随机变量及其分布列知识点共20页

① 注：
A与
B ；② A
与
B；
③A 与 B.
(1)互斥事件: 指同一次试验中的两个事件不可能同时发生.
(2)相互独立事件: 指在不同试验下的两个事件互不影响.
注:(1)若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件相互
独立， 则称事件 A1，A2 ，… ，An 两两相互独立.
(2)一般地,如果事件A 1,A2,…,An 两两相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积，
一、两点分布列
如果随机变量ξ的分布列为：
ξ
1
0
P
p
1-p
这样的分布列称为两点分布列(又称0-1分布),称随机变 量ξ服从两点分布,而称P(ξ=1) =p为成功概率.
二、超几何分布
在含 M 件 有次N 品 件的 产品中 n件 ， ， 任 其 取 中
X件次品数X ， k则 发事 生件 的概率为
P(Xk)CM kC CN N n nkM
（即n=1的二项分布）
2．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中 取 n 个球，记下红球的个数x .
⑴如果是有放回地取，则x B(n, M )
N
⑵如果是不放回地取, 则x 服从超几何分布.
P(x
k)
C C k nk M NM
C
n N
(k
0,1, 2,L
, m) (其中 m
min(M , n)
易证离散型随机变量的方差满足以下性质：
性1质 ： (1)DxEx2(Ex)2 (2)D(axb)a2Dx(a,b为常数）
性质2： （1）若x ~两点分布，则D x =p(1-p) ; （2）若x~B(n,P),则Dx=np(1-p) ; （3）若x～几何分布，则D x=(1-p)/p2 .
练D 习 (a X ： E2X D) X _ a2D_ X ___
为x 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随
机变量取值的平均水平.
根据定义可推出下面三个结论:
结论1：若axb,则 EaExb;
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np. 结论3:若随机变量x服从几何分布，则E x=1/p
离散型随机变量取值的方差和标准差:
一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为：
x
x1
x2
· xi
· xn
P p1 p2 · pi · pn
则称
·
·
D x(x1Ex)2p1(x2 ·Ex)2p2.·..(xnEx)2pn 为随机 x的变 方 . 量 差 称 ＝ xD x为随机 x的变 标.量 准差
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度 的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程 度越小，即越集中于均值。
条件概率：
定义：一般地,设 A,B 为两个事件,且 P( A) 0 ,称
P(B | A) P( AB) 为在事件 A 发生的条件下,事件 B P( A)
发生的条件概率.
注:⑴ 0 ≤ P(B | A) ≤1; ⑵几何解释: ⑶可加性：
A AB B
如果 B和C 互斥，
那么 P(B UC) | A P(B | A) P(C | A)
四、正态分布
x xx x 若 ~ N （ ， 2 ） , 则 E , D 2 ,
性 质 :若x ~N（，2） ， axb
则 ~N （ ab,a22)
X落在区间(a,b]的概率为:
Y
b
P(aXb) ,(x)dx
a
y , (x)
X
a
b
特殊区间的概率:
a
P(aXa),(x)dx a x=μ
μ-a μ+a
几何分布。 注:超几何分布的模型是不放回抽样
三、二项分布
在一次试验中生 某的 事概 件p率 ,发 那为 么n在 次独立重复试事 验件 中恰 这好 个 k次 发的 生概率 P(Xk)Cnkpk(1p)nk，这样的随X服 机变 从 二项分 ,记布作 X~B(n,p)
于是得到随机变量X的概率分布如下：
X 0 1… k …
即 P ( A 1 A 2 .A n . ) . P ( A 1 ) P ( A 2 )P ( . A n ) ..
n次独立重复试验: 一般地,在相同条件下，重复做的n次试验称为
n次独立重复试验.
在 n 次独立重复试验中， 记 Ai 是“第 i 次试验的结果”
相互独立事件的定义: 设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发
生的概率没有影响(即 P (A)B P (A )P (B )), 则称 事件A与事件B相互独立.
即 A 、 B 相互 P (A 独 ) B P (A )P 立 (B )
显然: (1)必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立.
(2)若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:
上述计算结果可用下表和图来表示：
Leabharlann Baidu
区间
, 2,2
3 ,3
取值概率
0.6826
0.9544
0.9974
0.6826
0.9544
0.9974
数学期望的定义:
一般地，随机变量ξ的概率分布列为
L L x
P
L L x 1 x 2
p1 p 2
xi
pi
x
p
n n
x 则称 E x 1 p 1 x 2 p 2 L x ip i L x n p n
p
… C
0 n
p
0q
n
Cn1 p1qn1
… Cnk pkqnk
n
C
n n
p
n
q
0
注 :由C 于 n kpkqnk恰好是二(q项 p)展 n中开 的 k式 第 1 项 (k0,1,2,..n.),所 . 以称这样X的 服随 从机 二.变 项
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布x (1 p)
k=0,1,2, …… , m
其中mmi nM,n,
且n N,M N,
则随机变量X的概率分布列如下： n,M,NN*
X
0
1 …… m
P
…… C
0 M
C
n0 N M
C
1 M
C
n1 N M
C
n N
C
n N
C
m M
C
nm N M
C
n N
像上面这样的分布列称为 超几何分布列.
如果随机变量X的分布列为超几何分布列，就称X服从超
离散型随机变量的分布列
设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1,x2,x3,L,xiL
ξ取每一个值 xi(i1,2,L)的概率P(xxi)pi
则称表格 ξ x1 x2 … xi … p p1 p2 … pi …
为随机变量x的概率分布列，简称x的分布列.
注:离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：
(1)pi≥ 0,i1， 2， 3， L (2)p 1p2p3L1