初等数学研究复习

第一章

1、自然数集是有序集

2、自然数集具有阿基米德性质即：如果a,b∈N，则存在n∈N，使na>b

3、自然数集具有离散型即：在任意两个相邻的自然数a和a’之间不存在自然数b，

使a

4、最小数原理

３、整数集的性质

①整数集构成一个交换环②整数集是有序集③整数集具有离散型④整数集是可列集

1、有理数集是一个数域

2、有理数集是一个有序域

3、有理数集Q+具有阿基米德性质

4、有理数集具有稠密型

5、有理数集是一个可列集

①实数集是一个有序域②实数集R+具有阿基米德性质③实数集具有连续性

④实数集是不可数集

1、复数集是一个数域

2、复数域不是有序域

3、在复数域内，开方运算总可实施。任何非零复数有且只有n个不相等的n次方根。第二章

值

例：求00080cos 40cos 20cos ⋅⋅8

120sin 8160sin 20sin 880cos 80sin 220sin 480cos 40cos 40sin 220sin 280cos 40cos 20cos 20sin 2000000

0000

0000=

===⋅⋅⋅=解：原式N

c

N a

N c N b N b N a ac b c b a log log log log log log :1,,2=--=求证，

的正数，且是不等于例：设原式右边原式左边所以，得证明：由==-⋅-⋅=--=-=-+==a N c N

b N

c N a N a

N b N c N c N

b N b N a N b

N

c N a N b N c N

a N

b N a

c b log log )log (log log )log (log log log 1log 1log 1log 1log log log log log log log 2213cot cot cot 3tan tan tan =-+-θθθθθθ例：求证的值

内的两相异实根，求在为方程、例：已知)sin(),0()0(cos sin βαπβα+≠=+mn p x n x m 原式右边（原式左边证明：（综合法）==⋅-⋅-⋅-⋅-=--⋅-+⋅-=13tan cot 3cot tan 23tan cot 3cot tan 2)3cot )(cot 3tan tan 3tan cot 13cot tan 1θ

θθθθθθθθθθθθθθθ

初等函数 ♦ 1、基本初等函数

♦ 2、定义:初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常

数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个解析式表示的函数。

判断下列函数是否是初等函数？

x y x x x x f x y x x x x x f x

x

x y c bx ax y =++++==⎩⎨

⎧>≤≤=+

-=

++=、、、、、、61)(5]

[41

,1

0,2)(33221323

2

2 答案:是，是，不是，不是，不是，是

22222)(122tan 12tan 2)sin(2tan 2sin 2cos 02sin ,2220,0n m mn n

m n m n m n m +=+⋅=

+++=+=++=+∴≠-∴≠<-<-∴<<<<βαβ

αβαβαβαβαβαβαπ

βαππβπα由万能公式得即又 02sin 2sin )2(2sin 2cos 20

)cos (cos )sin (sin )2()1()

2(cos sin )1(cos sin =-+-⋅+-+⋅=-+--⎩⎨

⎧=+=+βαβαβαβαβαβαββααβαn m n m p n m p n m 即得所以

为方程的两相异实根，、解：因为

判断：是否为同解变形？增根还是失根？判断：是否为同解变形？增根还是失根？

判断：是否为同解变形？增根还是失根？

解方程常用的方法

♦ 1、換元法

2

2221626x x x x -+=+-例：解方程都是原方程的解。经检验解得故有舍）

解得则有令原方程变形为

解3,13,1,362(9,3,02760

6

202762662:21212

212222=-==-==+--===-+>+-==-+-++-x x x x x x y y y y x x y

x x x x 22367211(6)x x x

-+-=-11

1x x x

--（负的舍去）

得即故）得代入（变形为则解：设解方程2

5

1010)11(1211211)1()2(1

2)1(11

1111122+==--=---

=-+-=⎪⎩

⎪⎨⎧-=+-=---

=-+-

=x x x x x x x x x x y x x y x x xy x

x x y x

x x x 11

1x x x x -

+-=

证明不等式的常用方法

1123--=-x x 例：解方程方程的解。经检验这三个解都是原由此得原方程的解为即）得）代入（所以（则设解：（換元法）

10,1,23

,0,11)1(21)2(1)1(11,2321321232

3

3=======+-⎩⎨⎧=+-==-=-x x x v v v v v v u v

u v

x u x i

x i x x x x x x x x x x x x x 32,32,20

)74)(2(0)74)(2()2(0)14154()2(:32122223-=+===+--=----=+---解得原方程化为

解0

1415623=-+-x x x

例：解方程根。

所以原方程有两个实数图像有两个交点。函数从图像不难看出，两个如下。

，作图同解。所以可设解：由于原方程与方程2,2222212+-==+-=--x y y x x x 的实数解的个数。

例：确定方程22

2

=+-x x

3、图像法

的三个根

是三次方程）可知，）（）（由（06116,,541)

5(6

)4(11)

1(623=-+-==++==+t t t z y x xyz zx yz xy z y

x 2、因式分解法