名校推荐江苏省南京师范大学附属中学高三数学一轮同步测试： 二倍角的三角函数第二课时 含答案
江苏专用高考数学一轮复习考点20二倍角公式与简单的三角恒等变换必刷题含解析
江苏专用高考数学一轮复习考点20二倍角公式与简单的三角恒等变换必刷题含解析1．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试）在∆ABC 中，若cos 2A ＋cos 2B ＋cos 2C ＜1，sinB，则(tan 2A ﹣2)sin2C 的最小值为_______．【答案】5 【解析】在∆ABC 中，由sinB，所以B ＝34π或4π，得cos 2B ＝12， 当B ＝34π，则C ＝4A π-，所以，cos 2A ＋cos 2C ＜12，即cos 2A ＋cos 2（4A π-）＜12， 化简得：21sin 2cos 02A A +<，因为04A π<<，所以sin2A ＞0，即21sin 2cos 02A A +<不成立.当B ＝4π，则C ＝34A π-，3sin 2sin(2)cos 22C A A π=-=- (tan 2A ﹣2)sin2C ＝222sin 2cos (cos 2)cos A A A A -⨯-＝2213cos (cos 2)cos AA A-⨯-＝13cos 2(cos 2)1+cos2A A A --⨯-＝2cos 23cos 21+cos2A AA+＝225(1cos 2)3(1cos 2)1+cos2A A A-+++＝23(1cos 2)51+cos2A A++-55≥= 当23(1cos 2)1+cos2A A =+，即cos 21A =-时取等号故答案为：5．2．（江苏省常熟市高三下学期期中考试）在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点横坐标为13-，则cos2α的值是__．【答案】79- 【解析】由三角函数的定义可得1cos 3α=-，27cos22cos 19αα=-=-．填79-． 3．（江苏省如东中学2019届高三年级第二次学情测试）已知倾斜角为的直线l 的斜率等于双曲线的离心率，则＝_______．【答案】 【解析】 双曲线的离心率，，因为为直线的倾斜角，所以∴＝sin=2sin=故答案为： .4．（江苏省清江中学2018届高三学情调研考试）函数 的最小正周期是________【答案】 【解析】 ∵函数∴函数的最小正周期为故答案为.5．（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对边的长，S 为ABC ∆的面积．若不等式22233kS b c a ≤+-恒成立，则实数k 的最大值为______．【答案】3【解析】在ABC ∆中，面积公式1sin 2S bc A =，余弦定理，代入22233kS b c a ≤+-， 有221sin 222cos 2k bc A b c bc A ⨯≤++，即22444cos sin b c bc A k bc A++≤恒成立，求出22444cos sin b c bc A bc A ++的最小值即可，而22444cos 8bc 4cos 84cos sin sin sin b c bc A bc A A bc A bc A A++++≥=，当且仅当b c =取等号， 令84cos sin Ay A+=，得：sin 84cos y A A =+，即sin 4cos 8y A A -=，)8A A =，令cos ϕϕ=)8A ϕ-=，即sin()A ϕ-=所以01≤，两边平方，得：26416y ≤+，解得：y ≥=22444cos sin b c bc Abc A++的最小值为k ≤故答案为：6．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知ABC ∆1,且满足431tan tan A B+=，则边AC 的最小值为_______.【答案】【解析】 ∵431tan tan A B +=，∴cos cos 431sin sin A BA B+=，∴4cosAsinB+3cosBsinA ＝sinAsinB ， ∴3cosAsinB+3cosBsinA ＝sinAsinB ﹣cosAsinB ，即3sin （A+B ）＝sinB （sinA ﹣cosA ），即3sinC ＝sinB （sinA ﹣cosA ）， ∴3c ＝b （sinA ﹣cosA ），即c (sin cos )3b A A -=，∵△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝2(sin cos )sin 6b A A A-＝26b （sin 2A ﹣cosAsinA ）＝212b （1﹣sin2A ﹣cos2A 1，∴b2＝12(21)12(21)1sin2cos212sin24A AAπ++=--⎛⎫-+⎪⎝⎭，∵3c＝b（sinA﹣cosA）＞0，且0＜A＜π，∴39A,2A+4444πππππ<<∴<<，∴当32A+42ππ=即A＝58π时，b2取得最小值12(21)12++＝12，∴b的最小值为23，即AC最小值为23．故答案为：23．7．（江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研二）如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．【答案】.【解析】以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,设P，，所以PQ的中点，由题得所以=设，所以，所以=，所以当t=1时函数取最大值1，当t=时函数取最小值.故答案为：．8．（江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷）已知02x π<<，且1sin cos 5x x -=，则24sin cos cos x x x -的值为________．【答案】3925【解析】由题02x π<<，且1sin cos 5x x -=，，① 两边平方可得11225sinxcosx -=： ，解得24226sinxcosx = ， 2224721255sinx cosx sin x cos x sinxcosx ∴+=++=+= ，② ∴联立①，②解得： 4355sinx cosx ==， ， 22433394455525sinxcosx cos x ∴-=⨯⨯-=（）．故答案为39259．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）在ABC ∆中，已知2AB =，2cos B =，4C π.（1）求BC 的长； （2）求sin(2)3A π+的值.【答案】（1）82BC =（2）24350- 【解析】（1）因为2cos 10B =，0B π<<， 所以22272sin 1cos 11010B B ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+722224sin cos cos sin 1021025B C B C =+=+=.在ABC ∆中，由正弦定理知sin sin BC ABA C=， 所以482sin sin 552AB BC A C =⨯=⨯=. （2）在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是cos cos(())cos()A B C B C π=-+=-+227223(cos cos sin sin )1021025B C B C ⎛⎫=--=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，于是4324sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=， 2222347cos 2cos sin 5525A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，sin 2sin 2cos cos 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 24173247325225-⎛⎫=⨯+-⨯=⎪⎝⎭. 10．（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研）在△ABC 中，已知．（1）求内角B 的大小； （2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】 （1）在中，设的对边分别为，由正弦定理及得，，即，由余弦定理得，因为，所以.(2)因为在中，，所以所以，，而，所以.11．（江苏省盐城中学2018届高三考前热身2）已知向量，且共线，其中. （1）求的值；（2）若，，求的值.【答案】(1)-3.(2) .【解析】（1）∵，∴，即∴（2）由（1）知，又，∴，∴∴，即，∴，即又，∴.12．（江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研二）在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.（1）求的大小；（2）设向量，，求的取值范围．【答案】(1).(2) .【解析】（1）由题意，有，则，所以．因为，所以，所以．又，所以．（2）由向量，，得．由（1）知，所以，所以．所以．所以． 所以．即取值范围是．13．（2017-2018学年度第一学期江苏省常州北郊华罗庚江阴高中三校联考）已知()1cos ,1a x ω=+-，()3,sin b x ω=，（ 0ω>），函数()f x a b =⋅，函数()f x 的最小正周期为2π．（1）求函数()f x 的表达式； （2）设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()635f θ=，求cos θ的值．【答案】（1）()32sin 3f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）43310+． 【解析】（1）()f x a b =⋅ ()31cos sin x x ωω=+- = 32sin 3x πω⎛⎫-- ⎪⎝⎭因为函数()f x 的最小正周期为2π, 所以22ππω=, 解得1ω=.()32sin 3f x x π⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭(2) 由()635f θ=+, 得3sin 35πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ,336πππθ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭, 4cos 35πθ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭cos cos cos cos sin sin 333333ππππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4133433525210+⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭ 第（2）题另解：223{ 35sin cos 1sin πθθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭+=， 2100cos 603cos 110θθ⇒-+= 334cos θ±⇒=． 因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0θ>，故334cos θ+=． 14．（江苏2018年全国普通高等学校招生统一考试）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值． 【答案】（1）；（2）【解析】 （1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．。
高考数学(江苏版)一轮配套课件：§3.5 二倍角的三角函数
(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数
值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.
(3)“给值求角”:实质是“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的
范围,确定角.
例2 (1)(2017江苏如皋质量检测)已知α、β均为锐角,且tan α =1
22
2 5,则tan(α+β)=
22cosθ
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9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/7/262021/7/26Monday, July 26, 2021
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/262021/7/262021/7/267/26/2021 4:22:36 AM
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/262021/7/262021/7/262021/7/267/26/2021
• 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月26日星期一2021/7/262021/7/262021/7/26
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/262021/7/262021/7/262021/7/26
名校推荐江苏省南京师范大学附属中学高三数学一轮同步测试：两角和与差的正弦 含答案
3. 两角和与差的正弦1.已知54)4sin(,53)4sin(=-=+παπα，求αααtan ,cos ,sin 的值．2．求证： （1）B A BA B A tan tan cos cos )sin(+=+； 证明：因为B A B A B A sin cos cos sin )sin(+=+，除以分母B A cos cos ，立得。
（2）)]sin()[sin(21cos sin B A B A B A -++=；3．求2cos 10°－sin 20°sin 110°的值．4．已知24ππ<<<B A ，且54)sin(=+B A ，1312)cos(=-B A ，求A A A 2tan ,2sin ,2cos ．5．在△ABC 中，（1）已知1312cos ,54cos ==B A ，求C cos ；6．已知sin ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<34π，求cos(α＋β)．7．（1）化简：3sin θ＋cos θ；（2）若等式3sin θ＋cos θ＝3m ＋14成立，求m 的取值范围.8. 设函数f (x )＝a →·b →，其中向量a →＝(m ，cos2x )，b →＝(1＋sin2x ，1)，x ∈R ，且函数y ＝f (x )的图象经过点（π4，2）.（1）求实数m 的值；（2）求f (x )的单调增区间.*9. 将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象向左平移m 个单位（m ＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，求m 的最小值.[反思回顾]3. 两角和与差的正弦1.解：5422cos 22sin )4sin(,5322cos 22sin )4sin(=-=-=+=+ααπαααπα 故1027sin =α，102cos -=α，7tan -=α。
苏教版数学高一3.2《二倍角的三角函数》同步检测(2) (2)
3.2《二倍角的三角函数》同步检测（2）一、填空题（每小题5分，共30分）1．设f （tan x ）=tan 2x ，则f （2）的值等于 .2．当tan ≠0时，tan 与sin α的值的符号 .3．已知tan(α＋)＝2，则2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值为 . 4.1＋cos 100°－1－cos 100°等于 .5．函数f(x)＝2cos 2 2x ＋sin x 的最小正周期是________． 6．若tan θ=3，则sin 2θ-cos 2θ的值为________．二、解答题(共70分)7．（15分）求cosπ7cos 2π7cos 4π7的值.8. （20分）若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝2cos 21x +＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值．9．(20分)已知f(x)＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ，a ∈R .(1)若f(x)有最大值为2，求实数a 的值；(2)求函数y ＝f(x)的单调区间．10.（15分）已知5πsin ,(,π)132αα=∈，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值答案一、填空题 1.43- 解析：由f （tan x ）=tan 2x = 22tan 1tan x x-可知， f （x ）= 221x x -，∴ f （2）= 22212⨯-= 43-. 2. 同号 解析：∵sin α＝2sin 2αcos 2α，tan 2α＝sin 2cos2αα，∴sin α与tan 2α同号．3. －16 解析：由tan(α＋π4)＝tan 11tan αα+-＝2得tan α＝13, 原式＝222sin cos cos 2cos αααα-＝tan α－12＝13－12＝－16. 4. －2sin 5° 解析：原式＝2cos 250°－2sin 250° ＝2(cos 50°－sin 50°)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 50°－22sin 50° ＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.5.2π 解析：化简得f (x )＝1＋2sin(x ＋π4)，∴T ＝2π1＝2π.6. 75 解析：sin 2θ-cos 2θ=22222sin cos sin cos sin cos θθθθθθ+-+=222tan tan 11tan θθθ+-+=75. 二、解答题7. 解：原式=ππ2π4π2sin cos cos cos 7777π2sin 7=2π2π4π2sin cos cos 777π4sin 7=4π4π2sin cos 77π8sin 7=8πsin 7π8sin 7=πsin 7π8sin 7-=18-. 8．解：y ＝2cos 21x +＋2tan x ＋1＝2222(sin cos )2cos x x x+＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.∵x ∈[－π3，π4]，∴tan x ∈[－3，1]， 令tan x ＝t ，则有y ＝g(t)＝(t ＋1)2＋1,∴当t ＝tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝1； 当t ＝tan x ＝1，即x ＝π4时，y max ＝5. 9. 解：(1)f(x)＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2(32sin 2x ＋12cos 2x)＋1＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋1＋a. 当2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )时，f(x)取最大值， 解得x ＝π6＋k π(k ∈Z )时，f(x)取最大值3＋a .由3＋a ＝2，解得a ＝－1. (2)令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ， 即单调递增区间是πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )． 同理，可求得单调递减区间是π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )． 10. 解：∵5sin ,(,π)132ααα=∈ ，∴12cos 13α==-， ∴sin 2α = 2sin αcos α = 169120-， cos 2α = 211912sin169α-=， tan 2α = 119120-.。
2020江苏高考数学一轮配套精练：第24课二倍角的正弦、余弦与正切
第24课二倍角的正弦、余弦与正切A.课时精练一、填空题1. （2018 马鞍山一检）若sin 2a= cos a, a€ [o, n，贝y tan 2a 的值是________32. （2017 山东卷）已知cosx= 4，那么cos2x= ________3. （2018 福州期末）若2sinx + cos 扌一x = 1,贝V cos2x = _____……sin2 a4. 右tan a= 3，则8. （2018 芜湖期末）若2cos2 e= . 3sin2e,则sin2e= _________cos（f+ e5.则sin2x的值为__________6.1 1式子2^^e+匚爲邛旺R）的最小值为7.若sin（n— o）=5,a€0,才，贝U sin2a—cos2^的值为L F * ■右sin解答题2 .,. 冗口^ 4 + sin a+ sin2 a砧/古9.已知0< a<，且Sin a=，求 2 的值.2 5 cos a+ cos2 a10.已知a€ 2，n，且sin a= -55.(1) 求sin n a的值;解答题求cos 2 a 的值.11.已知函数 f(x) = 2cos 2|—/3sin x.⑴求函数f(x)的最小正周期和值域; 的值.B.滚动小练1. (2017南京三模)已知函数f(x)是定义在R 上且周期为4的偶函数.当x € ［2 , 4］时, f(x) = log 4 |x — 3 |!，贝U fg 1= ________ .2. (2017苏北四市期末)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x > 0时，f(x) = 2x — 3, 则不等式f(x)<— 5的解集为 __________ .3. (2017南通调研改编)若函数f(x) = e x + x 2— mx 在点(1, f(1))处的切线斜率为 e + 1.(1)求实数m 的值；⑵ 求函数f(x)在区间［—1, 1］上的最大值. (2)若a 为第二象限角，且 COS 2a1 + cos。
2024届高三数学一轮复习--三角函数与解三角形第4练 二倍角公式及应用(原卷版)
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(1)求角 B 的大小；
(2)若 cos A 1 ，求 sin 2A B 的值.
3 20．（2023 春·江西·高一赣州市第四中学校考期末）在 VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为
a,b, c ， 6cos B cosC 1 3cos B C .
B． cos A cos B
C． sin 2 A sin 2B
D． cos 2 A cos 2B
12．（2023·全国·高三专题练习）给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．若 cos 1 ，则 cos 2 7
3
9
C．若 x 1 ，则 x 1 的最小值为 2
2
x
B．若 tan 2 4 ，则 tan 1
A．
f
x
与
g
x
均在
0,
π 4
单调递增
B． f x 的图象可由 g x 的图象平移得到
C． f x 图象的对称轴均为 g x 图象的对称轴
D．函数 y f x g x 的最大值为 1 2
2 11．（2023·全国·高三专题练习）在 VABC 中，若 A B ，则（ ）
A． sin A sin B
．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知
π 2
,
0
，
cos2
7 9
，则
sin
的值为
.
18．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 xOy 中，角 的终边经过点 1, 2 ，则
cos2 sin 2
．
四、解答题 19．（2023 春·天津北辰·高一校考期中） VABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ，
高中数学 3.2二倍角的三角函数检测试题 苏教版必修4
3．2 二倍角的三角函数我们知道，两角和的正弦、余弦、正切公式与两角差的正弦、余弦、正切公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？二倍角公式又有何重要作用呢？基础巩固1．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( )A ．－79 B ．－13C.13 D.79答案：A2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.43答案：B3．设f(sin x)＝cos 2x ，那么f ⎝⎛⎭⎫32等于________．答案：－124．sin α＝513，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 2α＝________；tan 2α＝________.答案：－120169 －1201195．函数y ＝sin4x ＋cos4x 的最小正周期是________．答案：π2 6．函数y ＝12sin 2x ＋sin2x ，x ∈R 的值域是________．答案：⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋127．sin2π12－cos2π12等于________．答案：－328.tan 22.5°1－tan222.5°＝________.答案：12能力升级9．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin2α＋cos 2α＝14，则tan α＝() A.22 B.33C. 2D. 3解析：由已知得：cos2α＝14.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2.∴cos α＝12，∴tan α＝ 3.答案：D10．求值：sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________.解析：原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝23·2sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°24cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. 答案：116 11．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)＝________.解析：若α＋β＝π4，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝1， ∴tan α＋tan β＋tan α·tan β＝1，即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.∴(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)·2＝2×2×…×223个＝223.答案：22312．已知sin (2α－β)＝35，sin β＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sin α的值．解析：π<2α<2π，0<－β<π2. ∴π<2α－β<5π2，又sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，∴cos(2α－β)＝45.∵－π2<β<0，sin β＝－1213， ∴cos β＝513，∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β)]＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665， ∴sin2α＝1－cos 2α2＝9130，∴sin α＝3130130.13．(2014·4月韶关模拟)已知函数f(x)＝23cos x ·sin x ＋2cos2x.(1)求f ⎝⎛⎭⎫4π3的值；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f(x)的值域．解析：(1)f(x)＝23c os xsin x ＋2cos2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴f ⎝⎛⎭⎫43π＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫8π3＋π6＝1＋2×12＝2. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴当x ＝π6时，f(x)max ＝3；当x ＝π2时，f(x)min ＝0.故f(x)的值域是[0,3]．。
苏教版高中数学必修四学三角恒等变换二倍角的三角函数同步训练
3.2 二倍角的三角函数一、填空题1．2sin 222.5°－1＝________. 2.3－sin 70°2－cos 210°＝________. 3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________. 4．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______． 5．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ＝________. 6．已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是________． 7．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是________． 8．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______. 二、解答题9．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos 2α－π4sin α＋π2的值． 10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α. 11．求值：(1)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°；(2)sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°. 三、探究与拓展12．化简：(1)cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11； (2)cos x 2cos x 4cos x 8…cos x2n .答案 1．－22 2.2 3.－79 4．2 5．3 6.459 7．－155 8．3 9．解 ∵cos α＝35且α在第一象限， ∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 原式＝1＋2cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 10．解 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0，∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)，∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6. 11．解 (1)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. (2)∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°，∴sin 50°1＋3tan 10°－co s 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 12．解 (1)原式＝125sin π11·25sin π11·cos π11cos 2π11·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－8π11cos 4π11·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π＋16π11＝125sin π11·24sin 2π11cos 2π11cos 4π11·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 8π11⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 16π11 ＝125sin π11·23sin 4π11cos 4π11cos 8π11·cos 16π11 ＝125sin π11sin 32π11 ＝125sin π11sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π－π11 ＝sin π1125sin π11＝132. (2)原式＝12n sin x 2n ·2n sin x 2n ·cos x 2·cos x 4…cos x 2n ＝12n sin x 2n ·2n －1· ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x2n ·cos x2n ·cos x 2cos x 4…·cos x 2n －1 ＝12n sin x 2n ·2n －1sin x 2n －1·cos x 2·cos x 4…cos x 2n －1 ＝sin x 2n sin x 2n .。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第五章 三角函数、解三角形 第24课 二倍角的三角函数教师用书-人教版
第24课 二倍角的三角函数[最新考纲]内容要求AB C 二倍角的正弦、余弦及正切√1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．二倍角公式的变形及逆用 (1)公式C 2α的变形： ①sin 2α＝12(1－cos 2α)；②cos 2α＝12(1＋cos 2α)．(2)公式的逆用：①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2； ②sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对∀α∈R ，sin 2α＝2sin α均不成立．( ) (2)sin2π8－cos 2π8＝cos π4＝22.( ) (3)sin α＋cos α＝1＋sin 2α.( ) (4)等式1＋cos α＝2sin 2α2对∀α∈R 均成立．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．下列各式中值为32的是________．(填序号) ①2sin 15°cos 15°；②cos 215°－sin 215°；③2sin 215°－1；④sin 215°＋cos 215°. ② [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32， sin 215°＋cos 215°＝1.]3．若sin α＝255，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan 2α＝________.－43 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝255，∴cos α＝1－sin 2α＝55， ∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43.] 4．(2017·某某模拟)若tan α＝3，则sin 2α1＋cos 2α＝________.3 [sin 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α2cos 2α＝tan α＝ 3.] 5．(教材改编)函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________．－2 [函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]应用倍角公式求值(2017·某某模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． [解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2， ∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3·sin π3＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π. 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.[规律方法] 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．如本题中⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，从而先利用诱导公式变换函数名，进而逆用二倍角公式求值．[变式训练1] (2017·某某、某某二模)已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值. 【导学号：62172133】 [解] (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2.(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2sinπ6＝43＋310.应用倍角公式化简(1)化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(1)22cos α[原式＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α.](2)原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin 22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .[规律方法]1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练2] 化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α＝________.12 [法一：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.]三角变换的简单应用已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值. 【导学号：62172134】[解] (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练3] 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．[解](1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32.因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．[思想与方法]1．三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换．2．利用三角函数值求角要考虑角的X 围．3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决．[易错与防X]1．利用辅助角公式a sin x ＋b cos x 转化时，一定要严格对照和差公式，防止弄错辅助角．2．计算形如y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的X 围和x 的X 围混淆．课时分层训练(二十四)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于________．16 [因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.]2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.【导学号：62172135】3 [∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.]3．(2016·全国卷Ⅲ改编)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝________.45 [∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ. 又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.]4．已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.－75[cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α.∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.]5．(2017·某某模拟)已知sin(α－45°)＝－210且0°<α<90°，则cos 2α的值为________. 【导学号：62172136】725 [∵sin(α－45°)＝－210， ∴sin α－cos α＝－15，∴2sin αcos α＝2425，∴sin α＋cos α＝1＋sin 2α＝75，∴sin α＝35，cos α＝45.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725.]6．(2016·某某高考改编)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是________．π [法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.]7．(2017·某某模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________. 【导学号：62172137】－78 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－78.]8．化简2＋2cos 8＋21－sin 8＝________. －2sin 4 [2＋2cos 8＋21－sin 8 ＝21＋cos 8＋21－2sin 4cos 4＝2×2cos 24＋2sin 4－cos 42＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.] 9．(2017·某某模拟)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为________．－1718 [∵3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α≠0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，即sin α＋cos α＝26， ∴sin 2α＝－3436＝－1718.]10．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝______________.2－156[∵cos 4α－sin 4α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．∴sin 2α＝53. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝cos 2αcos π3－sin 2αsin π3 ＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53 ＝2－156.] 二、解答题11．(2017·某某期中)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)若f (x )＝－1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x 的值．[解](1)因为f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2＝32sin 2x －cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )＝－1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝－1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12. 12．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值； (2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. [解](1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4 ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α. 又因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－45， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12×35－32×45 ＝10＋32－4620. B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x 2(x ∈R )的最大值等于________． 92 [由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤94＋4＋2＝92.] 2．如图241，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．图241 513 [由题意得|OB |＝|OC |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513， ∴3cos 2α2－sin α2·cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.] 3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值． [解]∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13＞0， ∴0＜α＜π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0， ∴0＜2α＜π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－3π4. 4．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． [解] (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.。
专题4-3 两角和与差及二倍角的三角函数测-2018年高考数学一轮复习讲练测江苏版 含解析 精品
一、填空题1．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 【解析】依题意得cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π42＝12(cos α＋sin α)2＝12(1＋sin 2α)＝23. 2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝3．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝ 【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5 ＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sin π5cos π5cos π5＋sin π52·sin π5cos π5cos π5－sin π5＝3sin π5sin π5＝3 4．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝ 【解析】由sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75， ①由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725， 所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝725， ② 由①②可得cos α＋sin α＝－15， ③ 由①③可得sin α＝35. 5．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为6．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3·tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是【解析】 ∵α为锐角，sin α－cos α＝16， ∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3， ∴α＋β＝π3，又α>π4， ∴β<π4<α. 7．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________． 【解析】∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案：π8．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________. 【解析】∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23>0，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156. 答案：2－1569．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 【解析】由题意得tan α＋tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，且tan α<0，tan β<0，又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－2π3. 答案：－2π310．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝________.二、解答题11．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值； (2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. 解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4 ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α. 因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－45， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋2212×35－32×45 ＝10＋32－4620. 12．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．。
新高考苏教版数学理大一轮复习训练4.6二倍角的三角函数(含答案解析)
4.6二倍角的三角函数一、填空题π51．已知α∈2，π ，sinα＝5，则 tan 2α＝____.π5 2 51分析由α∈2，π， sinα＝5，得 cosα ＝－5，tan α＝－2，2tan α4所以 tan 2 α＝1－tan2α＝－3.42．计算 1－2sin 222.5 °的值为 ________．分析原式＝ cos 45 °＝2. 22答案2π5sin α＋43．已知α是第一象限的角，且 cos α＝13，则cos(2α＋4π)的值为 ________．512分析∵α是第一象限的角， cos α＝13，∴ sinα＝13.sin α＋π2(sinα＋cos α)2α＋ cos α) 422(sin∴cos(2 α＋4π) ＝cos 2 α＝cos2α－ sin 2α2222132＝cos α－ sin α＝5 12＝－14.13－1313 2答案－144．函数 f ( x) ＝cos 2 x＋2sin x 的最大值与最小值的和为 ________．分析 f ( x) ＝1－2sin2x ＋2sin x＝－ 2 sin123，所以当 sin1x－＋x ＝时，22233f ( x) max ＝2；当 sin x ＝－ 1 时， f ( x) min ＝－ 3. 所以 f ( x) max ＋ f ( x) min ＝－ 2.3 答案 －25．已知 sin α＝5 4 45 ，则 sin α －cos α 的值为 ________．4 422 22 3分析sin α－cos α ＝sin α －cos α ＝2sin α－1＝5－1＝－ 5.3答案 －56．若函数 f ( x) ＝sin( x ＋α) －2cos( x － α) 是偶函数，则 cos 2 α＝ ________.分析 ∵f ( x) ＝ (cos α－ 2sin α)sinx ＋(sin α－2cos α)cos x ，故 cos α－2sin α ＝0，cos α＝2sin α，2222123∴cos α＋ sin α＝5sin α ＝1，即 sin α＝ 5，cos 2 α＝1－2sin α ＝5. 3 答案 57．已知 sin α＝2sin β，tan α＝ 3tan β，则 cos 2 α ＝________. 分析 由 sin 2α＝ 4sin 2 β，tan 2α＝9tan 2β 相除，得 9cos 2α ＝4cos 2β，所以 sin 2 α＋ 9cos 2 α＝ 4sin 2β ＋ 4cos 2β＝ ，42321所以 cos α ＝8，cos 2 α ＝2cos －1＝－ 4.1答案－48． 若锐角 α、β 知足 (1 ＋ 3tan α )(1 ＋ 3tan分析 ∵(1 ＋ 3tan α)(1 ＋ 3tan β) ＝4，∴1＋ 3(tan α＋tan β) ＋3tan α tan β ＝4，β) ＝4，则 α＋β ＝______.即 tan α＋tan β＝ 3(1 － tan α tan β ) ．tan α＋ tan β3(1 － tan α tan β)∴tan( α＋ β) ＝1－tan αtanβ＝1－ tan α tan β ＝ 3.π又∵ 0<α＋ β<π，∴ α＋β ＝ 3 .答案 π3．函数 y ＝ sin x ＋ 3cos x ，x ∈ π，π 的值域是 ________．9 6π π分析 ∵y ＝ sin x ＋ 3cos x ＝ 2sin x ＋ 3. 又∵ 6 ≤ x ≤π，π π 4π3 π∴ 2 ≤x ＋ 3 ≤ 3 . 联合正弦函数的图象与性质得：－2 ≤sin x ＋3 ≤1.∴－ 3≤2sin x ＋π≤2.3 答案 [ － 3，2]10．函数 y ＝ 3sin xcos x －sin 2x 的最小正周期为 ________，最大值为 ________．3 1－cos 2 x 3 1 1 x ＋π 1 分析y ＝ 2 sin 2 x －2＝ 2 sin 2 x ＋2cos 2 x －2＝sin 2 6 －2.1 1所以 T ＝π ，f ( x) max ＝ 1－ 2＝ 2.1答案 π211．函数 f x ＝ －x cos x ＋ 4cos 2x － 4cos 4x 的值域为 ． ( ) 1 4sin________分析f( x ＝ －x ＋4cos 2x(1－cos 2x)) 1 2sin 2＝ 1－ 2sin 2 x ＋4cos 2xsin 2x ＝1－2sin 2 x ＋sin 22x＝ (1 －sin 2 x) 2 因为 sin 2 x ∈ [ －1,1] ，所以 f ( x) ∈[0,4]．答案 [0,4]1－cos 2 α112．已知 sin αcos α＝1，tan( β－α ) ＝－ 3，则 tan( β－ 2α ) 等于 ________．1－cos 2 α2sin 2得sin α α＝1，分析由sin αcos α＝ 1 αcos1∴ tan α＝ 2，进而 tan( β －2α) ＝tan( β－α－ α)1 1 ＝β －α － tan α ＝－3－2 ＝－ 1.1＋β－αα111＋－3× 2答案－113．在平面直角坐标系xOy 中，已知 A(0 ，－ 1) ，B( － 3，－ 4) 两点，若点 C 在∠ AOB的均分线上，且→＝，则点C的坐标是．OC| |10________分析如图，α＋ 2β＝90°，43sinα＝5，cos α＝5，4所以 sin(90 °－ 2β ) ＝5.424即 cos 2 β＝，进而2cos β－＝，515cosβ＝31，sin β＝.1010α＋βcos β所以 tan( α＋β ) ＝α＋β＝sinβ＝3.所以直线OC y＝3x，于是由x 2＋x2x210，且x＜0，得的方程为＝10 ＝x＝－ 1，y＝－ 3， C( －1，－ 3) ．答案 ( －1，－3)二、解答题14. 利用三角公式化简： sin 50 (1 3 tan10 ) ．3 sin 102(1cos103sin 10 )分析原式sin 50)sin 5022(1cos10cos102 sin 50sin 30cos10cos30sin 102sin 50 sin 40cos10cos102 cos40sin 40sin 801．cos10cos10115 ．已知sin x ＋ cos x ＝－5(135 °<x<180°) ．求2sin xx的值．cos x－sin x－cos 3 x＋ sin 3111分析∵sin x＋cos x＝－5，∴ 1＋ 2sin xcos x＝25. 即 1＋ sin 2 x＝25，24∴sin 2 x＝－25.x °，∴x ＝ 7又∵ 270°<2 <360cos 225.∴原式＝cos(2 x － x) －sin(22sin xx － x) －cos(2 x ＋x) ＋sin(2 x ＋x)＝ 2sin 2 x ·sin 2sin x 1 25x ＋2cos 2 x ·sin x ＝ sin 2 x ＋ cos 2 x ＝－ 17.16．设 a ∈ R ，f ( x) ＝cos x( asinx － cos x) ＋cos 2π－x 知足 f －π ＝f (0) ， 2 3π 11π 求函数 f ( x) 在 4，24 上的最大值和最小值．a π 分析 f ( x) ＝asin xcos x －cos 2x ＋sin 2x ＝ 2sin 2x －cos 2x ，由 f －3 ＝f (0) ，3 a 1得－ 2 ·2＋2＝－ 1，解得 a ＝2 3.π所以 f ( x) ＝ 3sin 2x －cos 2 x ＝2sin2x － 6 .π π π π π当 x ∈ 4 ， 3 时， 2x － 6 ∈ 3 ， 2 ，f ( x) 为增函数．π 11π π π 3π当 x ∈ 3 ，24 时， 2x － 6 ∈ 2 ， 4 ，f ( x) 为减函数．π π 11π故 f ( x) max ＝ f 3 ＝2，又因为 f 4 ＝ 3， f 24 ＝ 2，11π所以 f ( x) min ＝f24＝2.．已知A ，B ，C 是△ ABC 的三个内角，向量m ＝(2sinB, －B，172 cos 2 )2π Bn ＝ 2sin 4 ＋2 ，－ 1 ，且 m ⊥ n.(1) 求角 B 的大小；(2) 求 sin A ＋cos C 的取值范围．(1) 因为 m ⊥n ，所以 m ·n ＝2sin B ·2sin 2π B－ 2＋ cos 2 B ＝0，分析4 ＋2 即 2sin Bπ＋BBB1B· 1－cos 24 2 －2＋cos 2＝ 0，所以 sin＝2，又 0＜ ＜ π，π5π所以B＝6或6 .(2) 当 B＝π时， sin A＋cos C＝sin A＋ cos5π－A ＝ sin A 663133π－2 cos A＋2sin A＝2sin A－2 cos A＝3sin A－ 6.因为 0＜A＜5πA＋cos3，所以 sin C∈ －， 3 . 625π33当B＝6时，同理可得 sin A＋ cos C∈2，2.18．已知向量 a＝(1 － tan x, 1) ，b＝(1 ＋sin 2x＋cos 2x, 0) ，记函数 f ( x) ＝a·b.(1)求函数 f ( x) 的分析式，并指出它的定义域；π2(2)若 f α＋8＝5，且α∈ 0，2，求 f ( α) ．π分析 (1) f ( x) ＝a·b＝(1 － tan x)(1 ＋sin 2 x＋ cos 2 x)＝cos x－sinx2x＋2sin xcos x) ＝ 2(cos 2x－sin 2x) ＝2cos 2 x. cos·(2cosx定义域为(2)因为 fπx| x≠kπ＋2，k∈Z .π＝2cos 2α＋π2α ＋84＝5，所以 cos 2α＋π2ππ5π4＝10，且 2α＋4∈ 4， 4，π7 2所以 sin 2α＋4＝10 .ππ所以 f ( α) ＝2cos 2 α＝2cos2α＋4－4＝ 2cos 2α＋π4 cosπ4＋2sin 2α＋π4 sinπ4＝85.。
2019-2020年高中数学 3.2二倍角的三角函数练习(含解析)苏教版必修4
2019-2020年高中数学 3.2二倍角的三角函数练习（含解析）苏教版必修4我们知道，两角和的正弦、余弦、正切公式与两角差的正弦、余弦、正切公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？二倍角公式又有何重要作用呢？1．在S (α＋β)中，令________，可得到sin 2α＝________，它简记为S 2α. 答案：α＝β 2sin αcos α2．在C (α＋β)中，令________，可得到cos 2α＝________，它简记为C 2α. 答案：α＝β cos 2α－sin 2α3．在T (α＋β)中，令________，可得到tan 2α＝________，它简记为T 2α. 答案：α＝β 2tan α1－tan 2α4．在C 2α中考虑sin 2α＋cos 2α＝1可将C 2α变形为cos 2α＝ ________＝________．它简记为C ′2α. 答案：2cos 2α－1 1－2sin 2α5.2－sin 22＋cos 4的值是( )A ．sin 2B ．－cos 2 C.3cos 2 D ．－3cos 2 答案：D6．设f (tan x )＝tan 2x ，则f (2)＝( ) A ．－43 B.45 C ．－23 D ．4答案：A7．函数y ＝sin 2x cos 2x 的最小正周期是( ) A ．π B ．2π C.π2 D.π4答案：C8．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝45，则cos 2α＝________．答案：－7259．sin2π8－cos 2π8的值是________． 答案：－2210．tan A ＋1tan A ＝m ，则sin 2A ＝________．解析：tan A ＋1tan A ＝sin A cos A ＋cos Asin A＝sin 2A ＋cos 2A sin A cos A ＝2sin 2A ＝m ，∴sin 2A ＝2m . 答案：2m11．y ＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值为________．答案：212．化简1＋sin 10°＋1－sin 10°＝________． 解析：1＋sin 10°＋1－sin 10° ＝cos 25°＋2sin 5°cos 5°＋sin 25°＋ cos 25°－2sin 5°cos 5°＋sin 25°＝(cos 5°＋sin 5°)＋(cos 5°－sin 5°)＝2cos 5°. 答案：2cos 5°二倍角的正弦、余弦、正切公式1．公式S 2α，C 2α中的角α没有限制．但公式T 2α需在α≠12k π＋π4和α≠k π＋π2(k ∈Z)时才成立．当α＝k π＋π2，k ∈Z 时，虽然tan α不存在，但tan 2α是存在的，故可改用诱导公式．例如：当α＝k π＋π2，k ∈Z 时，tan 2α＝tan 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝tan(2k π＋π)＝tan π＝0.2．一般情况下：sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α. 若sin 2α＝2sin α，则2sin αcos α＝2sin α，即sin α＝0或cos α＝1，此时α＝k π(k ∈Z)．若cos 2α＝2cos α，则2cos 2α－2cos α－1＝0，即cos α＝1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α＝1＋32舍去.若tan 2α＝2tan α，则2tan α1－tan 2α＝2tan α， ∴tan α＝0，即α＝k π(k ∈Z)．3．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是3α2的二倍，α3是α6的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．例如：sin α2＝2sin α4cos α4，cos α3＝cos 2α6－sin 2α6等．二倍角公式的逆用、变形应用1．特别是对二倍角的余弦公式，其变形公式在求值、化简、证明中有广泛的应用． 2．注意右边化为左边的应用，如sin 3αcos 3α＝12sin 6α，4sin α4cos α4＝2sinα2，2tan 40°1－tan 240°＝tan 80°，cos 22α－sin 22α＝cos 4α等．3．把cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2称为降幂公式，把1－cos 2α＝2sin2α，1＋cos 2α＝2cos 2α称为升幂公式，这几个公式可实现三角函数式的降幂或升幂的转化，同时可以完成角的形式的转化．这些公式是解决三角问题的重要技巧和方法之一，在学习过程中，要注意应用．4．在理解倍角公式的同时，结合前面学过的内容，从中体会到三角函数公式中充满了辩证法．非同角公式中“和与差”“倍与半”“弦与切”“升与降”既是相对的概念，又可以求同存异、相辅相成．基础巩固 1．若sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79 B ．－13C.13D.79 答案：A2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.43答案：B3．设f (sin x )＝cos 2x ，那么f ⎝⎛⎭⎪⎫32等于_______．24．sin α＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin 2α＝________；tan 2α＝________． 答案：－120169 －1201195．函数y ＝sin 4x ＋cos 4x 的最小正周期是________． 答案：π26．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12 7．sin2π12－cos 2π12等于________． 答案：－328．(xx·陕西卷)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a ·b＝0，则tan θ＝________．解析：利用向量的数量积列出关于θ的三角等式并利用倍角公式、同角三角函数的基本关系式变形求解．因为a ·b ＝0，所以sin 2θ－cos 2θ＝0，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.答案：12能力升级9．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α＝( )23C. 2D. 3解析：由已知得：cos 2α＝14.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12.∴tan α＝ 3.答案：D10．求值：sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________． 解析：原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝23·2sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°24cos 6° ＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116.答案：11611．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)＝________． 解析：若α＋β＝π4，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝1，∴tan α＋tan β＋tan α·tan β＝1， 即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.∴(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)·2＝2×2×…×223个＝223. 答案：22312．已知sin (2α－β)＝35，sin β＝－1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，求sin α的值．解析：π<2α<2π，0<－β<π2.∴π<2α－β<5π2.又sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2.∴cos(2α－β)＝45.∵－π2<β<0，sin β＝－1213，∴cos β＝513.∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β)]＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665.∴sin 2α＝1－cos 2α2＝9130.∴sin α＝3130130.13．(xx·4月韶关模拟)已知函数f (x )＝23cos x ·sin x ＋2cos 2x . (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫4π3的值； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域． 解析：(1)f (x )＝23cos x sin x ＋2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＋π6＝1＋2×12＝2.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴当x ＝π6时，f (x )max ＝3；当x ＝π2时，f (x )min ＝0.故f (x )的值域是[0，3]．。
高考(江苏专版)大一轮数学(文)复习检测：第25课 二倍角的正弦、余弦与正切 Word版含答案
第25课二倍角的正弦、余弦与正切A 应知应会1.计算:sin 15°cos 15°=.2.已知sin =,cos =-,那么角θ在第象限.3.已知α为锐角,cos α=,那么tan=.4.已知cos4α-sin4α=,且α∈,那么cos=.5.求-2sin10°·tan80°的值.6.已知α∈,sinα=.(1)求sin的值;(2)求cos的值.B巩固提升1.计算:sin 15°sin 30°sin 75°=.2.已知sin2α=,那么cos2=.3.若tan=,且-<α<0,则=.4.(2016·江西师大附中)已知sin=,且θ∈,那么tan2θ=.5.若α为锐角,cos=,求sin2α+的值.6.(2016·苏州、无锡、常州、镇江调研)已知函数f(x)=cos2x+sin x cos x,x∈R.(1)求f的值;(2)若sinα=,且α∈,求f的值.第25课二倍角的正弦、余弦与正切A 应知应会1.【解析】原式=sin30°=.2.三【解析】sin θ=2sin cos =-<0,cos θ=cos2-sin2=-<0,所以θ是第三象限角.3.-【解析】由题意得sin α=,故tan α=2,所以tan 2α==-,所以tan==-.4.【解析】因为cos4α-sin4α=(sin2α+cos2α)(cos2α-sin2α)=cos2α=,又α∈,所以2α∈(0,π),所以sin2α==,所以cos=cos2α-sin2α=×-×=.5.【解答】-2sin10°·tan 80°=-2sin10°·=-=-=====.6.【解答】(1)因为α∈,sinα=,所以cosα=-=-,故sin=sincosα+cossinα=×+×=-.(2)由(1)知sin2α=2sinαcosα=2××=-,cos2α=1-2sin2α=1-2×=,所以cos=coscos2α+sinsin2α=×+×=-.B巩固提升1.【解析】原式=sin 15°·sin 30°·cos 15°=sin 30°·(2sin 15°cos 15°)=sin230°=.2.【解析】cos2=cos αcos-sin αsin2=(cos α-sin α)2=(1-sin 2α)=1-=.3.-【解析】因为tan==,所以tanα=-.又-<α<0,所以sinα=-,故==2sinα=-.4.-【解析】由sin=,得sinθ-cosθ=,平方得2sinθcosθ=.又θ∈,则sinθ+cosθ=,所以sinθ=,cosθ=,所以tanθ=,故tan2θ==-.5.【解答】由cos=,得cos2α+=2cos2-1=2×-1=.因为cos>0,α为锐角,所以2α+∈,所以sin==,所以sin=sin-=sincos-cos2α+sin =.6.【解答】(1)f=cos2+sin·cos=+×=.(2)因为f(x)=cos2x+sin x cos x=+sin2x=+(sin2x+cos2x)=+sin,所以f=+sinα++=+sin=+.又因为sinα=,且α∈,所以cosα=-,所以f=+×=.。
(江苏专用)2018高考数学一轮复习 第五章 三角函数、解三角形 第24课 二倍角的三角函数课时分层训练
第五章 三角函数、解三角形 第24课 二倍角的三角函数课时分层训练A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于________．16 [因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.]2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.【导学号：62172135】3 [∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.]3．(2016·全国卷Ⅲ改编)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝________.45 [∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ. 又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.]4．已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.－75[cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α.∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.]5．(2017·苏州模拟)已知sin(α－45°)＝－210且0°<α<90°，则cos 2α的值为________. 【导学号：62172136】725 [∵sin(α－45°)＝－210， ∴sin α－cos α＝－15，∴2sin αcos α＝2425，∴sin α＋cos α＝1＋sin 2α＝75，∴sin α＝35，cos α＝45.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725.]6．(2016·山东高考改编)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是________．π [法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.]7．(2017·苏州模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________. 【导学号：62172137】－78 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－78.]8．化简2＋2cos 8＋21－sin 8＝________. －2sin 4 [2＋2cos 8＋21－sin 8 ＝＋＋21－2sin 4cos 4＝2×2cos 24＋2－2＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.] 9．(2017·南通模拟)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为________．－1718 [∵3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α≠0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，即sin α＋cos α＝26， ∴sin 2α＝－3436＝－1718.]10．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝______________. 2－156 [∵cos 4α－sin 4α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．∴sin 2α＝53. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝cos 2αcos π3－sin 2αsin π3 ＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53 ＝2－156.] 二、解答题11．(2017·盐城期中)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)若f (x )＝－1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x 的值． [解] (1)因为f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2＝32sin 2x －cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )＝－1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝－1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12. 12．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. [解] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α.又因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－45，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12×35－32×45＝10＋32－4620.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．函数f (x )＝3sin x 2cos x2＋4cos 2x2(x ∈R )的最大值等于________．92 [由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤94＋4＋2＝92.] 2．如图241，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．图241513[由题意得|OB |＝|OC |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，∴3cos2α2－sin α2·co s α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.]3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．[解] ∵tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13＞0，∴0＜α＜π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0， ∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－3π4. 4．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．[解] (1)f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32.所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.。
江苏省南京师范大学附属中学2016届高三数学一轮同步训练：三角恒等变换复习课(第二课时) Word版含答案
9. 三角恒等变换复习课（第二课时）【基础训练】1. 已知α，β均为锐角，sin α，tan β＝12，求α－β的值．2．已知在ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+=求角C 的值．3. 已知θ满足),,0(,1cos )cos()22sin(sin 3πθθθπθπθ∈=⋅+--求θ的值．4．求证：)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值是与α无关的定值．【典型例题】例1已知113cos ,cos()714ααβ=-=，0<β<α＜2π． （1） 求tan 2α的值；（2）求β．例2 己知22,(0,)3sin 2sin 12παβαβ∈+=且，3sin 22sin 20αβ-=，2αβ+求的值．例3 已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．【巩固练习】1.(1)已知cos2α＝35,求sin 4α－cos 4α的值; (2)已知sin θ+cos θ＝1－ 32,求sin2θ的值.2.如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠B ＝90°，E ，F 将BC 三等分，求∠EAF ，∠F AC 的正切值.C F B E A3.求证：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos α sin α.4．求值：tan20°＋4sin20°．5．在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 22C A +－cos2B =，求角B 的值.6. 在△ABC 中，已知tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1，求角C 的值.(P131复习题14题)7. 求函数y ＝cos2x －2cos x ＋1的值域.8．已知sin sin αβ+=，求cos cos αβ+的取值范围．9．化简sin 2α·sin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2α·cos2β.10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为102，552.（1）求tan(+)的值；（2）求+2的值.11. （1）已知,均为锐角，sinα＝ 55，sinβ＝1010，求＋的值；（2）已知,均为锐角，sinα＝2 5 5，sinβ＝1010，求－的值【反思回顾】9. 三角恒等变换复习课（第二课时）【基础训练】1. 【答案】4π 2．【答案】6π22(3sin 4cos )(4sin 3cos )37,2524sin()37A B B A A B +++=++= 11sin(),sin 22A B C +==，事实上A 为钝角，6C π∴= 3. 答案】323πθπθ==或 4．证明：)3cos(cos )]23cos(1[21)2cos 1(21α+πα+α-π--α-=原式 ——降次 )sin 3sin cos 3(cos cos ]2cos )23[cos(21απ-απα+α-α-π= )sin cos 23cos 21)2cos 2sin 3sin 2cos 3(cos 212αα-α+α-απ+απ= 41)2sin 43)2cos 1(412cos 212sin 232cos 41=α-α++α-α+α= ∴)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值与α无关 【典型例题】例1 【答案】解：（1）由1cos ,072παα=<<，得sin α===∴sin 7tan cos 1ααα===22tan tan 21tan1ααα===--（2）由02παβ<<<，得02παβ<-<又∵()13cos 14αβ-=，∴()sin 14αβ-=== 由()βααβ=--得：()c o s c o s βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()c o s c ααβ=-+11317142=⨯=所以3πβ=例2 详细解答： 因为3sin α＋2sin β＝1，3sin 2α－2sin 2β＝0，所以，αβ2sin 32cos = （1）， 3sin 2sin 23sin cos 2βααα== （2）． 解法一：因为 sin(2)sin cos2cos sin2αβαβαβ+=+323sin 3sin cos 3sin .αααα=+=（1）2 ＋（2）2得： 4229sin 9sin cos 1ααα+=．所以，29sin 1α=．又α（0，2π），所以，3sin 1α=．所以，sin(2)1αβ+=． ,(0,),222ππαβαβ∈+=由得． 解法二：因为c o s (2)c o s c o s 2s i n s i αβαβαβ+=-223sin cos 3sin cos αααα=-＝0． ,(0,),222ππαβαβ∈+=又所以．解法三：（1）／（2）得： cot 2tan βα=． 所以，tan tan(2)2παβ=-． 所以，22παβ+=．例3 【答案】－3π4【巩固练习】1.(1) －35(2)－32 2. 略 3. 略4． 35．解 在△ABC 中，A+B+C=180°,由4sin 22C A +-cos2B=, 得4·2)cos(1C A +--2cos 2B+1=,所以4cos 2B-4cosB+1=0.于是cosB=,B=60°.6. 【答案】3π47. －12，4]8．【答案】[ 9．解方法一 （复角→单角，从“角”入手） 原式=sin 2α·sin 2β+cos 2·cos 2β-21·(2cos 2-1)·(2cos 2β-1) =sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-21 (4cos 2α·cos 2β-2cos 2α-2cos 2β+1) =sin 2α·sin 2β-cos 2α·cos 2β+cos 2α+cos 2β-21 =sin 2α·sin 2β+cos 2α·sin 2β+cos 2β-21 =sin 2β+cos 2β-21=1-21=21. 方法二 （从“名”入手，异名化同名）原式=sin 2α·sin 2β+(1-sin 2α)·cos 2β-21cos2α·cos2 =cos 2β-sin 2α (cos 2β-sin 2β)-21cos2α·cos2β =cos 2β-sin 2α·cos2β-21cos2α·cos2 =cos 2β-cos2β·⎪⎭⎫ ⎝⎛+)2cos 21sin 2αα =22cos 1β+-cos2β·⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)sin 21(21sin 22αα =22cos 1β+-21cos2β=21. 方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 原式=22cos 1α-·22cos 1β-+22cos 1α+·22cos 1β+-21cos2α·cos2β =41（1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β）+41 (1+cos2α·cos2β+cos2α+cos2β)- 21·cos2α·cos2β=21. 方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式=(sin α·sin β-cos α·cos β)2+2sin α·sin β·cos α·cos β-21cos2α·cos2β =cos 2(α+β)+21sin2α·sin2β-21cos2α·cos2β=cos 2(α+β)-21·cos(2α+2β)=cos 2(α+β)- 21·2cos 2(α+β)-1］=21.10. 解 由条件得cos=102,cos=552.∵,为锐角,∴sin=α2cos 1-=1027, sin=β2cos 1-=55.因此tan=ααcos sin =7,tan=ββcos sin =. (1)tan(+)=βαβαtan tan 1tan tan ∙-+=2171217⨯-+=-3.(2)∵tan2=ββ2tan 1tan 2-=2)21(1212-⨯=,∴tan(+2)=βαβα2tan tan 12tan tan ∙-+=3471347⨯-+=-1.∵,为锐角,∴0＜+2＜23π,∴+2=43π.11. 【答案】（1）π4；（2）π4。
【南京一轮复习】课时6 二倍角的三角函数
第6课时 二倍角的三角函数【课前自主探究】※考纲链接（1）能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，体会化归思想的应用，掌握二倍角公式（正弦、余弦、正切），能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。
（2）能运用两角和与差的三角函数公式进行简单的恒等变换，推导出积化和差、和差化积公式及半角公式（不要求记忆和应用）。
※ 教材回归 ◎基础重现： 1．二倍角公式：2S α：sin 2α= ； 2C α：cos2α= = = ； 2T α：tan 2α= ；2．降次公式：2cos α= ；2sin α=基础重现答案：1. 2sin cos αα 22cos sin αα- 22cos 1α- 212sin α- 22t a n1t a n αα- 2．1cos 22α+ 1cos 22α- ◎思维升华：1．如何理解二倍角的相对性?2．求证：)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值是与α无关的定值思维升华答案：1．二倍角公式为仅限于α2是α的二倍的形式，其它如α4是α2的两倍， α3是23α的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．因此，当2=βα时，α就是β的二倍角．凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式，即是“倍角”的意义是相对的2．证明：)3cos(cos )]23cos(1[21)2cos 1(21α+πα+α-π--α-=原式 —降次 )sin 3sin cos 3(cos cos ]2cos )23[cos(21απ-απα+α-α-π=)sin cos 23cos 21)2cos 2sin 3sin 2cos 3(cos 212αα-α+α-απ+απ=41)2sin 43)2cos 1(412cos 212sin 232cos 41=α-α++α-α+α=21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-∴)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值与α无关。
2020版高考江苏数学大一轮精准复习精练：4.5 二倍角的三角函数 Word版含解析
4.5二倍角的三角函数挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点二倍角的三角函数的基本运用1.利用公式求三角函数值2.利用公式化简三角函数2018江苏,16 二倍角公式同角三角函数的关系,两角差的正切公式★★★公式的综合运用1.求三角函数值2.和平面向量等知识综合应用★★★分析解读二倍角的三角函数是高考的重点,常与两角和与差的三角函数综合在一起考查,主要考查三角函数求值及公式的变形运用,试题一般为中档题.破考点【考点集训】考点一二倍角的三角函数的基本运用1.若tan(α+π4)=3+2√2,则1-cos2αsin2α=.答案√222.已知α为锐角,cos(α+π4)=√55.(1)求tan(α+π4)的值;(2)求sin(2α+π3)的值.解析(1)因为α∈(0,π2),所以α+π4∈(π4,3π4),所以sin(α+π4)=√1-cos2(α+π4)=2√55,所以tan(α+π4)=sin(α+π4)cos(α+π4)=2.(2)因为sin (2α+π2)=sin [2(α+π4)] =2sin (α+π4)cos (α+π4)=2×2√55×√55=45, cos (2α+π2)=cos [2(α+π4)] =2cos 2(α+π4)-1=2×(√55)2-1=-35,所以sin (2α+π3)=sin [(2α+π2)-π6] =sin (2α+π2)cos π6-cos (2α+π2)sin π6=45×√32-(-35)×12=4√3+310.考点二 公式的综合运用1.(2017江苏常州调研,10)若f(x)=sin (8x +π4)的周期为α,tan(α+β)=13,则1-cos2βsin2β的值为 .答案 -122.(2018江苏东台安丰高级中学月考)已知函数f(x)=4tan x ·sin (π2-x)cos (x -π3)-√3. (1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π4,π4]上的单调递增区间及最值. 解析 f(x)=4tan xcos xcos (x -π3)-√3 =4sin xcos (x -π3)-√3 =4sin x (12cosx +√32sinx)-√3=2sin xcos x+2√3sin 2x-√3=sin 2x+√3(1-cos 2x)-√3=sin 2x-√3cos 2x=2sin (2x -π3).(1)f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,k∈Z,得-π12+kπ≤x ≤5π12+kπ,k∈Z. 设A=[-π4,π4],B={x |-π12+kπ≤x ≤5π12+kπ,k ∈Z},易知A ∩B=[-π12,π4]. 所以当x ∈[-π4,π4]时,f(x)的增区间为[-π12,π4]. f(x)的最小值为-2,最大值为1.。
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7. 二倍角的三角函数（第二课时）
1、已知5
4
2cos ,532sin -==αα
，试确定角α所在象限。
（习题3.2－4）
2、 （1）已知5
4
cos =α，求αα44cos sin +的值；
（2）已知2
1
cos sin =+αα，求α2sin 的值；
（3）已知⎪⎭
⎫
⎝⎛∈ππα2,23，化简ααsin 1sin 1++-；
（4）已知312tan ,212tan -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=⎪⎭⎫
⎝
⎛-αββα，求()βα+tan 的值。
（习题3.2－5）
3、证明：（习题3.2－6）
（1）απαπα2tan 243tan 4tan =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++⎪⎭⎫
⎝
⎛
+；
（2）⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+x x x 4tan 2cos 2sin 1π；
（3）θ
θθ2sin 1
2tan 1tan 1=
-。
4、求值：︒︒︒40cos 20cos 10sin 。
（习题3.2－8）
5、已知()βαβ+=2sin sin m ，且ππ
βαk +≠+2
()Z k ∈，()Z k k ∈≠
2
π
α，1≠m 。
求证：()αβαtan 11tan m
m
-+=
+。
（习题3.2－9）
6、函数x y 2sin =的图象经过怎样的变换可以得到x y 2
sin =的图象？（习题3.2－11）
7、如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，那么折痕长度l 取决于角θ的大小。
探求l ，θ之间的关系式，并导出用θ表示l 的函数表达式。
（习题3.2－10）
如图，屋顶的断面图是等腰三角形ABC ，其中AB =BC ，横梁AC 的长度为定值2l 。
试问：当屋顶面的倾斜角α为多大时，雨水从屋顶（假设顶面为光滑斜面）上流下的时间最短？
9、已知向量()1sin 2cos ,1cos 2+-+=x x x OP ，()1,cos -=x OQ ，设()OQ OP x f ⋅=。
（1）求()x f 单调递增区间；
（2）求()x f 的最大值及取得最大值时的x 的取值集合。
（数学之友T3.7课外部分8）
[反思回顾]
Q P R
S
α
7. 二倍角的三角函数（第二课时）
1.解：025
7cos ,02524sin >=<-
=αα，所以α在第四象限 2. 解：25
9sin 2=α，所以αα44cos sin +=()
αααα22222cos sin 2cos sin -+=625337
解：()4
31cos sin 2sin 2
-=-+=ααα
解：原式=2
22cos 2sin 2cos 2sin ⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-αα
αα，因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,432，
所以原式=2
cos 2α
-
解：7122tan 2tan =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎭⎫
⎝⎛+αββαβα，所以()247tan =+βα 3、证明：左边=
()()αα
αααααα2tan 2tan 1tan 11tan tan 11tan tan 11tan 22
2
=---+=+-+-+=右边 证明：左边=
()⎪⎭
⎫
⎝⎛+=-+=-+=
-+x x x x x x x x
x x x 4tan tan 1tan 1sin cos cos sin sin cos cos sin 222π=右边
证明：左边=θ
θθθθθcos sin 2sin cos tan 2tan 1222+=+=右边
4、解：原式=
40cos 20cos 20sin 10
cos 2140cos 20cos 10cos 10sin 210cos 21= =8
110cos 880sin 40cos 40sin 10cos 41==
5、解：由已知，得()[]()[]αβααβα++=-+sin sin m
即()()()()()αβααβααβααβαsin cos cos sin sin cos cos sin +++=+-+m 得()()()αβααβαtan tan tan tan ++=-+m ，即()()()αβαtan 1tan 1+=+-m m 因为1≠m ，所以()αβαtan 11tan m
m
-+=
+ 6、解：()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=-=
=22sin 21212cos 121sin 2
πx x x y 所以，是将x y 2sin =右移4π，振幅缩小一半，再向上移动2
1
得到的
7、解：如图，EB=θsin l ，DE=EB=θsin l CB ⊥AB ，CD ⊥DE ， 90=∠=∠EBC EDC
θ2180360-=∠-∠-∠-=∠ B DCB EBC DEB ，所以θ2=∠AED
ADE Rt ∆中，θθθ2cos sin 2cos l DE AE ==，因为6==+AB EB AE
所以6sin 2cos sin =+θθθl l ，θ
θθsin 2cos sin 6
+=l
8、解：如图，设雨点落在P 处，PS 为重力，PR PQ ,为分量，重力加速度为g ，则雨滴下滑的加速度为αsin g 。
设下滑时间为t ，则有
2sin 2
1
t g AB s ⋅=
=α ①， 因为,,,2AC BD BC AB l AC ⊥==所以l AD =。
又α
cos l AB s == ②.
由①②得
2sin 2
1
cos t g l ⋅=αα，即g l g l g l t 42sin 4cos sin 22≥==
ααα 当且仅当 45=α时，t 取得最小值。
所以 45=α时雨水从屋顶滑落时间最短 9. 解：（1）()1sin 2cos cos cos 22
-+-+=⋅=x x x x OQ OP x f
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=+=4sin 2sin cos πx x x
所以()x f 的单调增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
（2）()x f 的最大值为2，此时x 的取值集合为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+
=Z k k x x ,42π
π
Q
P R
S
α。