等差、等比数列的前n项和知识梳理

等差、等比数列的前n 项和
【考纲要求】
1．熟练掌握等差数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用； 2．熟练掌握等比数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用； 3．掌握数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系式。

【知识网络】
【考点梳理】
【高清课堂：数列的求和问题 388559 知识要点】
知识点一：数列的前n 项和n S 的相关公式 1.等差数列的前n 项和n S 公式：
211()(1)
22
n n n a a n n S na d An Bn +-=
=+=+（A B 、为常数） 当0d ≠时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0； 当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式. 2.等比数列的前n 项和n S 公式：
当1q =时，1n a a =，1231n n S a a a a na =+++
+=，
当1≠q 时，11(1)11n n n a a q
a q S q q
--==--
3.任意数列的第n 项n a 与前n 项和n S 之间的关系式：
1
1(1)(2)
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩
【典型例题】
类型一：等差数列的前n 项和公式及其性质
例1.等差数列{}n a 的前30项之和为50，前50项之和为30，求80S 。

【思路分析】根据等差数列前n 项公式1(1)2
n n n S na d -=+
，
整体代入，或者应用公式2
n S An Bn =+。

【解析】法一: ∵{}n a 为等差数列， ∴1(1)
2
n n n S na d -=+, 等差、等比数列的前n 项和
等比数列的求和公式
等差数列的求和公式
∴ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-+==-+=)2......(302505050)1......(5023030302
1502130d a S d a S
(2)-(1)有22150303050202022a d d --++=-， 即 27911d
a +=- ∴ 80)2
79(802)180(80801180-=+=-+=d
a d a S 。

法二: ∵{}n a 为等差数列， ∴2n S An Bn =+,
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=+⋅=B
A S
B A S 50503030250230 即 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)2.......(505030)1........(
3030502
2
B A B A
∴ (2)-(1)有：22
(5030)(5030)20A n -+-=- 即20(80)20A B +=-, ∴801A B +=-,
∴280808080(80)80S A B A B =+=+=-。

法三:∵{}n a 为等差数列， ∴2
)
(1n n a a n S +=
，3150180a a a a +=+, ∵31a ,32a ,…, 50a 也为等差数列， ∴ )(10)(102
)
(20801503150315032313050a a a a a a a a a S S +⋅=+⋅=+⋅=+++=- ,
∴ 210
50
30103050801-=-=-=+S S a a ,
∴ 80)(402
)(8080180180
-=+⋅=+⋅=a a a a S .
【总结升华】法一、二均可用方程思想求出A 、B 、1a 、d 来，然后求未知，运算量则相对很大，此时要注意整体思想的运用。

举一反三：
【变式】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63
B ．45
C ．36
D ．27
【解析】法一：依据已知有：3161
32392
656362
⨯⎧
=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩S a d S a d 即1132512+=⎧⎨+=⎩a d a d
解得11
2=⎧⎨=⎩
a d ，所以78913151745++=++=a a a 。

法二：依据等差数列的性质有：连续三项和也成等差数列
3S 、63-S S 、789++a a a 成等差数列，
所以6337892()()-=+++S S S a a a ， 有78913151745++=++=a a a ，故选B
例2.（2016 桂林模拟）等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且745
3S
n n T n n +=-，则使得a n b n
为
整数的正整数的n 的个数是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【思路分析】需要把所求的等差数列的项的比值的问题转化为前n 项和的比值的问题。

【解析】∵等差数列{a n }、{b n }，
∴1212n n a a a -+=
，121
2n n b b b -+=， ∴
12121121
21()
2,()2
n n n n n n n n n a a a na S n b b b nb T ----+===+ 又745,3S
n n T n n
+=- ∴7(21)45667,(21)324a
n n b n n n
-+==+--- 经验证，当n=1，3，5，13，35时，a n
b n 为整数，
则使得a n
b n
为整数的正整数的n 的个数是5．
故选C ．
【总结升华】由于等差数列{}n a 中1121(21)()
(21)2
n n n n a a S n a ---+=
=-，
所以已知等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，则(1) 2121
n n n n a S
b T --=，(2) 12121212--⋅--=n m n m T S m n b a 。

举一反三：
【变式1】等差数列}{n a 中，若513=a , 则9=S _________. 【解析】由12121(21)()
(21)2
n n n n a a S n a ---+=
=-，得959913117==⨯=S a .
【变式2】已知两等差数列}{n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且
2372+=-n n S n T n ，则1010
a b = . 【解析】
10191019219341
7192131
⨯+===⨯-a S b T . 类型二：等差数列求和公式的应用
【高清课堂：等差数列382420 典型例题三】
例3．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1()
2
n n n a a S +=
.求证：数列{}n a 为等差数列． 【思路分析】判断一个数列是否等差数列，可以参考考点梳理中罗列的方法。

证明：由1()2n n n a a S +=
得111(1)()
2n n n a a S ++++=，所以 11111(1)()()
22
n n n n n n a a n a a a S S ++++++=-=-
整理得11(1)n n n a na a +--=-，又得11(2)(1)(1)n n n a n a a n ----=-> 相减并整理得: 112(2)n n n a a a n +-+=≥ 所以数列{}n a 是个等差数列 举一反三：
【变式1】设{a n }是等差数列,证明以b n =
n
a a a n +⋅⋅⋅++21(n ∈N *
)为通项公式的数列{b n }是等差数列.
证法一:设等差数列{a n }的公差是d(常数),
当n ≥2时，
1n n b b --=
n
a a a n +⋅⋅⋅++21-11
21-+⋅⋅⋅++-n a a a n
=
)
1(2)
)(1(2)(111-+--+-n a a n n a a n n n
=
22111-+-+n n a a a a =11
2n n a a --（）
=1
2
d (常数) ∴{b n }是等差数列.
证法二:等差数列{a n }的前n 项和1(1)
2
n n n S na d -=+
, ∴b n =121111(1)1[]()2222
n a a a n n n d d na d a d n a n n ++⋅⋅⋅+--=+=+=⋅+-
∴{b n }是等差数列.
【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有:
(1)定义法:a n+1-a n =d(常数)(n ∈N *
)⇔{a n }是等差数列;
(2)中项公式法:2a n+1=a n +a n+2(n ∈N *
)⇔{a n }是等差数列;
(3)通项公式法:a n =kn+b(k 、b 是常数)(n ∈N *
)⇔{a n }是等差数列;
(4)前n 项和公式法:S n =An 2+Bn(A 、B 是常数)(n ∈N *
)⇔{a n }是等差数列. 【变式2】已知数列{a n }，a n ∈N *
，S n =2)2(81+n a ，求证：{a n }是等差数列；
【答案】a n+1 = S n+1–S n 221)2(8
1
)2(81+-+=+n n a a ,
∴8a n+1 =221)2()2(+-++n n a a , ∴0)2()2(221=+--+n n a a ,
∴11()(4)0n n n n a a a a +++--=， ∵a n ∈N *
，∴10n n a a ++≠，
∴140n n a a +--=，即14n n a a +-=， ∴数列{a n }是等差数列.
例4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若312a =,120S >,130S <. （1）求公差d 的取值范围；
（2）n 为何值时，S n 最大，并说明理由。

【解析】
（1）由⎩⎨⎧<+>+⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
<⨯+=>⨯+=0601120212131302
11121211113112a a d a d a S d a S
又由31212a a d =+=得1122a d =-代入不等式组
∴⎩
⎨
⎧<+>+030724d d ， 解出.3724
-<<-d
（2）方法一：由（1）知：30a >且0d <
∴数列{}n a 是递减数列，
由121300S S >⎧⎨<⎩得1
1
121112021312130
2a d a d ⨯⎧+>⎪⎪⎨⨯⎪+<⎪⎩ ∴ ⎪⎩⎪
⎨⎧
<+>->+060251
1d a d d a 即6700a a >⎧⎨
<⎩， ∴{}n a 中最后一个正数项是6a ，7a 开始为负数项 ∴当n=6时，n S 最大.
方法二：由（1）知：30a >且0d < ∴数列{}n a 是递减数列，
若要n S 最大，需确定数列中最后一个非负数项是第几项.
由 1121212()
02a a S +=
> ∴1120a a +>即670a a +>, ∴67a a >-
由 1131313()
02
a a S +=
<， ∴1130a a +<, 即720a <, ∴70a <, ∴60a > ∴{}n a 中最后一个正数项是6a ，7a 开始为负数项
∴当n=6时，n S 最大. 方法三：1(1)(1)
(122)22
n n n n n S na d n d d --=+
=-+ 2212424[(5)](5)228d d n d d
=----
∵ d<0, ∴当2124
[(5)]2n d
-
-最小时n S 有最大值， 当24
37d -<<-时，1246(5) 6.52d
<-<
∴当n=6时2
124[(5)]2n d
--最小，即6S 最大，
方法四：{}n a 是等差数列，故设2n S an bn =+，如图所示
∵120S >,130S <，
∴抛物线与x 轴的另一个交点在n=12与n=13之间。

∴对称轴l 的位置在6与6.5之间，
易知n=6对应的A 点与对称轴的距离比n=7对应的点B 与对称轴的距离要近， 故A 为最高点，6S 最大。

举一反三：
【变式】在等差数列{}n a 中，10<a ，912S S =，求当n 为何值时，n S 最小。

【解析】法一：∵912S S =，∴1291011120S S a a a -=++=
∵1012112a a a +=，∴110=a ， ∵10<a ，∴0>d
∴12910,,...,,a a a a 均为负数，110=a ，而12a 以及以后各项都为正数， ∴当10=n 或11n =时，n S 有最小值为1011S S =。

法二：设数列{}n a 的公差为d ，则
由912S S =，得119(91)12(121)
91222
a d a d --+=+， 即110a d =-， ∵10<a ，∴0>d ， ∴221(1)12121441()222228
n n n d S na d dn dn n d -=+
=-=--， ∴当10=n 或11n =时，n S 有最小值为1011S S =。

类型三、等比数列的前n 项和公式及其性质
【高清课堂：数列的概念388518 典型例题二】
例5.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知342332,32S a S a =-=-,则公比q ＝( ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
答案：B
解析：342332,32S a S a =-=-，两式相减：3433a a a =- 所以4q = 举一反三
【变式】等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=,求3132310log log ...log a a a +++. 解析：∵{}n a 是等比数列，∴110293847569a a a a a a a a a a ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅= ∴1032313log log log a a a +++ 553123
103563log ()log ()log 910a a a a a a =⋅⋅=⋅==
类型四：等比数列求和公式的应用
例6．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：log 5(S n +1)=n(n ∈N +),求出数列{a n }的通项公式，并判断{a n }是何种数列？
【思路分析】判断一个数列是什么类型的数列，应该从等差、等比数列的概念出发。

解析：∵log 5(S n +1)=n,∴S n +1=5n ,∴S n =5n
-1 (n ∈N +),
∴a 1=S 1=51
-1=4,
当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(5n -1)-(5n-1-1)=5n -5n-1=5n-1(5-1)=4×5n-1
而n=1时，4×5n-1=4×51-1
=4=a 1,
∴n ∈N +时，a n =4×5n-1
由上述通项公式，可知{a n }为首项为4，公比为5的等比数列. 举一反三：
【变式1】已知数列{C n }，其中C n =2n +3n
，且数列{C n+1-pC n }为等比数列，求常数p 。

解析：p=2或p=3；
∵{C n+1-pC n }是等比数列，
∴对任意n ∈N 且n ≥2，有(C n+1-pC n )2
=(C n+2-pC n+1)(C n -pC n-1)
∵C n =2n +3n ,∴[(2n+1+3n+1)-p(2n +3n )]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]·[(2n +3n )-p(2n-1+3n-1
)]
即[(2-p)·2n +(3-p)·3n ]2=[(2-p)·2n+1+(3-p)·3n+1]·[(2-p)·2n-1+(3-p)·3n-1
]
整理得：
1
(2)(3)2306
n n p p --⋅⋅=,解得：p=2或p=3, 显然C n+1-pC n ≠0，故p=2或p=3为所求.
【变式2】设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，C n =a n +b n ,证明数列{C n }不是等比数列. 证明：设数列{a n }、{b n }的公比分别为p, q ，且p ≠q
为证{C n }不是等比数列，只需证2
132C C C ⋅≠.
∵222222
2111111()2C a p b q a p b q a b pq =+=++,
222222221311111111()()()C C a b a p b q a p b q a b p q ⋅=++=+++
∴22
13211()C C C a b p q ⋅-=-,
又∵ p ≠q, a 1≠0, b 1≠0,
∴21320C C C ⋅-≠即2
132C C C ⋅≠
∴数列{C n }不是等比数列.
例7(2015 浙江高考)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2，b 1=1，a n +1=2a n （n ∈N *），b 1+b 2+b 3+…+b n =b n+1﹣1（n ∈N *）
（Ⅰ）求a n 与b n ；
（Ⅱ）记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n ． 解：（Ⅰ）由a 1=2，a n +1=2a n ，得
．
由题意知，当n =1时，b 1=b 2﹣1，故b 2=2， 当n ≥2时，b 1+b 2+b 3+…+
=b n ﹣1，和原递推式作差得， ，整理得：
，
∴
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 因此
，
两式作差得：
，
（n ∈N *）．
【举一反三】 【变式】（2015 河北高考）S n 为数列{a n }的前n 项和，己知a n ＞0，a n 2+2a n =4S n +3 （I ）求{a n }的通项公式： （Ⅱ）设b n =
，求数列{b n }的前n 项和．
解：（I ）由a n 2+2a n =4S n +3，可知a n +12+2a n +1=4S n +1+3 两式相减得a n +12﹣a n 2+2（a n +1﹣a n ）=4a n +1， 即2（a n +1+a n ）=a n +12﹣a n 2=（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ）， ∵a n ＞0，∴a n +1﹣a n =2， ∵a 12+2a 1=4a 1+3，
∴a 1=﹣1（舍）或a 1=3，
则{a n }是首项为3，公差d =2的等差数列， ∴{a n }的通项公式a n =3+2（n ﹣1）=2n +1： （Ⅱ）∵a n =2n +1， ∴b n =
=
=（
﹣）， ∴数列{b n }的前n 项和T n =（﹣
+…+
﹣
）=（﹣
）=
．
【巩固练习】
1．在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ） A ．9 B ．12
C ．16
D ．17
2．在等比数列{}n a 中，若62=a ，且0122345=+--a a a ，则n a 为（ ）
A ．6
B ．2
)
1(6--⋅n C ．2
2
6-⋅n D ．6或2
)
1(6--⋅n 或2
2
6-⋅n
3.【2015 全国卷Ⅱ】 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )
A ．21
B ．42
C ．63
D ．84
4．已知等差数列n a n 的前}{项和为m S a a a m S m m m m n 则且若,38,0,1,122
11==-+>-+-等于（ ）
A ．38
B ．20
C ．10
D ．9
5．数列{}n a 的通项公式1
1++=n n a n ，则该数列的前（ ）项之和等于9。

A ．98
B ．99
C ．96
D ．97
6．等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若
231n n S n T n =+,则n n
a b =（ ） A ．
23 B ．2131n n -- C ．21
31
n n ++ D ．2134n n -+
7.（2016 浙江高考）设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= .
8．已知数列{}n a 的前n 项和12
++=n n S n ，则12111098a a a a a ++++=_____________。

9.【2015 湖南高考】 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．
10．在等差数列{}n a 中，公差2
1
=
d ，前100项的和45100=S ，则99531...a a a a ++++=_____________。

11．若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则13__________.S =
12．一个等比数列各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后面两项的和，则公比q 为_______________。

13.在数列{}n a 中，11a =，122n
n n a a +=+．
（Ⅰ）设1
2
n
n n a b -=
，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
14.一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，如果其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数。

15. 【2015 山东高考】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＝3n ＋3.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 16.（2016 天津高考）已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N ∈*，且
123
112
,a a a -=.663S = (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)若对任意的,b n n N ∈*是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列()
{}
21n
n b -的前2n 项和.
【参考答案与解析】
1.A 4841,3,S S S =-=而48412816122016,,,,,S S S S S S S S S ----成等差数列 即1,3,5,7,9,1718192020169a a a a S S +++=-=
2.D 22
5432534232220,22,(1)2(1)a a a a a a a a a q a q --+=-=--=- 2
32210,2,11a a q q =-==-或或，当1q =时，6n a =；
当1q =-时，12
16,6(1)6(1)n n n a a --=-=-⋅-=⋅-； 当2q =时，12
13,3262n n n a a --==⋅=⋅；
3.【答案】B
【解析】 由a 1＝3，得a 1＋a 3＋a 5＝3(1＋q 2＋q 4)＝21，所以1＋q 2＋q 4＝7，
即(q 2＋3)(q 2－2)＝0，解得q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42，故选B.
4.C 2
0,(2)0,2,m m m m m m a a a a a a +-=-==
21121221
()(21)38,21192m m m m S a a m a m ---=+=-=-=
5.B ...n n a S =
==+
110,99n S n ===
6.B 1212121121
21
()
22(21)2122123(21)131
()2
n n n n n n n n n a a a a S n n n b b T n n b b -----+--=====
--+-+ 7.【答案】1，121
【解析】a1 + a2 =4，a2=2 a1 +1⇒ a1 =1， a2 =3，再由an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1（n ≥2），得an+1- an=
2a n ，即a n +1 =3a n ，又a 2 =3a 1，所以a n +1 =3a n （n ≥1），故{a n }为公比为3的等比数列，S 5=51313
--=121.
8.100 22
8910111212712121(771)100a a a a a S S ++++=-=++-++=
9．【答案】3n -1
【解析】 设等比数列{a n }的公比为q .由3S 1，2S 2，S 3成等差数列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，所以3a 2＝a 3，得公比q ＝3，所以a n ＝a 1q n -1＝3n -1.
10. 10 100110011001991100100
()45,0.9,0.4,2S a a a a a a a a d =
+=+=+=+-= "
1995050()0.41022
S a a =+=⨯= 11.156 3710114311104713113713
12,,12,()132
a a a a a a a a a a S a a a +-+-=+=+==+=
12.12
设22121,10,0,2
n n n n n a a a qa q a q q q q ++-+=+=++-=>= 13.解：（1）122n n n a a +=+，11122
n n n n a a +-=+，11n n b b +=+， 则{}n b 为等差数列，11b =，
∴n b n =，12-=⋅n n a n ．
（2）01211222(1)22--=⨯+⨯++-⋅+⋅n n n S n n
12121222(1)22-=⨯+⨯++-⋅+⋅n n n S n n
两式相减，得 01121222221-=⋅-⋅--
-=⋅-+n n n n n S n n ． 14.解：设此数列的公比为,(1)q q ≠，项数为2n ， 则22222(1)1()85,170,11n n
a q q S S q q
--====--奇偶 2221122,85,2256,28,14
n
n S a q n S a -======-偶奇 ∴,2=q 项数为8
15．【解析】(1)因为2S n ＝3n ＋3，
所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3.
当n >1时，2S n －1＝3n -1＋3，
此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n -1＝2×3n -1，即a n ＝3n -1，
所以13,1
3,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩
(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以113
b = ， 当n >1时，b n ＝31-n log 33n -1＝(n －1)·31-n ， 所以1113T b ==
； 当n >1时，
T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13
＋[1×3-1＋2×3-2＋…＋(n －1)×31-n ]， 所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3-1＋…＋(n －1)×32-n ]，
两式相减，得
2T n ＝23
＋(30＋3-1＋3-2＋…＋32-n )－(n －1)×31-n ＝23＋111313
n
----－(n －1)×31-n
＝
136－6323n n +⋅， 所以13631243n n n T +=-⋅. 经检验，n ＝1时也适合． 综上可得13631243
n n n T +=-⋅. 16. 【解析】（Ⅰ）解：设数列}{n a 的公比为q ，由已知有
2111211q a q a a =-，解之可得1,2-==q q ，又由616(1)631a q S q -==-知1-≠q ，所以632
1)21(61=--a ，解之得11=a ，所以12-=n n a . （Ⅱ）解：由题意得21)2log 2(log 21)log (log 21212122-=+=+=
-+n a a b n n n n n ，即数列}{n b 是首项为
21，公差为1的等差数列. 设数列})1{(2n n b -的前n 项和为n T ，则2212212221224232221222)(2)()()(n b b n b b b b b b b b b T n n n n n =+=+⋅⋅⋅++=+-+⋅⋅⋅++-++-=-。