(优选)空间问题例题

dr
zr
dθ
r
z
θ dθ r
r
从轴对称物体中取出图 示的单元体。
由于对称性，
r r
并且环向体力分量为零。
第二节
dφ
φ
φ
ρ
ρ φ
空间轴对称问题
z
z
z
dz
zr
zr
z
dz
r rz
rz
rz r
dr
r
r r
dr
zr
r
z
根据r方向的平衡，可得
r
r
r
d r (r
d r)d
d
z
rr d
d
z
2
dr
d
z
d
2
r
r
z
d z r d
d r r r d
dr
Krr d
drdz
0
化简后得到
r
r
r
z
r
r
Kr
0
θ dθ r
第二节
r
空间轴对称问题
z
z
z
Fra Baidu bibliotek
dz
zr
zr
z
dz
r rz
rz
rz r
dr
r
r r
dr
zr
r
z
根据z方向的平衡，可得
rz
rz
r
d
r
(r
d
r)d
求解的应力应满足平衡方程和应力边界条件， 在空间应力状态有六个未知的应力函数，只有 三个平衡方程；边界条件主要是用来确定解出 的应力中的未定常数。
7.2 几何方程和物理方程
空间问题的位移分量为：u、v、w
x
u x
, y
v y
,z
w z
yz
w y
v z
,
zx
u z
w x
, xy
v x
u y
位移边界条件：us u, vs v, ws w
zr
u z
w r
由于对称，各点环向位移为零，
由径向位移产生的应变为
这里的物理方程是
r
u r
,
u, r
zr
u z
由轴向位移w产生的应变为
r
1 E
[ r
(
z )]
1 E
[
( z
r )]
z
w z
,
zr
w r
z
1 E
[ z
( r
)]
zr
2(1
E
)
zr
物理条件：
x
1 E
[
x
(
y
z )]
E E
1 2
1
y
1 E
[
y
(
x
z )]
z
1 E
[ z
( x
y )]
就得到了平面应变状 态下的物理方程。
xy
1 G
xy,
xz
1 G
xz,
yz
1
G
yz
θr
7.3 dr
空间轴对称问题
z
z
z
dz
zr
zr
z
dz
r rz
rz
rz r
dr
r
r r
（优选）空间问题例题
N
ZN XN
YN
zx 0 y 由x方向的平衡得到：
XNΔS = l1ΔSσx+l2ΔSτyx+l3ΔSτzx 即 XN = l1σx+l2τyx +l3τzx
注意，这里边界上的外力是坐标轴方向上的分量。
由y、z方向的平衡得到:
YN= l1τxy+l2σy+l3τzy ZN = l1τxz +l2τyz+l3σz 应力边界条件为： X = l1σx+l2τyx +l3τzx Y = l1τxy+l2σy+l3τzy Z = l1τxz +l2τyz+l3σz
d
z
rzr
d
d
z
z
z
z
d
z r
d
d
r
zr
d
d
r
Zr
d
d
r
d
z
0
化简后得到
r rz rz Z 0
z r r
第二节 空间轴对称问题
这样，空间轴对称问题的平 衡方程为
迭加得到几何方程
r
r
zr
z
r
r
Kr
0
r
u r
,
u r
z rz rz Z 0
z r r
z
w , z