第二章 薄板振动分析

例 1 四边简支矩形板固有频率
取振形函数为
W Cmn sinmx asinny b m1 n1
可以满足齐次位移边界条件。代入泛函表达式，得
U
W
2
1 2
m
W
2
dxdy
4abD
8
m1
n1
Cm2 n
m2 a2
n2 b2
2
2mab
8
m1
Cm2 n
n1
于是由瑞次方程，得
4abD 8
2Cmn
m1 n1
asinny
b
解得
Amn Cmn
Bmn
Dmn
mn
其中
Cmn
4 ab
a 0
b 0
wt0
sin
mx
a
sin
ny
b
dxdy
Dmn
4 ab
a 0
b w
sin mx sin ny dxdy
0 t t0
a
b
挠度表达式
w
m1
n1
4 ab ab 0 0
4
abmn
• 若基函数W1的振形非常接近最低固有函数，，则可以得 到近似的最低固有频率。
例 2 四边夹支矩形板
设有四边夹支的矩形薄板如图所示。试用 瑞次法计算薄板最低固有频率的近似值。
O a
b
A
y
C
x
B
解
取振形函数为
W x2 - a2 2 y2 - b2 2
可以满足位移边界条件（无内力边界条件） 。代入瑞次 方程，得
第二章 薄板的振动问题
§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
4w
m D
2w t 2
px, y,t
D
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。
首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
4w m 2w 0 D t 2
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得
2
2
dW dr
d2W dr 2
dr
对于夹支圆形薄板，可简化为
（7）
UW
Dr
d2W dr 2
2
1 r
dW dr
2
dr
（8）
设薄板振形泛函为
4W 2 m W 0
D
U
W
2
1 2
m
W
2dxdy
（9）
其中W为可能的振形函数。可以证明由泛函的驻值条件可以 导出方程（4）。
为了求固有频率或固有函数的近似解，设
m
m2 a2
n2 b2
2
由此可写出挠度函数的形式解
w
Amncosmnt Bmnsinmntsinmx asinny b
m1 n1
其中待定系数由挠度函数的非齐次初始条件决定。
将挠度的初始条件展成固有函数的级数
wt0 Cmn sinmx asinny b m1 n1
w
t t0
Dmn sinmx
§2-2 四边简支矩形薄板的自由振 动
设有四边简支的矩形薄板如图所示。
取振形函数形式为
O
W sinmx asinny b
a
b
代入振形方程（4）得
2
D m
4
m2 a2
n2 b2
2
A
y
C
x
B
给定一组m,n的值，就可得到一个相应的固有频率，不妨用 两个下标来表示某个固有频率，上式可写成
2 mn
D 4
2 2
a2
D m
8.996 a2
D m
例 3 夹支圆形板
设有边界夹支的圆形薄板 如图所示。试用瑞次法计 算薄板最低固有频率的近 似值。
a
圆形薄板 夹支 边界条件
解
取振形函数为
W
1 -
r2 a2
2
可以满足位移边界条件（无内力边界条件） 。代入瑞次 方程，得
U
W
2
Baidu Nhomakorabea
1 2
m
W
2dxdy
U W 2 a mW 2rdr 0
m2 a2
n2 b2
2
2 m ab
8
2Cmn
0
由系数Cmn的非零解条件，得固有频率表达式
2
D
m
4
m2 a2
n2 b2
2
与上一节中的精确答案相同。
最低固有频率的近似计算
若基函数只取一项W1，瑞次方程可简写成
U
W
dxdy
2
1 2
m
W
2dxdy
0
• 若基函数W1为最低固有函数，则可以得到精确的最低固 有频率；
§2-3 瑞次法及其应用
设薄板振形变形能为
UW 1 2
D
2W
2
21
2W x2
2W y 2
2W xy
2
dxdy
对于具有夹支或简支边的矩形薄板，可简化为
U
W
1 2
D 2W
2
dxdy
（5） （6）
对于圆形薄板轴对称问题，振形变形能为
UW
D
r
d2W dr 2
2
1 dW r dr
wt
ab 00
mx ny
0 sin a sin b
w sin mx s
t t0
a
dxdy cosmnt
in
ny
b
dxdy
sinmnt
s
in
mx
asinny
b
讨论 运用分离变量法解偏微分方程，必然导致固有值问题：
•分离变量法要求分离变量后每个函数有非零解，因此要求固有 值存在；
•方程和定解条件要求固有函数具有正交性和完备性； •非齐次初值条件或自由项（受迫振动时）或方程的解等，应能 用固有函数展开成平均收敛的级数。
32D
3a2
2m
10
a2
0
于是得
8 15 3a2
D m
10.33 a2
D m
比最低固有频率的精确答案
10.22 a2
D m
仅大出1%。
§2-4 四边简支薄板的受迫振动
采用固有函数展开法求解薄板非齐次运动方程。 举例，设四边简支矩形薄板受到动载荷
p Px, ycost
4W m T 0 W DT 分离变量得常微分方程
T 2T 0
其的通解为
T Acost Bsint
和微分方程固有值问题 4W 2 m W 0
D
（3） （4）
4W 2 m W 0
D
因此薄板的自由振动问题可化为微分方程的固有值问题，即 求振形函数在齐次边界条件下的非零解。使自由振动问题有 非零解的频率ω称为固有频率，相应非零解W称为固有函数。 振形微分方程（4）以及齐次边界条件完全确定固有频率的 数值，而与动载荷无关。
U
W
2
1 2
m
W
2dxdy
214 D 32 52 7
a4
b4
4a2b2 7
a5b5
215 2m 34 52 72
a9b9
0
于是得
63 2
1
a4 b4
4a2 7b2
a2
D m
对于正方形薄板
9.000 a2
D m
与最低固有频率的精确答案
8.996 D
a2 m 几乎相同。
思考题
对于方形薄板 •是简支的基频较高 •还是夹支的基频较高
m
W CiWi i 1
其中Wi为满足齐次位移边界条件且线性互不相关的基函数， Ci为待定系数。振形的变分是由系数变分实现的，基函数在 变分中保持不变
瑞次方程
m
W WiCi i1
将此式代入泛函的变分方程，得
Ci
U
W
2
1 2
mW
2 dxdy
0
瑞次方程。瑞次方程是 m 个齐次 线性方程，由 m个系数Ci 的非零解条件，从而得出m个固有值的表达式。