一次函数模型的应用

一次函数模型的应用

例1。某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min 开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程。

解题方法：

1．读题，找关键点；

2．抽象成数学模型；

3．求出数学模型的解；

二次函数模型的应用

例2 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

解应用题首先要读懂题意，设计出问题指导学生审题，建立正确的数学模型.同时，培养学生独立解决问题的能力.

依题意可列表如下：

由上表容易得到，当x = 10，即每天租金为40元时，能出租客房200间，此时每天总租金最高，为8000元.再提高租金，总收入就要小于8000元了.

解：设客房租金每间提高x个2元，则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为

y = (20 + 2x) (300 – 10x )

= –20x2 + 600x– 200x + 6000

= –20(x2– 20x + 100 – 100) + 6000

= –20(x – 10)2 + 8000.

由此得到，当x = 10时，y max = 8000.即每间租金为20 + 10×2 = 40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为8000元

实际应用用问题解决的一般步骤：理解问题 简化假设 数学建模 解答模型 检验模型 评价与应用的进一步深化

分段函数的应用

请据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

解：根据表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x 元后，日均销售利润为y 元，而在此情况下的日均例3 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单

价/元

6 7 8 9

日均销售量/桶

480 440 400 360

销售单

价/元

10 11 12 日均销售量/桶

320 280 240

销售量就为

480–40(x–1)=520–40x(桶)

由于x＞0且520–40x＞0，即0＜x＜13，于是可得

y=(520–40x)x–200

= –40x2+520x–200，0＜x＜13

易知，当x=6.5时，y有最大值.

所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.

指数型函数模型的应用

例4 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0e rt，

其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.

下表是1950~1959年我国的人口数据资料：

年份195

0 195

1

195

2

195

3

195

4

人数/万人551

96

563

00

574

82

587

96

602

66

年份195

5 195

6

195

7

195

8

195

9

人数/万人614

56

628

28

645

63

659

94

672

07

（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？

形如y=ba cx函数为指数型函数，生产生活中以此函数构建模型的实例很多。

解（1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196(1 + r1) = 56300，可得1951年的人口增长率

r1≈0.0200.

同理可得，

r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，

r8≈0.0222，r9≈0.0184.

于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为

r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.

令y0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t，t∈N.

根据表中的数据可以作出散点图。

（2）将y=130000代入

y=55196e0.0221t，

由计算器可得t≈38.76.

所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.