第二章 薄板振动分析
边界元分析薄板振动问题的简便方法
边界元分析薄板振动问题的简便方法
张妃二;谢道建
【期刊名称】《北京科技大学学报》
【年(卷),期】1993(015)004
【摘要】提出边界元法分析域内具有支承和集中质量的薄板自由振动问题的简便方法。
这是一种处理边界元域内积分项的方法,使得该问题在利用其对应齐次方程的基本解的基础上,将域内积分化为边界积分来处理,节省了工作量。
计算实例结果表明,该方法的精度满足实际工程的要求。
【总页数】6页(P379-384)
【作者】张妃二;谢道建
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O343
【相关文献】
1.基于有限元边界元方法的薄板声辐射分析 [J], 赵志高;黄其柏;何锃
2.快速多极虚边界元法对含圆孔薄板有效弹性模量的模拟分析 [J], 许强;蒋彦涛;张志佳
3.弹性环薄板稳定问题的边界元分析 [J], 完海鹰
4.薄板弯曲问题边界元法分析中预条件GM RES算法 [J], 陈娟;肖洪天;高广运
5.随机边界元法在薄板可靠性分析中的应用 [J], 江爱民;汪小超;陈瑞生
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薄板结构的自由振动特性分析
薄板结构的自由振动特性分析薄板结构是指在某一方向上的尺寸远小于其余两个方向上的尺寸的结构形式。
由于其特殊的构造形式，薄板结构在振动特性方面具有一些独特的特点。
本文将分析薄板结构的自由振动特性，并探讨其对结构性能的影响。
一、薄板结构的基本特征薄板结构的基本特征包括平面配置、尺寸远小于波长以及弯曲和拉伸变形较大等。
薄板结构的平面配置可以是矩形、梯形、圆形或其他形状，其尺寸与波长之比小于1/10，即满足薄板假设。
由于其尺寸较小，薄板结构在受到外力激励时会发生弯曲和拉伸变形，而非刚性平面结构。
二、薄板结构的自由振动模态在没有外界激励作用下，薄板结构可以自由振动。
自由振动模态是指结构在不受约束情况下的振动形态，也是振动的固有形态。
薄板结构的自由振动模态是通过求解结构的固有值问题而得到的。
薄板结构的自由振动模态可以分为弯曲模态和拉伸模态。
弯曲模态是指结构在振动时呈现出的弯曲形态，而拉伸模态是指结构在振动时呈现出的拉伸形态。
通过求解偏微分方程和应用适当的边界条件，我们可以得到薄板结构的振动模态，进而得到结构的共振频率。
三、薄板结构的自由振动特性薄板结构的自由振动特性包括共振频率、振动模态和共振节点。
共振频率是指结构在自由振动时达到最大振幅的频率，是结构固有的特性。
振动模态描述了结构振动时的形态，可以通过模态形状和模态序号来表示。
共振节点是指结构在振动时处于最小振幅的位置，是结构中的固定点。
薄板结构的自由振动特性受到结构尺寸、材料性质和边界条件等因素的影响。
结构尺寸越小，振动频率越高；材料的刚度和密度越大，振动频率越高；边界条件的约束程度越大，振动频率越高。
因此，在设计薄板结构时需要充分考虑这些影响因素，以确保结构在正常工作条件下具有良好的振动特性。
四、薄板结构的应用领域薄板结构的振动特性分析在工程设计和科学研究中具有广泛的应用。
薄板结构的自由振动特性可以用于结构的设计优化和结构参数估计。
通过分析结构的振动模态和共振频率，可以确定结构的固有振动形态和工作频率范围，从而为结构的设计和使用提供依据。
板的振动
单自由度振动的例子
薄板自由振动的一般问题：在一定的横向 荷载作用下处于平衡位置的薄板，受到干扰力 的作用而偏离这一位置，当干扰力被除去以后， 在该平衡位置附近作微幅振动。
当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简 单地得出自由振动的完整解答。
第三节 两对边简支的矩形薄板的
自由振动 取振形函数为
k x W Y k sin a
y x
其中 Yk 是待定的 y 的函数。 W 可 以满足该两简支边的边界条件。 将其代入振形微分方程
4 W 4 W 0
2 4 2 2 2
命k及n取不同的整数值，可以求得相应于不同振形 的自然频率
2 2 D k n 2 2 a2 b m
当薄板以这一频率振动时，振形函数为
k x n y W sin sin kn a b
而薄板的挠度为
k xn y w ( A cos t B sin t ) sin sin kn kn kn kn a b
m D
而这个代数方程的四个根是
2 2 k 2 2 a
2 2 k 2 2 a
在大多数的情况下，γ2>k2π2/a2，而上面所示的 四个根是两实两虚，取正实数
2 2 2 2 k m k 2 2 2 a D a 2 2 2 2 k m k 2 2 2 a D a
薄板的总挠度为
k x n y w ( A cos t B sin t ) sin sin kn kn kn kn a b k 1 n 1
第2章振动分析基础第1节
机械动力学
(1) 当频率比很小，即 激振频率远小于系统的 固有频率时，无论阻尼 的大小如何，动力放大 因子都趋近于1，受迫 振动的振幅近似等于与 激振力幅值相等的静力 作用下系统的静变位， 因此这个区域有时称为 “准静态区”。
Harbin Institute of Technology
哈尔滨工业大学机电工程学院
harbininstitutetechnologyharbininstitutetechnology机械动力学哈尔滨工业大学机电工程学院衰减系数固有角频率固有频率周期有阻尼固有角频率二自由振动harbininstitutetechnologyharbininstitutetechnology机械动力学哈尔滨工业大学机电工程学院harbininstitutetechnologyharbininstitutetechnology机械动力学哈尔滨工业大学机电工程学院1临界阻尼振动系统临界阻尼阻尼比harbininstitutetechnologyharbininstitutetechnology机械动力学哈尔滨工业大学机电工程学院2无阻尼振动系统固有角频率有阻尼固有角频率阻尼比harbininstitutetechnologyharbininstitutetechnology机械动力学哈尔滨工业大学机电工程学院3减幅阻尼振动系统harbininstitutetechnologyharbininstitutetechnology机械动力学哈尔滨工业大学机电工程学院对数衰减率harbininstitutetechnologyharbininstitutetechnology机械动力学哈尔滨工业大学机电工程学院对数衰减率harbininstitutetechnologyharbininstitutetechnology机械动力学哈尔滨工业大学机电工程学院harbininstitutetechnologyharbininstitutetechnology机械动力学哈尔滨工业大学机电工程学院例
振动分析基础 第二章 (2.01-2.10)
。
之间
所以，研究响应和激励在频率域上的变化关系，可能要比从 时间域上来研究更能够了解系统的动力特性。 尤其的，讨论放大因子 H( ) 和相角 与激励频率 的变化关系，将能够更好的揭示系统的动力响应特性。 根据复数代数，放大因子 H( ) ，即复频(率)响应的模，等 于 H ( ) 的实部与虚部平方的和的开方，即：
(2.7)
2 A 2 x (t ) sin t cost 1 n 2 2 2 n 1 n 2 n
这时，引入如下表达：
(2.7)
2 n
1 n 2 n
n 附近， 1
放大因子明显增大，说 明响应的振幅将远大于 激励的幅值。这时，限 制响应振幅的就只有阻
尼因素。
图2－3. 放大因子与频率比在不同阻尼系数下的关系曲线
要确定“放大因子”对“频率比”的曲线的峰值点位置，可 用计算函数驻值的方法。将放大因子 (2.20) 式对驱动频率 导，并令结果为零，即可得到峰值点发生的位置为：
后，可由傅立叶变换和拉普拉斯变换来得到系统响应。
2.2 对谐波激励的响应
仍然考虑下图2－1所示的二阶线性阻尼系统：
x(t ) x(t )
F (t )
Fs (t ) Fd (t )
k
m
m
F (t )
c
图2－1. 二阶线性阻尼系统
已经知道，该系统运动微分方程为：
mx(t ) cx(t ) kx(t ) F (t )
这一章，我们将开始对强迫振动进行讨论。
系统对于外部激励的响应，其求解方法在很大程度上取决于 激励的类型。本章，将按照从简单到复杂的顺序进行介绍： ① 谐波激励：
薄板振动分析的辛空间波传播方法
薄板振动分析的辛空间波传播方法张亚辉;马永彬【摘要】基于弹性力学问题求解的辛方法,结合波传播理论,提出一个薄板结构稳态动力响应分析的新思路.首先,将薄板振动的控制方程导入辛对偶体系,应用分离变量法得到薄板波传播问题的本征值方程,求解得到本征值(波传播参数)与本征向量(波形);然后将物理空间求解体系转换到波空间,进而结合波传播以及波反射关系求解薄板结构的受迫振动问题.算例给出了矩形薄板在四边简支(SSSS)和一对边固支、另一对边简支(CCSS)两种边界条件下的输入点导纳以及动能和应变能;四边简支的结果与模态叠加法给出的解析解以及波有限元法的结果做了对比,对边固支一对边简支边界下的结果与有限元程序系统ABAQUS的参考解以及波有限元法结果做了对比,对比结果验证了该方法的精确性与有效性.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2014(033)012【总页数】7页(P1-6,14)【关键词】辛对偶体系;波导;波有限元;波传播【作者】张亚辉;马永彬【作者单位】大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,大连116023;大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,大连116023【正文语种】中文【中图分类】O326基于模态思想的有限元方法在进行结构振动分析时，在结构一个振动波长内需要划分6至15甚至更多单元才能准确地模拟结构的振动,而在高频振动下，结构振动波长非常小，应用有限元方法不得不采用大量的自由度来分析结构的振动,因此，高频振动问题需要寻求更为有效的分析方法。
统计能量分析(SEA)作为高频振动分析的典型方法[1]，自上世纪60年代提出以来，已经推广到多个领域并得到成功的应用。
采用SEA方法进行高频振动分析的计算成本极小，不过只适用于初步验证阶段。
因为SEA按振动模式将结构分为若干子系统，分析结果只能给出各子系统能量均方值，随着对结果的需求更加精细化，还需要借助别的方法进行辅助分析。
从另一个角度来看，结构的振动可以用波的传播、反射以及传递的形式来表述[2]。
路用薄板结构屈曲、弯曲及振动问题的解析与数值分析
介绍数值模拟的基本原理、数值模型的建立及求 解方法。
数值模拟过程
详细描述模拟操作流程、参数设置及模拟结果。
数值模拟结果分析
根据模拟结果，对薄板结构的优化设计进行深入 分析，得出相关结论。
06
结论与展望
研究成果与结论
发现了路用薄板结构在屈曲、弯曲及振动问题中 的一些重要特性。 提出了针对这些问题的解析与数值分析方法。
薄板结构的基本定义与分类
01
根据材料和制造工艺对薄板结构进行定义和分类，包括金属薄
板、复合材料薄板等。
薄板结构弯曲的基本原理
02
介绍薄板结构弯曲的基本原理，包括弯曲变形、弯曲应力、弯
曲刚度等。
经典薄板弯曲理论
03
介绍经典薄板弯曲理论，如Mindlin板理论、Kirchhoff板理论
等。
薄板结构弯曲实验研究
3
薄板结构振动的稳定性
研究薄板结构在受到外部激励时的稳定性，以 及分岔和混沌现象。
薄板结构振动实验研究
实验设备和方法
介绍实验所用的测试设备和实验方法，包括激励方式、测量仪器、数据采集和处 理等。
实验结果和分析
通过实验测量薄板结构的振动响应，并对实验结果进行分析，验证理论模型的正 确性。
薄板结构振动数值模拟
研究内容与方法
研究内容
对路用薄板结构的屈曲、弯曲及振动问题进行深入研究，包括基本理论、解 析解和数值分析方法等。
研究方法
采用理论推导、数值模拟和实验验证相结合的方法，对路用薄板结构的屈曲 、弯曲及振动问题进行全面分析。
02
路用薄板结构屈曲分析
薄板结构屈曲基本理论
薄板结构屈曲定义
加筋薄板的自由振动分析
加筋薄板的自由振动分析刘文光;郭隆清;付俊;贺红林【摘要】加筋薄板是航空领域最常见的结构之一,加强筋对薄板振动模态有显著影响.为改善蒙皮加筋薄板的动力学特性,旨在研究板筋连接单元的动力学建模方法以及加强筋对蒙皮薄板振动的影响机制.首先研究加筋薄板铆接、点焊和滚焊连接形式的有限元建模方法,建立铆接、点焊和滚焊薄板构件的有限元动力学模型;然后探讨单向与双向加筋薄板构件的自由振动模态;最后,分析板筋连接形式和加筋安装方向对薄板振动模态的影响机制.结果表明,加强筋的设计对薄板模态影响明显,滚焊加强筋对薄板构件的模态频率影响相对最大.【期刊名称】《机械设计与制造》【年(卷),期】2017(000)002【总页数】5页(P58-61,66)【关键词】加筋薄板;动力学特性;振动疲劳【作者】刘文光;郭隆清;付俊;贺红林【作者单位】南昌航空大学航空制造工程学院,江西南昌330063;南昌航空大学航空制造工程学院,江西南昌330063;南京航空航天大学航空宇航学院,江苏南京210016;南昌航空大学航空制造工程学院,江西南昌330063【正文语种】中文【中图分类】TH16;V215.4飞机在高速飞行过程中，最容易受到高速气流的扰动，从而使得飞机上部分结构件陷于高频振动环境中。
蒙皮是飞机上大量应用的薄板之一，其振动引致的破坏直接危及飞机的可靠性。
因此，美国的军用规范《飞机强度和刚度》和我国的《军用飞机强度和刚度规范》对飞机结构的振动问题做了明文的规定。
加筋是飞机蒙皮设计中常见的增强薄板强度和刚度的方法之一。
在保证蒙皮薄板可靠性和耐用性的前提下，加筋后可以大大地节省薄板材料，从而减轻飞机总重量。
一般情况下，在保证相同承载能力下，加筋薄板的材料用量比薄板加筋前可以节省一半。
因此，提出合理的加筋方法可进一步优化薄板的强度和刚度，进而改善其动力学特性。
加筋薄板的力学问题，一直受到国内外研究者的广泛关注。
例如，文献[1]提出了加筋薄板振动声辐射特性的单元划分组合研究方法，通过将薄板沿加强筋划分单元，运用反力法将加强筋的作用等效在薄板上，利用单元的连续性条件研究了加筋薄板的振动与声辐射特性；文献[2]对常规薄板加筋方法中加筋比和厚度比的选取具有一定随意性的问题，研究出了最优加筋比和厚度比，结合拓扑优化方法设计薄板加筋结构中的筋条布局方式，使筋条的布局问题转化为基板中材料的分布问题，并增加了筋条的设计变量；文献[3]针对工字型长桁加筋壁板的稳定性问题，采用三种方法进行计算提出了实用、可靠的工字型长桁加筋壁板结构稳定性分析方法；文献[4]对复合材料薄壁加筋结构局域初始屈曲临界载荷进行了分析计算；文献[5]针对多设计变量的新型曲加筋条壁板优化问题，提出了一种参数化设计方法；文献[6]运用响应面法优化了曲加筋条壁板；文献[7]模拟壁板试验条件下的复杂边界条件，对曲加筋条壁板进行了设计和分析；文献[8]对经优化得到的最优曲加筋条壁板进行了试验研究；文献[9-10]对多工况条件下的曲加筋条壁板进行了轻量化设计；文献[11]应用拓扑优化技术研究了蒙皮厚度、加筋高度以及周期性格栅数对格栅加筋结构优化性能的影响。
板壳理论 课件 chapter2 弹性薄板的稳定和振动
2D
2
(2.2.7)
其中
m r K r m
2
, r
a b
(2.2.8)
利用dK/dr=0，可知r=m当时K值最小，其最小值为K=4，因而最 小的临界屈曲应力为：
s x cr
4 2 D 2 b h
(2.2.9)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
应该注意到，当n=1, r=m时，sx具有最小值，这说明当板屈曲时， 在受压方向上可能形成几个半波，而在y轴方向则只有一个半波， 且(2.2.9)式仅当a/b为整数时才成立。 当a/b非常小时，(2.2.7)式括号内的第二项恒小于第一项，只要使括 号内的第一项取最小值m=1 ，即得sx的最小临界值。
(2.1.1)
y
Qx q0 x y
将(2.1.1)式的前两式一并代入第三式有：
2 M xy 2 M y 2M x 2 q0 x y x2 y2
(2.1.2)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
将(1.2.4)代入(2.1.2)式中有：
4 w 4w 4w D w D w D 4 2 2 2 q x x y y4
图2.3 单向受压板
第二章 弹性薄板的稳定和振动
如以受压为正，且取代入方程(2.1.13)中，即得这一问题的 屈曲控制方程为： 边界条件是：
2w D w N x 0 2 x
4
(2.2.1)
2w x 0, a: w 0 2 x 2w y 0, b: w 0 y2
2 xy 2 w 2 w 2 w x 2 2 x y x 2 y 2 x y y x
薄板振动特性的实验研究
毕业设计（论文）任务书摘要随着科技水平的发展，随着振动理论以及结构学的发展，越来越多的结构，开始使用薄板，薄板，即为厚度小于长度方向的1/6。
由于薄板，重量轻，体积小，节省材料。
在一定程度上，尤其是对以工业生产，可以降低成本。
但是，由于薄板的厚度比较薄，在实际情况中的振动，尤其是长期的振动条件下，损坏可能会较严重。
为了解决薄板的耐震寿命，以及了解在振动环境中，薄板结构的振动特点，做了实验研究。
首先，薄板的理论研究，已经趋于成熟。
无论是从基本的薄板的振动理论，还是发展到今天的各种薄板振动精确解的求解方法。
所以，对于理论的学习，是做薄板振动实验的基础。
从理论的角度，了解了薄板结构在边界条件下的振动特点，包括振动阻尼、频率以及振型函数的特点。
其次，是对于实验仪器的选择。
包括，激振方式的选择，传感器的选择，以及后续处理实验设备的选择和选择的注意事项。
再次，在实验模拟条件下，进行薄板的振动研究。
通过力锤进行敲击，通过传感器采集信号，以及后续的处理系统，得到薄板振动的振型函数、振动频率、以及直观的了解薄板结构在试验状态下的振动特点，分析了自由振动条件下和强迫振动条件下，薄板结构的振动特点，而且还分析了，不同的试验条件下，不同的输入条件下得到不同的输出响应，以及各自的特点。
本文对薄板结构的振动特性做了实验研究。
重点探讨了，在不同的激振条件下，薄板结构所表现出来的振动特性。
即在三种不同情况下，包括单输入单输出（SISO）、单输入多输出（SIMO）和多输入多输出（MIMO）情况下，薄板结构表现出来的各自的振动特点，以及不同点。
从而验证了理论研究中，所得到的结果。
而且，还可以通过比较，确定在实际的情况中，根据不同的需要，使用不同的约束条件、可以避免减少对薄板结构的损害，延长耐振寿命。
关键词：薄板结构；振动特性；实验研究AbstractWith the development of scientific and technological level, with the development of the vibration theory and the structure of science, more and more of the structure, start using the thin plate, that is, the length of the direction of thickness of less than 1 / 6. As the thin, light weight, small size, material savings. To some extent, especially in industrial production, to reduce costs. However, due to the thickness of thin sheet metal, the vibration in the actual case, especially in long-term vibration conditions, the damage may be more serious. In order to solve the seismic plate life, and to understand the vibration environment, the vibration characteristics of thin plate and do experiments.Fristly，the thin plate theoryhas been maturing. Either from the basic theory of thin plate, or developed to a variety of thin plate solution of the exact solutions. Therefore, study of the theory is the basis for doing sheet metal vibration test. From a theoretical point of view, understanding of the thin structure in the vibration characteristics of the boundary conditions, including vibration damping, frequency and vibration mode function features.Secondly, the choice of the experimental apparatus. Include the choice of excitation methods, sensor selection, and subsequent processing laboratory equipment selection and choice of notes.Thirdly, the experiment simulated conditions, to the vibration of sheet metal. Carried out by hammer tapping, collecting signals through sensors, and follow-up treatment systems, are rectangular plate vibration mode function, vibration frequency, and the intuitive understanding of thin plate vibration in the experimental conditions to the characteristics of the free vibration conditions and under forced vibration, the vibration characteristics of thin plate structures, but also analyzes the different experimental conditions, different input conditions are different output response, and their respective characteristics. In this paper, thin structure of the vibration characteristics is studied. Focus on, and at different excitation conditions, plate structure shown by vibration. That is, in three different cases, including single-input single-output (SISO), single-input multiple-output (SIMO) and multiple-input multiple-output (MIMO) case, the thin plate shown their vibration characteristics, and different points. To verify the theoretical study, the results obtained. Moreover, it can be compared to determine the actual situation, according to the different needs of different constraints, can be avoided to reduce the damage to the sheet structure, vibration-resistant to extend life span.Keywords: thin plate; vibration characteristics; experimental study目录摘要 (I)ABSTRACT (II)第1章绪论 (1)1.1课题研究的意义及现状 (1)1.2薄板理论的发展简况 (1)1.3振动实验研究的发展简况 (2)1.4论文主要研究内容 (3)第2章薄板振动的基本原理 (4)2.1振动的基本概念以及特点 (4)2.1.1 振动的基本概念 (4)2.1.2 振动的基本特征量 (4)2.1.3 振动的基本形式 (4)2.2薄板的横向振动的微分方程 (4)2.2.1 弹性薄板横向振动的基本假设 (5)2.2.2 弹性薄板横向振动的几何方程与物理方程 (5)2.2.3 弹性薄板的内力分析 (8)2.2.4 弹性薄板自由振动的微分方程和边界条件 (10)2.3矩形板的固有振动 (11)2.3.1 四边简支矩形板 (12)2.3.2 一对边简支一对边任意的矩形板 (14)2.4薄板的强迫振动 (16)第3章薄板振动的实验研究 (18)3.1研究振动的意义 (18)3.2研究薄板振动的意义 (19)3.3工程测振的一般方法 (19)3.4实验仪器的选择 (20)3.4.1 激振方式的选择 (20)3.4.2 激振试验设备的选择 (22)3.4.3 传感器的选择 (23)3.5不同试验条件下，薄板振动特性的研究 (28)3.5.1 自由振动下，薄板振动特性的研究 (30)3.5.2 谐振激励下，薄板振动特性的研究 (30)3.5.3 三种不同的激励方式下的，薄板振动特性的研究 (30)致谢 (31)附件1 ........................................................................... 错误！未定义书签。
浅析电磁弹性薄板振动力学研究进展论文
浅析电磁弹性薄板振动力学研究进展论文浅析电磁弹性薄板振动力学研究进展论文引言电磁效应是变形场同电磁场、温度场在弹性固体内外产生相互作用的一种效应。
在线性状态的范围内，此效应无论是对电介质，还是对导电物体均具各式各样的数学模型。
最近几年，把研究此效应的新兴学科称为耦合场理论。
其中，磁弹性理论将专门研究电磁场同变形场的耦合，即研究在弹性固态物体中电磁场同变形场的相互作用。
这个理论基本是线弹性理论和在自由运动介质中线性电动力学理论的耦合。
如果所研究的弹性体位于初始强大的磁场中，机械荷载、热荷载在引起变形场的同时，将要产生电磁场。
两个场将发生相互作用和相互影响，出现耦合机制。
电磁场对变形场的作用是由运动方程中的洛仑兹力引起。
变形场会影响磁场的强度、磁弹性波和电磁波的传播速度与位相，具体表现在欧姆定律中多了电流密度增长项，而且该项取决于变形物体在磁场中的位移速度。
电磁结构的磁弹性非线性问题理论的广泛研究对于处在高温、高压和强电磁场作用下的结构元件的设计、制造及可靠性分析都具有非常重要的意义。
当电磁结构处在外加电磁场环境中时，一方面电磁结构受到电磁力作用而变形; 另一方面结构的变形又导致电磁场发生改变进而使电磁力的分布发生变化。
对于载流导电体，其电磁力为Lorentz 力; 对于可极化或可磁化的电磁介质材料，电磁力是通过电极化或磁化与外界电磁场相互作用而产生的。
这种电磁场与力学场相互耦合的一个基本特征就是非线性，即使将电磁场与力学场分别处理为线性的，经耦合后的电磁弹性力学边值方程仍呈非线性，这无疑给磁弹性理论的力学行为的定量分析带来难度，使它成为近代力学研究中的一个极富挑战性的课题。
1 薄板磁弹性振动问题的研究国内外学者对电磁弹性振动问题已经做了大量的研究，取得了很多成果。
Pan E 等研究了支持多层板的电磁弹性振动解。
C. L. Zhang 等研究了多铁叠层板壳的电磁影响。
Yang Gao 等总结了研究磁弹性板壳结构的精细理论。
薄板的振动固有频率的求解
ua z
w x w va z y wa w (高阶小量)
(1.1)
根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为
ua 2w z 2 x x v 2w y a z 2 y y
x
(1.2)
xy
ua va 2w 2 z y x xy
4 X ( x) 4X 4 x 2 X ( x) 2 X x 2
(1.17)
(1.18)
现讨论式(1.17)中，首先要满足边界条件，设
(1.19)
根据上两式，有
4 X ( x) 2 X 4 X x 4
则 4 4 ，故有
(1.20)
固体力学作业 薄板的振动的固有频率与振型
1 、 问题
矩形薄板的参数如下
a 150mm, b 100mm, h 5mm, E 210GPa, v 0.3, 7.93 103 kg / m3
求矩形薄板在 （1） 四边简支（2）四边固支 条件下的固有频率和振型
2 、薄板振动微分方程
(1.23)
于是变量得到了分离，要满足式(1.14)的三角函数为
sin x X ( x) cos x
类似地也可得出另一个平行的能使分离变量的条件为
(1.24)
sin y Y ( y) cos y
(1.25)
现设 x 方向板的长度为 a， y 方向板的长度为 b， 且当 x=0 和 x=a 边为简支， 则满 足此边界的条件 m / a ，故式(1.24)可写为
4 X ( x) 4X 4 x 2 X ( x) 2 X 2 x
将上两式(1.21)代入式(1.19)第一式中，可写为
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析四边固支矩形薄板是一种典型的结构，其固有振动特性的计算对于结构的稳定性以及对外载荷的响应有着重要的影响。
本文将从理论计算和有限元分析两个方面来探讨四边固支矩形薄板的固有振动特性。
一、理论计算在理论计算中，四边固支矩形薄板的固有振动频率可以通过以下公式进行计算：f_n = (C_n^2 + D_n^2)^0.5 / (2πt)^0.5 * (EH^3/12ρ(1-μ^2))，其中，f_n为第n阶固有频率；C_n和D_n分别为第n阶水平和竖直模态振型的振幅比；t为薄板厚度；E为材料的弹性模量；H为矩形薄板的一侧长度；ρ为材料的密度；μ为材料的泊松比。
根据上述公式，我们可以对四边固支矩形薄板进行理论计算，得出其固有振动频率，并根据振动模型分析结构的稳定性以及响应能力。
二、有限元分析在有限元分析中，我们可以通过建立合适的有限元模型，利用求解振型特征值和振型模态来得出四边固支矩形薄板的固有振动特性。
有限元分析的主要步骤包括：1.建立有限元模型：根据实际结构情况，选择合适的有限元支撑和单元类型，对结构进行离散化网格化处理，建立结构有限元模型。
2.确定边界条件：对于固支矩形薄板，边界条件为四边界固定支撑。
3.求解特征值和振型：对于固有振动频率，我们可以通过求解振型特征值和振型模态来得出。
4.分析特征值和振型：得出固有振动频率，我们可以进一步分析与理论计算结果的一致性，同时还可以分析振型特征值与振型模态，进一步了解结构的稳定性和响应能力。
通过有限元分析，我们可以更加精确地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，为结构设计和应用提供更加实际的参考依据。
总之，四边固支矩形薄板的固有振动特性对于结构稳定性和响应能力有着重要的影响。
通过理论计算和有限元分析两个方面的探讨，我们可以更好地理解并应用这一结构特性。
为了更加深入地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，我们可以从以下几个方面进行数据的收集和分析：1. 材料弹性模量与密度：材料的弹性模量和密度直接影响到四边固支矩形薄板的固有振动频率。
薄板的振动
对于矩形薄板两相邻边都是自由边，例如图6.5(a)中，y＝b和x＝a两边有公 共点，它们都是自由边，就是这种情况，这时还需要附加一个角点条件。如 果这个角点(x＝a，y＝b)处没有集中质量，也没有集中动载荷作用，那么该 角点条件是
2 f ( x, y, t ) 0 xy x a , y b
( y b) ( y b)
(r a) (r a)
圆形薄板
1 f (r , , t ) 1 2 f (r , , t ) 2 f (r , , t ) 2 0 r 2 r r r 2
2 1 1 2 f (r , , t ) 1 f (r, , t ) f (r , , t ) 2 0 r r r r r
D 2 f (r , , t ) r
山东理工大学 交通与车辆工程学院 5
2009-2
1 2 f (r , , t ) 1 f (r , , t ) 1 2 f (r , , t ) Q (r , , t ) D 2 2 r r r r r 2 D 1 2 f (r , , t ) r
2 f ( x, y, t ) 2 f ( x, y, t ) Qx ( x, y, t ) D x x 2 y 2
2 f ( x, y, t ) 2 f ( x, y, t ) Qy ( x, y, t ) D y x 2 y 2
2 21 2 (ch1 cos 2 1) ( 12 2 )sh1 sin 2 0
通常对于一个指定的m值，方程有无穷多个根
mn
2009-2
m2 2 K n (m)b K n (m) 2 a
板的振动
1.薄板横向振动微分方程
2.薄板的边界条件
中面 当薄板弯曲变形时，中间弯成曲面，称为弹性曲面 板上任意一点沿x、y、z方向的位移分别用u、v、w表 示，其中w称为横向位移或挠度
克希霍夫的薄板理论有下面几个基本假设： （1）变形前与中面垂直的法线在板弯曲时仍保持为直线并 与弹性曲面垂直。这个假设称为直法线假设，它表示横向 剪切变形 xz yz 被忽略不计，虽然横向剪应力 yz 并不为零。 及 xz （2）板弯曲时板内的应力以弯曲应力 为主，而 为次要应力， 为更次要应力。 （3）板弯曲时厚度的变化略去不计。这表示 ，于 是与中面垂直的直线上各点都具有相同的横向位移w，即w 与z无关。 （4）板的挠度w比板的厚度h小得多。由这个假设认为，板 弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面，因而中面内各 点都没有平行于中面的位移。
7.2 薄板的边界条件
1.固定边 薄板在AD边上的挠度为零，绕y轴的转角为零，因此AD边的边界条件为
w x 0 0
w x
x 0
0
（7.17）
2.简支边 薄板在AD边上的挠度为零，弯矩M x 为零，由式（7.11），AD边的边界 条件为
2w 2w w x 0 0，（ 2 2 ）x 0 0 x y
v 2w y z 2 z y y y
z z x y x y xy
2w x 2 x
y
2w 2 y
x y
2w 2 xy
（7.2）
图7-3
h
2w t 2
中面取出一矩形微元ABCD，弯曲变形 后成为曲面A’B’C’D’，如右图所示， 这个弹性曲面沿x、y方向的倾角分别为
在薄板中取一截面与oxz平面平行
第二章振动分析理论基础
2.3
振动的类型
（1）单自由度振动系统 （2）两自由度、多自由度系统振动
需要用两个或两个以上独立坐标描述其运动的振动系统。 各个自由度彼此联系，某一自由度的振动往往导致整个 系统的振动。 系统的运动方程变量间相互耦合，求解比单自由度系统 困难的多。
按振动系统的自由度数目分类
School of Mechanical Engineering
School of Mechanical Engineering
2.2
基本概念
振动
School of Mechanical Engineering
2.2
基本概念
振动频率
考察上图可见，在记录纸上画出的振动轨迹是一条有一定 幅值的、比较标准的正弦曲线。由振动的周期（T）可以计算 出振动的频率。如下图所示：频率的单位是用Hz表示。
简谐振动的时间历程是正弦或余弦曲线
School of Mechanical Engineering
2.4
简谐振动
d a v v d
27
振动位移、速度、加速度
a
位移、速度、加速度都是同频率 的简谐波。 三者的幅值依次为A、A、A 2。 相位关系：加速度领先速度90º; 速度领先位移90º。
图10两个相差90度相位角振 动的质量块系统
图11 两个相差180度相位角振 动的质量块系统
School of Mechanical Engineering
2.2
基本概念
振动相位
振动相位是以角度为单位。在图12左图中，机器上的轴承1和轴承2之 间的振动相位差为0度（同相振动），而在右侧图中的机器，轴承1和轴承2 之间的振动相位差为180度（反相振动）。
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§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
4w
m D
2w t 2
px, y,t
D
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。
首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
4w m 2w 0 D t 2
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得
wt
ab 00
mx ny
0 sin a sin b
w sin mx st t0a来自dxdy cosmnt
in
ny
b
dxdy
sinmnt
s
in
mx
asinny
b
讨论 运用分离变量法解偏微分方程，必然导致固有值问题：
•分离变量法要求分离变量后每个函数有非零解，因此要求固有 值存在；
•方程和定解条件要求固有函数具有正交性和完备性； •非齐次初值条件或自由项（受迫振动时）或方程的解等，应能 用固有函数展开成平均收敛的级数。
2
2
dW dr
d2W dr 2
dr
对于夹支圆形薄板，可简化为
（7）
UW
Dr
d2W dr 2
2
1 r
dW dr
2
dr
（8）
设薄板振形泛函为
4W 2 m W 0
D
U
W
2
1 2
m
W
2dxdy
（9）
其中W为可能的振形函数。可以证明由泛函的驻值条件可以 导出方程（4）。
为了求固有频率或固有函数的近似解，设
32D
3a2
2m
10
a2
0
于是得
8 15 3a2
D m
10.33 a2
D m
比最低固有频率的精确答案
10.22 a2
D m
仅大出1%。
§2-4 四边简支薄板的受迫振动
采用固有函数展开法求解薄板非齐次运动方程。 举例，设四边简支矩形薄板受到动载荷
p Px, ycost
§2-2 四边简支矩形薄板的自由振 动
设有四边简支的矩形薄板如图所示。
取振形函数形式为
O
W sinmx asinny b
a
b
代入振形方程（4）得
2
D m
4
m2 a2
n2 b2
2
A
y
C
x
B
给定一组m,n的值，就可得到一个相应的固有频率，不妨用 两个下标来表示某个固有频率，上式可写成
2 mn
D 4
例 1 四边简支矩形板固有频率
取振形函数为
W Cmn sinmx asinny b m1 n1
可以满足齐次位移边界条件。代入泛函表达式，得
U
W
2
1 2
m
W
2
dxdy
4abD
8
m1
n1
Cm2 n
m2 a2
n2 b2
2
2mab
8
m1
Cm2 n
n1
于是由瑞次方程，得
4abD 8
2Cmn
§2-3 瑞次法及其应用
设薄板振形变形能为
UW 1 2
D
2W
2
21
2W x2
2W y 2
2W xy
2
dxdy
对于具有夹支或简支边的矩形薄板，可简化为
U
W
1 2
D 2W
2
dxdy
（5） （6）
对于圆形薄板轴对称问题，振形变形能为
UW
D
r
d2W dr 2
2
1 dW r dr
m
m2 a2
n2 b2
2
由此可写出挠度函数的形式解
w
Amncosmnt Bmnsinmntsinmx asinny b
m1 n1
其中待定系数由挠度函数的非齐次初始条件决定。
将挠度的初始条件展成固有函数的级数
wt0 Cmn sinmx asinny b m1 n1
w
t t0
Dmn sinmx
• 若基函数W1的振形非常接近最低固有函数，，则可以得 到近似的最低固有频率。
例 2 四边夹支矩形板
设有四边夹支的矩形薄板如图所示。试用 瑞次法计算薄板最低固有频率的近似值。
O a
b
A
y
C
x
B
解
取振形函数为
W x2 - a2 2 y2 - b2 2
可以满足位移边界条件（无内力边界条件） 。代入瑞次 方程，得
m2 a2
n2 b2
2
2 m ab
8
2Cmn
0
由系数Cmn的非零解条件，得固有频率表达式
2
D
m
4
m2 a2
n2 b2
2
与上一节中的精确答案相同。
最低固有频率的近似计算
若基函数只取一项W1，瑞次方程可简写成
U
W
dxdy
2
1 2
m
W
2dxdy
0
• 若基函数W1为最低固有函数，则可以得到精确的最低固 有频率；
U
W
2
1 2
m
W
2dxdy
214 D 32 52 7
a4
b4
4a2b2 7
a5b5
215 2m 34 52 72
a9b9
0
于是得
63 2
1
a4 b4
4a2 7b2
a2
D m
对于正方形薄板
9.000 a2
D m
与最低固有频率的精确答案
8.996 D
a2 m 几乎相同。
思考题
对于方形薄板 •是简支的基频较高 •还是夹支的基频较高
4W m T 0 W DT 分离变量得常微分方程
T 2T 0
其的通解为
T Acost Bsint
和微分方程固有值问题 4W 2 m W 0
D
（3） （4）
4W 2 m W 0
D
因此薄板的自由振动问题可化为微分方程的固有值问题，即 求振形函数在齐次边界条件下的非零解。使自由振动问题有 非零解的频率ω称为固有频率，相应非零解W称为固有函数。 振形微分方程（4）以及齐次边界条件完全确定固有频率的 数值，而与动载荷无关。
m
W CiWi i 1
其中Wi为满足齐次位移边界条件且线性互不相关的基函数， Ci为待定系数。振形的变分是由系数变分实现的，基函数在 变分中保持不变
瑞次方程
m
W WiCi i1
将此式代入泛函的变分方程，得
Ci
U
W
2
1 2
mW
2 dxdy
0
瑞次方程。瑞次方程是 m 个齐次 线性方程，由 m个系数Ci 的非零解条件，从而得出m个固有值的表达式。
m1 n1
asinny
b
解得
Amn Cmn
Bmn
Dmn
mn
其中
Cmn
4 ab
a 0
b 0
wt0
sin
mx
a
sin
ny
b
dxdy
Dmn
4 ab
a 0
b w
sin mx sin ny dxdy
0 t t0
a
b
挠度表达式
w
m1
n1
4 ab ab 0 0
4
abmn
2 2
a2
D m
8.996 a2
D m
例 3 夹支圆形板
设有边界夹支的圆形薄板 如图所示。试用瑞次法计 算薄板最低固有频率的近 似值。
a
圆形薄板 夹支 边界条件
解
取振形函数为
W
1 -
r2 a2
2
可以满足位移边界条件（无内力边界条件） 。代入瑞次 方程，得
U
W
2
1 2
m
W
2dxdy
U W 2 a mW 2rdr 0