平面汇交力系与平面力偶系习题课

7. 力偶和力偶矩 力偶——两个大小相等 方向相反且不共线的平行力组成的力系。 力偶——两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。 两个大小相等、
M = ±Fd ⇒力偶矩
力偶在任一轴上的投影等于零，且对平面内任一点的矩恒等于 力偶在任一轴上的投影等于零， 力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。 力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。
a
C
FB a
A
FA
F′ D
D
a
a
∑M = 0, FAa − M = 0 M FA = FB = a
(2) 取BCD为研究对象 BCD为研究对象 确定 D 处约束反力的方向
C
B
F′ C
FD
D
FB
方向不定！ 方向不定！
E
(3) 取DE为研究对象 DE为研究对象
M
∑M = 0, FDasin 45o − M = 0
ND=Q-T ⋅sinα=Q-2Psin60 =Q− 3P 2
例题 4
BCD=30° 已知： 已知：AB=CD=a, ∠BCD=30° 平衡时M 之间的关系。 求：平衡时M1、M2之间的关系。
解: (1)取AB为研究对象 (1)取AB为研究对象
∑M = 0, FBacos30o − M1 = 0
解得
FR = ∑F = 0 i
力多边形自行封闭
（3）平衡的解析条件： 平衡的解析条件：
∑F = 0 xi ∑F = 0 yi
5. 平面力对点之矩
MO(F) = ±F ⋅ d = ±2∆O AB
6. 合力矩定理： 合力矩定理：
MO(FR ) = MO(F ) + MO(F2 ) +L+ MO(Fn ) = ∑MO(F ) 1 i
B A
450 300
思考题2 思考题2 ?
A
FAB
450
FB FA C
600
FAC D
FA
x1 FBA
300
B
600
x2
FB
FBD
解: [A] [B]
FBA=FAB ∑Fx1=0 FA+FABcos450=0 ∑Fx2=0 FBA+FBcos300=0
F A = 6 = 0.61 F 4 B
图示压榨机， 点作用水平力F、 块与光滑 图示压榨机，在A点作用水平力 、C块与光滑 点作用水平力 墙接触， 力作用使C块压紧物体 物体D所受压力 所受压力。 墙接触，在F力作用使 块压紧物体 ，求：物体 所受压力。 力作用使 块压紧物体D，
2M FD = FE = a
FE
E
(4) 取ACE为研究对象 ACE为研究对象
F′ E
′ ∑Fy = 0, F sin α − FE cos 45o = 0 C
FC
C
FA A
确定方向！ 确定方向！
1 sin α = 5
α
F′ D
D
5M F = C a
(2) 取BCD为研究对象 BCD为研究对象 确定 D 处约束反力的方向
3 M1 = Fa B 2
B C
(2) 取CD为研究对象 CD为研究对象
D A
M1
M2 FB FC
C D A B
∑M = 0, M2 − F asin 30o = 0 C
解得
M1 FA
1 M2 = F a C 2
M1 = 3 M2
因为 FB = FC
FD
M2
D
M
E
例题 5
B
求：A、B、C、D、E处的 约束反力。 约束反力。 解: (1) 取整体为研究对象
F
60cm
F FA P P
A
400cm
FB B
力偶仅 能被力 偶平衡
FA·400–P·60=0； 解: ∑Mi=0; ； 得：FA=3kN，FB=FA。 ， 。
例 1 图示吊车架，已知P，求各杆受力大小。 图示吊车架，已知P
解：1、研究对象： 研究对象：
v SAB A
60° 60°
铰链A 节点法） 铰链A（节点法） 2、几何法： 几何法： SAC=P/sin600 =P/sin60 SAB=P×ctg600
v SAC
v P
v SAC
60° P 60° v
α） [点C] ∑Fy=0;FAC+FCA（2α =0； 点 FD= -F/（ cos； sin
（有：FCA=FAC）
FL F = tanα = D 2 2h
思考题4 思考题4 ? 图示导轨式汽车提升机构，已知提升的 图示导轨式汽车提升机构， 汽车为P=20kN，求：导轨对 、B轮的约束反力。 导轨对A 轮的约束反力。 轮的约束反力 汽车为 ，
例2 已知 P=2kN ， 求SCD , RA
研究AB杆 解：①研究AB杆 ②画出受力图 ③列平衡方程
∑F = 0 RA⋅cosϕ−SCD⋅cos450=0 ∑F = 0 − P− RA ⋅sin ϕ + SCD ⋅sin 450 = 0
x y
④解平衡方程
由EB=BC=0.4m，
ϕ
EB 0.4 1 tgϕ= = = 解得： 解得： AB 1.2 3 P cos450 =4.24 kN ； RA =SCD⋅ SCD = =3.16 kN 0 −cos450 ⋅tgϕ sin45 cosϕ
力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等， 力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等， 则彼此等效。力偶矩是力偶作用的唯一量度。 则彼此等效。力偶矩是力偶作用的唯一量度。 8. 平面力偶系的合成与平衡 合成结果： 合成结果： 平衡条件： 平衡条件：
M = ∑Mi ∑Mi = 0
C
B
F′ C
FD
D
FB
(3) 取DE为研究对象 DE为研究对象
方向不定！ 方向不定！
E
M
∑M = 0, FDasin 45o − M = 0
2M FD = FE = a
FE
思考题1？
B D
F 2
o A
R
M
F′ 1
C
M
C
F 1
M
A
F′ 2
B
P
问刚体在四个力的 作用下是否平衡， 作用下是否平衡， 若改变F 若改变F1和F1′的方 则结果又如何。 向，则结果又如何。
Fy = F sinα
F = Fxi + Fy j
（2）解析法 根据合力投影定理： 根据合力投影定理：
2 2 FR = FRx + FRy = (∑Fxi )2 +(∑Fyi )2 FRy FRx cos(FR, i) = , cos(FR, j) = FR FR
4. 平面汇交力系的平衡条件 （1）平衡的必要和充分条件： 平衡的必要和充分条件： （2）平衡的几何条件： 平衡的几何条件：
h B L A L D F FAB α α FAC [A] F x FC y y [C] FCA x FD
思考题3 思考题3 ?
点 C 解:[点A] ∑Fx=0; (1） ） ∑Fy=0;
– FABcosα – FACcos α – F=0 FABsinα–FACsin α =0
F
（2） ）
从（2）可得：FAB=FAC，代（1）得： ）可得： ）
第二章 习题课
结论与讨论
1. 力在坐标轴上的投影为： Fx = F cosα 力在坐标轴上的投影为： 2. 平面内力的解析表达式为： 平面内力的解析表达式为： 3. 求平面汇交力系的合力 （1）几何法 根据力多边形规则，求得合力的大小和方向为： 根据力多边形规则，求得合力的大小和方向为： FR = ∑F i 合力的作用线通过各力的汇交点。 合力的作用线通过各力的汇交点。
v SAB
例1续
v SAB A
60° 60°
3、解析法： 解析法：
v P
y x
v SAC
∑FX=0 ∑FY=0 解得： Fra Baidu bibliotek得：
SAC cos600 － SAB = 0 SAC sin600 － P = 0 sin60
SAC=P/sin600 =P/sin60 SAB= SAC cos600 =P×ctg600 cos60 ctg60
当 M=PR 时，系统处 于平衡， 于平衡，因此力偶也 可以与一个力平衡， 可以与一个力平衡， 这种说法对吗。 这种说法对吗。
图示系统平衡否， 图示系统平衡否， 若平衡， 若平衡，A、B 处约束反力的方 向应如何确定。 向应如何确定。
图示四连杆机构， 图示四连杆机构，在A、B点分别作用 FA,FB，求：机构平衡时FA与FB力的关係。 力的关係。
例3 已知如图P、Q， 求平衡时 α =？ 地面的反力ND=？ 已知如图P 地面的反力N
解：研究球受力如图 选投影轴列方程为
∑F = 0
x
T ⋅cosα−T=0 2 1
①
∑F
y
= 0T ⋅sinα−Q+ND =0② 2
cos =T = P =1 α 1 T 2P 2 2
由①得
∴ =600 α
0
由②得