形，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度分别在边DC、CB上移动，当点E运动到点C时都停止运动，DF与AE相交于点P，若AD＝8，则点P运动的路径长为（）A．8B．4C．4πD．2π【分析】如图，连接AC、BD交于点O．首先证明∠DPE＝∠APD＝90°，即可推出点P的运动轨迹是以AD为直径的圆上的弧，由此即可解决问题；【解答】解：如图，连接AC、BD交于点O．∵DE＝CF，AD＝DC，∠ADE＝∠DCF，∴△ADE≌△DCF，∴∠DAE＝∠CDF，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠CDF+∠DEP＝90°，∴∠DPE＝∠APD＝90°，∴点P的运动轨迹是以AD为直径的圆上的弧，∴点P运动的路径长为•2π•4＝2π，故选：D．【点评】本题考查正方形的性质、弧长公式、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，判断出∠APD＝90°这个突破点，属于中考常考题型．21．（2018•宜兴市模拟）如图，矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作⊙O，点F为⊙O与射线BD的公共点，连接EF，过点E作EG⊥EF，交⊙O于点G，当⊙O与射线BD相切时，点E停止移动，则在运动过程中点G移动路程的长为（）A．4cm B．cm C．cm D．cm【分析】利用图1，证明点G的在射线BG上，∠CBG是定值，∠DBG＝90°，如图2中，当⊙O与BD相切时，F与B重合，由△BCG∽△BAD时，可得＝，列出方程即可解决问题．【解答】解：如图1中，连接CF、CG、FG．易知四边形EFCG是矩形，∴EF＝CG，∴＝，∴∠CBG＝∠ABD，∴点G的在射线BG上，∠CBG是定值，∠DBG＝90°如图2中，当⊙O与BD相切时，F与B重合，由△BCG∽△BAD时，可得＝，∴＝，∴BG＝cm，∴点G的运动路径的长为cm，故选：B．【点评】本题考查轨迹、矩形的性质和判定、切线的性质．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，探究运动轨迹是关键，属于中考选择题中的压轴题．22．（2017秋•苍溪县期末）如图，水平地面上有一面积为30πcm2的灰色扇形OAB，其中OA＝6cm，且OA垂直于地面，将这个扇形向右滚动（无滑动）至点B刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O移动的距离是（）A．10πcm B．20πcm C．24πcm D．30πcm【分析】根据题意可知点O移动的距离正好是灰色扇形的弧长，所以先根据扇形的面积求得扇形的圆心角的度数，再根据弧长公式求得弧长，即点O移动的距离．【解答】解：设扇形的圆心角为n度，则＝30π∴n＝300．。
中考数学压轴题轨迹问题
与路径有关的问题姓名1．如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，⊥x轴于点M，交直线﹣x于点N．若点P是线段上的一个动点，∠30°，⊥，则点P在线段上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径是．2.如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是．3．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y 轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF AE⊥于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．32πB．33π C．34πD．36πyxGFOEDCBA5．如图，正方形的边长是2，M 是的中点，点E 从点A 出发，沿运动到点B 停止．连接并延长交射线于点F ，过M 作的垂线交射线于点G ，连结、．（1）设＝x 时，△的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）P 是的中点，请直接写出点P 运动路线的长．6x上，＝4，＝2．点P 从点O A 匀速运动，当点P到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段的中点绕点P 按顺时针方向旋转90°得点D ，点D 随点P 的运动而运动，连接、．（1）请用含t 的代数式表示出点D 的坐标； （2）求t 为何值时，△的面积最大，最大为多少？（3）在点P 从O 向A 运动的过程中，△能否成为直角三角形？若能，求t 的值；若不能，请说明理由； （4）请直接写出随着点P 的运动，点D 运动路线的长.7.如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿向终点O运动，动点Q从A点出发沿向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了x秒．（1）Q点的坐标为( , )（用含x的代数式表示）；（2）当x为何值时，△是一个以为腰的等腰三角形？（3）记的中点为G．请你直接写出点G随点P，Q运动所经过的路线的长度．G G9.如图1，已知正方形的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是的中点．P(0，m)是线段上一个动点(点C除外)，直线交的延长线于点D．(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)；(2)当△是等腰三角形时，求m的值；(3)设过点P、M、B的抛物线与x轴的正半轴交于点E，过点O作直线图1图2备用图1备用图2的垂线，垂足为H (如图2)．当点P 从原点O 向点C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路径长(不写解答过程)．10、问题探究：（1）请在图①的正方形内，画出使∠90°的一个点，并说明理由．（2）请在图②的正方形内（含边），画出使∠60°的所有的点P，并说明理由．问题解决：（3）如图③，现在一块矩形钢板，4，3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△和△′D钢板，且∠∠'60度．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出△的面积（结果保留根号）．。
2024年中考数学复习几何专项练习：动点运动路径之瓜豆原理(含答案解析)
2024年中考数学复习几何专项练习：动点运动路径之瓜豆原理（含答案解析）一、填空题1．如图，等边三角形ABC 中，AB =4，高线AHD 是线段AH 上一动点，以BD 为边向下作等边三角形BDE ，当点D 从点A 运动到点H 的过程中，点E 所经过的路径为线段CM ，则线段CM 的长为，当点D 运动到点H ，此时线段BE 的长为．【答案】2【分析】由“SAS ”可得△ABD ≌△CBE ，推出AD =EC ，可得结论，再由勾股定理求解2,BH =当,D H 重合时，2,BE BH ==从而可得答案.【详解】解：如图，连接EC ．∵△ABC ，△BDE 都是等边三角形，∴BA =BC ，BD =BE ，∠ABC =∠DBE =60°，∴∠ABD =∠CBE ，在△ABD 和△CBE 中，BA BC ABD CBE BD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CBE （SAS ），∴AD =EC ，∵点D 从点A 运动到点H ，∴点E的运动路径的长为CM AH ==，当,D H 重合，而BDE △（即BHE ）为等边三角形，,BE BH \=4,,AB AH AH BC ==^Q2,BH ==2,BE ∴=故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，动点的轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边EFG∆，连接CG ，则CG 的最小值为．【答案】52【分析】由题意分析可知，点F 为主动点，G 为从动点，所以以点E 为旋转中心构造全等关系，得到点G 的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG 最小值．【详解】由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将EFB ∆绕点E 旋转60︒，使EF 与EG 重合，得到EFB EHG ∆≅∆，从而可知EBH ∆为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，作CM HN ⊥，则CM 即为CG 的最小值，作EP CM ⊥，可知四边形HEPM 为矩形，则1351222CM MP CP HE EC =+=+=+=.故答案为52．【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G 的运动轨迹，是本题的关键．3．如图，等边ABC 中，8AB =，O 是BC 上一点，且14BO BC =，点M 为AB 边上一动点，连接OM ，将线段OM 绕点O 按逆时针方向旋转60︒至ON ，连接BN CN 、，则BCN △周长的最小值为．【答案】8+8【分析】过点N 作ND BC ⊥于点D ，过点O 作OH BM ⊥于点H ，则90OHM ODN ∠=∠=︒，证明HOM DNO ≌，可得DN OH =，从而得到点N 的运动轨迹是直线，且该直线与直线BC 平行，在BC 的左侧，与BCC 关于该直线的对称点E ，连接BE 交该直线于N ，即当点B ，N ，E 三点共线时，BCN △的周长最小，连接CE 交该直线于G ，则22CE CG DN ===CE BC ⊥，求出BE ，即可求解．【详解】解：如图，过点N 作ND BC ⊥于点D ，过点O 作OH BM ⊥于点H ，则90OHM ODN ∠=∠=︒，∵ABC 为等边三角形，∴60ABC ∠=︒，8BC AB ==，∴120BMO BOM ∠+∠=︒，根据题意得：60MON ∠=︒，OM ON =，∴120NOD BOM ∠+∠=︒，∴NOD BMO ∠=∠，∴HOM DNO ≌，∴DN OH =，∵14BO BC =，∴2BO =，∵60ABC ∠=︒，∴30BOH ∠=︒，∴112BH OB ==，∴DN OH ==∴点N 的运动轨迹是直线，且该直线与直线BC 平行，在BC 的左侧，与BC作点C 关于该直线的对称点E ，连接BE 交该直线于N ，即当点B ，N ，E 三点共线时，BCN △的周长最小，连接CE 交该直线于G ，则22CE CG DN ===，CE BC ⊥，∴BE =∴△ACN 的周长的最小值为8+故答案为：8+．【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．4．如图，正方形ABCD 的边长为P 是CD 边上的一动点，连接AP ，将AP 绕点A 顺时针方旋转60︒后得到AQ ，连接CQ ，则点P 在整个运动过程中，线段CQ 所扫过的图形面积为．【答案】3-【分析】根据题意画出点P 在CD 上移动的过程，线段CQ 所扫过的面积就是COQ 的面积，根据正方形的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，得出线段CQ 所扫过的图形面积()12ACQ AOQ S S S =- ，再根据等边三角形，等腰直角三角形面积的计算方法进行计算即可．【详解】解：如图，当点P 在点D 时，相应的点Q 落在点O ，当点P 移动到点C 时，相应的点Q 在点Q ，CQ 扫过的面积就是COQ 的面积，由题意可知，AOD △、ACQ 都是等边三角形，AO DO AD ∴===AQ CQ AC ====，四边形ABCD 是正方形，AOD △是等边三角形，906030ODC ∴∠=︒-︒=︒，45ACD ∠=︒，OD CD = ，18030752DOC DCO ︒-︒∴∠=∠==︒，754530ACO ∴∠=︒-︒=︒，45607530QCO QCD DCO ∠=∠-∠=︒+︒-︒=︒，ACO QCO ∴∠=∠，AC QC = ，CO CO =，AOC ∴ ≌()SAS QOC ，AO QO ∴=，604515CQO CAO ∠=∠=︒-︒=︒，()3601801530290AOQ ∴∠=︒-︒-︒-︒⨯=︒，即AOQ △是等腰直角三角形，∴线段CQ 所扫过的图形面积()12ACQ AOQ S S S =- 111222⎛=⨯⨯⨯ ⎝3=，故答案为：3．【点睛】本题考查正方形、等边三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质，掌握正方形、等边三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．5．如图，点D 是等边ABC 边AB 上的一动点(不与端点重合)，点D 绕点C 引顺时针方向旋转60 得点E ，所得的CDE 边DE 与BC 交于点F ，则CF DE的最小值为．【分析】由旋转的性质得CDE 为等边三角形，由CEF CAD ∽△△得到CF CE CD AC =，即CF CD DE AC =，从而得到当CD 最小时，比值最小，再由“垂线段最短”得到当CD AB ⊥时，CD 值最小，作出对应图形，利用“ACD 是含30︒角的直角三角形”求出CD AC，从而得解．【详解】解：由旋转的性质得：CD CE =，60DCE ∠=︒，CDE ∴ 为等边三角形，DE CD CE ∴==，60A DEC ∠=∠=︒60ACD DCB ∠+∠=︒60DCB ECF ∠+∠=︒ACD ECF∴∠=∠∵60A DEC ∠=∠= ，ACD ECF∠=∠CEF CAD∴ ∽CF CE CD AC ∴=，即CF CD DE AC=AC 为定值，∴当CD 最小时，比值最小．根据“垂线段最短”可知：当CD AB ⊥时，CD 值最小，过点C 作CD AB ⊥于D ，并补全图形如下：ABC 是等边三角形，CD AB ⊥，60ACB ∠=︒∴1302ACD ACB ∠=∠=︒设AC 2a =，则12AD AC a ==∴CD ==，∴此时CF CD DE AC ==即CF DE 的最小值为2．故答案为：2．【点睛】此题考查图形的旋转变化与性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，含30︒角的直角三角形的性质，垂线段最短，理解“垂线段最短”和利用相似三角形的性质将CF DE转化为CD AC 是解题的关键．6．如图，在ACB △中，60ACB ∠=︒，75BAC ∠=︒，12AC =，点D 是边BC 上的一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 按逆时针方向旋转75︒得到线段AE ，连接CE ，则线段CE 长度的最小值是．【答案】/-【分析】过点A 作AF BC ⊥于点F ，在AB 上取点N ，使12AN AC ==，连接DN ，过点N 作点NM BD ⊥于点M ，证明()SAS NAD DAE ≌，求出CE DN =，得出当DN 最小时，CE 最小，根据垂线段最短，得出当点D 与点M 重合时，DN 最小，则CE 最小，求出最小结果即可．【详解】解：过点A 作AF BC ⊥于点F ，在AB 上取点N ，使12AN AC ==，连接DN ，过点N 作点NM BD ⊥于点M ，如图所示：根据旋转可知，AD AE =，75DAE ∠=︒，∵75BAC DAE ==︒∠∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即NAD CAE =∠∠，∵AN AC =，AD AE =，∴()SAS NAD CAE ≌，∴CE DN =，∴当DN 最小时，CE 最小，∵垂线段最短，∴当点D 与点M 重合时，DN 最小，则CE 最小，∵90AFC ∠=︒，60BCA ∠=︒，∴906030CAF ∠=︒-︒=︒，∴162CF AC ==，∴AF ==，∵45BAF BAC CAF =-=︒∠∠∠，90AFB ∠=︒，∴904545B ∠=︒-︒=︒，∴B BAF ∠=∠，∴BF AF ==∴AB ==∴12BN AB AN =-=-，∵90BMN ∠=︒，45B ∠=︒，∴904545BNM =︒-︒=︒∠，∴B BNM =∠∠，∴BM NM =，∵222BN NM BM =+，∴()22212NM =-，解得：NM =-，∴CE 的最小值为-．故答案为：【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明CE DN =．7．如图，点A 的坐标为3⎫⎪⎪⎝⎭，点B 是x 轴正半轴上的一点，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转60︒得到线段AC ．若点C 的坐标为(,4)k ，则k 的值为．【分析】连接BC ，过A 点作AF x ⊥轴于F ，C 作CD x ⊥轴于点D ，CE AF ⊥于点E ，则四边形DCEF 是矩形，根据将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转60︒得到线段AC ，可得ABC 是等边三角形，AB AC BC ==，由点A 的坐标为，(,4)C k ，有AC ==，而BD ==FB ==OF BF BD OD k ++==，可得k =，解方程可得答案．【详解】解：连接BC ，过A 点作AF x ⊥轴于F ，C 作CD x ⊥轴于点D ，CE AF ⊥于点E ，则四边形DCEF 是矩形，如图：∵将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转60︒得到线段AC ，∴AB AC =，60BAC ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∴AB AC BC ==，∵点A 的坐标为，(,4)C k ，，∴3CE k FD =-=，4CD =，3AF =，∴1AE EF AF CD AF =-=-=，∴AC BC AB ====，在Rt BCD 中，BD =，在Rt AFB 中，FB =∵OF BF BD OD k ++==，∴3k =，设k x =x =，化简变形得：42346490x x -=-，解得21x =-（舍去）或2493x =，∴3x =或3x =-（不符合题意，舍去），∴k ，∴k =，．【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含k 的代数式表示相关线段的长度．8．如图，在边长为6的等边ABC 中，直线AD BC ⊥，E 是AD 上的一个动点连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针方向旋转60︒得到FC ，连接DF ，则点E 运动过程中，DF 的最小值是．【答案】32【分析】取线段AC 的中点G ，连接EG ，根据等边三角形的性质可得出CD CG =以及FCD ECG Ð=Ð，由旋转的性质可得出EC FC =，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS 证出FCD ≌ECG ，进而即可得出DF GE =，再根据点G 为AC 的中点，即可得出EG 的最小值，此题得解．【详解】解：取线段AC 的中点G ，连接EG ，如图所示．ABC 为等边三角形，6AC BC ==，且AD 为ABC 的对称轴，132CD CG AB ∴===，60ACD ∠=︒，60ECF =︒∠ ，FCD ECG \Ð=Ð．FCD ∴ ≌()ECG SAS ，DF GE ∴=．当EG BC ∥时，EG 最小，点G 为AC 的中点，∴此时1133222EG DF CD ===⨯=．故答案为：32．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF GE =．9．如图，在ABC ∆中，90ACB ︒∠=，点D 在BC 边上，5BC =，2CD =，点E 是边AC 所在直线上的一动点，连接DE ，将DE 绕点D 顺时针方向旋转60︒得到DF ，连接BF ，则BF 的最小值为．【答案】72【分析】当E 与点C 重合时，点F 与等边三角形CDG 的点G 重合，当点F 开始运动时，△ECD ≌△FGD ，故点F 在线段GF 上运动，根据垂线段最短原理，当BF ⊥GF 时，BF 有最小值，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】当E与点C重合时，点F与等边三角形CDG的点G重合，∵DE绕点D顺时针方向旋转60 得到DF，∴△DEF是等边三角形，∴∠GDC=∠FDE=60°，ED=FD，∴∠GDC-∠GDE=∠FDE-∠GDE，∴∠EDC=∠FDG，∵△DEF是等边三角形，∴CD=GD，∴△ECD≌△FGD，∴EC=GF，∠ECD=∠FGD=90°，∴点F在线段GF上运动，根据垂线段最短原理，当BF⊥GF时，BF有最小值，如图，当旋转到BF∥DG 时,BF⊥GF，垂足为F，过点D作DH⊥BF，垂足为H，∵∠FGD=90°，∴四边形FGDH是矩形，∴∠GDH=90°，GD=FH=2，∵∠GDC=60°，∴∠BDH=30°，∵BD=BC-CD=5-2=3，∴BH=1232 BD=，∴BF=FH+BH=2+32=72，故答案为：7 2．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定，灵活运用直角的判定和直角三角形的性质是解题的关键．10．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且1BE=，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF 烧点E顺时什旋转60°得到EG，连接CG，则CG的最小值为．【答案】5 2【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G 的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EBH为等边三角形，△EBF≌△EHG，∴∠EHG=∠ABC=90°，HE=BE=1，∠BEH=60°，∴点G在垂直于HE的直线HN上．作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，∴∠CEP=180°-60°-90°=30°，∴CP=12CE=12×(4-1)=32，则CM=MP+CP=35122 HE PC+=+=，即CG的最小值为5 2．故答案为5 2．【点睛】本题考查了旋转的性质，线段最值问题，全等三角形的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，以及垂线段最短等知识，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．11．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AB上异于A，B的一动点，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得△BCE，则旋转过程中△BDE周长的最小值【答案】．【分析】由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD ，由垂线段最短得到当CD ⊥AB 时，△BDE 的周长最小，于是得到结论．【详解】∵将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，∴∠DCE=60°，DC=EC ，∴△CDE 是等边三角形，由旋转的性质得，BE=AD ，∴C △DBE =BE+DB+DE=AB+DE=4+DE ，∵△CDE 是等边三角形，∴DE=CD ，∴C △DBE =CD+4，由垂线段最短可知，当CD ⊥AB 时，△BDE 的周长最小，此时，∴△BDE 的最小周长，故答案为．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．12．如图，在ABC 中，8AC BC ==，60BCA ∠= ，直线AD BC ⊥，E 是AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 按逆时针方向旋转60 得到FC ，连接DF ，则点E 运动过程中，DF 的最小值是．【答案】2【分析】根据题意取线段AC 的中点G ，连接EG ，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG 以及∠FCD=∠ECG ，由旋转的性质可得出EC=FC ，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS 证出△FCD ≌△ECG ，进而即可得出DF=GE ，再根据点G 为AC 的中点，即可得出EG 的最小值．【详解】取线段AC 的中点G ，连接EG，如图所示．8AC BC == ，60BCA ∠= ，ABC ∴为等边三角形，且AD 为ABC 的对称轴，142CD CG AB ∴===，60ACD ∠= ，60ECF ∠= ，FCD ECG ∴∠=∠．在FCD 和ECG 中，FC EC FCD ECG DC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，FCD ∴ ≌()ECG SAS ，DF GE ∴=．当//EG BC 时，EG 最小，点G 为AC 的中点，∴此时11224EG DF CD BC ====．故答案为2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出.DF GE =本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．13．如图，等边△AOB 的边长为4，点P 从点O 出发，沿OA 以每秒1个单位的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ，点C 随点P 的运动而运动，连接CP 、CA ．在点P 从O 向A 运动的过程中，当△PCA 为直角三角形时t 的值为.【答案】2或83【详解】如图（1）过点P 作PD ⊥OB 于点D ，过C 作CE ⊥OA 于E ，∴∠PDO=∠PEC=90°，∵∠O=60°，∴∠OPD=30°，∴OD=12t ，∴BD=4-12t ，，∵线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ，∴∠BPC=60°，BP=2PC ，∵∠OPD=30°，∴∠BPD+∠CPE=90°，∴∠DBP=∠CPE ，∴△PCE ∽△BPD ，∴CE PE PC PD BD PB==，11242PE t ==-，∴，PE=2-14t ，OE=2+34t ，如图（2）当∠PCA=90度时，作CF ⊥PA ，∴△PCF ∽△ACF ，∴△PCF ∽△ACF ，∴PF CF CF AF =，∴CF 2=PF•AF ，∵PF=2-14t ，AF=4-OF=2-34t ，，）2=（2-14t ）（=2-34t ），∴t=2，这时P 是OA 的中点；如图（3）当∠CAP=90°时，此时OA=OE ，∴2+34t=4，∴t=83，故答案为2或83.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，等边三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质等，正确地添加辅助线，求出OE 的长是解题的关键.二、解答题14．在平面直角坐标系中，A （a ，0）、B （b ，0），且a ，b 满足26930a a b -+++=，C 、D 两点分别是y 轴正半轴、x 轴负半轴上的两个动点；（1）如图1，若C （0，4），求△ABC 的面积；（2）如图1，若C （0，4），BC =5，BD=AE ，且∠CBA=∠CDE ，求D 点的坐标；（3）如图2，若∠CBA =60°，以CD 为边，在CD 的右侧作等边△CDE ，连接OE ，当OE 最短时，求A ，E 两点之间的距离．【答案】（1）△ABC 的面积为12；（2）D 点的坐标为（-2，0）；（3）A ，E 两点之间的距离为32【分析】（1）利用完全平方式和绝对值的性质求出a ，b ，然后确定A 、B 两点坐标，从而利用三角形面积公式求解即可；（2）根据题意判断出CBD DAE △≌△，从而得到CB AD =，然后利用勾股定理求出CB ，及可求出结论；（3）首先根据“双等边”模型推出DCB ECA ≌，得到120DBC EAC ∠=∠=︒，进一步推出AE BC ∥，从而确定随着D 点的运动，点E 在过点A 且平行于BC 的直线PQ 上运动，再根据点到直线的最短距离为垂线段的长度，确定OE 最短时，各点的位置关系，最后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）∵26930a a b -+++=，∴()2330a b -++=，由非负性可知，3030a b -=⎧⎨+=⎩，解得：33a b =⎧⎨=-⎩，∴()3,0A ，()3,0B -，()336AB =--=，∵()0,4C ，∴4OC =，∴11641222ABC S AB OC ==⨯⨯= ；（2）由（1）知()3,0A ，()3,0B -，∴OA OB =，∵OC AB ⊥，∴90AOC BOC ∠=∠=︒，在AOC 和BOC 中，OA OB AOC BOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AOC BOC SAS △≌△，∴CBO CAO ∠=∠，∵CDA CDE ADE BCD CBA ∠=∠+∠=∠+∠，CBA CDE ∠=∠，∴ADE BCD ∠=∠，在BCD △和ADE V 中，BCD ADE CBD DAE BD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BCD ADE AAS ≌，∴CB AD =，∵()3,0B -，()0,4C ，∴3OB =，4OC =，∴5BC ==，∴5AD BC ==，∵()3,0A ，∴()2,0D -；（3）由（2）可知CB =CA ，∵∠CBA =60°，∴△ABC 为等边三角形，∠BCA =60°，∠DBC =120°，∵△CDE 为等边三角形，∴CD =CE ，∠DCE =60°，∵∠DCE =∠DCB +∠BCE ，∠BCA =∠BCE +∠ECA ，∴∠DCB =∠ECA ，在△DCB 和△ECA 中，CD CE DCB ECA CB CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DCB ECA SAS ≌，∴120DBC EAC ∠=∠=︒，∵12060180EAC ACB ∠+∠=︒+︒=︒，∴AE BC ∥，即：随着D 点的运动，点E 在过点A 且平行于BC 的直线PQ 上运动，∵要使得OE 最短，∴如图所示，当OE ⊥PQ 时，满足OE 最短，此时∠OEA =90°，∵120DBC EAC ∠=∠=︒，60CAB ∠=︒，∴60OAE EAC CAB ∠=∠-∠=︒，30AOE ∠=︒，∵()3,0A ，∴3OA =，∴1322AE OA ==，∴当OE 最短时，A ，E 两点之间的距离为32．【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质等，理解平面直角坐标系中点坐标的特征，掌握等腰或等边三角形的性质，熟练使用全等三角形的判定与性质是解题关键．15．在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6．点E'在BC边上且BE'＝4，将B E'绕点B逆时针旋转a°得到BE（0°＜a＜180°）．(1)如图1，当∠EBA＝90°时，求S△BCE；(2)如图2，在旋转过程中，连接CE，取CE中点F，作射线BF交直线AD于点G．①求线段BF的取值范围；②当∠EBF＝120°时，求证：BC﹣DG＝2BF；(3)如图3．当∠EBA＝90°时，点S为线段BE上一动点，过点E作EM⊥射线AS于点M，N为AM中点，直接写出BN的最大值与最小值．=6；【答案】(1)S△BCE(2)①1＜BF＜5；②证明见解答；(3)BNBN的最大值为【分析】（1）如图1，过点E 作EF ⊥BC 交CB 的延长线于点F ，根据题意求得∠EBF =180°-∠EBA -∠ABC =180°-90°-60°=30°，再根据特殊直角三角形的性质进而求得BC 上的高EF =2，代入面积公式算出结果；（2）①如图，在线段FG 上截取FK =BF ，连接EK 、CK ，可证得四边形BCKE 是平行四边形，得出：BE =CK =BE '=4，BC =6，再运用三角形三边关系即可求得答案；②可证△EKB ≌△BGA （AAS ），得出BK =AG ，由AG =AD -DG ，即可推出结论；（3）连接AE ，取AE 的中点P ，PA 的中点Q ，连接BP 、NP 、NQ 、BQ ，可证△ABE 是等腰直角三角形，得出：AE AB P 是AE 的中点，可得：BP ⊥AE ，且BP =AP =EP ，利用勾股定理得BQ，当B 、Q 、N 三点共线时，BN 的最小值=BQ -NQ，当点S 与点E 重合时，EM =0，PN =0，此时，BN 的最大值=BP 【详解】（1）解：如图1，过点E 作EH ⊥BC 交CB 的延长线于点H ，∴∠EHC =90°，∵∠ABC =60°，∠EBA =90°，∴∠EBH =180°-∠EBA -∠ABC =180°-90°-60°=30°，∵点E '在BC 边上且BE '=4，将B E '绕点B 逆时针旋转α°得到BE ，∴BE =B E '=4，∴EH =12BE =12×4=2，又∵BC =6，∴S △BCE =12BC •EH =12×6×2=6；（2）解：①如图，在线段FG 上截取FK =BF ，连接EK 、CK ，∵EF=FC，BF=FK，∴四边形BCKE是平行四边形，∴BE=CK=BE'=4，BC=6，在△BCK中，BC-CK＜BK＜BC+CK，∴6-4＜BK＜6+4，即2＜2BF＜10，∴1＜BF＜5；②证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC=60°，AB=4，∴∠A=180°-∠ABC=180°-60°=120°，AD∥BC，AD=BC，BE=AB，∵∠EBF=120°，即∠EBK=120°，∴∠EBK=∠A，∵EK∥BC，∴EK∥AD，∴∠EKB=∠BGA，在△EKB和△BGA中，EKB BGAEBK ABE AB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EKB≌△BGA（AAS），∴BK=AG，由①知：BK=2BF，又∵AG=AD-DG，∴2BF =BC -DG ；（3）解：连接AE ，取AE 的中点P ，PA 的中点Q ，连接BP 、NP 、NQ 、BQ ，∵∠ABE =90°，AB =BE =4，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE ，∵点P 是AE 的中点，∴BP ⊥AE ，且BP =AP =EP ，∵N 是AM 的中点，P 是AE 的中点，∴PN 是△AEM 的中位线，∴PN ∥EM ，∴∠ANP =∠AME =90°，∵点Q 是AP 的中点，∴QN =PQ =12AP在Rt △BPQ 中，BQ =当B 、Q 、N 三点共线时，BN 的最小值=BQ -NQ 当点S 与点E 重合时，EM =0，PN =0，此时，BN 的最大值=BP 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．16．如图，线段AB ＝10cm ，C 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），在AB 上方分别以AC 、BC 为边作正△ACD 和正△BCE ，连接AE ，交CD 于M ，连接BD ，交CE 于N ，AE 、BD 交于H ，连接CH .(1)求sin ∠AHC ；(2)连接DE ，设AD ＝x ，DE ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式；(3)把正△BCE 绕C 顺时针旋转一个小于60°的角，在旋转过程中H 到△DCE 的三个顶点距离和最小，即HC +HD +HE 的值最小，HC +HD +HE 的值总等于线段BD 的长.若AC ＝，旋转过程中某一时刻2AH ＝3DH ，此刻△ADH 内有一点P ，求PA +PD +PH 的最小值.【答案】(1)2；(2)y0＜x ＜10）；【分析】（1）过点C 作CT ⊥AE 于点T ，CR ⊥BD 于点R ，先证△ACE ≌△DCB 得∠CAM ＝∠HDM ，由直角三角函数可得sin sin ＝CT CA CAM CD HDM CR ∠=∠= ，从而得CH 平分∠AHB ，进而求得∠AHC ＝∠BHC ＝60°即可求解；（2）如图2中，如图，过点D 作DP ⊥CE 于点P ，先由三角函数求得CP ＝12CD ＝12x ，DP ＝2x ，又由AB ＝10cm ，得CE ＝CB ＝（10﹣x ）cm ，进而得PE ＝|10﹣x ﹣12x |＝|10﹣32x |，最后由勾股定理即可求得y 与x 之间的函数关系式；（3）如图3中，以AD 为边向外作等边△ADW ，连接WH ，由题意WH 是PA +PD +PH ．过点D 作DS ⊥AH 于H ，过点W 作WG ⊥AD 于点G ，过点H 作HK ⊥AD 于K ，过点W 作WQ ⊥HK 于点Q ．假设AH ＝3k ，DH ＝2k ，由勾股定理得AH ＝6，DH ＝4，DSHKDKWQ ＝KGGW ＝KWHQWH 的长即PA +PD +PH 的最小值．【详解】（1）解：过点C 作CT ⊥AE 于点T ，CR ⊥BD 于点R．∵△ADC ，△ECB 都是等边三角形，∴CA ＝CD ，CE ＝CB ，∠ACD ＝∠ECB ＝60°，∴∠ACE ＝∠DCB ，在△ACE 和△DCB 中，CA CD ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠CAM ＝∠HDM ，∵CT ⊥AE ，CR ⊥BD ，∴sin sin ＝CT CA CAM CD HDM CR ∠=∠= ，∴CH 平分∠AHB ，∵∠AMC ＝∠DMH ，∴∠AHM ＝∠ACM ＝60°，∴∠AHC ＝∠BHC ＝60°，∴sin ∠AHC ＝2；（2）解：如图2中，如图，过点D 作DP ⊥CE 于点P ．∵AC ＝CD ＝x （cm ），∠DCE ＝60°，∴CP ＝12CD ＝12x ，DP ，∵AB ＝10cm ，∴BC ＝AB ﹣AC ＝（10﹣x ）cm ，∴CE ＝CB ＝（10﹣x ）cm ，∴PE ＝|10﹣x ﹣12x |＝|10﹣32x |，∴y ＝DE （0＜x ＜10）；（3）解：如图3中，以AD 为边向外作等边△ADW ，连接WH ，由题意WH 是PA +PD +PH ．过点D 作DS ⊥AH 于H ，过点W 作WG ⊥AD 于点G ，过点H 作HK ⊥AD 于K ，过点W 作WQ ⊥HK 于点Q ．∵2AH ＝3DH ，∴可以假设AH ＝3k ，DH ＝2k ，∵∠DHS ＝60°，DS ⊥AH ，∴SH ＝12DH ＝k ，DS ，AM ＝2k ，∵AD 2＝AS 2+DS 2，∴（）2＝（2k ）2+）2，∴k ＝2（负根已经舍弃），∴AH ＝6，DH ＝4，DS∵12•AH •DS ＝12•AD •HK ，∴HK ＝7，DK 7，∵AG ＝DG WQKG 是矩形，∴WQ ＝KG GW ＝KW∴HQ ＝KH +KQ ＝7，∴WH ＝∴PA +PD +PH 的最小值为【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题是解本题的关键．17．在学习了图形的旋转知识后，某数学兴趣小组对教材中有关图形旋转的问题进行了进一步探究．（1）问题梳理，问题呈现：如图1，点D 在等边ABC 的边BC 上，过点C 画AB 的平行线l ，在l 上取CE BD =，连接AE ，则在图1中会产生一对旋转图形．请结合问题中的条件，证明：ABD ACE ≌△△；（2）初步尝试：如图2，在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，且BD DC <，将ABD △沿某条直线翻折，使得AB 与AC 重合，点D 与BC 边上点F 重合，再将ACF △沿AC 所在直线翻折，得到ACE △，则在图2中会产生一对旋转图形．若30BAC ∠=︒，6AD =，连接DE ，求ADE V 的面积；（3）深入探究：如图3，在ABC 中，60ACB ∠=︒，75BAC ∠=︒，6AC =，点D 是边BC 上的任意一点，连接AD ，将线段AD 绕点A 按逆时针方向旋转75°，得到线段AE ，连接CE ，求线段CE 长度的最小值．【答案】（1）见解析；（2）9；（3）【分析】（1）根据△ABC 是等边三角形，可得AB ＝AC ，∠BAC ＝∠B ＝60°，进而利用SAS 可证明△ABD ≌△ACE ．（2）如图2，过点E 作EH ⊥AD 于H ，由翻折可得△ACE ≌△ABD ≌△ACF ，可得AE ＝AD ＝6，EH ＝3，再运用S △ADE ＝12×AD ×EH ，即可求得答案．（3）如图3中，在AB 上截取AN ＝AC ，连接DN ，作NH ⊥BC 于H ，作AM ⊥BC 于M ．利用SAS 证明△EAC ≌△DAN ，推出当DN 的值最小时，EC 的值最小，求出HN 的值即可解决问题．【详解】（1）如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠B ＝60°，∵CE ∥AB ，∴∠ACE ＝∠BAC ＝60°，∴∠B ＝∠ACE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC B ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；（2）如图2，过点E 作EH ⊥AD 于H，∵由翻折可得：△ACF ≌△ABD ，△ACE ≌△ACF ，∴△ACE ≌△ABD ≌△ACF ，∴AE ＝AD ＝6，∠CAE ＝∠BAD ，∴∠DAE ＝∠BAC ＝30°，∵EH ⊥AD ，∴EH ＝12AE ＝3，∴S △ADE ＝12×AD ×EH ＝12×6×3＝9；（3）如图3中，在AB 上截取AN ＝AC ，连接DN ，作NH ⊥BC 于H ，作AM ⊥BC 于M．∵∠CAB ＝∠DAE ，∴∠EAC ＝∠DAN ，∵AE ＝AD ，AC ＝AN ，∴△EAC ≌△DAN （SAS ），∴CE ＝DN ，∴当DN 的值最小时，EC 的值最小，在Rt △ACM 中，∵∠ACM ＝60°，AC ＝6，∴30CAM ∠=︒,∴132CM AC ==,∴AM∵∠MAB ＝∠BAC −∠CAM ＝75°−30°＝45°，∴AMB 为等腰直角三角形，∴AB=，∴NB ＝AB −AN ＝−6，在Rt △NHB 中，∵∠B ＝45°，∴NBH △为等腰直角三角形，∴NH根据垂线段最短可知，当点D 与H 重合时，DN 的值最小，∴CE 的最小值为．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．18．（一）发现探究在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ；【发现】如图1如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是；【探究】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；（二）拓展应用【应用】如图3，在△DEF中，DE＝6，∠EDF＝60°，∠DEF＝90°，P是线段EF上的任意一点连接DP，将线段DP绕点D顺时针方向旋转60°，得到线段DQ，连接EQ请求出线段EQ长度的最小值．【答案】【发现】BQ＝PC；【探究】BQ＝PC仍然成立，证明见解析；【应用】线段EQ长度的最小值为3．【分析】[发现]先判断出∠BAQ＝∠CAP，进而用SAS判断出△BAQ≌△CAP，即可得出结论；[探究]结论BQ＝PC仍然成立，理由同【发现】的方法；[应用]在DF上取一点H，使DH＝DE，连接PH，过点H作HM⊥EF于M，构造出△DEQ≌△DHP，得出EQ＝HP，当HP⊥EF（点P和点M重合）时，EQ最小，求HM即可．【详解】[发现]由旋转知，AQ＝AP，∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，∴∠BAQ＝∠CAP，∵AB＝AC，∴△BAQ≌△CAP（SAS），∴BQ＝CP，故答案为：BQ＝PC；【探究】结论：BQ＝PC仍然成立，理由：由旋转知，AQ＝AP，∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，∴∠BAQ＝∠CAP，∵AB＝AC，∴△BAQ≌△CAP（SAS），∴BQ＝CP，【应用】如图3，在DF上取一点H，使DH＝DE，连接PH，过点H作HM⊥EF于M，由旋转知，DQ＝DP，∠PDQ＝60°，∵∠EDF＝60°，∴∠PDQ＝∠EDF，∴∠EDQ＝∠HDP，∴△DEQ≌△DHP（SAS），∴EQ＝HP，求EQ最小，就是求HP最小，当HP⊥EF（点P和点M重合）时，HP最小，最小值为HM，∵∠EDF＝60°，∠DEF＝90°，∴∠F＝30°，∵DE＝6，∴DF＝2DE＝12，∵DH＝DE=6，∴FH＝6，∵∠F＝30°，∴HM=3．线段EQ长度的最小值为3．．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，恰当的作辅助线，把所求线段转化为与动点P有关的线段，根据垂线段最短确定线段位置是解本题的关键．。
中考数学复习轨迹和作图2[人教版](201911整理)
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中考数学核心知识专题复习
----轨迹问题探究
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹
六种常用的基本轨迹：
①到已知线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。
②到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。
③到已知直线的距离等于定长的点的轨迹是与这条直线平行，且与已知直线的距离等于定长的两条直线。
④到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且到这两条平行线距离相等的一条直线。
⑤到定点的距离等于定长的点轨迹是与定点为圆心，定长为半径的圆。
⑥和已知线段的两个端点的连线的夹角等于已知角的点的轨迹是以已知线段为弦，所含圆周角等于已知角的两段弧（端点除外）。
一、尺规作图：轨迹法确定动点位置
1）己知ZAOB,求作点P,使得点P到角两边距离相等，且满足OP=2
2）已知ZAOB和直线L,在直线L上确定点P,使得使得点P到角两边距离相等
3）已^AAOB和线段CD,使得点P到角两边距离相等且满足PC=PD
4）已知线段AB和直线L,在直线L上确定点P使得ZAPB = 60°
1) 2)
4)4
3)
B B
二交轨法应用
1.在正方形ABCD中,E为AD边上一点，以BE边所在直线为折痕将△初F对折之△咙位置。
若AB=2, 且PC=1.
1)不全图形
2)求tan Z PCD的值
2.如图，在Rt/XABC中，ZCAB=90°, ZACB二30°, BC=8, D为线段AB上的动点，过点A作AH丄CD 于点
H,连接贝】J
②求AB的长
②求BH的最小值。
3.等边三角形ABC的边长为6,在AC, BC边上各取一点E, F,连接AF, BE相交于点P.且AE=CF；
(1)求证：AF=BE,并求ZAPB的度数；
(2)若AE=2,试求AP-AF的值；
(3)当点E从点4运动到点C时，试求点P经过的路径长.
4.如图，以G(0, 1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A, B两点,与y轴交于C, D两点，点E为OG 上一动点，
CF丄AE于F.当点E从点B出发顺吋针运动到点Q吋，点F所经过的路径长
5.如图，己知4B=10, P是线段AB±的动点，分别以AP、
PB为边在线段AB的同侧作等边AACP和△PQB,连接
CD,设CD的屮点为G,当点P从点A运动到点B时，
求点G移动路径的长
6.问题探究：
(1)请在图①的正方形ABCD内，画出使ZAPB=90°的一个点，并说明理由.
(2)请在图②的正方形ABCD内(含边)，画出使ZAPB=60啲所有的点P,并说明理由.
问题解决：
(3)如图③，现在一块矩形钢板ABCD, AB=4, BC=3.工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的AAPB 和钢
板，且ZAPB=ZCPQ=60度.请你在图③中画出符合要求的点和，并求出AAPB的面积(结果保留根号).
三、坐标系中的动点问题
动点P(a,2)的运动轨迹是 _____________________________________________________ 动点P(a,a+2)的运动轨迹是 ___________________________________________________ 动点P (a,a2-2a) 的运动轨迹是____________________________________________________ 1.在平面直角坐标系中，A (2, 0)、B (0, 3), 过点3作直线〃兀轴，点P(Q,3)
是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰RL4PQ, ZAP0=9O°,
直线AQ交y轴于点C.
(1)当时，求点Q的坐标
(2)当点P在直线上运动时，点Q也随之运
动.当0=____________ 时，AQ+BQ的值最小为_______________
8.如图，ZVIOB是直角三角形，ZAOB=90\ OB=2OA9
点A在反比例函数y=-的图象上.设点B的坐标x
为(m,/?),则〃与加的等量关系是 _________________ .
3.如图，在直角坐标系中，O为坐标原点为，直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于A、
B两点，动点D在射线AO上，将线段DB绕着点D顺时针旋转90。
得到线段DC.设点D的横坐标为加.
(1)请直接写出B点的坐标；
(2)当R为何值时，四边形ADCB为平行四边形?
(3)当△BOC的周长最小时，求加的值.。