大一高数下册第十章1,2,3,答案

第十章 曲线积分与曲面积分

第一节 对弧长的曲线积分

1．填空

1）πe 2）20ln 13 3）0 2．计算下列积分

1）解：dt t a t t a t a ds y L

])cos 1([])sin ([)cos 1(20

222'-+'--=⎰⎰

π

3

20

2315

256cos 1)cos 1(2a dt t t a =

--=⎰π

2）解：dt dt dz dt dy dt dx ds 2

22⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=

()()

dt e dt e t

e t e

t

e t e

t t t t

t t

3cos sin sin cos 22

2

=+++-=

∴

⎰⎰++=++20222222223sin cos 11dt e e t e t e ds z y x t t

t t L

()22

2

123

2323----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰e e dt e t t

第二节 对坐标的曲线积分

1. 填空

1）－64 2）0 3）()ds R Q L

25

1+⎰

2. 计算下列对坐标的曲线积分

1） 解：

⎰

⎰+⋅--⋅=+-L

dt t k t a t a t a t a dz z xdy ydx π

232

cos cos )sin (sin

()

23302323

1

a k dt t k a πππ-=+-=⎰

2） 解：圆周的参数方程为：t y t x sin ,cos ==，t 从0变到π2

⎰+-++L

y x dy

y x dx y x 2

2)()(

⎰-⋅-+-⋅+=π

20)cos ()sin (cos )sin ()sin (cos dt t t t t t t

⎰=+--=π20

220cos sin sin cos 2tdt t t t

第三节 格林公式及其应用

1. 填空

1) 12 2）1

2．解：dt t t a t a ydx A L )sin (cos 3sin 2023-⋅⋅-=-=⎰⎰π

2220

42

8

3

cos sin 3a tdt t a

ππ

==⎰

3．解：223266,xy y x Q y axy P -=-=

22612,32y xy x

Q y axy y P -=∂∂-=∂∂ 由积分与路径无关的条件x

Q

y P ∂∂=∂∂得 2261232y xy y axy -=-

⎩

⎨⎧==∴36

b a 4． 利用格林公式计算下列积分

1） 解：x x ye x x Q e y x xy x y x P 2sin ,sin 2cos 222-=-+=

()()

02cos sin 22cos sin 222=-----=∂∂-∂∂x x ye x x x x ye x x x x y

P

x Q 由格林公式

⎰

-+-+L

x x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222

⎰⎰=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-∂∂=D dxdy y P x Q 0

2） 解：2

222)(,y x y x Q y x y x P ++-=++=

0)(2)(22

222222222=+---+++--=∂∂-∂∂y x xy

y x y x xy y x y P x Q 由格林公式

⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂-∂∂=++-+L D dxdy y P x Q y x dy

y x dx y x 0)()(22 3） 解：ax y e Q y x b y e P x x -=+-=cos ),(sin

a b b y e a y e y

P

x Q x x -=---=∂∂-∂∂)cos (cos 由格林公式

⎰

⎰⎰

⎰⎰+-=-=∂∂-∂∂=+OA

L D

D

a b a dxdy a b dxdy y P x Q Qdy Pdx )(21

)(2π ∴

dy ax y e dx y x b y e

L

x x

)cos ())(sin (⎰-++- ⎰

+-++-=

OA

L x x dy ax y e dx y x b y e )cos ())(sin (

⎰

-++--OA

x x dy ax y e dx y x b y e )cos ())(sin (

b a a b a 22

2)(2

1+-=

π 4） 解：因为

y

P

xy x x Q ∂∂=+=∂∂1632 所以Qdy Pdx +是某个定义在整个xOy 平面内的函数),(y x U 的全微分 ()()

C dy ye y x x dx xy y x

y x U y x y +++++=⎰

)

,()0,0(2322

12883),(

()C dx xy y x dy ye y

x x +++=⎰⎰0

228312 C e ye y x y x y y +-++=)(124223

高数习题册 第十章 4－7节答案

第四节

1、解：设1∑为锥面部分，2∑为3z =的平面部分，则有

2

2()x

y dS ∑

+⎰⎰＝1

22()x y dS ∑+⎰⎰+2

22()x y dS ∑+⎰⎰