相似三角形知识点梳理(最新整理)
三角形的相似性知识点
三角形的相似性知识点相似三角形是高中数学中的重要概念，理解和掌握三角形的相似性对于解决与三角形相关的问题非常重要。
本文将介绍三角形相似性的定义、判定方法以及相似三角形的性质。
在学习相似性知识点时，我们需要掌握比例、角度和边长的关系，并且能够应用相似三角形的性质解决实际问题。
一、三角形相似性的定义相似三角形是指具有相同形状但可能不等大的三角形。
正式定义为，如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形是相似的。
通常用符号~表示相似关系。
二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：如果两个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形是相似的。
2. SSS判定法：如果两个三角形的三个边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，另外两个边成比例，那么这两个三角形是相似的。
三、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：相似三角形的对应角都相等。
2. 对应边成比例性质：相似三角形的对应边之间的比值相等。
3. 比例性质：相似三角形的相应边长比例等于相应角度的边长比例。
四、相似三角形的应用相似三角形的性质可以应用于实际问题的解决中，例如测量高楼的高度、影子长度的测量等。
以下是一个例子：假设有一根高塔，在地面上有一杆测量仪器，测量仪器与塔尖的距离为1.5米，同时测量仪器与杆子的投影长度为0.5米。
如果知道测量仪器与塔尖的连线与水平面的夹角为30度，求塔的高度。
解决这个问题可以利用相似三角形的性质。
我们可以将测量仪器与塔尖的连线、杆子和塔的高度组成一个相似三角形。
根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：(塔的高度) / (杆子的长度) = (测量仪器与塔尖的距离) / (测量仪器与杆子的投影长度)即 h / 0.5 = 1.5 / 0.5解以上比例可得 h = 1.5 米因此，塔的高度为1.5米。
结语：相似三角形的知识点是解决与三角形相关问题的基础，我们通过掌握相似三角形的定义、判定方法以及性质，能够更好地解决实际问题。
相似三角形的知识点总结
相似三角形的知识点总结相似三角形是几何学中的重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在相似三角形中，对应角度相等，对应边的比例相等。
相似三角形的知识点包括相似比例、相似条件、相似性质以及相似定理等。
下面将逐一介绍这些知识点。
1. 相似比例：相似三角形的对应边的比例相等。
即若两个三角形ABC和DEF相似，则有AB/DE = AC/DF = BC/EF。
2. 相似条件：两个三角形相似的条件有三种情况：a) 两个三角形的对应角度相等；b) 两个三角形的两个对应角度相等，且两个对应边的比例相等；c) 两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比例相等。
3. 相似性质：相似三角形具有以下性质：a) 相似三角形的对应角度相等；b) 相似三角形的对应边的比例相等；c) 相似三角形的对应角的平分线相交于一点；d) 相似三角形的内角平分线相交于一点。
4. 相似定理：相似三角形的定理有多个，其中一些重要的定理包括：a) AA相似定理：若两个三角形的两个对应角度相等，则两个三角形相似；b) SSS相似定理：若两个三角形的对应边的比例相等，则两个三角形相似；c) SAS相似定理：若两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比例相等，则两个三角形相似；d) 勾股定理的相似定理：若两个直角三角形的两条直角边分别成比例，则两个三角形相似。
相似三角形的知识点对于解决实际问题非常重要。
例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量阴影的长度和角度，计算出高楼的高度。
又如，在地图上测量两地的距离时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量地图上两地的距离和角度，计算出实际距离。
相似三角形是几何学中的重要概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
通过掌握相似三角形的知识点，我们可以更好地理解几何学中的相似性质，从而应用于实际生活中的测量和计算中。
相似三角形必考知识点
相似三角形必考知识点一.比例线段1、比例线段的相关概念比例线段：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a，b，c，d满足a/b=c/d或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。
注意：线段的单位要统一.比例中项：如果作为比例内项的是两条相同的线段，即a/b=c/d或a：b=b：c，那么线段b 叫做线段a，c的比例中项。
例1.下列四条线段中,能成比例线段的是()A.a=1,b=1,c=2,d=3B.a=1,b=2,c=3,d=4C.a=2,b=2,c=3,d=3D.a=2,b=3,c=4,d=5例2.若a∶b=3∶4,且a+b=14,则2a-b的值是()A.4B.2C.20D.14例3.如图,矩形纸片ABCD中,AB>AD,E,F分别是AB,DC的中点,将矩形ABCD沿EF所在直线对折,若得到的两个小矩形都和矩形ABCD相似,则AB与AD的数量关系为.2、黄金分割:把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，即AC/BC=AB/AC或AC=AB×BC,叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=(√5-1)/2AB≈0.618AB注意：（1）线段的黄金分割点有两个；（2）黄金分割的几何作图.3、比例的性质二.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
由l3∥l4∥l5,得.推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
初中数学相似三角形知识库相似三角形知识点整理
初中数学相似三角形知识库相似三角形知识点整理一、定义
相似三角形是指两个三角形之间的几何关系，它们的边都是可以比拟的，只不过比例不同，这个比例就是相似比例。
二、定理
1、相似三角形定理：同一个平面中的两个三角形如果它们的两个角的对应边比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
2、两相似三角形的比例定理：同一个平面上的两个相似三角形，只要知道它们两个角的对应边比例，那么它们其他的边的比例也可以由此求出。
三、性质
1、锐角相似三角形的性质：两个锐角相似的三角形，它们的锐角相同，其余两个角也相同。
2、直角相似三角形的性质：两个直角相似的三角形，它们的直角相同，其余两个角也相同。
3、相似三角形中边及面积之间的关系：两个三角形相似，那么它们的三个边比例也一定是相等的，两个三角形的面积之比等于它们两个侧面的比例之平方。
四、进一步推广
1、直线及平面之间的相似：两条线段之间也有相似性，即它们的比例也可以求出，同样的，两个平面也有相似性，它们的比例也可以求出。
2、圆锥及圆柱之间的相似：圆锥和圆柱是两种各有特点的几何体，它们之间当然也有相似性，它们的比例也可以求出。
3、圆面积的相似：圆的面积之比可以求出。
专题02相似三角形的判定(六个知识点八大题型二个易错点 )(解析版)
专题02相似三角形的判定（六个知识点八大题型二个易错点）【目录】【学习目标】1.了解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定定理，能正确地找出相似三角形的对应边和对应角。
2.能灵活地运用三角形相似的判定定理，证明和解决有关问题，提升逻辑推理的核心素养。
【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1相似三角形及其表示方法在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.例1：下列说法一定正确的是（）（A）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似（B）对应角相等的两个三角形不一定相似（C）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（D）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似【答案】C【解析】根据判定定理2可知A 错误，C 正确；根据判定定理1可知B 错误，根据相似三角形预备定理可知只有直线与底边平行时才相似．【总结】考查相似三角形的判定定理掌握情况和相关条件．知识点2相似三角形的预备定理（重点）平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．如图，已知直线l 与ABC D 的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE D ∽ABC D ．例2：如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度( )A ．增大1.5米B ．减小1.5米C ．增大3.5米D ．减小3.5米【答案】D 试题分析：设小明在A 处时影长为x ，B 处时影长为y ．∵AC ∥OP ，BD ∥OP ，∴△ACM ∽△OPM ，△BDN ∽△OPN ，∴BD BN OP ON =，，则，∴x=5；，∴y=1.5，∴x ﹣y=3.5，故变短了3.5米．故选D ．知识点3判定两个三角形相似定理1（重点）如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC D 与111A B C D 中，如果1A A Ð=Ð、1B B Ð=Ð，那么ABC D ∽111A B C D ．常见模型如下：例3：如图，在Rt ABC D 中，90BAC Ð=°，AD BC ^于点D ，点O 是AC 边上一点，联结BO 交AD 于点F ，OE OB ^交BC 边于点E ．求证：ABF D ∽COE D ．【难度】★★【解析】证明：Q 90BAC Ð=°，\90BAD CAD Ð+Ð=°，90ABO AOB Ð+Ð=°，又AD BC ^，OE OB ^，9090C CAD AOB EOC \Ð+Ð=°Ð+Ð=°，．BAD C ABO EOC \Ð=ÐÐ=Ð，．\ABF D ∽COE D ．【总结】考查利用“子母三角形”基础模型证明角相等，根据同角的余角相等，证明角相等，再利用相似三角形判定定理1即可证明．知识点4判定两个三角形相似定理2（重点）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC D 与111A B C D 中，1A A Ð=Ð，1111AB AC A B A C =，那么ABC D ∽111A B C D ．要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.例4:如图，点D 是ABC D 的边AB 上的一点，且2AC AD AB =g ．求证：ACD D ∽ABC D ．【难度】★【解析】证明：Q 2AC AD AB =g ，AD AC AC AB\=，A A Ð=ÐQ ，\ACD D ∽ABC D ．【总结】考查相似三角形判定定理2，根据题目条件进行比例变形，对应边成比例夹角相等．知识点5判定两个三角形相似定理3（重点）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC D 与111A B C D 中，如果111111AB BC CA A B B C C A ==，那么ABC D ∽111A B C D ．要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.例5：如图，点D 为ABC D 内一点，点E 为ABC D 外一点，且满足AB BC AC AD DE AE==．求证：ABD D ∽ACE D ．【难度】★★【解析】Q AB BC AC AD DE AE== \ABC ADE D D ∽．\BAC DAE Ð=Ð， 即BAD DAC CAE DAC Ð+Ð=Ð+Ð．\BAD CAE Ð=Ð．Q AB AC AD AE= \ABD D ∽ACE D ．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性质知识．知识点6判定两个直角三角形相似定理（重点）如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC D 和111Rt A B C D 中，如果190C C Ð=Ð=°，1111AB BC A B B C =，那么ABC D ∽111A B C D ．例6：如图，在ABC D 和111A B C D 中，AD BC ^，1111A D B C ^，垂足为D 和1D ，且111111AC AB AD A CA BAD ==．求证：ABC D ∽111A B C D ．【难度】★【解析】证明：Q AD BC ^，1111A D B C ^，\11190ADC A D C Ð=Ð=o ．又Q 111111AC AB AD A C A B A D ==，\111Rt ADC Rt A D C D D ∽，\1C C Ð=Ð．同理可得：1B B Ð=Ð， \ABC D ∽111A B C D ．【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法．【方法二】实例探索法题型一：添加条件来说明三角形相似例7：如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点（DE 不平行BC ），若使△ADE 与△ABC 相似，则需要添加_____即可（只需添加一个条件）．【答案】∠ADE ＝∠C【分析】根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的两个三角形相似，即可解题．【详解】∵∠A 是公共角，如果∠ADE=∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，故答案为∠ADE=∠C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①有两组角对应相等的三角形相似，②三边对应成比例的两个三角形相似，③两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．题型二：寻找图形中的相似三角形个数例8：如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ．图中有哪几对相似三角形？【难度】★【答案】EAF D ∽EBC D ，EAF D ∽CDF D ，EBC D ∽CDF D ．【解析】由////AB CD AD BC ，，可得：////AE CD AF BC ，，根据相似三角形预备定理，可得：EAF D ∽EBC D ，EAF D ∽CDF D ，进而可得：EBC D ∽CDF D ，即这三个三角形两两相似．【总结】考查相似三角形预备定理，同时考查相似三角形的传递性．题型三：相似三角形的判定定理应用例9：如图，点D 、E 分别在ABC V 的边AB 、AC 上，且DE 与BC 不平行．下列条件中，能判定ADE V 与ACB △相似的是（ ）A ．AD AE AC AB =B ．AD AB AE AC =C ．DE AE BC AB =D ．DE AD BC AC=【答案】A【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．【详解】解:在ADE V 与ACB V 中，∵AD AE AC AB=，且A A ÐÐ=，∴ADE ACB V V ∽．故选:A ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定:（1）平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似．题型四：利用相似三角形证明等积式例10．如图，D 、E 分别是ABC D 的边AB 、AC 上的点，且AED B Ð=Ð．求证：AE AC AD AB =g g ．【难度】★【解析】证明：AED B A A Ð=ÐÐ=ÐQ ，，AED \D ∽ABC D ，AD AE AC AB\=，即AE AC AD AB =g g ．【总结】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定义，各边对应成比例，先判定再应用即可得出结论．例11.如图，ABC D 是等边三角形，120DAE Ð=°，求证AD AE AB DE =g g ．【难度】★★【解析】证明：Q ABC D 是等边三角形，60BAC ACB \Ð=Ð=°．Q 120DAE Ð=°，60DAB CAE \Ð+Ð=°．又60ACB E CAE Ð=Ð+Ð=°，DAB E \Ð=Ð． D D Ð=ÐQ ，DAB \D ∽DEA D ，AD AB DE AE\=， 即AD AE AB DE =g g ．题型五：相似三角形应用3 2210/ 223 10【答案】22.3/，∴∠∴，∴，BF'=CF=∴，∴，∴4AE =∴844CE =-=∵在Rt AED V 中，222AE DE AD +=∴3DE =∵DF DE ^∴90FDE Ð=°又∵90ACB Ð=°∴四边形DECF 是矩形∴4DF EC ==∵在Rt EDF V 中，222DF DE EF +=∴5EF =（2）不变过点D 作DH AC ^，DG BC ^，垂足分别为点H 、G由（1）可得3DH =，4DG =∵DH AC ^，DG BC^∴90DHC DGC Ð=Ð=°又∵90ACB Ð=°，∴四边形DHCG 是矩形∴90HDG Ð=°∵90FDE Ð=°∴HDG HDF EDF HDF Ð-Ð=Ð-Ð 即EDH FDGÐ=Ð又∵90DHE DGF Ð=Ð=°∴EDH FDGV V ∽题型八：与相似三角形有关的图形运动问题例15.把两块全等的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF Ð=Ð=°，45C F Ð=Ð=°，AB = DE = 4，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD D ∽CDQ D ，则此时AP CQ =g ______；（2）将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时间方向旋转，设旋转角为a ．其中090a °<<°，问AP CQ g 的值是否改变？请说明理由．【难度】★★【答案】（1）8；（2）不改变．【解析】（2）易证APD CDQ D D ∽， 得：AP AD CD CQ= AP CQ CD AD \·=·．又AC =Q ， CD AD \==， 8AP CQ \·=．【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形，“一线三等角”得相似等的相关知识．【方法三】差异对比法易错点1对两个三角形中的对应角和对应边的概念理解不透彻例16.在△ABC 中，直线DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，下列条件不能推出△ABC 与△ADE 相似的是（）A ．AD AE BD EC =B ．∠ADE=∠ACBC ．AE ﹒AC=AB ﹒ADD ．AD DE AB BC=【答案】D 【分析】由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可．【详解】解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A 不符合题意；两角对应相等，两三角形相似，故选项B 不符合题意；由AE ﹒AC=AB ﹒AD 得AD AC AE AB=，且∠A=∠A ，故可得△ABC 与△ADE 相似，所以选项C 不符合题意；而D 不是夹角相等，故选项D 符合题意；故选：D【点睛】相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．易错总结：找两个三角形的对应关系时，容易受思维定式的影响，想当然地把AB 与A1B1当成对应边，∠A 与∠A1当成对应角。
九年级数学相似三角形知识点
九年级数学相似三角形知识点咱来唠唠九年级数学里的相似三角形知识点哈。
一、相似三角形是啥玩意儿呢？简单来说，相似三角形就像是三角形家族里的“克隆兄弟”，它们形状相同，但大小可能不一样。
就好比你用放大镜看一个小三角形，放大后的三角形和原来的小三角形就是相似的。
二、相似三角形的判定方法1. 两角对应相等- 如果两个三角形有两个角分别相等，那这两个三角形就相似。
这就像是两个人，只要他们在两个关键的地方（角度）长得一样，那他们就有相似之处。
比如说三角形ABC和三角形DEF，要是∠A = ∠D，∠B = ∠E，那这两个三角形就相似啦。
2. 两边对应成比例且夹角相等- 想象一下，两个三角形的两条边的长度比例是一样的，而且这两条边所夹的角也相等。
就像两根一样比例的小棍，它们夹着相同角度的话，那这两个三角形也是相似的。
比如在三角形ABC和三角形DEF中，AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D，那这两个三角形就相似喽。
3. 三边对应成比例- 这个就更好理解啦，三个边的长度比例都一样的两个三角形肯定相似。
就好比三个小伙伴，他们的身高、臂长、腿长的比例都相同，那他们就是相似的三角形啦。
如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么三角形ABC和三角形DEF就是相似三角形。
三、相似三角形的性质1. 对应边成比例- 相似三角形的对应边的比例是相等的。
就像前面说的那些判定方法里的边的比例一样。
如果三角形ABC相似于三角形DEF，那么AB/DE = BC/EF = AC/DF，这个比例是固定的哦。
2. 对应角相等- 因为相似三角形形状相同嘛，所以它们的对应角肯定是相等的。
∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
3. 相似三角形的周长比等于相似比- 相似比就是对应边的比例。
比如说相似三角形ABC和DEF的相似比是k （AB/DE = k），那么它们的周长比也是k。
就好比两个相似的图形，一个大一个小，大的图形的周长是小的图形周长的k倍。
相似三角形知识点整理精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点整理重点、难点分析：1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。
☆内容提要☆ 一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
第二套：二、有关知识点： 1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三反比性质：cda b = 更比性质：dbc a a c bd ==或 合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理） ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 相似基本定理 推论(骨干定理)平行线分线段成比例定理(基本定理)应用于△中 相似三角形定理1定理2 定理3 Rt △ 推论推论的逆定理推论角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AAS（ASA）HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
相似三角形知识点归纳
相似三角形知识点归纳1.相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是相似的。
记作△ABC∽△DEF。
2.相似三角形的判定条件：(1)AA相似判定法：如果两个三角形的两个角相等，则这两个三角形是相似的。
(2)SAS相似判定法：如果两个三角形的对应两边成比例并且夹角相等，则这两个三角形是相似的。
(3)SSS相似判定法：如果两个三角形的对应三条边成比例，则这两个三角形是相似的。
3.相似三角形的性质：(1)对应边成比例：在相似三角形中，对应边的长度之比相等。
即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
(2)对应角相等：在相似三角形中，对应角的度数相等。
即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
(3) 对应角的正弦值成比例：在相似三角形中，如果一个角和其对边的正弦值成比例，则另一个角和其对边的正弦值也成比例。
即sin∠A/sin∠D = sin∠B/sin∠E = sin∠C/sin∠F。
(4)图形相似：除了三角形外，相似三角形所在的图形也是相似的。
4.角平分线的性质：(1)在相似三角形中，角平分线之间的关系相等。
即角平分线所分的两个角对应的另外两个角也是相等的。
(2)在相似三角形中，角平分线和对应边长成比例。
即角平分线与对应边所分出的线段之比相等。
5.高度的性质：(1)在相似三角形中，高度之间的关系成比例。
即两个相似三角形的高度之比等于对应边长之比。
(2)在相似三角形中，高度与底边成比例。
即两个相似三角形的高度和底边之比等于对应边长之比。
6.面积的性质：(1)在相似三角形中，面积之间的关系成比例。
即两个相似三角形的面积之比等于对应边长之比的平方。
(2)在相似三角形中，面积与任意一边平方成比例。
即两个相似三角形的面积和任意一边的平方之比等于对应边长之比。
7.相似三角形的应用：(1)根据相似三角形的性质，可以通过测量一个三角形和两条边的比例，计算出另一个三角形的边长和面积。
(2)在地图上，可以利用相似三角形的性质，测量无法直接测量的远距离。
《相似三角形的性质》 知识清单
《相似三角形的性质》知识清单相似三角形是初中数学中的重要内容，具有许多独特的性质。
掌握这些性质对于解决几何问题、培养逻辑思维和空间想象能力都有着至关重要的作用。
下面就让我们来详细了解一下相似三角形的性质。
一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
二、相似三角形的性质1、对应角相等相似三角形的对应角相等，这是相似三角形的最基本性质。
也就是说，如果两个三角形相似，那么它们的三个角分别相等。
例如，若△ABC 与△A'B'C'相似，则∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'。
2、对应边成比例相似三角形的对应边成比例。
设△ABC 与△A'B'C'相似，相似比为k，则有：AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C' ＝ k3、对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比。
例如，△ABC 与△A'B'C'相似，AD 和 A'D'分别是它们对应的高，则 AD/A'D' ＝ k。
4、对应中线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比。
中线是连接三角形顶点和对边中点的线段。
5、对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
角平分线将一个角平分为两个相等的角。
6、周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比。
三角形的周长是三边长度之和。
若△ABC 与△A'B'C'相似，相似比为 k，设△ABC 的周长为 L1，△A'B'C'的周长为 L2，则 L1/L2 ＝ k。
7、面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方。
若△ABC 与△A'B'C'相似，相似比为 k，则它们的面积比为 S1/S2＝ k²。
相似三角形知识点总结
相似三角形知识点总结基础知识 一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n mb a =）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a =4、比例外项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a bb a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做a 和d 的比例中项。
8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积）2.反比性质： c d a b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a ．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” 这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立． 三：黄金分割（1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB的比叫做黄金比。
相似三角形知识点归纳
相似三角形知识点归纳下面是关于相似三角形的一些重要知识点的归纳：1.相似三角形的定义：当两个三角形的对应角度相等时，它们称为相似三角形。
记作△ABC∽△DEF。
2.相似三角形的性质：相似三角形具有以下重要性质：-对应角度相等：如果△ABC∽△DEF，则∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F。
-对应边长度比相等：如果△ABC∽△DEF，则AB/DE=BC/EF=AC/DF。
-对应高度比相等：如果△ABC∽△DEF，则h₁/h₂=AB/DE=BC/EF=AC/DF，其中h₁和h₂分别为两个三角形的高度。
3.相似三角形的证明方法：-AA相似定理：如果两个三角形的两个角度分别相等，则它们相似。
根据该定理，只需证明两个对应角度相等即可证明两个三角形相似。
-SAS相似定理：如果两个三角形中的一对对应边的比相等，且对应角度相等，则这两个三角形相似。
-SSS相似定理：如果两个三角形的三对对应边比分别相等，则这两个三角形相似。
4.相似三角形的应用：-计算长度比例：根据相似三角形的性质，可以通过已知长度比例的一组相似三角形，来计算其他边的长度比例。
-求解角度：通过已知相似三角形的对应角度相等，可以求解未知的角度。
-计算面积比例：相似三角形的面积比等于边长比的平方。
所以，通过已知相似三角形的边长比，可以计算出面积比。
5.重要的相似三角形定理：-长边分割定理：如果一条直线平行于一个边，且与另外两条边相交，这条直线将三角形分割成两个相似的三角形。
-三角形的垂直角定理：在一个直角三角形中，斜边与任意一个锐角的两个垂直角相等。
总结起来，相似三角形是几何学中一个重要的概念。
通过理解相似三角形的定义、性质、证明方法以及应用，我们可以去解决各种几何问题。
相似三角形的知识点需要掌握好，也是我们在解决几何问题过程中的重要工具。
相似三角形知识点梳理
相似三角形知识点梳理相似三角形是指两个或者更多个三角形的对应边成比例，并且对应角相等。
在数学中，相似三角形是一个重要的概念，它不仅在几何学中有广泛应用，而且在物理学、工程学等领域也有重要作用。
下面是关于相似三角形的知识点的详细梳理。
1.相似三角形的定义：两个三角形相似，意味着它们的对应角相等，并且对应边成比例。
也就是说，如果两个三角形的对应角相等，并且它们的对应边成比例，那么这两个三角形是相似的。
2.相似三角形的性质：a.对应角相等：相似三角形的对应角相等，即对应角角度相等。
b.对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即对应边的长度之比相等。
例如，如果两个相似三角形的边长比为a/b，那么它们的各边的比例为a/b。
3.相似三角形的判定方法：a.AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似三角形。
b.SAS判定法：如果两个三角形的两边成比例，并且它们夹角相等，则它们是相似三角形。
c.SSS判定法：如果两个三角形的三边成比例，则它们是相似三角形。
4.相似三角形的性质：a.相似三角形的高和底边之比等于高和底边对应的边之比。
b.相似三角形的面积之比等于边长之比的平方。
c.相似三角形的内角之比等于边长之比的平方。
5.相似三角形的应用：a.实际问题中的尺寸比较：相似三角形的边长比例可以用来比较不同尺寸的物体之间的大小关系。
例如，可以用相似三角形的原理来比较建筑物的高度，或者计算地球与月球之间的距离。
b.利用相似三角形进行测量：可以利用相似三角形的原理来测量高度、距离等不可测量的物理量。
例如，在无法直接测量一棵树的高度时，可以使用相似三角形的原理来间接测量树的高度。
c.相似三角形的证明：在证明几何定理和性质时，常常会用到相似三角形的概念。
通过证明相似三角形，可以推导出其他几何定理和性质。
相似三角形是几何学中重要的概念，它是许多几何问题的基础。
通过研究相似三角形，我们可以更好地理解几何学中的其他概念和定理，并将它们应用到实际问题中。
《相似三角形的性质》 知识清单
《相似三角形的性质》知识清单一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值称为相似比。
相似比为 1 时，两个三角形全等。
二、相似三角形的性质1、对应角相等相似三角形的对应角相等，这是相似三角形最基本的性质之一。
例如，若三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，则∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'。
2、对应边成比例相似三角形的对应边成比例。
即如果三角形 ABC 相似于三角形A'B'C'，那么有：AB ／ A'B' ＝ BC ／ B'C' ＝ AC ／ A'C'3、周长之比等于相似比两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。
设三角形 ABC 与三角形 A'B'C'的相似比为 k，则它们的周长之比为：（AB ＋ BC ＋ AC) ／（A'B' ＋ B'C' ＋ A'C'）＝ k这是因为相似三角形的对应边成比例，所以三边之和的比值也等于相似比。
4、面积之比等于相似比的平方相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
若三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，相似比为 k，则它们的面积之比为：S(ABC) ／ S(A'B'C'）＝ k²证明：设三角形 ABC 的底边为 BC，高为 h；三角形 A'B'C'的底边为 B'C'，高为 h'。
因为相似三角形对应边成比例，所以 BC ／ B'C' ＝k ，同时，相似三角形对应高的比也等于相似比，即 h ／ h' ＝ k 。
三角形 ABC 的面积 S(ABC) ＝ 1/2 × BC × h ，三角形 A'B'C'的面积S(A'B'C'）＝ 1/2 × B'C' × h' 。
相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)
相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)相似三角形基本知识点+经典例题一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
它们的对应角度相等，对应边长成比例。
以下是相似三角形的基本知识点和性质：1. 相似三角形的定义：如果两个三角形对应角相等，且对应边成比例，则它们是相似三角形。
2. 相似三角形的性质：a. 对应角相等：两个相似三角形的对应角是相等的。
b. 对应边成比例：两个相似三角形的对应边的比值相等。
3. 相似三角形的判定条件：a. AA判定：如果两个三角形的两对对应角相等，则它们是相似三角形。
b. AAA判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。
二、相似三角形的比例关系相似三角形的对应边长之间存在一定的比例关系。
如果两个三角形是相似的，则对应边的比值相等。
以∆ABC∼∆DEF为例，A与D为对应顶角，AB与DE、BC与EF、AC与DF分别为对应边长。
则有以下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有广泛的应用，下面通过一些经典例题来进一步了解相似三角形的应用。
例题一：已知∆ABC与∆DBC是相似三角形，AB = 3cm, BC = 4cm, AC = 5cm, DB = 2cm，求DC的长度。
解析：根据相似三角形的性质，可以得到以下比例关系：AB/DB = AC/DC3/2 = 5/DCDC = 10/5 = 2cm因此，DC的长度为2cm。
例题二：在平行四边形ABCD中，∠B的度数是∠D的度数的2倍。
若AB= 10cm，BC = 15cm，求AD的长度。
解析：由于ABCD是平行四边形，所以∠B = ∠D。
根据题目条件可得：∠B = 2∠D∠B + ∠D = 180°（平行四边形的内角和为180°）将∠B代入上式得：2∠D + ∠D = 180°3∠D = 180°∠D = 60°由相似三角形的性质可得AB/AD = BC/CD，代入已知值可得：10/AD = 15/CD将CD表示为AD的式子，并代入已知条件可得：10/AD = 15/(2AD)10AD = 30AD = 3cm因此，AD的长度为3cm。
相似三角形知识点梳理
相似三角形知识点梳理
相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的三角形。
以下是相似三角形的相关
知识点梳理：
1. 相似三角形的定义：两个三角形中对应角度相等且对应边的比值相等的三角形是相
似三角形。
2. 相似三角形的性质：
- 对应角度相等：相似三角形的对应角度是相等的。
- 对应边长比值相等：相似三角形的对应边长比值是相等的。
- 对应边长比值等于相似比例：相似三角形的对应边长比值等于它们的相似比例。
3. 相似三角形的判定条件：
- AA判定法（角-角）：如果两个三角形中有两个角相等，则这两个三角形是相似的。
- SSS判定法（边-边-边）：如果两个三角形中所有对应边的比值相等，则这两个三
角形是相似的。
- SAS判定法（边-角-边）：如果两个三角形中有一个对应角相等，并且对应边的比
值相等，则这两个三角形是相似的。
4. 相似三角形的比例关系：
- 边长比例关系：如果两个三角形是相似的,则对应边的比值等于它们的相似比例。
- 高线比例关系：两个相似三角形的高线与其对应边的比值等于它们的相似比例。
- 面积比例关系：两个相似三角形的面积比等于它们的相似比例的平方。
5. 相似三角形的尺影定理：在两个相似三角形中，对应边的长度比等于对应角的正弦值比。
6. 相似三角形的应用：
- 测量不可测量的对象的长度、高度或距离；
- 解决三角形内的几何问题，如角度、边长和面积；
- 应用于比例问题和实际生活中的几何模型。
相似三角形知识点总结
相似三角形知识点总结相似三角形是初中数学中的重要内容之一，学好相似三角形的知识对于解决各种几何问题非常有帮助。
相似三角形包含了多个知识点，接下来将对这些知识点进行总结。
1. 相似三角形的定义和判定相似三角形的定义是：如果两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
用符号表示为∆ABC∼∆DEF。
判定两个三角形相似的方法有几种：（1）AAA相似判定法：如果两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形相似。
（2）SAS相似判定法：如果两个三角形的一个角相等，而这个角的两边分别与另一个角的两边成比例，则这两个三角形相似。
（3）SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边分别成比例，则这两个三角形相似。
2. 相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等。
相似三角形的对应角相等是相似的基本性质，也是判定相似三角形的一个重要标志。
如果两个三角形的对应角分别相等，那么这两个三角形就是相似的。
（2）相似三角形的对应边成比例。
相似三角形的对应边成比例是相似三角形的另一个重要性质。
即使两个三角形的对应边依次成比例，那么这两个三角形就是相似的。
（3）相似三角形的边比例与面积比例的关系。
如果两个三角形相似，那么它们的边比例的平方等于它们的面积比例。
即若∆ABC∼∆DEF，则AB/DE = BC/EF = AC/DF，并且[(AB/DE)^2] = [(BC/EF)^2] = [(AC/DF)^2] = ∆ABC的面积/∆DEF的面积。
3. 相似三角形中的一些重要定理（1）相似三角形的高定理如果两个三角形相似，那么它们的高也成比例。
具体地说，若∆ABC∼∆DEF，则(AD/DF) = (BE/EF) = (CF/DF)，其中AD、BE和CF分别是∆ABC和∆DEF的高。
（2）相似三角形的角平分线定理如果两个三角形相似，那么它们的内角的角平分线也成比例。
具体地说，若∆ABC∼∆DEF，则∠BAC的平分线与∠EDF的平分线相交于点K，而∠ABC的平分线与∠DEF的平分线相交于点L，则AK/KE = BL/LF。
相似与全等三角形的判定知识点总结
相似与全等三角形的判定知识点总结三角形是几何学中重要的图形之一，而相似与全等三角形的判定是研究三角形性质的基础。
本文将总结与介绍相似与全等三角形的判定知识点，帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、相似三角形的判定相似三角形指的是具有相同形状但可能不同大小的三角形。
相似三角形的判定有以下几种方法：1. AA判定法（角对应相等判定法）：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
即如果∠A1=∠A2，且∠B1=∠B2，则△ABC∼△A'B'C'。
2. SSS判定法（边对应成比例判定法）：如果两个三角形的三条边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
即如果AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'，则△ABC∼△A'B'C'。
3. SAS判定法（边角边对应成比例判定法）：如果两个三角形的两边成比例且夹角相等（或互补），那么这两个三角形是相似的。
即如果AB/A'B' = BC/B'C'，且∠A=∠A'，则△ABC∼△A'B'C'。
4. 轴心距判定法：如果两个三角形的对应顶点到两条平行轴的距离成比例，那么这两个三角形是相似的。
二、全等三角形的判定全等三角形指的是形状完全相同的三角形，包括边长和角度都相等。
全等三角形的判定有以下几种方法：1. SSS判定法（边对应相等判定法）：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形是全等的。
即如果AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'，则△ABC≌△A'B'C'。
2. SAS判定法（边角边对应相等判定法）：如果两个三角形的两边和夹角分别相等，那么这两个三角形是全等的。
即如果AB=A'B'，BC=B'C'，且∠A=∠A'，则△ABC≌△A'B'C'。
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相似三角形知识点汇总
重点、难点分析：
1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．
2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。
一、重要定理
（比例的有关性质）：
二、有关知识点：
1.相似三角形定义：
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：
相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法如下：
类型
斜三角形直角三角形相似三角形
的判定两边对应成比例夹角相
等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应
成比例
6.直角三角形相似：
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：
(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.相似三角形的传递性
如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2反比性质：
c d a b =更比性质：d b c a a c b d ==或合比性质：d d c b b a ±=±⇒=⇔=bc ad d
c b a （比例基本定理）
相似三角形判定的基本模型
A字型X字型反A字型反8
字型母子型旋转型双垂直三垂直
相似三角形判定的变化模型。