湖南省郴州市苏仙区八年级数学上册 第7讲 三角形(1)培优湘教版
湘教版八年级数学上册教案《三角形》
《三角形三边关系》教学设计◆教材分析本节课是湘教版数学八年级上册第二章三角形的第一节课，三角形的概念及相关元素，本章是三角形的相关概念，特殊的三角形，三角形全等的知识，让学生通过作三角形(已知三条线段)的过程中，发现“三角形任何两边之和大于第三边”．并会利用这个不等量关系判断不知的三条线段能否组成三角形以及已知三角形的二边会求第三边的取值范围。
因此本节课重点是三角形三边关系定理的探究和归纳。
所渗透的数学思想方法有：类比，转化，建模。
一、知识与技能1.让学生通过作三角形(已知三条线段)的过程中，发现“三角形任何两边之和大于第三边”．并会利用这个不等量关系判断不知的三条线段能否组成三角形以及已知三角形的二边会求第三边的取值范围。
2．会利用三角形的稳定性解决一些实际问题。
二、过程与方法经历探究三角形三边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵。
三、情感态度和价值观养成有条理的思考习惯以及说理的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的价值。
教学重点三角形三边关系定理的探究和归纳。
教学难点三角形三边关系的应用。
多媒体课件一、导入新课在小学时大家已经初步学过三角形及相关知识，现在我们进一步系统地研究三角形二、新课学习三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形，叫做三角形. 三角形的边，顶点，内角，外角，三角形的表示方法，三角形的分类三角形三边关系：引导学生用事先准备好的木棒动手拼三角形，探究三角形的三边关系。
问题1：从长度分别为5cm、6cm、11cm、13cm的小棒中任取三根，能拼成几个三角形？（合作探究，同桌或邻桌的同学与自己的结论是否一样？）问题2：综合上面结论，说出有几种情况下不能构成三角形（同学交流归纳得出结论）（1）两条较短的线段之和小于第三边时；（2）两条较短的线段之和等于第三边时。
（3）猜想三角形三边关系（放手让学生归纳）（4）启发学生用“两点之间，线段最短”给出证明。
例1 判断：用下列长度的三条线段能否组成一个三角形？为什么？（1）1cm、2cm、3cm；（2）2cm、3cm、4cm；（3）4cm、5cm、6cm（4）5cm、6cm、10cm. 问题3：是不是判断三条线段能否组成三角形，必须要写出三个不等式？有无简便方法？（只需看较小两边之和是否大于第三边）。
湘教版八年级数学上册《三角形(1)》课件
例1 如图，D是△ABC的边AC上一点，AD=BD，
试判断AC与BC的大小.
解 在△BDC 中，
有 BD+DC >BC （三角形的任意两边之和大于第三边）
又 AD = BD， 则 BD+DC = AD+DC = AC，
所以 AC >BC.
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
点之间线段最短” 可得: AC + BC > AB.
AB + AC > BC.
A
c
b
B
a
C
图2-2
结论
一般地，我们可以得出：
三角形的任意两边之和大于第三边.
三角形任意两边之差小于第三边
做一做
有三根木棒，其长度分别为2cm，3cm
，6cm，它们能否首尾相接构成一个三角形
∵2+3=5<6，∴已知长度的三根？木棒不能构成三角形。
（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？ 解：如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则
4 + 2x =18． 解得 x = 7. 如果4 cm长的边为腰，设底边长为x cm，
则4×2 + x = 18. 解得 x = 10. 因为4 + 4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边， 所以不能围成腰长为4 的等腰三角形．由以上讨论可知， 可以围成底边长为4 cm的等腰三角形．
湘教版初中数学八年级上册认识三角形精品PPT
成三角形？
解:∵6+4>3
解: ∵最长线段是6cm
6+3>4
4+3=7>6
4+3>6
∴能组成三角形
∴能组成三角形
这判样断判三断条需线要段三能个否条件组，成你三一角定形希的望方有更法好：的判
断①方找法出吧最.想长想看线! 段。
②比较大小:较短两边之和与最长线段的大小 ③判断能否组成三角形。
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想一想
有两根长度分别为5cm和8cm的
木棒，用长度为2cm的木棒与它们能
摆成三角形吗？为什么？长度为
13cm的木棒呢?
你能取一根木棒，与原来的
两根木棒摆成三角形吗？
两边之差第三边两边之和
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3.性质的作用
(1)判断三条已知线段能否组成三角形.
(2)已知三角形的两边,求第三边的取值范围：
两边之差第三边两边之和
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有 BD+DC >BC
A
（三角形的任意两边之和大于第三边）
又 AD = BD，
D
则 BD+DC = AD+DC = AC，所以
AC >BC.
B
C
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3、已知三角形的两边a,b长分别
为2和3,则第1<三c边<5c的范围是
2020-2021学年八年级培优训练第7讲《直角三角形全等的判定》
第7讲直角三角形全等的判定【思维入门】1．如图1－7－1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝8 cm，F是高AD和BE的交点，则BF 的长是 ( )图1－7－1A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．9 cm2．如图1－7－2，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是____．(只需写一个，不添加辅助线)图1－7－23．如图1－7－3，已知∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段____．图1－7－34．如图1－7－4，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：①∠ABE ＝∠BAD ；②△CEB ≌△ADC ； ③AB ＝CE ；④AD －BE ＝DE. 其中正确的是____(填序号)．图1－7－45．如图1－7－5，已知AD 是△ABC 的中线，分别过点B ，C 作BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F.求证：BE ＝CF.【思维拓展】6．如图1－7－6，△ABC 的两条高AD ，BE 相交于H ，且AD ＝BD ，试说明下列结论成立的理由．(1)∠DBH ＝∠DAC ； (2)△BDH ≌△ADC.7．如图1－7－7，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点． (1)写出点O 到△ABC 的三个顶点A ，B ，C 距离之间的关系；(2)如果点M ，N 分别在线段AB ，AC 上移动，移动中保持AN ＝BM ，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论．图1－7－78．如图1－7－8，已知在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BE平分∠ABC交AC于点E，EF⊥AB，垂足为F.图1－7－8(1)求EF的长度；(2)作CD⊥AB，垂足为D，CD与BE相交于G，试说明：CE＝CG.9．如图1－7－9，在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC，且OE＝OF.(1)如图①，当点O在BC边中点时，试说明AB＝AC；(2)如图②，当点O在△ABC内部时，且OB＝OC，试说明AB与AC的关系；(3)当点O在△ABC外部时，且OB＝OC，试判断AB与AC的关系．(画出图形，写出结果即可，无需说明理由)①②图1－7－9【思维升华】10．如图1－7－10，三角形ABC的面积为1 cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则与三角形PBC的面积相等的长方形是 ( )A BC D图1－7－1011．如图1－7－11，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为9 cm2和13 cm2，点G在线段AB上．则△CDE的面积是____cm2.图1－7－1112．如图1－7－12，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连结CF.(1)求证：AD⊥CF；(2)连结AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．图1－7－12第7讲直角三角形全等的判定【思维入门】1．如图1－7－1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝8 cm，F是高AD和BE的交点，则BF 的长是 ( C )图1－7－1A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．9 cm2．如图1－7－2，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是__∠A＝∠D或AC＝DF或AB∥DE等__．(只需写一个，不添加辅助线)图1－7－23．如图1－7－3，已知∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段__AC＝BD或BC＝AD或OD＝OC或OA＝OB__．图1－7－34．如图1－7－4，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，下面四个结论： ①∠ABE ＝∠BAD ；②△CEB ≌△ADC ； ③AB ＝CE ；④AD －BE ＝DE.其中正确的是__①②④__(填序号)．图1－7－4【解析】 如答图，∵∠BEF ＝∠ADF ＝90°， ∠BFE ＝∠AFD ，∴①∠ABE ＝∠BAD ，正确．∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠CAD ＝90°， ∴∠1＝∠CAD.又∵∠E ＝∠ADC ＝90°，AC ＝BC ， ∴②△CEB ≌△ADC ，正确． ∴CE ＝AD ，BE ＝CD. ∴④AD －BE ＝DE ，正确． 而③不能证明， 故答案为①②④.5．如图1－7－5，已知AD 是△ABC 的中线，分别过点B ，C 作BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F.求证：BE ＝CF. 证明：∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD ＝CD.∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ， ∴∠BED ＝∠CFD ＝90°. ∵∠BDE ＝∠CDF ， ∴△DBE ≌△DCF.第4题答图图1－7－5∴BE ＝CF.【思维拓展】6．如图1－7－6，△ABC 的两条高AD ，BE 相交于H ，且AD ＝BD ，试说明下列结论成立的理由．(1)∠DBH ＝∠DAC ； (2)△BDH ≌△ADC.解：(1)∵∠BHD ＝∠AHE ，∠BDH ＝∠AEH ＝90°， ∴∠DBH ＋∠BHD ＝∠DAC ＋∠AHE ＝90°. ∴∠DBH ＝∠DAC ； (2)∵AD ⊥BC ， ∴∠ADB ＝∠ADC.在△BDH 与△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠HDB ＝∠ADC ，BD ＝AD ，∠DBH ＝∠DAC ，∴△BDH ≌△ADC.7．如图1－7－7，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点． (1)写出点O 到△ABC 的三个顶点A ，B ，C 距离之间的关系；(2)如果点M ，N 分别在线段AB ，AC 上移动，移动中保持AN ＝BM ，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论．图1－7－7解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点，∴OA ＝12BC ＝OB ＝OC ，即OA ＝OB ＝OC ；(2)△OMN 是等腰直角三角形，理由如下： 如答图，连结AO ，∵AC ＝AB ，OC ＝OB ，∠BAC ＝90°，∴OA ＝OB ，∠NAO ＝∠B ＝45°， 在△AON 与△BOM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AN ＝BM ，∠NAO ＝∠B ，OA ＝OB ，∴△AON ≌△BOM(SAS)． ∴ON ＝OM ，∠NOA ＝∠MOB. ∴∠NOA ＋∠AOM ＝∠MOB ＋∠AOM. ∴∠NOM ＝∠AOB ＝90°. ∴△OMN 是等腰直角三角形．8．如图1－7－8，已知在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，EF ⊥AB ，垂足为F.图1－7－8(1)求EF 的长度；(2)作CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与BE 相交于G ，试说明：CE ＝CG. 解：(1)∵62＋82＝102，∴AC2＋BC2＝AB2， ∴∠ACB ＝90°，∵BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，EF ⊥AB ， ∴CE ＝EF ，在Rt △BFE 与Rt △BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝BE ，EF ＝EC ，∴Rt △BFE ≌Rt △BCE(HL)，∴BF ＝BC ＝8，∵AB ＝10，∴AF ＝AB －BF ＝2. 设EF ＝x ，则CE ＝x ，AE ＝6－x ，在Rt △AEF 中，由勾股定理，得AE2＝EF2＋AF2，第7题答图∴(6－x)2＝x2＋22，解得x ＝83，即EF ＝83；(2)∵在△BCE 中，∠CEB ＝90°－∠CBE ， ∠CGE ＝∠DGB ＝90°－∠DBG ，∠CBE ＝∠DBG ，∴∠CEB ＝∠CGE ，∴CE ＝CG.9．如图1－7－9，在△ABC 中，OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，且OE ＝OF. (1)如图①，当点O 在BC 边中点时，试说明AB ＝AC ；(2)如图②，当点O 在△ABC 内部时，且OB ＝OC ，试说明AB 与AC 的关系；(3)当点O 在△ABC 外部时，且OB ＝OC ，试判断AB 与AC 的关系．(画出图形，写出结果即可，无需说明理由)①②图1－7－9解：(1)证明：∵OE ＝OF ，OB ＝OC ， ∴Rt △OBE ≌Rt △OCF(HL)， ∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ； (2)AB ＝AC.证明：同(1)可证得Rt △OBE ≌Rt △OCF. ∴∠OBE ＝∠OCF.∵OB ＝OC ， ∴∠OBC ＝∠OCB. ∴∠ABC ＝∠ACB. ∴AB ＝AC ；(3)如答图①，当BC 的垂直平分线与∠A 的平分线重合时，AB ＝AC 成立；如答图②，当BC 的垂直平分线与∠A 的平分线不在一条直线上时，结论不成立．(图形不唯一，符合题意，画图规范即可)第9题答图【思维升华】10．如图1－7－10，三角形ABC 的面积为1 cm2，AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，则与三角形PBC 的面积相等的长方形是 ( B )A BC D图1－7－10 第10题答图【解析】 如答图，过P 点作PE ⊥BP 交BC 于E.∵AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，∴∠ABP ＝∠EBP ，又知BP ＝BP ，∠APB ＝∠BPE ＝90°，∴△BAP ≌△BEP.∴AP ＝PE.∵△APC 和△CPE 等底同高，∴S △APC ＝S △PCE ，∴S △PBC ＝12S △ABC ＝12cm2， 只有B 选项的长方形面积为12cm2. 故选B.11．如图1－7－11，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为9 cm2和13 cm2，点G 在线段AB 上．则△CDE 的面积是__3__cm2.图1－7－11【解析】 作EH ⊥CD 交CD 延长线于H ，得△DHE ≌△DAG.∴DH ＝DA ＝DC ，由勾股定理得EH2＝DE2－DH2＝13－9＝4(cm2)．∴EH ＝2 cm.∴S △CDE ＝12CD ·EH ＝12×3×2＝3(cm2)． 12．如图1－7－12，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连结CF.(1)求证：AD ⊥CF ；(2)连结AF ，试判断△ACF 的形状，并说明理由．图1－7－12解：(1)证明：在等腰Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∴∠CBA ＝∠CAB ＝45°.第11题答图又∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝90°.∴∠BDE ＝45°.又∵BF ∥AC ，∴∠CBF ＝90°，∴∠BFD ＝45°＝∠BDE ，∴BF ＝DB ，又∵D 为BC 的中点，∴CD ＝DB.∴BF ＝CD.在△CBF 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CD ，∠CBF ＝∠ACD ＝90°，CB ＝AC ，∴△CBF ≌△ACD(SAS)．∴∠BCF ＝∠CAD.又∵∠BCF ＋∠GCA ＝90°，∴∠CGA ＝90°，∴∠CAD ＋GCA ＝90°.即AD ⊥CF ；(2)△ACF 是等腰三角形，理由为：连结AF ，如答图所示，第12题答图由(1)知：CF ＝AD ，△DBF 是等腰直角三角形，且BE 是∠DBF 的平分线， ∴BE 垂直平分DF ，∴AF ＝AD ，∵CF ＝AD ，∴CF ＝AF ，∴△ACF 是等腰三角形．。
湘教版八年级数学课件-三角形
議一議
一個三角形的三個內角中，最多有幾個 直角？最多有幾個鈍角？
三角形的內角和等於 180°，因此最多有一個 直角或一個鈍角.
三角形中，三個角都是銳角的三角形叫銳角 三角形，有一個角是直角的三角形叫直角三角形，
有一個角是鈍角的三角形叫鈍角三角形.
銳角三角形
直角三角形
鈍角三角形
結論
三角形的一個外角等於與它不相鄰 的兩個內角的和.
練習
1. 填空： （1）在△ABC中，∠A= 60°，∠B=∠C， 則∠B= 60° ；
（2）在△ABC中，∠A-∠B= 50°， ∠C-∠B= 40°， 則∠B= 30°.
2. 如圖，AD是△ABC的角平分線，∠B= 36°， ∠C= 76°，求∠DAC的度數.
本章內容 第2章
三角形
本課節內容 2.1
三角形
觀察
觀察下圖，找一找圖中的三角形，並把它們 勾畫出來. 你還能舉出一些實例嗎？
不在同一直線上的三條線段首尾相接所構 成的圖形叫作三角形.
三角形可用符號“△”來表示，如圖 中的三角形可記作“△ABC”，讀作“三 角形ABC”.
其中，點A，B，C叫作△ABC的頂點； ∠A，∠B，∠C叫作△ABC的內角（簡稱△ABC的角）；
（1）圖中共有幾個三角形？請分別列舉出來.
解 （1）圖中有6個三角形， 它們分別是： △ABD，△ADE， △AEC， △ABE， △ADC，△ABC.
（2）其中哪些三角形的面積相等？
解 因為AD是△ABC的中線，
所以 BD=DC.
因為AE是△ABC的高，也是△ABD
和△ADC的高，
又
SΔABD =
答：∠DAC的度數是34°
初二上数学课件(湘教版) 三角形(一)
(2)① 若 一 腰 长 为 8cm ， 则 另 两 边 为 8cm ， 18 － 8×2＝2cm，
②若底边长为8cm，则(18－8)÷2＝5，∴另两边 为5cm，5cm.
探究二：三角形的三边关系 1．同学们任意画一个△ABC，并测量出AB、BC 、AC的长，通过测量并比较下列各式的大小． (1)AB ＋ BC____AC ； AB ＋ AC____BC ； AC ＋ BC____AB； (2)AB － BC____AC ； AB － AC____BC ； AC － BC____AB.
2．通过上面的事实，你有何启发？小组合作后， 并对结论加以证明．
点评：三角形两边的和大于第三边，三角形两边 的差小于第三边．
四、点点对接
例1：等腰三角形的周长为18cm.
(1)若已知腰长是底边长的4倍，求各边的长；
(2)若已知一边长为8cm，求其它两边长．
解析：此题须正确理解及应用等腰三角形的概念．
(3)三角形的三条边是否相等，有多少种可能情况 ？(分组讨论)并画出各种可能情况，有大家已熟知的 三角形吗？如果把三角形按边的相等关系分类，如 何分类恰当？
教师点评：
三边都不相等的三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形 等边三角形
强调： ①等边三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一 定是等边三角形； ②三角形也可按角分类，分为直角三角形，锐角 三角形和钝角三角形三类．
二、情景导入 生活中我们常常见到许许多多的三角形，比如自 行车的三角形支架，少先队员佩戴的红领巾，古 埃及的金字塔，巨大的钢架桥以及微小的分子结 构等等，到处都有三角形的形象，那知探究 探究一：三角形的有关概念及分类 每个同学任意画一个三角形，并思考： (1)你画的三角形是由几条线段组成？这几条线段在 同一条直线上吗？它们之间有什么特殊的位置关系？ (2)每组同学画的三角形有什么共同特点？(小组交) 点评：三角形的概念：由不在同一条直线上的三条 线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形． 强调：理解三角形的概念要注意两点： ①不在同一直线上； ②首尾顺次相接．
湘教版数学八年级上册全等三角形课件
合作交流
结论：边角边基本事实
有两边和它们的夹角对应相等的 两个三角形全等.
可以简写成 边角边 或“ SAS ”
S ——边 A——角
例1 已知: 如图，AC=AD ，∠CAB=∠DAB. 求证: △ACB ≌ △ADB. C
证明:
A
B
△ACB ≌ △ADB. D
这两个条件够吗?
证明：在△ACO和△BDO中， AO = BO ∠AOC =∠BOD（对顶角相等） CO = DO
∴ △ACO≌△BDO （ SAS ）
证明三角形全等的步骤：
1.写出在哪两个三角形中证明全等。 （注意把表示对应顶点的字母写在对应的位置上）. 2.按边、角、边的顺序列出三个条件.
用大括号合在一起. 3.证明全等后要有推理的根据.
∠A = ∠A'
A
AB = A'B' ∠B = ∠B' B ∴ △ABC≌△ A'B'C'
CB′ (ASA)
A′ C′
例 如图，点D 在AB上，点E 在AC上，AB =AC， ∠B =∠C．求证：AD =AE．
证明：在△ABE 和△ACD 中，
A
∠B =∠C
AB =AC
D
E
∠A =∠A (公共角)
还要什么条件呢?
例1 已知: 如图，AC=AD ，∠CAB=∠DAB.
求证: △ACB ≌ △ADB.
C 证明: 在△ACB 和 △ADB中
AC = A D (已知)
B
A ∠CAB=∠DAB（已知）
A B = A B ( 公共边 )
D
∴△ACB≌△ADB （SAS）
湘教版八年级数学上册《三角形 》知识全解
《三角形》知识全解课标要求1．认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形．2．经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系及三角形的稳定性．3．懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法，并能运用它解决有关的问题．4．帮助学生树立几何知识源于客观实际，用客观实际的观念，激发学生学习的兴趣． 知识结构内容解析1．三角形的定义．2．三角形的表示． （1）顶点：三角形两边的公共点称为三角形的顶点；ABC ∆的顶点是 A ， B ， C ．（2）边：组成三角形的三条线段称为三角形的边；ABC ∆的三条边为AB ， AC ， BC ．（3）内角：在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角；ABC ∆的三个内角为A ∠，B ∠，C ∠．注：（1）三角形的表示方法中“∆”代表“三角形”，后边的字母为三角形的三个顶点，字母的顺序可以自由安排，即CBA CAB BCA BAC ACB ABC ∆∆∆∆∆∆,,,,,为同一个三角形形．（2）角的两边为射线，三角形的三条边为线段．（3）由于在三角形内一个角对着一条边，那么这条边就叫这个角的对边，同理，这个角也叫做这个边的对角．如图1中，A ∠的对边是BC （经常也用a 表示），B ∠的对边是AC （经常也用b 表示），C ∠的对边为AB （经常也用c 表示）；AB 的对角为C ∠，AC 的对角为B ∠，BC 的对角为A ∠．3．三角形的分类．（1）按角分类三角形的定义三角形的三边关系三角形的有关概念 与三角形有关的综合应用 三角形斜三角形直角三角形 钝角三角形 锐角三角形 a A B C b c 图1（2）按边分类4．三角形的三边关系．三角形两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．5．三角形的稳定性三角形具有稳定性，四边形没有稳定性．重点难点本节的重点是：对三角形有关概念的了解，并理解三边间的不等关系．教学重点的解决方法：由浅入深，循序渐进，逐步深入，适当点拨和学生充分讨论交流形成共识，利用对三角形的已有认识，设置由一般到特殊的认识问题的方法．让学生体会复杂问题转化成简单问题，化未知为已知的思想方法．本节难点是：用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形．教学难点的解决方法：从对三角形认识出发使学生积极地参加到探索三边关系的活动中．从测量边长入手，体会转化的思想方法．在此基础上，继续探索更具一般性的关系．同时注意师生互动，提高学生的思维效率，针对学生的盲区，给出相应的练习巩固．教法导引借鉴美国教育家杜威的“在做中学”的理论和叶圣陶先生所倡导的“解放学生的手，解放学生的大脑，解放学生的时间”的思想，为实现教学设计问题化、教学过程活动化的教学期望，本节课以“自主探究，效果回授”教学法为主，以“引导→发现”法为辅，将问题、诱思、活动贯穿于教学始末，教学活动过程按照“创设情境，导入新课→诱导尝试，探究新知（演示操作，形成假设→验证假设，获得定论）→变式反馈，强化认识→概括总结，拓展认识→推荐作业，延展新知”的程序开展．将问题作为教学的出发点，通过设置一系列有效的问题，组织学生在从事数学活动中解决问题，使学生在老师的引导下，合理运用自主探究、合作交流等学习方式获得新知，实现教学目标，完成教学任务．同时，为增强直观性，以PPT 和几何画板为软件制作平台，充分利用自定义动画功能化抽象为具体、化静态为动态，展示思维训练过程，暗示教学思路，调动主体参与教学活动的积极性和主动性，增大课堂容量，提高课堂教学效果．学法建议人们常说：“授之以鱼，不如授之以渔”．新课改的精神在于以学生的发展为本，培养学生的终生学习愿望和可持续发展能力是本次课程改革的核心目标，这些足以说明教给学生学习方法比教给学生知识更为重要，因此，本节课主要是引导学生采取观察→实验→猜想→三角形 不等边三角形 等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形验证→推理→归纳和交流、类比等等的学习方法，以教会学生学习，促进学生全面发展，最终完成学习过程，达到教学目标．．。
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F D C (例4
题图)
(第1题图
)
B
C
第7讲 三角形（1）
姓名：________
一、知识点
1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
三角形的基本要素：三条边、三个内角、三个顶点. 如图所示的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”.
2.三角形的分类：①按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形； ②按边分为：不等边三角形和等腰三角形.
3.三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边.
4.三角形的内角和性质：三角形的内角和等于180°.
5.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫作三角形的外角. 三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形外角和性质：三角形的外角和等于360°. 二、典型例题
【例１】若的三边分别为4，x ，9，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x ＝______________. 【变式题组】
01．若△ABC 的三边分别为4，x ，9，且9为最长边，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是
______________.
02．设△ABC 三边为a ，b ，c 的长度均为正整数，且a ＜b ＜c ，a +b +c ＝13，则以a ，b ，c 为边的三角形，共有
______________个.
03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是
( ).
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm ，周长为58cm ，试求三角形三边的长.
【变式题组】
01．已知等腰三角形两边长分别为6cm ，12cm ，则这个三角形的周长是( )
A ．24cm
B ．30cm
C ．24cm 或30cm
D ．18cm
02．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是( )
A ．13cm
B ．6cm
C ．5cm
D ．4cm
03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为
______________.
【例３】如图AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，
FG 是△EFC 的中线，若S △GFC ＝1cm 2
，则S △ABC ＝______________.
【变式题组】
01．如图，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，S △ABC ＝4，则S △EFC ＝______________.
02．如图，点D 是等腰△ABC 底边BC 上任意一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若一腰上的高为4cm ，则DE +DF ＝
______________.
03．如图，已知四边形ABCD 是矩形(AD ＞AB ) ，点E 在BC 上，且AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，则DF 与AB 的数量关系
是______________.
【例４】已知，如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.
【变式题组】
01．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.
02．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.
03．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.
(第3题图
)
【例５】如图，已知∠A ＝70°，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ． 则∠BOC ＝ ______________.
【变式题组】
01．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC ＝______________.
02．如图，∠O ＝140°，∠P ＝100°，BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ，则∠A ＝______________.
C
B
A
(第2题图
)C (第3题图
)
(第2题图
)
B
(第1
题图)B
C
三、课堂练习
01．如图，图中三角形的个数为( )
A ．5个
B ．6个
C ．7个
D ．8个
02．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．不确定 03．有4条线段，长度分别是4cm ，8cm ，10cm ，12cm ，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 04．下列语句中，正确的是( )
A ．三角形的一个外角大于任何一个内角
B ．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和
C ．三角形的外角中，至少有两个钝角
D ．三角形的外角中，至少有一个钝角
05．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．无法确定 06．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．无法确定
07．如果等腰三角形的一边长是5cm ，另一边长是9cm ，则这个三角形的周长是______________.
08．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是
______________. 09．如图，在△ABC 中，∠A ＝42°，∠B 与∠C 的三等分线，分别交于点D 、E ，则∠BDC 的度数是______________.
(第9题图)
D E
B
A
C
10．如图，光线l 照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝
______________.
11．如图，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，且S △EFC ＝1，则S △ABC ＝______________. 12．如图，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，则∠DAC ＝______________.
13．如图，已知点D 、E 是BC 上的点，且BE ＝AB ，CD ＝CA ， ∠DAE ＝
1
3
∠BAC ，求∠BAC 的度数
14．在△ABC 中，AB=9，BC=2，并且AC 为奇数，求△ABC 的周长.
四、课外作业
01．已知x 为整数，那么以3，x ，10为三边可能组成的三角形的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 5个 D. 7个
02．在△ABC 中，∠A=3∠B ，∠C 比∠B 大15°，则∠A 的度数为（ ） A. 35° B. 95° C. 85° D. 75°
03．如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 04．在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ，则此三角形是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
05．如图，直线AB ∥CD ，∠A=70°，∠C=40°，则∠E 等于（ ）
A ．30° B．40° C．60° D．70°
06．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ）
A ．90° B．100° C．130° D．180° 07．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1，∠2之间的数量关系是（ ）
A ．∠A=∠1+∠2
B ．∠A=∠2﹣∠1
C ．2∠A=∠1+∠2
D ．3∠A=2（∠1+∠2）
08．如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2=（ ）
A ．315° B．270° C．180° D．135°
γ
βα
(第10题图)
Ⅱ
Ⅰ
(第11题图)
F
E A
B
C
(第13题图)
E A
B
C
4
32
1
(第12题图)
B
A C
E D A
B
C
09. 已知△ABC 的三边边长分别为a ，b ，c ，化简：+a b c b c a c a b -+----+
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