浅谈导数在解决实际问题中的应用文献综述
浅谈导数在实际生活中的一些应用
浅谈导数在实际生活中的一些应用
导数是分析学的重要概念，它可以帮助我们深入研究函数的性质及其变化情况。
其中最重要的是：它可以帮助我们求函数的增减趋势，而增减趋势和曲线形状联系紧密，可以为求最值提供有力的支持。
因此，导数（例如求最值问题）在实际生活中有许多重要的应用。
（1）导数在经济学中有着广泛的应用，从投资策略到税制设计都离不开它。
例如：利润最大化问题，可以使用导数（求利润函数的导数为零）；关于税制设计，可以根据函数的导数的特点来制定出最优的策略等。
（2）在多元函数极值优化中，可以使用多元导数来定位函数极值。
例如：设计种植结构时，可以使用多元导数求一个准确的极值点。
（3）导数在物理学中也有广泛的应用，例如：求力矩与角度的关系，由导数可以轻松求出最大力矩角度；求流体压力场、温度场等，均可以利用导数研究局部变化情况，从而有效地分析问题。
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浅谈导数及应用(毕业论文)甘肃联合大学学生毕业论文题目：浅谈导数及应用作者：贺耀武指导教师：曹珂数学与信息学院数学系数学教育专业06 级三年制 2 班2008年12 月5 日0000/)()(lim )()(lim lim )(0x x x f x f x x f x x f x y x f x x o x o x --=∆-∆+=∆∆=→→∆→∆； 2． 导数的几何意义：函数y =f (x )在0x 处的导数的几何意义，就是曲线y =f (x )在点),(00y x 处的切线的斜率，即斜率为)(0x f '过点P 的切线方程为：))((000x x x f y y -'=-.3. 导函数、可导：如果函数y =f (x )在开区间),(b a 内的每点处都有导数，即对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(0x f '，从而构成了一个新的函数)(0x f ', 称这个函数)(0x f '为函数y =f (x )在开区间内的导函数，简称导数。
此时称函数y =f (x )在开区间),(b a 内可导.4． 可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点0x 处可导，那么函数y =f (x )在点0x 处连续.5. 依定义求导数的方法：（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim 6．几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；x x 1)'(ln =；e xx a a log 1)'(log =；x x e e =)'(；a a a x x ln )'(=。
浅谈导数在数学中的应用
浅谈导数在数学中的应用高海强（重庆三峡学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2008级一班）摘 要 导数是近代数学的重要基础.它是联系初.高等数学的纽带.本文主要针对导数的运用进行了阐述.微积分是大学数学的主要内容，微分学则是微积分中的基本概念之一，所以学习导数并熟练掌握导数的应用非常重要.导数的应用范围很广泛.它涉及了物理学.工程技术.经济学等领域. 关 键 词 导数 微分 函数1 导数的定义从数量关系而言，导数反映函数的自变量在变化时，相应的函数值变化的快慢程度——变化率（瞬时变化率）.从数学表达式而言，研究的是函数的增量与自变量的增量比的极限问题.2 证明不等式彰显导数方法的灵活性把证明的一元不等式通过构造函数转化为f(x)>0再求f(x)的最值，实现不等式证明.导数应用为解决此类问题开辟了新的道路.使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法.从而显示出导数方法运用的灵活性，普适性.例1 证明： 0x ∀>，有不等式ln(1)1xx x x <+<+ 证明：分别证明这俩个不等式 左端不等式 设()ln(1)1x f x x x =+-+ 2()(1)x f x x '=+ 0x ∀>，有()0,f x'>从而，函数()f x 在()0,+∞严格增加，且在[)0,+∞连续，又(0)0f =.于是，0x ∀>，有()ln(1)01xf x x x =+->+， 即0x ∀>，有ln(1)1x x x +>+ 右端不等式 设()ln(1),()1x g x x x g x x '=-+=+ 0x ∀>有，()0g x '>.从而，函数()g x 在()0,+∞严格增加，且在[)0,+∞连续，又(0)0g =.于是，0x ∀>，有()ln(1)0g x x x =-+>，即0x ∀>有ln(1)x x >+.综上所证，0x ∀>，有不等式ln(1)1xx x x <+<+.3 以导数知识为工具研究函数单调性对函数单调性的研究，导数作为强有力的工具提供了简单.程序化的方法.具有普遍的可操作方法.定理 1 设函数()f x 在区间I 可导.函数()f x 区间I 单调增加（单调减少）⇔有x I ∀∈,有()0(()0)f x f x ''≥≤.证明 只给出单调增加情况的证明，同法可证单调减少的情况.必要性()⇒x I ∀∈，取(0)x x I x +∆∈∆≠.已知函数()f x 在区间I 单调增加. 当0x ∆>时，有()()f x f x x ≤+∆ 或()()0f x x f x +∆-≥ 当0x ∆<时，有()()f x x f x +∆≤ 或()()0f x x f x +∆-≤从而，()()0f x x f x x+∆-≥∆.已知函数()f x 在x 可导，则x I ∀∈有，0()()()lim 0x f x x f x f x x∆→+∆-'=≥∆.充分性()⇐12,x x I ∀∈，且12x x <.函数()f x 在区间[]12,x x 满足微分中值定理的条件， 有212112()()()(),.f x f x f x x x x ξξ'-=-<< 已知21()0,0f x x ξ'≥->，有21()()0f x f x -≥或12()()f x f x ≤，即函数()f x 在区间I 单调增加.例2 讨论函数2()x f x e -=的严格单调性. 解 函数()f x 的定义域是R .2()2x f x xe -'=-.令2()20x f x xe -'=-=，其根是0，它将定义域R 分成两个区间(),0-∞与()0,+∞.作表如下：(),0-∞()0,+∞()f x ' +-()f x↗↘函数不等式是表示函数之间的大小关系.应用函数单调性的判别法可证明一些函数的不等式.4 利用导数求切线“在”“过”求曲线的切线是导数的重要功能之一，但容易出现疏漏，尤其在求曲线的问题中的“在”于“过”更易出错.例3 过点(1,1)P 作曲线3y x =的两条切线1l 与2l ，设12,l l 的夹角为θ，则tan ?θ= 解 由3y x =得，23y x '=.设300(,)Q x x 为切点.则在Q 点的切线方程为l ：320003()y x x x x -=-3220000013(1)(1)(21)0P l x x x x x ∈∴-=-∴-+=01x ∴=或001121233,4x x k y k y=-=''∴====012x =12129tan 113k k k k θ-∴==+从中可发现斜率为34的切线并不以点(1,1)P 为切点，而是经过P 点且以点11,28--⎛⎫ ⎪⎝⎭为切点的直线.这说明“过”曲线上一点P 的切线，点P 未必是切点.对于利用导数解决切线“过”与“在”的问题可归纳以下几点： A 、 曲线在某点处的切线若有则只有一条. B 、 曲线过某点的切线往往不只一条. C 、 切线与曲线的公共点不一定只有一个.D 、 解决问题关键是设切点，利用导数切斜率.而很多人没有意识到以上问题导致漏解.5 利用导数求函数极（最）值费马定理指出：若函数在0x 可导，且0x 是函数()f x 的极值点，则0()0f x '=，即可导函数()f x 的极值点0x 必是方程0()0f x '=的根.定理2 若函数()f x 在()U a 可导，且()0,0,f a δ'=∃>有0(0),(,)()0(0),(,)x a a f x x a a δδ><∀∈-⎧'⎨<>∀∈+⎩ 则a 是函数()f x 的极大点（极小点），()f a 是极大值（极小值）证明 只给出极大点情况的证明，则极小点易证.已知a 是()f x 的稳定点，且(,)x a a δ∀∈-，有()0f x '>，从而函数()f x 在(],a a δ-，严格增加，即(,)x a a δ∀∈-，有()()f x f a ≤.(,)x a a δ∀∈+，有()0f x '<，从而函数()f x 在[),a a δ+严格减少，即[),x a a δ∀∈+，有()()f x f a ≤.于是，有()()f x f a ≤a 是函数()f x 的极大点，()f a 是极大值.定理3若函数在a 存在n 阶导数，且(1)()()()()0,()0n n f a f a f a f a -'''==⋅⋅⋅==≠， 1）n 是奇数，则a 不是函数()f x 的极值点； 2）n 是偶数，则a 是函数()f x 的极值点；当()()0n f a >时，a 是函数()f x 的极小点，()f a 是极小值； 当()()0n f a <时，a 是函数()f x 的极大点，()f a 是极大值.例4 讨论函数()2cos x x f x x e e -=++的极值.解 ()2sin x x f x e e x -'=--.令()0f x '=，解得一个稳定点0.()2cos ,(0)0x x f x e e x f -''''=+-= ()2sin ,(0)0x x f x e e x f -''''''=-+= (4)(4)()2cos ,(0)40.x x f x e e x f -=++=>于是，稳定点0是函数()f x 的极小点，极小值是(0)4f =.参考文献：1 刘玉琏，傅沛仁，林玎，苑德薪，刘宁.数学分析讲义（M ）（第四版）上册.北京：高等教育出版社.20022 刘玉琏，傅沛仁，林玎，苑德薪，刘宁.数学分析讲义（M ）（第五版）下册.北京：高等教育出版社.20083 浅谈导数在数学中的应用（A ）,王雪佳,哈尔滨学院。
浅谈导数及其应用 毕业论文
河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目：浅谈导数及其应用学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学班级：2008级A班学生姓名：学号： 2008011414 指导教师：职称：教授1、论文（设计）研究目标及主要任务研究目标:通过对微分学中导数概念及其应用的研究，体会导数在数学思想史和科学思想史的应用价值。
主要任务:（1）系统了解微积分理论。
（2）认识微积分的创立的重要意义，挖掘导数概念产生背景。
（3）结合所学专业知识，探索导数的应用价值。
2、论文（设计）的主要内容（1）微积分学产生的时代背景和历史意义。
（2）导数概念产生的背景。
（3）导数在解决相关知识问题中的重要应用。
3、论文（设计）的基础条件及研究路线基础条件：（1）数学学科专业知识（2）英语阅读能力（3）材料分析汇总能力研究路线：导数概念的产生背景——导数的性质——导数的应用4、主要参考文献[1] 史宁中.中学概率与微积分研究.北京：高等教育出版社，2010.[2] 张天德.高等数学同步辅导（上）.济南：山东科学技术出版社，2009.[3] 施光燕.高等数学讲稿.大连：大连理工大学出版社，2008.[4] 数学分析.上册.华东师范大学数学系.北京：高等教育出版社，2001.5、计划进度指导教师: 年月日教研室主任: 年月日河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书附页河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章本科生毕业论文设计浅谈导数及其应用作者姓名：王丽娜指导教师：雷建国所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学班级（届）：2012届数学A班二〇一二年五月一日目录中文摘要、关键词 (1)1. 引言 (2)2. 导数 (3)2.1 导数的概念 (3)2.1.1 导数定义 (3)2.1.2 单侧导数 (3)2.1.3 导函数 (3)2.1.4 高阶导数 (4)2.2 导数的意义 (4)2.3 可导函数的性质 (5)2.4 求导法则 (5)2.4.1 基本初等函数的求导公式 (5)2.4.2 导数的四则运算法则 (5)2.4.3 复合函数的求导法则 (6)2.4.4 反函数求导法则 (6)2.4.5 高阶导数的求导法则 (6)2.4.6 隐函数的求导 (6)3. 导数的应用 (8)3.1 导数在解决函数问题中的应用 (8)3.1.1 利用导数可以判定函数的单调性 (8)3.1.2 导数解决函数的极值与最值问题 (9)3.1.3 利用导数可以作出函数的图形 (11)3.1.4 利用导数求函数的值域 (12)3.1.5 利用导数可以求解函数的解析式 (13)3.1.6 利用导数可以判定函数的凸凹性及拐点 (13)3.2 导数在几何上的应用 (13)3.3 用导数解决不等式的证明问题 (15)3.4 用导数研究方程的根的情况 (15)3.4.1 求方程的近似解的方法 (17)3.4.2 判断方程的根的个数问题 (17)3.5 用导数求解极限 (19)3.5.1 0型不定式极限 (19)3.5.2 ∞∞型不定式极限 (20)3.5.3 其他类型的不定式极限 (20)3.6 用导数解决数列中的问题 (21)3.6.1 数列求和 (21)3.6.2 求数列中的最大或最小项 (22)3.7 用导数解决实际问题 (22)4. 结语 (24)参考文献 (25)英文摘要、关键词 (26)浅谈导数及其应用数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师雷建国作者王丽娜摘要：导数是微分学的一个基本的概念。
浅谈导数在实际生活中的应用
浅谈导数在实际生活中的应用什么是导数在数学中，导数是用来描述函数变化率的工具。
它可以帮助我们理解函数的斜率、曲率和变化速度等特性。
在导数的定义中，我们可以把它看做是一个具体的数值，表示某一时刻下函数的变化速率。
在实际应用中，导数可以帮助我们实现很多有用的功能，如优化算法、物理学、经济学、工程学等等领域。
以下是一些常见的导数应用。
导数在经济学中的应用经济学是应用导数最广泛的领域之一。
它可以帮助我们理解市场趋势、价格变化和供需关系等问题。
例如，在制定经济政策时，经济学家可以使用导数来帮助预测货币价值的变化趋势。
另外，在企业中，经济学家还可以利用导数帮助企业预测市场变化，优化生产流程，减少成本。
例如，在销售预测中，我们可以利用导数来找到每个产品的最优销售点，然后制定相关策略来提高销售额。
导数在物理学中的应用物理学家也经常使用导数来描述物体的变化。
例如，在运动学中，我们可以使用导数来求出物体的速度和加速度。
这些信息可以帮助我们理解物体的运动轨迹、能量消耗、碰撞等问题。
在量子力学中，导数也经常被用来表示波函数的变化。
波函数是用来描述量子系统的概率分布的函数。
它可以帮助我们理解粒子的位置、速度和能量等属性。
导数在工程学中的应用工程学包括很多不同的领域，如机械工程、电气工程和化学工程等。
在这些领域中，导数可以帮助我们优化设计和提高性能。
例如，在机械工程中，我们可以使用导数来设计出更优秀的机器人和汽车等设备。
在电气工程中，我们可以使用导数来分析电路中的电流和电势等问题。
这些信息可以帮助我们理解电器设备的性能和安全性。
导数在日常生活中的应用导数也可以用来解决日常生活中的问题。
例如，在交通规划中，导数可以帮助我们理解交通流量和车速的关系。
在物流管理中，导数可以帮助我们找到最短路径和最优路线来降低成本。
在健身领域中，导数可以用来设计更合理的锻炼计划，帮助我们快速达成身体健康的目标。
总结综上所述，导数在实际生活中的应用非常广泛。
高等数学导数论文数学论文导数及应用范文
高等数学导数论文数学论文导数及应用范文导数的几何意义伴随着导数进入高中数学教材后，给函数图象及性质的研究开辟了一条新的途径.下面是WTT为你整理的数学论文导数及应用，一起来看看吧。
数学论文导数及应用篇一一.利用导数的几何意义求光滑曲线切线的斜率函数y=f(x)在点的导数表示曲线y=f(x)在点处切线的斜率,这就是导数的几何意义。
我们通过例题看一下,利用导数的几何意义求光滑曲线切线的斜率。
例题1 求曲线y=x2在点(1,1)处切线的方程。
解:由导函数定义应用点斜式方程,可得曲线在(1,1)处的切线方程:y-1=2(x-1) 即2x-y-1=0 .二.利用导数的物理意义求瞬时速度、加速度、电流强度等。
导数的物理意义没有统一的解释,对于不同的物理量,导数有不同的物理意义。
例如,变速直线运动路程函数S对时间t的导数就是瞬时速度;瞬时速度V对时间t的导数就是加速度;通过导体某截面的电量Q对时间t的导数就是电流强度。
下面我们看一个具体的例题。
例题2 已知物体的运动规律为s=t3(米) ,求这个物体在t=2秒时的速度。
解:有导函数的定义有运动物体运动路程对时间的物理意义可知将t=2,带入上式,得三.利用导数的符号判别函数在某一区间的单调性及利用导数证明不等式导数是对函数的图像与性质的总结与拓展,导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具,广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。
具体例题如下: 例题3讨论函数的单调性。
解: ,当x>0时, >0 ;当x<0时, <0 .函数的定义域为 ,因为在内 <0,所以函数在上单调减少;因为在内 >0,所以函数在上单调增加。
例题4 证明当x>0时,解:设则 , 在x=0时为零,在内均大于零,故函数在上单调增加,对于任何x>0,有 .即所以四.利用导数研究函数的极值根据导数在驻点两侧的符号,可以判断函数在该驻点是极大值还是极小值。
导数的实际应用论文2000字
导数在实际生活中的最优化应用摘要：在我们的实际生活中，数学知识的应用无处不在，许多领域都与数学密切相关，如经济领域、医学领域、工业领域、天文领域、工程领域等。
数学中的导数知识是在实际生活中应用比较广泛的。
本文就对实际生活中导数最优化应用的相关问题进行分析和探讨。
关键词：导数；实际生活；最优化应用一、引言将数学知识与实际生活进行结合，可以更好地让人们理解一些较难掌握的知识点、公式以及定理等，是提高人们应用数学知识能力的关键。
导数作为数学知识的重要内容之一，其本身具有强大的实际应用价值，在一些生产和生活领域中，导数的应用可以高效地解决对最大值、最小值以及最优化等问题。
本文对导数知识加以理解和应用，真正将其深入到实际生活中，就具体最优化问题进行科学的解决的相关问题。
二、导数知识概念的有关分析导数是指一个函数的因变量对于自变量的变化率，即当自变量的增量趋于零时，因变量的增强和自变量的增量之商的极限就是导数。
在高等数学微积分中，导数一直是其中一个关键且重要的概念，本身具有较强的基础性特点。
早在十七世纪，导数是作为一个新概念由著名的数学家费马所研究并提出的。
在当时，导数本身主要应用于对函数极值的求解上（最大值与最小值），其相关概念还不够完善和系统。
在十七世纪后期，生产力水平的提高也极大地推动了科学技术的发展，很多著名的数学家对微积分进行了系统性的研究，并且对导数的概念也重新进行了定义。
对于社会生产和科学技术的发展来说，导数本身是一个重要的数学知识。
对于实际生活中的很多问题和很多事物之间的数量关系，很难利用一个数值来进行精确表示，这对于相关研究工作来说具有很大的影响。
通过导数的应用，可以将导数其中的变化率，从而解决了很多问题，因此导数在诸多领域中都得到了全面利用。
例如，在物理领域瞬时速度研究、经济领域中变化率问题、统计领域人口增长率等多方面内容的研究上，导数的应用都获得了很大的成效。
对于一个函数来说，如果其本身存在导数，那么这个函数本身就是可微分的，也就是可导的，这是解决一些实际生活中最优化问题的前提。
数学论文导数及应用范文（2）
数学论⽂导数及应⽤范⽂(2) 数学论⽂导数及应⽤篇三 摘要：⾼等数学是⼀门⽅法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。
然⽽导数这⼀章节在⾼等数学中是尤为重要的，在⾼等数学的整个学习过程中，它起着承前启后的作⽤，是学习⾼等数学⾮常重要的任务。
本⽂详细地阐述了导数的求解⽅法和在实际中的应⽤。
关键词：⾼等数学导数求解应⽤ 导数的基本概念在⾼等数学中地位很⾼，是⾼等数学的核⼼灵魂，因此学习导数的重要性是不⾔⽽喻的。
然⽽这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如何求解导数以及运⽤导数来解决有关的问题。
我通过⾃⼰的学习和认识，举例⼦说明了⼏种导数的求解⽅法以及导数在实际中的应⽤。
⼀、导数的定义 1.导数的定义 设函数y=f(x)在点x0的某⼀邻域内有定义，如果⾃变量x在x0的改变量为△x(x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内)时，相应的函数有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)。
若△y与△x之⽐，当△x→0时，有极限lim =lim 存在，就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数，且有函数y=f(x)在点x=x0处可导，记为f`(x0)。
2.导数的⼏何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数在⼏何上表⽰曲线y=f(x)在点〔x0，f(x0)〕处的切线斜率，即f`(x0)=tan，其中是切线的倾⾓。
如果y=f(x)在点x0处的导数为⽆穷⼤，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线y=f(x)在点〔x0，f(x0)〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。
根据导数的⼏何意义并应⽤直线的点斜式⽅程，可知曲线y=f(x)在点〔x0，f(x0)〕处的切线⽅程。
⼆、导数的应⽤ 1.实际应⽤ 假设某⼀公司每个⽉⽣产的产品固定的成本是1000元，关于⽣产数量x的可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的函数，总收⼊的函数，总利润的函数，边际收⼊，边际成本及边际利润等为零时的产量。
浅谈导数在实际生活中的应用
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导 数 知识 是 学 习 高 等数 学 的基 础 ， 是 从 生 产 技 术 和 自然 科 学 的 ２ ） 它 ｘ‘ ｘ在各 自的定义域 中都 只有一个极值点 ， 图象角度理解 即只有 从 需 要 中产 生 的， 时， 同 又促 进 了 生 产 技 术 和 自然 科 学 的发 展 ， 不 仅 在 它 个 波 峰 ， 单 峰 的 ， 而 这个 极 值 点 就 是 最 值 点 ， 必 考 虑 端 点 的 函 是 因 不 天文 、 物理 、 程 领 域 有 着广 泛 的应 用 ， 工 而且 在工 农 业 生 产 及 实 际生 活 数值 ． 中 ， 经 常 会 遇 到 如 何 才 能 使 “ 址 最 佳 ” 用 料 最 省 ” 流 量 最 大 ” 利 也 选 “ “ “ 例 ２圆柱 形 金 属饮 料罐 的容 积 一 定 时 ， 的 高 与 底 与 半 径 应 怎样 它 润 最 大 ”效 率 最 高 ” 优 化 问题 ． 类 问题 在 数 学 上 就 是 最 大 值 、 小 选 取 ， 能 使 所 用 的 材 料最 省 ？ “ 等 这 最 才
浅谈导数在解决实际问题中的应用开题报告
浅谈导数在解决实际问题中的应用开题报告开题报告浅谈导数在解决实际问题中的应用一、选题的背景与意义15世纪文艺复兴以后的欧洲,资本主义逐渐发展,采矿冶炼、机器发明、商业交往、枪炮制造、远洋航海、天象观测等大量实际问题,给数学提出了前所未有的亟待解决的新课题.其中有两类问题导致了导数概念的产生:一是求变速运动的瞬时速度;二是求曲线上一点处的切线.这两类问题都有归结为变量变化的快慢程度,即变化率问题.牛顿从第一个问题出发,莱布尼兹从第二个问题出发,分别给出了导数的概念.求变速运动的瞬时速度通常人们所说的物体的运动速度,是指物体在一段时间内的平均速度.例如:一汽车从甲地出发到达乙地,全程120千米,行驶4小时,则汽车行驶的平均速度是30千米/小时.事实上,汽车并不是每时每刻都以30千米/小时的速度行驶,这是因为,下坡时会跑得快些,上坡时会跑得慢些,也可能中途停车,等等,即汽车每时每刻的速度是变化的.一般来说平均速度不能反映汽车在某一时刻的瞬时速度.随着科学技术的发展,我们仅仅知道物体运动的平均速度是不够的,还要知道物体在某一时刻的瞬时速度.例如:研究子弹头的穿透能力必须知道弹头接触目标的瞬时速度.求曲线上一点处的切线斜率斜率导数是微积分中的重要基础概念.当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限.在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续.不连续的函数一定不可导.导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则.导数在实际应用方面有重要意义,物理学、经济学、几何学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示.譬如:导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度(就匀直加为例,位移关于时间的一阶导数是速度,二阶导数是加速度)、可以表示曲线在一点的斜率(矢量速度的方向)、还可以表示经济学中的边际和弹性.二、研究的基本内容和拟解决的主要问题本文的主要目的是通过查阅各种相关文献,寻找各种相关信息,来得到并了解导数的概念和定义,并且通过导数解决一些实际应用问题.本论文首先引出一些关于导数的概念.以下是有关概念: 定义1 设函数在点的某邻域内有定义,若极限1存在,则称函数在点处的导数,记作.令,,则1式可改写为2所以,导数是函数增量与自变量增量之比的极限.这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率又称差商,而导数则为在处关于的变化率.若1或2式极限不存在,则称在点处不可导.定义2 设函数在点的某右邻域上有定义,若右极限存在,则称该极限值为在点的右导数,记作.右导数和左导数统称为单侧导数.若函数在区间上每一点都可导对区间端点,仅考虑相应的单侧导数,则称为上的可导函数.此时对每一个,都有的一个导数或单侧导数与之对应.这样就定义了一个在上的函数,称为在上的导函数,也简称为导数.记作,或,即 ,.在物理学中导数也常用牛顿记号表示,而记号是莱布尼茨首先引用的.目前我们把看作为一个整体,也可以把它理解为施加于的求导运算,待到学过“微分”之后,我们将说明这个记号实际上是一个“商”.相应于上述各种表示导数的形式,有时也写作或.定义3 若函数在点的某邻域内对一切有,,则称函数在点取得极大小值,称点为极大小值点.极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点.利用导数求函数极最值这类问题的方法是:1用求导法求出函数导数.2令导数等于,得出驻点及其不可导点.3用这些点把区间分成几个部分,然后讨论函数的单调性.4求出极值点.5求出区间端点值与极值进行比较,得到最值.通过导数的定义,我们将利用导数的思想把导数应用到实际问题中.首先我们先叙述一下导数在物理学中的应用.数理不分家,导数在物理中有着广泛的应用.从实际问题抽象出数学模型后,抛弃物理背景,用导数方法处理,既可减少物理思维难度,又能开辟数学的应用天地.我们可以利用导数求速度和加速度,求感应电动势,求瞬间电流,对连接体进行速度的分解等等.解决非匀变速直线运动的物体的瞬时速度及瞬时加速度的问题,就只能利用导数处理.如果物体按的规律作直线运动,则物体在时刻的瞬时速度,也叫位移在时刻对时间的变化率:在时刻的瞬时加速度.例如:物体做直线运动,位移对时间的变化规律为,求物体运动的加速度和初速度各为多少?由定义有.初速度是指时刻的速度,将代入上式有:,.此题通常的求法是根据匀位移公式比较系数求出加速度和初速度.在解决一些非均匀物体的的问题时,也要利用导数.例如:有一个质量分布不均匀的细杆AB,长20cm,AM段的质量与从A到M 点的距离的平方成正比.已知AM2 cm时,AM质量为8g.求AB上任一点处的线密度?AB上中点处的线密度?解:依题意得到AM段的质量是AM段的距离的函数关系为:,由于时,,所以故质量对距离的函数关系为:,AB上任一点处的线密度就是质量对距离的导数,即g/mAB上中点处的线密度是时的线密度,即g/m在求电源的最大输出功率、求可变电阻消耗功的最值.以及炮弹的射程最远问题等都可利用导数得到解决,这里关键在于通过求导运算可以快速得到取极值的条件.接下来我们来叙述一下导数在经济中的应用.经济学是成本与收益的比较.经济学研究经济规律也就是研究经济变量相互之间的关系.经济变莓是可以取不同数值的量,如通货膨胀率、失业率、产量、收益等等,经济变量分为自变量与因变量.导数在经济领域中的应用.主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系.因此必须了解一些经济分析中常见的函数.常见的函数:1价格函数.一般说来,价格是销售量的函数.2需求函数.需求函数为,其中:表示商品需求量;表示商品市场价格.3成本函数.成本函数记为,,其中:为固定成本;为变动成本.4收益函数.收益函数记为,,其中:表示销售量;P表示价格.5利润函数.利润函数记为L,LR?C,其中:R表示收入;C表示成本.一、弹性分析经济学所分析的弹性问题主要可以分为需求弹性和供给弹性2个方面也可以,也可以分成点弹性和弧弹性2种,常见的弹性分析主要有需求的价格弹性、需求的收入弹性、需求的交叉弹性以及供给的价格弹性、供给的收入弹性、供给的交叉弹性等.1.需求弹性需求的价格弹性所谓需求的价格弹性,是指商品价格的变动率与其所引起的需求量变动率之比.公式为:当价格发生微小变化时:由于需求量与价格反方向变化,所以,与必有一个为负数,因此,为负值.由于对弹性的考察只注重量的变化,所以一般都的绝对值.需求弧弹性:表示某商品需求曲线上两点之间的需求量的相对变动对于价格的相对变动的反应程度,即需求曲线上两点之间的弹性.设需求函数为,、各表示需求量和价格的变动量,表示需求弹性系数,则需求弹性公式为:在计算同一条弧的需求弧弹性时,由于和所取的基值不同,因此,降价和涨价的计算结果不同.如果仅是一般计算某一条弧的需求弧弹性,并未强调是作为降价或涨价的结果则为了避免不同的计算结果,通常取两点的价格和需求量各自的平均值中值来做为和值.则需求弧弹性中点公式为:需求点弹性:表示需求曲线上某一点上需求量的无穷小的变动率对于价格的无穷小的变动率的反应程度,即需求曲线上某一点的弹性.设需求函数为,,各表示需求量和价格的无穷小的变动量,表示需求弹性系数,则需求点弹性公式为:需求的收入弹性需求的收入弹性就是用来测定商品的需求量对消费者收入水平变动的反应程度.需求的交叉弹性需求的交叉弹性就是用来计量一种商品的需求量的变化对其他商品价格变化反应的灵敏程度.2.供给弹性供给弹性表示在一定的时期内,一种商品的供给量的相对变动对于该商品价格相对变动的反应程度.它是商品供给量的变动率与价格变动率之比.例:在一个某种商品的需求量对价格、收入和其它变量的回归方程中,收人的回归系数是.要求:1计算当收入为美元,商品销售量是单位时,该商品的收入弹性;2如果该商品销售量从上升到单位,收入从美元上升到美元,商品的收入弹性是多少?该商品属于哪种产品?解1该商品的需求收入弹性是其中:表示收入;表示商品销售数量;是商品销售数量的变化;是收入的变化.在对进行的关于和其它解释变量的回归中,的估计系数是,即.因此,对于美元的收入和单位的销售量,商品的收人弹性.2销售量从增加到单位,消费者的收入从美元增加到美元时, ,所以该商品是奢侈品.二、边际分析在经济学中,习惯用“平均”和“边际”的概念描述一个经济变量对于另外一个经济变量的变化.平均概念表示在自变量的某一个范围内的变化情况;边际概念涉及的某一值的“边缘上”的变化情况.显然,平均值,随石的范围不同而不同,边际概念表示当的改变量趋于时的相应改变量与的比值的变化,即当在某一给定值附近有微小变化时的瞬时变化率.若设某经济指标与影响指标值的因素之间成立函数关系式,则称导数为的边际函数,记作.随着,含义不同,边际函数的含义也不同.1边际成本函数设生产某产品单位时所需要的总成本函数为,则称为边际成本函数.简称边际成本,称为当产量为时的边际成本,其经济含义是:当产量为g.时,再生产一个单位产品所增加的总成本为2边际收入函数收入函数,边际收入函数,简称边际收入,称为当商品销售量为时的边际收入,经济意义为:当销售量达到时,如果增减一个单位产品,则收入将相应地增减个单位.3边际利润函数利润函数,边际利润函数,称为当产量为时的边际利润,其经济意义是:当产量达到时,如果增减一个单位产品,则利润将相应增减单位三、最优化分析浅论导数在经济学中的应用在经济管理中,企业需要寻求最小生产成本或获得最大利润的一系列价格策略.这些问题都可归结为求函数的最大值和最小值问题.这一思想运用到经济上可以进行经济业务最大化、最小化分析,通过分析来达到有效、合理安排生产,最大限度地取得利润,最小限度地消耗能源与原料.例如最大利润,最大收入,最低成本,最优批量,最大税收等.导数在经济分析中的应用最后我们在说一下导数在几何方面和实际生活中其它方面的应用.应用导数的知识我们可以进一步研究函数以及曲线的某些性质, 分析处理解析几何中的有关切线问题.浅谈导数的应用.比如中值定理,单调性,极值,最值和曲线的凹凸性等.导数的引入,大大拓宽了数学知识在实际优化问题中的应用空间.这个问题,是一个最优化问题,在实际生活中,这样的例子比较常见,需要建立函数关系式,一般没有简单有效的方法;即使能求解,也要涉及到较高的技能技巧.恰好用导数的知识,来求函数的最值就比较方便.对于这一类型的优化问题,如果所建立的函数次数较高,或是由它们经过四则运算得到初等函数以及它们的复合函数等等,都可以比较方便地应用导数知识来求问题的最值.举个例子:有甲、乙两个城市.甲城市在一直线高速路A处,乙城市与甲城市在高速路的同侧;乙城市位于离高速路40公里的B处,它到高速路的垂足D与A相距50公里;两城市要在此路边共建一个加油站C,从加油站到甲城市和乙城市的费用分别为每公里3a元和5口元.问加油站C建在路边何处,才能使费用最省?解:设,则,,设总的水管费用为,依题意,有所以所以令,得根据实际意义,当取时,函数取到最小值,此时,,所以公里,即加油站建在A、D之间距城市甲20公里处.可使费用最省导数的应用还有很多,比如在化学中解决化学反应速率问题,在工程方面研究设计问题.三、课题的研究内容及拟采取的研究方法、技术路线及研究难点,预期达到的目标(1) 研究内容本课题主要是研究导数的定义及其在经济,物理,几何等实际问题中的应用.(2)研究方法探讨导数的应用问题,要理论联系实际!怎么把导数应用到实际中!导数在实际中有很广泛的作用.主要是通过大量的搜查资料,寻找相关信息,总结导数的定义和实际应用.我将会通过上网和去图书馆借相关的书来得到资料信息.(3)技术路线尽可能的收集足够的相关资料,对资料中的理论研究成果进行整理分析,相互比较后进行总结并尽量得到新的应用.(4)研究难点怎样把导数应用到实际问题中.(5)预期达到的目标利用导数解决生活中的一些实际问题.四、论文详细工作进度和安排1、查阅文献,收集信息,材料并进行加工整理,形成系统材料(10~11学年第一学期第11周至第14周)2、撰写文献综述及开题报告(10~11学年第一学期第15周至第17周)3、外文翻译,收集、整理、分析资料,写出论文大纲(10~11学年第一学期第15周至第17周)4、仔细研读,分析资料,写出初稿(10~11学年第二学期第1周至第3周)5、根据导师意见,对论文进行反复修改(10~11学年第二学期第4周至第14周)6、对论文进行深入研究,弥补不足之处,最后定稿,准备答辩(10~11学年第二学期第15-16五、主要参考资料[1]明清河.数学分析的思想和方法[M].济南:山东大学,2004.[2]Tom M.Apostol.Mathematical AnalysisSecond Edition [M].机械工业出版社,2004.[3] Richard Courant Fritz John.Introduction to Calculus and Analysis[M].世界图文出版公司,2001.[4]华东师范大学数学系.数学分析[M]..北京:高等教育出版社,2001.[5]王丽英.巧用导数求最值[J].张家口职业技术学院学报,2010,3.[6]林清华.谈导数的几点应用[J].科技信息(学术版),2008,9.[7]熊志权.利用导数处理高中物理问题[J].高中数理化(高三),2007,5.[8]仇恒喜,赵迎军.微观经济学[M].北京:经济科学出版社,2009.[9]刘荣花,杨春艳,孙艳伟.导数理论在经济分析中的应用[J].高师理科学刊,2010,304.[10]丁瑶.导数的经济意义及教学探讨[J].重庆电子工程职业学院学报,2010,194.[11]杨春艳,祝微.浅谈导数在经济分析中的应用[J].金融理论与教学,2010,3.[12]葛琳.例谈导数在经济分析问题中的最优化应用[J].考试周刊,2009,36.[13]唐红兵,洪燕君.浅谈导数几何意义的应用[J].科技信息,2009,24.[14]张娟.浅谈导数在实际生活中的应用[J].科技信息,2010,19.[15]夏大鹏.导数的应用刍议[J].湖北广播电视大学学报,2010, 302.。
浅谈导数的应用论文-V1
浅谈导数的应用论文-V1正文内容：导数是微积分的重要概念之一，具有广泛的应用场景。
本文通过对导数的应用进行讨论，旨在向读者展示导数在数学和实际应用中的重要性。
一、导数的定义和基本性质导数可以简单地理解为函数在某个点处的切线斜率，它的具体定义如下：$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$其中，$f(x)$表示函数，$f'(x)$表示函数在$x$处的导数。
导数具有一些基本性质，包括加法法则、倍法法则、链式法则等。
加法法则表示若$f(x)$和$g(x)$均可导，则$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$；倍法法则表示若$f(x)$可导，则$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$；链式法则表示若$f(x)$和$g(x)$均可导，则$(f\circg)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$。
二、导数的应用1. 极值问题导数可以用于判断函数在某个点处的值是否为局部极值，即是否为最大值或最小值。
具体地，若$f'(x_0)=0$且$f''(x_0)>0$（或$f''(x_0)<0$），则$f(x_0)$为函数$f(x)$的一个局部最小值（或最大值）。
2. 函数图像的性质导数可以反映函数图像的一些性质，如函数的单调性、凸凹性等。
具体地，若$f'(x)>0$，则函数$f(x)$在$x$处单调增加；若$f'(x)<0$，则函数$f(x)$在$x$处单调减少；若$f''(x)>0$，则函数$f(x)$在$x$处凹上；若$f''(x)<0$，则函数$f(x)$在$x$处凸上。
3. 最优化问题导数在最优化问题中也有广泛的应用。
例如，在求解函数$f(x)$的最小值时，可以通过求解$f'(x)=0$来找到函数的驻点，然后通过计算二阶导数$f''(x)$来判断是否为最小值。
浅谈导数在研究函数性态中的作用 毕业论文
浅谈导数在研究函数性态中的作用摘要：导数在解决函数问题上提供了有力的工具，对导数在解决函数问题中的作用进行阐述：可导函数的单调性、函数的极值与最值、函数的凹凸性、函数的渐近线和描绘函数的图像．并研究函数的单调性、极值与最值、凹凸性和渐近线，并附上例题说明．关键字：导数 单调性 极值与最值 凹凸性0引言历史上数学思想的突破点是数学历史发展的重大转史的发展历程，因此在教学中，学生自然会提出的一系列问题：“导数”概念是怎样得出的？“趋近于”怎样理解?要弄清这些问题，只有翻开数学史，从哲学的角度认识导数，这样不仅能帮助我们搞清楚导数的概念，有助于建立正确的数学观念.1 主要内容(1）函数的单调性高中阶段，我们对函数单调性的定义如下：定义：已知函数)(x f y =，定义域为I ，如果I b a ⊂],[,那么],[21b a x x ∈∀、且21x x <．那么(1)当时0)()(21>-x f x f ，就称函数)(x f y =在区间],[b a 上为单调递减函数； (2)当时0)()(21<-x f x f ，就称函数)(x f y =在区间],[b a 上为单调递增函数． （1.1）单调性的判别方法 定理1]1[如果函数)(x f y =在],[b a 上连续，),(b a 内可导，那么（1） 若在),(b a x ∈∀内，0)(>'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调递增； （2） 若在),(b a x ∈∀内，0)(<'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调递减. 定理2 若函数)(x f y =在),(b a 内可导，则函数在),(b a 内单调． （1）在),(b a x ∈∀内，0)(>'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调递增；（2）函数)(x f y =在),(b a 内严格递减，那么),(b a x ∈∀，有0)(≤'x f ；在),(b a 内的任何子区间上)(x f '不恒等于零．推论]1[设函数)(x f 在),(b a 内可导，若0)(>'x f （0)(<'x f ），则)(x f 在),(b a 内严格递增（严格递减）．注意：本推论只是严格单调的充分条件。
论文浅谈导数的应用
浅谈导数的应用摘要：法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，导数是我们进一步学习数学和其他自然科学的基础，是研究现代科学技术中必不可少的工具．我们要明确导数的内涵，知道运用导数思想解题的方法，从而通过提出问题的数学特征，建立导数关系的数学模型．一般地，导数思想是从构造函数利用导数函数的性质，解决不同类型的问题，导数思想在中学数学、高等数学以及我们日常生活中占有极其重要的地位，本文详细介绍导数思想的内涵和本质，使人们对导数的内容有更深的理解，以便在遇到各种问题时能够考虑到导数思想，从而优化解决问题的过程．关键词：极限;导数;微分Shallowly Discusses the Application of DerivativeAbstract:To study extremely problems, French mathematician Fermat brought in derivative idea. Derivative is the basis for us to learn math and other natural science further, an indispensable tool in research of modern science and technology. We should understand the concept and acquire the capacity of solving problems with mathematical ideas and create derivative model according to the mathematical feature of the given problem. On average, we use specific derivative in accordance with definite trait of the various problems. The derivative idea plays an important part in middle school math, advanced math and our daily life. In this chapter, the concept and essence of derivative are introduced to deepen people's understanding in math and help to simplify people's derivative.Key words:Limit; Derivative; Differential0 引言导数]1[来源于人类的社会实践，服务于人类的社会实践，导数是人类进一步学习数学和其他自然科学的基础，用导数来研究函数的性质，是研究现代科学技术中必不可少的工具．导数是在极限概念的基础上建立起来的，是微分学的一个重要概念，也是一个重要的解题方法.学习导数知识可以在实际应用中快速简洁的求曲线的切线方程.导数还是对函数图像与性质的总结和概括，是研究函数单调性的最佳的重要工具，是初等数学和高等数学的重要衔接点．导数还可以解决生产和生活中的最优决策和最优设计问题，即最大值、最小值问题．1 导数的产生和发展导数概念是根据解决实际问题的需要，在极限的基础上建立起来的]9[，它是微分学中最重要的概念．而微分是微分学中又一个重要的概念，它与导数有密切的关系，两者在科学技术中有着广泛的应用．我们知道在一定条件下一个函数在某点可导和可微是等价的，大部分高等数学、经济数学和数学分析课本中都是先引进导数的概念，再引进微分的概念，到底导数和微分这两个概念，哪个概念产生在前，哪个概念产生在后呢？1.1 微分概念的导出背景当一个函数的自变量有微小的改变时，它的因变量一般来说也会有一个相应的改变．微分的原始思想在于寻找一种方法，当因变量的改变也是很微小的时候，能够简便而又比较精确的估计出这个改变量．我们来看一个简单的例子：维持物体围绕地球作永不着地（理论上）的飞行所需要的最低速度称为第一宇宙速度．在中学里利用计算向心加速度的方法已经求出这种速度为7．9千米/秒，现在我们改用另一种思路去推导它．设卫星当前时刻在地球表面附近的A 点沿着水平方向飞行，假如没有外力影响的话，那么它在一秒钟后本应到达B 点，但事实上它要受到地球的引力，因而实际到达的而是C 点．BC =4．9米是自由落体的物体在重力加速度的作用下，第一秒中所走过的距离．容易看出，如果C 点与地心O 的距离是相等的，那么由运动的独立性原理，就可以推断出卫星在沿着地球的一个同心圆轨道运行，也就是作环绕地球飞行了．因此，卫星应具有的最小飞行速度恰好在线段AB 的长度．ABC ∆是直角三角形，OA 和OC 可近似的取为地球的平均半径6371千米，也就是6371000米，于是由勾股定理即可求其加速度． 1.2 产生导数的实际背景从数学的发展历史来看，导数是伴随微分的诞生而顺理成章的产生的．也就是说，人们先有了微分的概念，随后才发现，对于处理微分问题来说，像这么一种特定形式的极限，即导数，是一个有力的工具．从法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，但与导数概念直接联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的]3[．用导数思想来处理微分问题]10[．因为一方面，从微分的形式来看，在比较复杂的情况下（比如高阶的微分和导数以及多元函数的微分和导数等），无论是形式的思考还是实际的处理问题由导数入手都要比由微分入手更容易和简单一些，并且导数有它本身的意义，在数学的理论及其实际应用方面都扮演着重要的角色． 1.3 导数的概念1、函数()x f y =在点0x 处的导数可以写成以下形式]4[：()()()0000limx x x f h x f x f x x --+='→2、导数的物理意义和几何意义:函数()x f y =在点x 处的导数是函数在该点处的平均变化率xy∆∆的极限，因而它反映了客观运动的瞬时变化率．在几何学上，()x f y =在某点处的导数()0x f 表示函数()0x f y =的图形在点()00,y x 处的切线斜率，即()0tan x f '=α，其中α是过点()00,y x 的切线的倾角]7[．2 导数的应用2.1 导数在中学数学中的应用在中学数学中，常利用导数的几何意义来求曲线的切线方程，还会用到导数的单调性以及用导数求极值点和最值的问题．由此可见，导数在中学数学中的应用是十分广泛的，不妨通过以下例题来说明．例1]6[ 已知数列{}n a ；()1109+⋅⎪⎭⎫⎝⎛=n a nn ，问数列中是否有最大项？若有，请求出最大项；若没有，请说明理由．解 因为数列是一种特殊的函数关系，是离散的，不能直接求导．所以可设()1109+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y x()0>x ，同时取对数后求导可得()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛='1110ln 9ln 1109x x y x，令0='y ，得4877.8=x ；当4877.80<<x 时，0>'y ；当4877.8>x 时，0<'y ，且有唯一解；当4877.8=x 时，y '最大；故8=n 或9=n 时，n a 最大； 8981099⎪⎭⎫ ⎝⎛==a a ． 2.11 利用导数求曲线的切线方程归纳起来有两种问题类型，下面我们来系统的分析一下怎么解决这类问题． 情况一：设()x f y =为可导函数，求过()000,y x m 点作C ：()x f y =的切线方程． (1)若()C y x m ∈000,，()x f y =；即()00x f y =．则()0x f k '=，过0m 的切线方程为()()000x x x f y y -'=-．(2)若()C y x m ∉000,，即()00x f y ≠．可设切点()111,y x m ，则()11x f y =过1m 的切线方程为()()()111x x x f x f y -'=-，此切线过0m ．于是可由()()()10110x x x f x f y -'=-解出1x ．因而过0m 的切线方程为 ()()()111x x x f x f y -'=- 或()()010x x x f y y -'=-．情况二：设()x f y =，()x g y =为可导函数，曲线p ：()x f y =与曲线q ：()x g y =相切，求切线方程．解：由于两曲线p ，q 相切，必须假设公切点()000,y x m 满足p m ∈0，q m ∈0，即()00x f y = (1) ()00x g y = (2) 又因为两曲线在公切点0m 处切线的斜率相等，即()()00x g x f '=' (3) 解(1)(2)(3)式，可得公切点()000,y x m 坐标，从而求得公切线方程． 2.12三角函数的问题此类问题同样可以用导数的思想来解决．例如，可以利用导数求三角函数的周期，还可以判断其奇偶性，以及求其单调区间等．下面先考虑两个结论：(1)可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数．证明：设()x f 是可导的偶函数，有()()x f x f =-且()[]()x f x f '='-即()()x f x f '=-'-；所以 ()()x f x f '-=-'；即有()x f 的导数()x f '为奇函数．同理可证奇函数的导函数是偶函数．(2)可导的周期函数，其导数仍是周期函数且原函数的周期是导数的一个周期． 证明：设()x f 为可导的周期函数，其周期为t ，根据周期定义有：()()x f nt x f =+()...2,1,0±±=n ，于是有()()x f nt x f '=+'．例2]6[ 设函数()()ϕ+=x x f 2sin ()0<<-ϕπ，()x f y =图像上一条对称轴是直线8π=x ， (1)：求ϕ;(2)：求函数()x f y =的单调区间;(3)：证明直线025=+-c y x与函数()x f y =的图像不相切．解 (1)因为()()ϕ+='x x f 2cos 2，又因为图像的一条对称轴是直线8π=x ；知08=⎪⎭⎫ ⎝⎛'πf ，则有04cos =⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ．所以24ππϕπ+=+k ； k =1，2…，又0πϕ-<< ，所以πϕ43-=．(2)由前问()⎪⎭⎫ ⎝⎛-='π432cos 2x x f 而0y '>考虑到端点值有322242k x k ππππ≤-≤+，即函数()x f y =的斜率的取值范围为[2,2]-，而直线520x y c -+=的斜率为522>，则直线与曲线的图像不相切．数学是具有高度抽象性和概括性的学科，通过导数可以培养学生的科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，可以使学生养成严格的推理习惯和全面分析问题的能力．2.2 导数在高等数学中的应用2.21 利用洛必达法则、泰勒公式求极限例3]2[ 求极限()xxx e x 1101lim -→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+解 因为1110020(1)1(1)lim lim exp ln ln(1)lim exp xx xx x x x x ex e x x x -→→→⎧⎫⎡⎤++⎪⎪⎢⎥=-⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭-+⎧⎫=⎨⎬⎩⎭而利用洛必达法则()()ee x x x xx x xxx x x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=+-=+--→→→1100201lim 212111lim 1ln lim利用洛必达法则求极限要注意以下几点：验证所求的极限式是不是00或∞∞型．如果不是，要将其转化为00或∞∞型；在求极限之前，应首先利用等价无穷小代换或通过其他变形（如有理化、变量代换）把未定式代换成最简式；洛必达法则可以反复多次使用，只要满足其前提条件即可；如果()()x g x f ''lim 不存在，不能判定()()x g x f lim 也不存在．2.22 利用函数单调性、中值定理、泰勒公式、最值证明不等式此类问题的解决方法两种思路：(1)利用函数的单调性将要证明的不等式的右端的所有项全部移到左端，把其中的某个字母（比如a ）改为x ，并把左端的函数记为()x F ，利用函数的单调性证明()0>x F 或()0<x F ．若要证明的不等式是()()x g x f >，一般是构造函数()()()x g x f x F -=，利用()x F '的符号判断它的单调性．(2)证明数列极限形式，须将离散变量转换为连续变量，再用洛必达法则．如下所示：例4]5[ 求极限211lim(1)nx n n→∞++解 先求函数极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→2111lim ，取对数后的极限式为()112lim 12112lim 1ln 1ln lim 111ln lim 2222222=+++=--+++=-++=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→+∞→+∞→+∞→x x x x xx x x x xx x x x x x x x x x 所以有归结原则可得211lim(1)n x n n →∞++=e x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→2111lim2.23 函数极值及相关问题例5]7[ 设()x f 在()+∞∞-,上二阶可导且()1≤x f ，()[]()[]40022='+f f ;证明 存在ξ，使得()()0=+''ξξf f ．证明 有题设和欲证的结论，可以将辅助函数设成()()[]()[]22x f x f x F '+=,那么就存在()0,2-∈ξ,使得()()()()2020----='f f f η,同理存在()2,0∈η使得()()()12020≤---='f f f ξ, 则()()()2,40,2≤=≤ηξF F F ，故()x F 在()ηξ,内取得最大值．2.3 导数在经济学中的应用 2.31 常见的经济函数需求函数是指消费者在一定价格条件下对商品的需求，一种商品的需求量Q 与该商品的价格P 密切相关．如果不考虑其他因素的影响，则商品的需求量可以看作是价格P 的函数．即需求函数()P Q Q =．需求量随价格的上升而减少．供给函数是指在某一时期内，生产者在一定价格条件下，愿意并可能出售的产品；一种商品由生产者向社会提供的数量Q 与该商品价格P 有关．在不考虑其他因素的条件下，商品的供给量Q 也可以看作是价格P 的函数．也就是供应函数()p Q Q =．例6]8[ 厂商的总收益函数和总成本函数分别为()230Q Q Q R -=和()122++=Q Q Q C ， 政府对产品的征税.求:(1)厂商纳税前的最大利润及此时的产量和价格？(2)征税收益的最大值及此时的税率t ．(3)厂商纳税后的最大利润及此时的产品价格．解 (1)纳税前的利润函数为()12821230222-+-=++--=Q Q Q Q Q Q L ， 当7=Q 时，利润最大；且()977=L ;此时价格30723p =-=．(2)T tQ =．纳税后的总成本函数为221t C Q Q tQ =+++;税后利润函数为()()()Q C Q R Q L t -=;获得最大利润的条件是()()dQQ dC dQ Q dR t =，由30222Q Q t -=++ 得0284tQ -=;经过纳税后的最大利润的产量为0Q ;于是征税的收益函数为()202841t t tQ T -==，求最大值即可．当014t =（此时072Q =）征税的收益最大，其值为0049T t Q ==．(3)纳税后利润函数()()()tQ Q Q Q C Q R Q L t ---=-=12282．当14=t ，72Q =时，最大利润max 1232L = 此时产品的价格为532．例7]8[ 新产品的推销与广告.1新产品的推销：一种新产品问世，经营者要关心产品的卖出情况，下面我们根据两种不同的假设来估算两种推销的速度：假设1：假设产品以自然推销的方式卖出．换句话说，被卖出的产品实际上起着宣传作用，吸引着未购买的消费者．设产品总数与时刻t 的关系为()t x ，再假设每一产品在单位时间内平均吸引k 位顾客，则()x t 满足微分方程()kx t x =' (4) 设初始条件为()00x x = (5) 则易得到上述微分方程的解为()kt e x t x 0= (6) 这是指数假设，下面我们对结果(6)式进行分析与验证：经过与实际情况比较，发现(6)式的结果与真实销量在初始阶段的增长情况比较相符；在产品卖出之初，0=t 时，显然0=x ，这是由(6)式得的()0=t x ，这一结果与事实不符，产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推销的，便不可能进行任何推销．事实上，厂家在产品销售之初，往往是通过宣传等各种方式来推销其产品的；令t →+∞，若针对某种耐用商品而言，这显然与事实不符，事实上，)(t x 往往是有上界的．针对假设1的上述分析的缺陷，我们用下面的假设2来改进．假设2：设需求量的上界为M ，假设经营者可通过其他方式推销产品．这样产品的增长也与尚未购买产品的顾客有关．故()t x '与()x M x -成正比，比例系数为k ，则()t x 满足()()x M kx t x -=' (7) 再加上初始条件()00x x = (8) 利用分离变量方法易求得上述微分方程的解 ()()kMte x M x Mx t x --+=000(9)当0=t 时，若00x ≠，则易从(9)式中得到()0≠t x ，另外在(9)中令t →+∞，易得到()M t x →，这样从根本上解决了假设1的不足．由(7)式易得()0>'t x ，即()t x 是关于时刻t 的单调增加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越来越少，另外对(7)式两端求导得：()()()t x x M k t x '-=''2．故令()0=''t x 得到()20Mt x =；当0t t <时，由()0>'t x ，()()0t x t x <，得()0>''t x ．即函数()t x '单调增加．同理，当0t t >时()t x '单调递减，这说明在销售量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增加的，销售量恰好达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，其后销售速度开始下降． 2.32 广告在当今社会中，广告在商品推销中起着极其重要的作用．当生产者生产出一批产品后，下一步便是思考更快更多的买出产品，由于广告的大众性和快捷性，其在促销活动中备受经营者的青睐．当然，经营者在利用广告这一手段时自然要关心广告与促销到底有何关系，广告在不同时期的效果如何？假设1：独家销售的广告：首先，如下假设：(1)商品的销售速度会因做广告而增加，但当商品在市场上趋于饱和时，销售速度会趋于极限值，这是销售速度将开始下降．(2)自然衰减是销售速度的一种性质，商品销售速度的变化率随着商品销售率的增加而减少．(3)设()S t 为t 时刻商品的销售速度．M 表示销售速度的上限；0λ>为衰减因子常数，即广告作用随时间增加而自然衰减的速度．()A t 为t 时刻的广告水平（以费用表示）.根据上面的假设，我们可以得到：()()()()t S M t S t A p t S λ-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅='1 (10)其中p 为响应系数，即()t A 对()t S 的影响力，p 为常数．假设(1)当销售进行到某个时刻时，无论怎样做广告．都无法阻止销售速度的下降，故选择如下广告策略：()0()(0)t A t A t ττ>⎧=⎨<<⎩ 其中A 为常数在[]τ,0时间内，设用于广告的花费为a ，则aA τ=，代入(10)式有()ττλa P S a M P t S ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++' 令,P a Pa b r c M ττ=+⋅= ;则有()c bS t S =+' (11) 解(11)式得()b cke t S bt +=- (12)给定初始值0(0)S S =，则(12)式成为 ()()bt bt e S e bct S --+-=01 (13) 当t τ>时，由()A t 的表达式，则(10)式变为()S t S λ-=' (14)其解为()()t ket S -=τλ (15)为保证销售速度()S t 不间断，我们在(13)式中取t τ=而得到()S τ，将其作为(14)式的初始值，故(15)式解为()()()t e S t S -=τλτ (16) 这样，联合(13)式与(16)式，我们得到()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+-=---)()0(10ττττλt e S t e S e b c t S t btbt假设2: 竞争销售的广告 我们做如下假设，(1)两家公司销售同一产品，而市场量()t M 有限.(2)每一公司增加它的销售量是与可获得的市场成正比的，比例系数为i C ，1,2i =. (3)设()i t S 是销售量，1,2i =.()t N 是可获得的市场． 分析：根据题意显然有：()()()()t S t S t M t N 21--=． 由假设(2)有()N C t S 1=' (17)()N C t S 22=' (18) 将上述二式相除，易得()()t S C t S 132'=' (19) 其中231C C C =为常数，对（19）式积分得 ()()4132C t S C t S += (20)4C 为积分常数，假设市场容量()()t e t M βα--=1 ,αβ为常量.则()()()()41311C t S C e t N t -+--=-βα (21) 再将(19)式代入(17)式得()C Be AS t S t ++-='-β11 (22) 其中()311C C A +=；α1C B -=；()41C C C -=α解方程(22)易得()3211k e k e k t S Bt At ++=--代入(20)式，得()3212m e m e m t S Bt At ++=-- (23) 其中i k 及i m (i =1，2，3)均为常数．3结束语导数在数学发展、教学和生活中有其重要的地位，若能在教学中充分发挥导数的作用，对于提高教学质量，培养学生的能力，都是非常有益的；若能在生活中恰当的应用导数，很容易就能解决一些棘手的问题；当然在数学的各个不同分支的教学中如何运用导数，必然会有许多各自不同的特点，就需要我们发挥自己的创造思维，并在实践中不断地用心体会和总结．致谢辞感谢学校培养和教育，院系领导提供的良好的研究条件，以及这三年来各科老师的悉心培育。
浅谈导数在实际生活中的应用
浅谈导数在实际生活中的应用作者：刘朝霞来源：《科技视界》 2015年第21期刘朝霞（集宁师范学院数学系，内蒙古乌兰察布 012000）【摘要】导数是微分学的重要组成部分，是研究函数性质、曲线性态的重要工具[1]，也是解决实际生活中某些优化问题的重要方法。
探讨了运用导数求解实际生活中有关用料、成本、利润及选址方面问题的方法。
【关键词】微积分；导数；应用0 引言导数（Derivative）也叫微商，是一种特殊的极限，它反映了函数中因变量随自变量的变化而变化的快慢程度，[2]是微积分中重要的基础概念是联系初等数学与高等数学的桥梁。
在研究几何、证明不等式等方面起着重要的作用，在探究函数性质、寻求函数极值与最值以及描绘函数图形等方面也起着重要的作用，同时，也为解决某些实际应用问题提供了重要的方法。
在实际生活中经常出现的一些谋求利润最大、耗材最少、或效率最高、位置最佳等与经济或科学研究有关的问题，这些问题称之为优化问题，如何找到解决该类问题的最佳方案是求解该类问题的关键，而利用导数就可以简捷地解决这些问题，从而真正解决我们的实际生活问题。
1 导数的概念及几何意义2 运用导数求解优化问题的方法与注意事项实际生活中的优化问题，如选址最佳、用料最省、利润最大等问题，本质上就是最值问题，这些问题与求函数的最值问题有着密切的联系，而这些问题可以转化为函数问题，利用导数知识得以简捷的解决。
2.1 解决优化问题的方法首先对现实问题进行分析，找出各个变量之间的关系，建立相对应的函数关系式，将实际问题转化为用函数表示的数学问题，再结合实际情况确定自变量的定义域，创造函数在闭区间上求最值的情景，通过对函数求导、确定驻点和不可导点、比较函数在区间端点、极值点和不可导点处的函数值，获得所求函数的最大(小)值，最后将数学问题回归到现实问题，根据数学问题的答案回答优化问题最佳方案或策略。
利用导数求解优化问题的思路如图1所示。
２.2 导数解决实际问题的注意事项在求解实际优化问题时，要结合实际问题的背景，求得的解要满足现实意义，舍去不符合现实意义的值，若遇到目标函数在有限开区间、闭区间或无限区间内只存在一个驻点的情况，如果该驻点处的函数值是目标函数的极值点，则该点即为目标函数的最值点。
浅谈导数在实际生活中的一些应用
浅谈导数在实际生活中的一些应用我们平时的生活中，充满了各种各样的数学知识，而其中最重要的就是导数，它在实际生活中有着多种多样的应用。
在这里，我将从几个方面，比如经济学、工程学和技术学等，对导数在实际生活中的一些应用进行浅谈。
首先，导数在经济学中有着重要的作用。
例如，在进行市场分析时，需要用到导数，以准确判断市场需求量随价格的变化趋势。
在研究各个市场出现的利润最大值时，也需要用到导数。
同时，导数也用于对经济发展的趋势进行分析，从而判断出经济发展的方向和趋势。
其次，导数在工程学中有着重要的作用。
例如，在建筑设计中，可以使用导数来计算结构的实际长度、厚度及其他物理参数，从而有效控制建筑的强度和稳定性。
此外，在航空航天、船舶和汽车等工程领域，运用导数也可以更好地控制运动物体的速度、加速度、动量等参数，从而更有效地发挥其性能。
最后，导数在技术学中可以应用于计算机科学、生物学和信息学等领域。
如在计算机科学中，由于对复杂函数的求导，可以使计算机有更可靠的性能，对计算机程序进行优化和改进。
在生物学中，科学家使用导数研究基因组的复杂性，从而可以计算基因序列上可能出现的突变几率和结果。
而在信息学行业，运用导数可以更快地分析复杂的信息，评估信息编码中的传播效率，从而可以更有效地传输信息。
以上的一些应用，可见导数在实际生活中发挥着重要的作用，它能够帮助我们更准确、更客观地分析各种问题，从而可以更有效地发挥它们的功能。
因此，我们应该重视学习和使用导数，以便获得最大的效益。
总而言之，导数在实际生活中有着多种多样的应用，它可以帮助我们更准确、更客观地分析各种问题，有效地控制各种事物的运动趋势，以及更有效地传输信息。
因此，我们平时更应注重学习和使用导数，以获得最大的效益。
浅谈导数在解决实际问题中的应用
浅谈导数在解决实际问题中的应用生活中经常遇到求用料最省、利润最大、用时最短，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大（小）值的强有力的工具．有关函数最大值与最小值的实际问题只涉及单峰函数，因而只有一个极值点，这个极值就是问题中所指的最值！一、求最大值问题[例1] 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：，且生产x 吨的成本为 （元），问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？分析：解本题的关键是利用“利润＝收入－成本”这一等量关系，建立目标函数，注意确定函数定义域，然后利用导数求最值 解：设每月生产x 吨时的利润为21()24200(50000200)5f x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 3124000500005x x =-+-，（0x ≥） 由23()2400005f x x '=-+=，解得1200x =，2200x =-（舍）．∵()f x 在[)0+∞，内只有一个点200x =使()0f x '=，又(0)0f <，()f x →-∞（当x →+∞）； 在点200x =处，(200)0f >，故它就是最大值点，且最大值为31(200)20024002005000031500005f =-⨯+⨯-=（元）所以该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润为3150000元．二 最小值问题[例2] （2009年高考山东卷）两县城A 和B 相距20 km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与对城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在弧AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065．（1）将y 表示成z 的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由．[解析] （1）如图1-4-1，由题意知AC ⊥BC ，BC 2=400－x 2，224(020)400k y x x x=+<<-其中当1x =时，y=0.065，所以k=9，所以y 表示成x 的函数为2249(020)400y x x x =+<<-． （2）2249400y x x =+-， 42232232289(2)188(400)'(400)(400)x x x y x x x x⨯---=--=--，令y ＇=0，得x 2=160，所以x =，当04x <<，18x 4＜8(400－x 2)2， 即y ＇＜0，所以函数为单调减函数，当20x <<时，18x 4＞8(400－x 2)2，即y ＇＞0，所以函数为单调增函数，所以当x =，即当C 点到城A 的距离为km 时，函数2249(020)400y x x x =+<<-有最小值． 三 费用最省问题通常以用料最省、费用最低、位置最佳等问题为解决目的，设计优化方案．[例3] （2008年高考广东卷）某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（I 注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费用建筑总面积） [解析] 设楼房每平方米的平均综合费用为()f x ，则21601000010800()(56048)56048(10,)2000f x x x x x N x x ⨯=++=++≥∈．210800'()48f x x =-，令'()0f x =，得x=15． 当x ＞>15时，'()0f x >，当10≤x ＜15时，'()0f x <． 因此，当x=15时，()f x 取得最小值(15)2000f =．答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．四 与几何有关的最值问题如周长、面积、体积问题[例4] （2007年高考北京卷）如图1-4-3所示有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底A 曰是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记CD=2x ，梯形面积为S ．（1）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；（2）求面积S 的最大值．[解析] （1）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系xOy （如图1-4-4所示），则点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标y 满足方程22221(0)4x y y r r+=≥，解得)y x r =<<．1(22)22()2S x r x r =+⋅+⋅，其定义域为{x|0＜x ＜r}．（2）记222()4()()f x x r r x =+-，0x r <<，则'()8()2(2)f x x r r x =+-．令'()0f x =，得12x r =．因为当02r x <<时，'()0f x >；当2r x r <<时，'()0f x <，所以，12f r ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最大值．因此，当12x r =时，S 也取得最大值，最大值为2=．即梯形面积S 的最大值2五．求解参数范围 给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式. 在此类含参问题的求解过程中，逆向思维的作用尤其重要案例1：（2009浙江·理22）已知函数，，其中．（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；（II）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．答案：(1) ;(2) 。
浅谈导数在实际问题中的应用
浅谈导数在实际问题中的应用
王文英
【期刊名称】《高中数理化（高二）》
【年(卷),期】2008(000)005
【摘要】学习对“终身发展必备的基础知识和技能，了解这些知识与技能在生活、生产中的应用，关注科学技术的现状及发展趋势”是高中新课标所规定的课程总目标之一．为此高考数学逐步加大对数学应用的考查，试题背景越来越贴近生活和生产实际．高中数学中引进了导数，这显示了对简单化的追求，又拓宽了数学的思维途径．而以函数为背景的实际问题大量存在，给高考数学提供了广阔的空间．导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具，也是数学高考命题的一个新热点．
【总页数】3页(P8-10)
【作者】王文英
【作者单位】北京市朝阳教研中心
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
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导数在企业中的应用参考文献
导数在企业中的应用参考文献导数在企业中的应用今天，由于高科技的发展，数学的应用已经大大增强，这些应用中有一种很重要的技术就是导数。
导数不仅仅是数学的重要概念，在企业中也有着非常广泛的应用。
本文将介绍导数在企业中的应用，为企业带来的好处，以及适用的参考文献。
首先，企业可以利用导数来评估客户和产品的价值，以帮助它们尽早发现市场突变或竞争活动，并作出更好的决策。
比如，企业可以根据客户的行为对产品的销量、价格和市场趋势进行分析，从而更好地评估客户需求。
同时，企业也可以根据市场和产品趋势，采取预期策略，使它们能在变化的市场中发挥最优的作用。
其次，采用导数，企业可以更好地确定其利润的最大值。
企业可以根据期权价格的变化情况，计算出期权的真实价值，从而根据期权价格变化的正确性来确定最佳的利润达到的地步。
此外，它们还可以根据市场期权的变化情况，设计出更精准和具有竞争力的利润模式，以较长的时间来保持企业的利润收益最大化。
最后，企业也可以利用导数来优化其资源分配。
导数可以帮助企业对其生产线、仓库及其他资源进行优化，让其他资源在最大程度上体现价值。
同时，它们也可以根据不同条件的响应来加快和优化研发模式，以最大限度地减少成本，更好地满足客户需求。
从上述可以看出，导数在企业中有着非常广泛的应用，如价值评估、利润最大化和资源优化等。
它帮助企业及时发现市场变化，作出更精准的决策，从而最大化获取利润和节约成本，从而获得良好的经济效益。
参考文献[1] 王新韬, & 杨志敏. (2018). 导数和其他数学概念在企业决策中的应用.数学的实践与认识, 9(1), 019-026.[2] 赵迪, & 马雷. (2016). 企业的价值分析与决策研究. 化学与生物工程, 34(2), 46-51.[3] 郭永太. (2011). 经济学(第7版). 北京：高等教育出版社。
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毕业论文文献综述数学与应用数学浅谈导数在解决实际问题中的应用一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念，综述范围，简要说明有关主题的或争论焦点）本论文的主要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来研究导数在几何、物理及其经济上的一些应用，首先我们来介绍一些概念：定义1[]1 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限 ()()000lim x x f x f x x x →-- (1) 存在，则称函数f 在点0x 处的导数，记作()'0f x .令0x x x =+∆,()()00y f x x f x ∆=+∆-,则(1)式可改写为()()()00'000lim lim x x f x x f x y f x x x ∆→→+∆-∆==∆∆ (2) 所以,导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比y x ∆∆的极限.这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称差商),而导数()'0f x 则为f 在0x 处关于x 的变化率.若(1)(或(2)式极限不存在,则称f 在点0x 处不可导.定义2[]1 设函数()y f x =在点0x 的某右邻域[)00,x x δ+上有定义，若右极限 ()()0000lim lim x x f x x f x y x x ++∆→∆→+∆-∆=∆∆ ()0x δ<∆< 存在,则称该极限值为f 在点0x 的右导数,记作()'0f x +.右导数和左导数统称为单侧导数.若函数在区间I 上每一点都可导(对区间端点,仅考虑相应的单侧导数),则称f 为I 上的可导函数.此时对每一个x I ∈,都有f 的一个导数()'f x (或单侧导数)与之对应.这样就定义了一个在I 上的函数,称为f 在I 上的导函数,也简称为导数.记作'f ,'y 或dy dx,即 ()()()'0lim x f x x f x f x x ∆→+∆-=∆,x I ∈. 在物理学中导数'y 也常用牛顿记号y 表示,而记号dy dx 是莱布尼茨首先引用的.目前我们把dy dx 看作为一个整体,也可以把它理解为d dx施加于y 的求导运算,待到学过“微分”之后,我们将说明这个记号实际上是一个“商”.相应于上述各种表示导数的形式,()'0f x 有时也写作0'x x y =或0x x dy dx =. 定义3[]1 若函数f 在点0x 的某邻域()0U x 内对一切()0x U x ∈有()()0f x f x ≥,()()()0f x f x ≤,则称函数f 在点0x 取得极大(小)值,称点0x 为极大(小)值点.极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点.利用导数求函数极(最)值这类问题的方法是:(1)用求导法求出函数导数.(2)令导数等于0,得出驻点及其不可导点.(3)用这些点把区间分成几个部分,然后讨论函数的单调性.(4)求出极值点.(5)求出区间端点值与极值进行比较,得到最值[]2.通过导数的定义，我们将利用导数的思想把导数应用到实际问题中. 二、主题部分（阐明有关主题的历史背景，现状和发展方向，以及对这些问题的评述）15世纪文艺复兴以后的欧洲,资本主义逐渐发展,采矿冶炼、机器发明、商业交往、枪炮制造、远洋航海、天象观测等大量实际问题，给数学提出了前所未有的亟待解决的新课题.其中有两类问题导致了导数概念的产生:一是求变速运动的瞬时速度;二是求曲线上一点处的切线.这两类问题都有归结为变量变化的快慢程度,即变化率问题.牛顿从第一个问题出发,莱布尼兹从第二个问题出发，分别给出了导数的概念[]35-.1) 求变速运动的瞬时速度通常人们所说的物体的运动速度,是指物体在一段时间内的平均速度.例如:一汽车从甲地出发到达乙地,全程120千米,行驶4小时,则汽车行驶的平均速度是30千米/小时.事实上,汽车并不是每时每刻都以30千米/小时的速度行驶,这是因为,下坡时会跑得快些,上坡时会跑得慢些,也可能中途停车,等等,即 汽车每时每刻的速度是变化的.一般来说平均速度不能反映汽车在某一时刻的瞬时速度.随着科学技术的发展,我们仅仅知道物体运动的平均速度是不够的,还要知道物体在某一时刻的瞬时速度.例如:研究子弹头的穿透能力必须知道弹头接触目标的瞬时速度.2) 求曲线上一点处的切线斜率斜率()()0000lim lim x x f x x f x y k x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆导数是微积分中的重要基础概念.当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限.在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续.不连续的函数一定不可导.导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则.导数在实际应用方面有重要意义，物理学、经济学、几何学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示.譬如：导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就匀直加为例，位移关于时间的一阶导数是速度，二阶导数是加速度）、可以表示曲线在一点的斜率（矢量速度的方向）、还可以表示经济学中的边际和弹性.首先我们先叙述一下导数在物理学中的应用[]67-.数理不分家,导数在物理中有着广泛的应用.从实际问题抽象出数学模型后,抛弃物理背景,用导数方法处理,既可减少物理思维难度,又能开辟数学的应用天地.我们可以利用导数求速度和加速度,求感应电动势,求瞬间电流,对连接体进行速度的分解等等.解决非匀变速直线运动的物体的瞬时速度及瞬时加速度的问题,就只能利用导数处理.如果物体按()s s t =的规律作直线运动,则物体在时刻0t 的瞬时速度()'00v s t =,也叫位移s 在时刻0t 对时间t 的变化率：在时刻0t 的瞬时加速度()'00a v t =． 例如:物体做直线运动,位移对时间的变化规律为265s t t =-,求物体运动的加速度和初速度各为多少? 由定义有()'125ds v s t t dt===-.初速度是指0t =时刻的速度,将0t =代入上式有:05/v m s =-,()'212/a v t m s == 此题通常的求法是根据匀位移公式2012s v t at =+比较系数求出加速度和初速度. 在解决一些非均匀物体的的问题时，也要利用导数．例如:有一个质量分布不均匀的细杆AB ，长20cm ，AM 段的质量与从A 到M 点的距离的平方成正比.已知AM=2 cm 时，AM 质量为8g.求AB 上任一点处的线密度?AB 上中点处的线密度?解:依题意得到AM 段的质量y 是AM 段的距离x 的函数关系为:2y kx =,()020x ≤≤ 由于2x =时,8y =,所以2k =故质量y 对距离x 的函数关系为:22y x =,()020x ≤≤AB 上任一点处的线密度ρ就是质量y 对距离x 的导数，即()'224dy x x dxρ===g/m AB 上中点处的线密度是10x =时的线密度，即1041040x ρ==⨯=g/m在求电源的最大输出功率、求可变电阻消耗功的最值.以及炮弹的射程最远问题等都可利用导数得到解决，这里关键在于通过求导运算可以快速得到取极值的条件．接下来我们来叙述一下导数在经济中的应用[]812-.经济学是成本与收益的比较．经济学研究经济规律也就是研究经济变量相互之间的关系．经济变莓是可以取不同数值的量,如通货膨胀率、失业率、产量、收益等等，经济变量分为自变量与因变量.导数在经济领域中的应用．主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系．因此必须了解一些经济分析中常见的函数.常见的函数:(1)价格函数．一般说来,价格是销售量的函数．(2)需求函数．需求函数为()Q f p =,其中:Q 表示商品需求量；P 表示商品市场价格．(3)成本函数．成本函数记为C ,01C C C =+,其中:0C 为固定成本;1C 为变动成本．(4)收益函数．收益函数记为R ,R pq =,其中:q 表示销售量；P 表示价格．(5)利润函数．利润函数记为L,L=R —C,其中：R 表示收入;C 表示成本．一、弹性分析经济学所分析的弹性问题主要可以分为需求弹性和供给弹性2个方面也可以,也可以分成点弹性和弧弹性2种,常见的弹性分析主要有需求的价格弹性、需求的收入弹性、需求的交叉弹性以及供给的价格弹性、供给的收入弹性、供给的交叉弹性等.1.需求弹性1） 需求的价格弹性所谓需求的价格弹性,是指商品价格的变动率与其所引起的需求量变动率之比.公式为:d Q Q P Qe P P QP∆∆==∆∆ 当价格发生微小变化时:d dQ Pe dP Q= 由于需求量与价格反方向变化,所以,P ∆与Q ∆必有一个为负数,因此,d e 为负值.由于对弹性的考察只注重量的变化,所以一般都d e 的绝对值.需求弧弹性：表示某商品需求曲线上两点之间的需求量的相对变动对于价格的相对变动的反应程度，即需求曲线上两点之间的弹性.设需求函数为()Q f P =,Q ∆、P ∆各表示需求量和价格的变动量，d e 表示需求弹性系数，则需求弹性公式为：d Q Q P Qe P P QP∆∆=-=-∆∆ 在计算同一条弧的需求弧弹性时,由于P 和Q 所取的基值不同,因此,降价和涨价的计算结果不同.如果仅是一般计算某一条弧的需求弧弹性,并未强调是作为降价或涨价的结果则为了避免不同的计算结果,通常取两点的价格和需求量各自的平均值(中值)来做为P 和Q 值.则需求弧弹性中点公式为:121222d Q P P Q P Q Qe P Q Q P Q P P ∆+∆∆=-=-=∆+∆∆ 需求点弹性：表示需求曲线上某一点上需求量的无穷小的变动率对于价格的无穷小的变动率的反应程度,即需求曲线上某一点的弹性.设需求函数为()Q f P =,dQ ,dP 各表示需求量和价格的无穷小的变动量,d e 表示需求弹性系数,则需求点弹性公式为:d QdQ P Q e P dP QP∆=-=-∆ 2） 需求的收入弹性 需求的收入弹性就是用来测定商品的需求量对消费者收入水平变动的反应程度. ()()%%=需求的变动率需求的收入弹性系数收入的变动率 Q Y Y Y QYQQ ∆∆==∆∆ 3） 需求的交叉弹性 需求的交叉弹性就是用来计量一种商品的需求量的变化对其他商品价格变化反应的灵敏程度.xy x x y y xyxy Q P Q Q P P Q x e y P ∆=∆∆=-=∆商品需求量变动的百分比商品价格变动的百分比2.供给弹性供给弹性表示在一定的时期内,一种商品的供给量的相对变动对于该商品价格相对变动的反应程度.它是商品供给量的变动率与价格变动率之比.例:在一个某种商品的需求量对价格、收入和其它变量的回归方程中,收人的回归系数是10.要求:(1)计算当收入为10000美元,商品销售量是80000单位时,该商品的收入弹性;(2)如果该商品销售量从80000上升到90000单位,收入从10000美元上升到11000美元,商品的收入弹性是多少?该商品属于哪种产品?解(1)该商品的需求收入弹性是Q QI I ∆∆其中：I 表示收入;Q 表示商品销售数量；Q ∆是商品销售数量的变化;I ∆是收入的变化.在对Q 进行的关于I 和其它解释变量的回归中,I 的估计系数是10,即Q 10I∆=∆. 因此,对于10000美元的收入和80000单位的销售量,商品的收人弹性1000010 1.2580000I E =⨯=. (2)销售量从80000增加到90000单位，消费者的收入从10000美元增加到11000美元时, 1.24I E =,所以该商品是奢侈品．二、边际分析在经济学中,习惯用“平均”和“边际”的概念描述一个经济变量y 对于另外一个经济变量x 的变化.平均概念y 表示在自变量x 的某一个范围内的变化情况;边际概念涉及x 的某一值的“边缘上”y 的变化情况.显然,平均值,随石的范围不同而不同,边际概念表示当x 的改变量x ∆趋于0时y 的相应改变量y ∆与x ∆的比值的变化,即当x 在某一给定值附近有微小变化时y 的瞬时变化率.若设某经济指标y 与影响指标值的因素x 之间成立函数关系式()y f x =,则称导数()'f x 为()y f x =的边际函数,记作My .随着y ，x 含义不同,边际函数的含义也不同.(1)边际成本函数. 设生产某产品q 单位时所需要的总成本函数为()C C q =,则称()'MC C q =为边际成本函数.简称边际成本,()'0C q 称为当产量为0q 时的边际成本,其经济含义是:当产量为g.时,再生产一个单位产品所增加的总成本为()'0C q . (2)边际收入函数收入函数()R R q =,边际收入函数()'MR R q =,简称边际收入,()'0R g 称为当商品销售量为0g 时的边际收入,经济意义为:当销售量达到0g 时,如果增减一个单位产品,则收入将相应地增减()'0R g 个单位.(3)边际利润函数利润函数()()()L L q R q C q ==-,边际利润函数()()()''''L L q R q C q ==-,()'0L q 称为当产量为0q 时的边际利润,其经济意义是:当产量达到0q 时,如果增减一个单位产品,则利润将相应增减()'L q 单位.三、最优化分析[]11 (浅论导数在经济学中的应用)在经济管理中,企业需要寻求最小生产成本或获得最大利润的一系列价格策略.这些问题都可归结为求函数的最大值和最小值问题.这一思想运用到经济上可以进行经济业务最大化、最小化分析,通过分析来达到有效、合理安排生产,最大限度地取得利润,最小限度地消耗能源与原料.例如最大利润,最大收入,最低成本,最优批量,最大税收等.(导数在经济分析中的应用)最后我们在说一下导数在几何方面和实际生活中其它方面的应用[]1315-.应用导数的知识我们可以进一步研究函数以及曲线的某些性质, 分析处理解析几何中的有关切线问题.(浅谈导数的应用).比如中值定理,单调性,极值,最值和曲线的凹凸性等.导数的引入,大大拓宽了数学知识在实际优化问题中的应用空间.这个问题,是一个最优化问题,在实际生活中,这样的例子比较常见,需要建立函数关系式,一般没有简单有效的方法;即使能求解,也要涉及到较高的技能技巧.恰好用导数的知识,来求函数的最值就比较方便.对于这一类型的优化问题,如果所建立的函数次数较高,或是由它们经过四则运算得到初等函数以及它们的复合函数等等,都可以比较方便地应用导数知识来求问题的最值[]2.举个例子：有甲、乙两个城市.甲城市在一直线高速路A 处,乙城市与甲城市在高速路的同侧;乙城市位于离高速路40公里的B 处,它到高速路的垂足D 与A 相距50公里;两城市要在此路边共建一个加油站C,从加油站到甲城市和乙城市的费用分别为每公里3a 元和5口元.问加油站C 建在路边何处,才能使费用最省?解：设BCD=Q ∠,则40BC=sin θ,CD=40cot θ,02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 5040cot AC θ=-设总的水管费用为()f θ,依题意,有()()4053cos 35040cot 515040sin sin f a aa a θθθθθ-=-+=+ 所以()()()''253cos sin 53cos sin 40sin f aθθθθθθ---= 所以()235cos 40sin fa θθθ-=令()0f θ=,得3cos 5θ= 根据实际意义,当cos θ取35时,函数取到最小值, 此时4sin 5θ=,3cot 4θ=, 所以AC 5040cot 20θ=-=公里,即加油站建在A 、D 之间距城市甲20公里处.可使费用最省.导数的应用还有很多,比如在化学中解决化学反应速率问题,在工程方面研究设计问题等等.三、总结部分（将全文主题进行简要总结，提出自己的见解并对进一步发展方向作出预测）论述了导数的概念，分析了导数的定义，讨论了导数的应用问题．最后对导数研究的重点，难点进行归纳，给出恰当例子．本论文的重点是研究导数的实际应用问题！查阅各种相关文献，对各文献进行归纳总结，提取各文献中关于导数的相关内容，系统的进行总结．其中的难点在于如何把导数应用到实际生活中．我相信经过更多的研究，导数会有更多的应用．四、参考资料（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）[1]华东师范大学数学系．数学分析[M]．.北京：高等教育出版社，2001．[2]王丽英．巧用导数求最值[J]．张家口职业技术学院学报，2010，3．[3]明清河．数学分析的思想和方法[M]．济南：山东大学，2004．[4]Tom M.Apostol ．Mathematical Analysis(Second Edition) [M]．机械工业出版社，2004．[5] Richard Courant Fritz John ．Introduction to Calculus and Analysis[M]．世界图文出版公司，2001．[6]林清华．谈导数的几点应用[J]．科技信息（学术版），2008,9．[7]熊志权．利用导数处理高中物理问题[J]．高中数理化（高三），2007,5．[8]仇恒喜，赵迎军．微观经济学[M]．北京：经济科学出版社，2009．[9]刘荣花，杨春艳，孙艳伟．导数理论在经济分析中的应用[J]．高师理科学刊，2010，30(4)．[10]丁瑶．导数的经济意义及教学探讨[J]．重庆电子工程职业学院学报，2010，19(4)．[11]杨春艳，祝微．浅谈导数在经济分析中的应用[J]．金融理论与教学，2010，3．[12]葛琳．例谈导数在经济分析问题中的最优化应用[J]．考试周刊，2009，(36)．[13]唐红兵，洪燕君．浅谈导数几何意义的应用[J]．科技信息，2009，(24)．[14]张娟．浅谈导数在实际生活中的应用[J]．科技信息，2010，19．[15]夏大鹏．导数的应用刍议[J]．湖北广播电视大学学报，2010, 30(2)．。