第三章 误差的合成与分配 (全)

f xi xi
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
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那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
xn1, xn2 ,..., xnN 对 xn ：
…
6
y1
f f f x11 x21 ... xn1 x1 x2 xn
f f f x12 x22 ... xn 2 x1 x2 xn
则
y
的随机误差为：
y2
随机误差的合成：常采用标准差方和根的方法，同时要考 虑各误差的传递系数和误差间的相关性影响。 一. 标准差的合成 设有q个单项随机误差，其标准差分别为 1 , 2 ,..., q ，其相应 的传递系数为 a1 , a2 ,..., aq 。根据方和根的运算方法，各标准差合
成后的总标准差为：
第三章 误差的合成与分配
第一节 函数误差
第二节 随机误差的合成
第三节 系统误差的合成 第四节 系统误差与随机误差的合成 第五节 误差分配 第六节 微小误差取舍准则
第七节 最佳测量方案的确定
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任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中 各环节一系列误差因素共同作用的结果。
正确分析与综合这些误差因素，并正确地表述这些误差的 综合影响。
f f f sin x1 x2 ... xn 三角函数的系统误差： x1 x2 xn
以正弦三角函数 sin f ( x1, x2 ,..., xn ) 为例：
对正弦函数微分：
d sin cos d
或
d sin d cos
2
2
2
若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时，有：
Kij
x
m 1
N
im
x jm
N
0
2
ij 0
2 2
f 2 f 2 f 2 2 y xn x1 x2 ... 则误差公式变为： x1 x2 xn
N
im
x jm
)
N
定义： Kij m1 可得：
x
N
im
x jm
ห้องสมุดไป่ตู้
N
2 2
ij
K ij
xx
i
或
j
Kij ij xi x j
n f 2 f 2 f 2 f f ij xi x j ) xn 2 ( x1 x2 ... 1i j xi x j x1 x2 xn 2 y
（3）简单计算法： 将多组测量的对应值 (i ,i ) 在平面坐标 上作图。
cos(
n1 n3
n
i 1
4
)
i
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（4）直接计算法：根据定义

( (
i
i
)(i )
) 2 (i ) 2
( xi , x j )
(x
（较常使用）
9
y a12 x21 a 22 x22 ... a n2 x2n
当各个测量值的随机误差为正态分布时，上式中的标准差用 极限误差代替，得函数的极限误差公式：
2 2 2 2 2 lim y a12 lim a ... a x 2 lim x n lim x
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将上式各项除以 N 得：
2 y
f 2 f 2 f 2 f f ... 2 ( xn x1 x2 x x x 1i j xi x j 1 2 n
n
2
2
2
x
m 1
代替dx1,dx2,…dxn只能得到函数的随机误差δ y,得不到σ y
函数一般形式：
y f ( x1 , x2 ,..., xn )
假设对各测量值皆进行 N 次等精度测量，其相应的随机误差为： 对 x1 ： x11 , x12 ,..., x1N 对 x2 ： x21, x22 ,..., x2 N
f 2 f 2 f 2 y x1 xn x2 ... x1 x2 xn
2 2 2
f ai 令 xi
y a12 x21 a 22 x22 ... a n2 x2n
2
f 测量值之间的误差相关系数, x 为各测量值的误差传递系数。 i
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该式即为函数随机误差公式，其中 ij 为第 i 个测量值和第
j个
n f 2 f 2 f 2 f f 2 y ... 2 ( ij xi x j ) xn x1 x2 1i j xi x j x1 x2 xn
（3）对于 tan f ( x1 , x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 2 cos x1 xn x2 ... x1 x2 xn
2 2 2
（4）对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
有些情况下，函数公式较简单，如：y a1 x1 a2 x2 ... an xn ,
y a1 x1 a2 x2 ... an xn ，误差传递系数 ai 为常数。 则：
在间接测量中，常遇到角度测量，以 sin ,cos , tan ,cot 等形式出现。
较小，可用来代替上式中的微分量，得：
y f f f x1 x2 ... xn （函数系统误差公式） x1 x2 xn
3
f xi (i 1, 2,..., n) 为各个直接测量值的误差传递系数。 式中：
f f f y x1 x2 ... xn x1 x2 xn
k k
ik
xi )( x jk x j )
k
2 2 ( x x ) ( x x ) ik i jk j
（5）理论计算法： 有些误差的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求的。
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第二节 随机误差的合成
随机误差具有随机性，其取值不可预知，用测量的标准差
或极限误差表征其取值的分散程度。
映，所以在误差合成时，先求得相关系数再计算出相关项大小。
由相关系数定义知：
D

式中： D ——误差间的协方差；
, ——两误差的标准差。
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D

由概率论知： 1 1
当 0 1 时，正相关； 当 1 0时，负相关； 当 1 时，完全正相关；
yN
f f f x1N x2 N ... xnN x1 x2 xn
…
将上式各方程平方后再相加得：
y12 y2 2 ... yN 2
2
f 2 2 2 ( x11 x12 ... x1 N ) x1
1 2
n
极限误差的定义：？ 通常 ai 1 ，且函数形式较简单，即 y x1 x2 ... xn
2 2 2 则函数标准差为： y x1 x2 ... xn
2 2 2 函数的极限误差为： lim y lim ... x1 lim x2 lim xn
2 2 2
（2）对于 cos f ( x1 , x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... sin x1 x2 xn
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2 2 2
当 当
1 时，完全负相关；
0
时，线性无关。
只能表示两误差间的线性关系的密切程度，当 很小甚 注意：
至等于0时，两误差间不存在线性关系，但并不表示不存在其他函 数关系。 3.确定 的几种方法 （1）直接判断法；根据误差可能有无联系、或联系强弱确定
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（2）观察法： 用多组测量的对应值 (i ,i ) 作图，并与图3－3（标准图）相比较， 从而确定相关系数的近似值。
y f ( x1 , x2 ,..., xn )
x1 , x2 ,..., xn ——各个直接测量值； 式中：
y ——间接测量值。
f f f dx1 dx2 ... dxn 函数增量为： dy x1 x2 xn
若已知各直接测量值的系统误差 x1 , x2 ,..., xn ，由于这些误差
以系统误差代替微分量
sin cos
4
代入即得正弦函数的角度系统误差公式为：
1 f f f 1 n f ( x1 x2 ... xn ) xi cos x1 x2 xn cos i 1 xi
同理可得其他三角函数的角度系统误差公式：
对于 cos f ( x1 , x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为： 1 n f xi sin i 1 xi
对于 tan f ( x1 , x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
cos 2
i 1
n
f xi xi
f 2 f 2 f 2 2 sin x1 xn x2 ... x1 x2 xn
2 2 2
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三. 误差间的相关关系和相关系数
1.误差间的线性相关关系 即线性依赖关系，有强弱之分。 2.相关系数 当两误差间有线性关系时，其相关性强弱由相关系数来反

(a )
i 1 i i
q
2
2 ij ai a j i j