几何概型例子
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几何概型例题分析
[例1] 甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等
另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。
解：设x 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图15||≤-y x 时可相见，即阴
影部分167
6045602
22=-=P
[例2] 设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概
率。
解：R AC AB 2||||=
=. ∴ 2
1
2==
=
⋂
R R BCD
P ππ圆周
[例3] 将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过
2
1
的概率。 解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为y x --1，则基本事件
组所对应的几何区域可表示为
}10,10,10|),{(<+<<<<<=Ωy x y x y x ，即图中黄色区域，此区域面积为
2
1。 事件“三段的长度都不超过
21
”所对应的几何区域可表示为 Ω∈=),(|),{(y x y x A ，}2
1
1,21,21<--< 即图中最中间三角形区域，此区域面积为8 1 )21(212=⨯ 此时事件“三段的长度都不超过2 1”的概率为41 2 181 ==P [例4] 两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是25km ， 下午3：00张三在基地正东30km 内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km 内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。 解：设y x ,为张三、李四与基地的距离]30,0[∈x ，]40,0[∈y ，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对),(y x ，表示区域总面积为1200，可以交谈即2522≤+y x 故192 251200 25 41 2 π π= =P [例5] 在区间]1,1[-上任取两数b a ,，运用随机模拟方法求二次方程02 =++b ax x 两根均 为正数的概率。 ⎪⎩⎪ ⎨⎧>=⋅>-=+≥-=∆000 42 1212b x x a x x b a 解：（1）利用计算器产生 0至1区间两组随机数11,b a （2）变换 121-*=a a ，121-*=b b （3）从中数出满足条件 2 4 1a b ≤且0b 的数m （4）n m P = （n 为总组数） [例6] 在单位圆的圆周上随机取三点A 、B 、C ，求∆ABC 是锐角三角形的概率。 解法1：记∆ABC 的三内角分别为αβ,，παβ--，事件A 表示“∆ABC 是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合 Ω=<<<+<{(,)|,,}αβαβπαβπ00。 因为∆ABC 是锐角三角形的条件是 02 << αβπ ,且αβπ +> 2 所以事件A 构成集合 A =+> << {(,)|,,}αβαβπ αβπ 2 02 由图2可知，所求概率为 P A A ()=的面积的面积 Ω==12212 1 422() ππ。 解法2：如图3所示建立平面直角坐标系，A 、B 、C 1、C 2为单位圆与坐标轴的交点，当∆ABC 为锐角三角形，记为事件A 。则当C 点在劣弧C C 12上运动时，∆ABC 即为锐角三 角形，即事件A 发生，所以 P A ()=⨯=1 42214 π π 解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。 [例7]将长为L 的木棒随机的折成3段，求3段构成三角形的概率． 解：设M =“3段构成三角形”．x y ，分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为 L x y --．{}()000x y x L y L x y L Ω=<<<<<+<，， ，|． 由题意，x y L x y --，，要构成三角形，须有x y L x y +>--，即1 2 x y +> ； ()x L x y y +-->，即2 L y < ；()y L x y x +-->，即2 L x < ． 故()|222L L L M x y x y y x ⎧ ⎫=+><<⎨⎬⎩ ⎭，，，． 如图 1 所示，可知所求概率为 2 21122()42 L M P M L ⎛⎫ ⎪⎝⎭===Ω·的面积的面积． [例8]在区间[01]， 上任取三个实数x y z ，，，事件222{()1}A x y z x y z =++<，，|． （1）构造出此随机事件对应的几何图形； （2）利用该图形求事件A 的概率． 解：（1）如图2所示，构造单位正方体为事件空间Ω，正方体以O 为球心，以1为半径 在第一卦限的 1 8 球即为事件A ． （2）3314π1 π 83()16 P A ⨯==·