考研数学：高数中不等式证明的六种方法
关于不等式的若干证明方法
关于不等式的若干证明方法一、初等数学中不等式的证明方法（一）、比较法比较法是证明不等式中最常用的方法，包括求差比较法和求商比较法。
求差比较法就是把要比较的两个式子相减，判断差的符号；求商比较法一般就是对两个大于零的式子相除后，判断商是大于1，还是小于1。
例1 已知 0,,,>∈b a R y x 且1=+b a 求证 ()222by ax by ax +≥+证明 ()222ax by ax by +-+2222222ax by a x abxy b y =+---)()(222222abxy y b by abxy x a ax --+--= ])1[(])1[(ax y b by by x a ax --+--= 因为,1=+b a 所以a b b a =-=-1,1则()222ax by ax by +-+()()ax bx by by ay ax =-+- )()(y x aby y x abx ---= ))((y x y x ab --= 2)(y x ab -= 因为 ,0,>b a 所以0>ab又因为 ,0)(2≥-y x 所以0)(2≥-y x ab ，故原不等式成立。
例2 已知 +∈R b a , 求证 a b b a b a b a ≥证明 因为b a a b b a b aba b a -=)( ，+∈R b a ,所以当b a >时，1)(,0,1>>->-b a ba b a b a 当b a ≤时，1)(,0,1≥≤-≤-b a ba b a ba于是,1≥a b ba ba b a 即a b b a b a b a ≥（二）、分析法分析法是从证不等式出发，不断用充分条件替换前面不等式，直到找到成立的不等式，也就是“执因索果”。
利用分析法证明例1证明 为了证明 ()222by ax by ax +≥+ 只需证明 abxy y b by x a ax 2222222≥-+- 也即证明 abxy y b b x a a 2)1()1(22≥-+- 因为 1=+b a ，所以a b b a =-=-1,1 也即证明 abxy aby abx 222≥+ 因为 0,>b a ，所以0ab > 即需要证明 xy y x 222≥+因为 ,x y R ∈，所以 222x y xy +≥恒成立，故原不等式成立。
不等式的几种证明方法
不等式证明的几种常用方法一、比较法（1）差值比较法要证明a ＞b ,只要证明a -b ＞0。
①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变 形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
【例一】求证：233x x +>证明：()()()222233223333x x x x +-=-+-+23330244x ⎛⎫=-+≥> ⎪⎝⎭233x x ∴+>(2)商值比较法已知a ,b 都是正数，要证明a ＞b ,只要证明a/b ＞1 ①作商：将左右两端作商； ②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
【例二】已知a,b>0，求证a b b a a b a b ≥证明： =∵a,b>0+,当a ＞b 时，＞1,a-b ＞0，＞1;当a≤b 时,≤1,a -b≤0, ≥1.∴≥1, 即a b b aa b a b ≥二、综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
其逻辑关系为：A-B1- B2- B3… Bn -B ，即从已知A 逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B 。
重点：基本不等式【例三】已知a ,b ,c 是不全等的正数，求证 a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc .证明： 222a b ab +≥ ，222a c ac +≥，222c b bc +≥()222a b cabc ∴+≥，()222b acabc +≥，()222c ababc +≥∴a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)≥6abc .又因为a ,b ,c 是不全等的正数所以有a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc .三、分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
高等数学之微积分中不等式的证明方法总结
高等数学之微积分中不等式的证明方法总结
不等式的证明题作为微分的应用经常出现在考研题中。
利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的基本方法。
有时需要两次甚至三次连续使用该方法，其他方法可作为该方法的补充，辅助函数的构造仍是解决问题的关键。
证明方法总结：
（1）利用函数单调性证明不等式
若在（a,b）上总有f（x）的导数大于零，则函数f（x）在区间(a,b)上单调增加；若在（a,b）上总有f（x）的导数小于零，则函数f （x）在区间(a,b)上单调减少。
（2）利用拉格朗日中值定理证明不等式
对于不等式中含有f（b）-f（a）的因子，可考虑用拉格朗日中值定理先处理一下。
（3）利用函数的最值证明不等式
若函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上存在最大值M和最小值m.
（4）利用泰勒公式证明不等式
如果要证明的不等式中，含有函数的二阶或二阶以上的导数，一般通过泰勒公式证明不等式。
不等式证明的难点也是辅助函数的构造，一般可以通过要证明的不等式分析得出要构造的辅助函数。
题型一：利用函数的单调性证明不等式
分析：对要证明的不等式进行如下化简：
解：
备注：构造适当的辅助函数是解决问题的基础，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有时需要对区间（a,b）进行分割，分别在小区间上讨论。
题型二：利用拉格朗日中值定理证明不等式
例2：
分析：
解：
备注：对于不等式中含有f（b）-f（a）的因子，可以考虑使用拉格朗日公式先处理一下。
考研考研数学不等式证明方法归纳
考研数学不等式证明方法归纳一、利用函数的单调性进行不等式的证明利用单调性来证明不等式是高等数学中一种最常用的方法，其适应范围很广。
它的解题思路是将所要证明的不等式作某些必要或适当的变形之后，选取适当的函数F（x）及区间［a，b］，再利用导数确定函数F（x）在区间［a，b］内的单调性。
如果当一阶导数不能确定函数的单调性时，则利用高阶导数来判断函数的单调性，然后取函数F（x）在区间［a，b］端点处的函数值，则可以得证不等式。
二、利用微分中值定理进行不等式的证明微分中值定理在高等数学不等式的证明中的作用也是非常大的。
当不等式或其变形中有函数在两点的函数值之差f(b)-f(a)时，一般可考虑用拉格朗日中值定理来证明。
柯西定理是拉格朗日定理的一个推广，当不等式或其变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值时，一般可考虑用柯西定理来证明。
三、利用函数的最大值!最小值进行不等式的证明通过函数的最大值!最小值来证明不等式是一种比较特殊的方法，它主要是利用连续函数在区间上的最大最小值定理。
其思路是求出函数在区间上的最大值M 或者最小值m，则函数在区间中的任何值都满足f（x）或者f（x）。
四、利用函数的凹凸性进行不等式的证明如果在所要证明的结论中包含形如f（），[f（x1）+f（x2）]的项，那么往往可以考虑寻找合适的函数，应用函数的凹凸性来证明不等式。
五、利用泰勒级数展开式进行不等式的证明如果已知函数的高阶导数存在，则往往可以考虑通过泰勒公式将函数展开来进行证明。
六、利用定积分中值定理进行不等式的证明定积分中值定理是在处理含有定积分的不等式证明中经常要用到的理论，一般只要求被积函数具有连续性即可。
其思路是通过中值定理消去不等式中的积分号，从而与其他项作大小的比较，得出证明。
七、利用定积分的一些性质进行不等式的证明八、利用柯西&施瓦茨不等式进行不等式的证明关于柯西—施瓦茨不等式:设f（x），g（x）在［a，b］上连续，则有[]2。
高等数学课程中的不等式的证明
高等数学课程中的不等式的证明不等式是高等数学教学内容的重要组成部分，是高等数学中经常遇到而解决起来又比较困难的问题之一。
下面通过高等数学的一些原理和方法，分享几种不等式证明的常用的方法。
一、利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则在区间（a,b）内至少存在一点，使得。
二、利用函数的单调性证明不等式函数单调性的判定定理：设函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，那么：（1）如果f?（x)>0,则f（x)在区间[a，b]上单调增加；（2)f?（x)例2.证明：X>0时，1+>证明：令f（x）=，则f?（x）==，因为f（x）在[0，+oo）上连续，在（0，+oo）内f?（x）>0，因此f（x）在[O，+oo）上单调增加。
从而当x>O时，f（x）>f（O）。
由于f（O）=O，故f（x）>f（O）=O。
即>0，亦即1+＞。
注：运用函数的单调性证明不等式，关键在于合理地利用题设条件，构造出相应的辅助函数f（x），将原问题等价代换，根据导数f？(x)的符号判定函数f（x)在所给区间上的单调性，从而导出所证不等式。
三、利用函数的凹凸性证明不等式函数凹凸性的定义：设f（x）在[a,b]上连续，若对[a,b]中任意两点x1，x2,恒有f（（x1+x2）/2）2f（x1)+f（x2）/2,则称f（x)在[a,b]上是凸函数；若恒有f（（x1+x2)/2)sf（x1)+f（x2)/2,则称f（x)在[a,b]上是凹函数。
函数凹凸性的判定定理：设f(x)在[a，b]上连续，在区间（a，b)内有二阶导数，（1)如果在区间（a，b）内，（x）>0，那么曲线y=f（x）在[a，b]内是凹的；（2）如果在区间（a，b）内，（x）例3.证明：a>0,b>0且a#b,n>1时，证明：令f（x）=xn，x?（0，+oo），则f?（x）=nxn-1，=n（n-1）xn-2，当n>1时，对任意的x?（0，+oo），都有>0。
不等式证明方法
不等式证明方法方法一：比较法：作差比较法，作商比较法 证法二：分析法：证法三：综合法：均值不等式，柯西不等式法证法九，排序不等式法 证法四：放缩法：证法五：构造法：构造不等式法，构造函数法，构造方程法，构造几何图形，构造向量证法六：换元法：整体代换法，三角代换法，增量代换法 已知a>0，b>0，求证：b a a b b a +≥+证法一：作差比较法：其步骤为：作差、变形、判断符号、下结论∵))(())(()()()()(2≥-+=--=-+-=-+-=+-+abb a b a abb a b a aa b bb a a a b b b a b a ab b a∴b a ab ba +≥+证法二：作商比较法其步骤为：作商、变形、判断商与1的大小，下结论，注意作商比较法的前提条件是两边均为正数。
∵12)())(()(=-≥-+=+-++=++=++ab abab ababb a b a ab ab b a b a b a ab b b a a b a a b b a∴b a ab ba +≥+证法三：分析法从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能肯定这些充分条件都已具备，那么就可以判定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫分析法，基本思路为执果索因。
要证b a a b b a +≥+只需证a b b a b b a a +≥+即证0)()(≥---b a b b a a 即证)0)(≥--b a b a即证0))((2≥-+b a b a ∵0))((2≥-+b a b a 恒成立 ∴b a a b b a +≥+证法四：综合法利用某些已证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法，其思路为由因导果。
∵a b ba b b a 22=⋅≥+同理b a ab 2≥+同向不等式相加得b a b a a b b a 22+≥+++∴b a ab ba +≥+证法五：柯西不等式法利用柯西不等式()()()2221122212221b a b a b b a a +≥++的形式进行联想，可得到如下证法：∵()()22ba b a ab b a a b b b a a a b b ab a +=++≥+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∴b a ab ba +≥+证法六：部分放缩法利用不等式的传递性来证明的方法叫放缩法，此题如果直接利用重要不等式对左边缩小，则会缩得太小，所以想到变形后对一部分缩小，()()()()()()ba ababab b a ababb a b a abb a ab b a +=-+≥-++=+=+232证法七：构造不等式法不等式证明中的构造方法，主要是指通过引进合适的恒等式、不等式、数列、函数、图形等辅助手段，促使命题转化，从而使不等式得证，此题可构造一个不等式。
2022考研数学：不等式证明的7种方法总结
2022考研数学：不等式证明的7种方法总结
不等式证明的7种方法总结
1. 拉格朗日中值定理适用于已知函数导数的条件，证明涉及函数(值)的不等式;
2. 泰勒公式适用于已知函数的高阶导数的条件，证明涉及函数(值)或低阶导函数(值)的不等式;
3. 应用函数的单调性定理证明：(1)对于证明数的大小比较的不等式，转化为同一函数在区间两端点函数(或极限)值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明;(2)对于证明函数大小比较的不等式，转化为同一个函数在区间内的任意一点函数值与区间端点函数(或极限)值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明;
4. 利用函数最大值、最小值证明不等式。
把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间上某点x出的函数值大小的比较，然后证明(fx)为最大值或最小值，即可证不等式成立;
5. 利用函数取到唯一的极值证明不等式。
把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间内某点x处的函数值大小的比较，然后证明(fx)为唯一的极值且为极大值或极小值，即(fx)为最大值或最小值，即可证不等式成立;
6. 用柯西中值定理证明不等式;
7. 利用曲线的凹凸性证明不等式。
不等式证明都有哪几种方法
不等式证明都有哪几种方法
不等式的证明方法（1）比较法：作差比较： . 作差比较的步骤：①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差. ②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和. ③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号. 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小. （2）综合法：由因导果. （3）分析法：执果索因.基本步骤：要证……只需证……，只需证…… ①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.
②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达. （4）反证法：正难则反. （5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：；；
②将分子或分母放大（或缩小）；③利用基本不等式，如：；；（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元. 如：已知，可设；已知，可设 ( )；已知，可设；已知，可设；（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．⑻数学归纳法法：数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中专门研究.。
不等式证明方法大全
不等式证明方法大全
在数学研究中，证明不等式是一项重要的内容。
目前，关于证明不等式的方法可以分
为几类，下面将详细展开讨论：
一、绝对值的技巧：将不等式中的变量都化为绝对值，这样可以有效地转换原不等式。
二、代数变换法：通过恰当的代数变换，将不等式中变量交换，从而转化为更简单的
不等式。
三、数量不等式法：将相同的不等式进行变形，将其变换为数量不等式，然后继续解决，从而获得结论。
四、角度不等式法：如果不等式涉及到测量角度的变量，我们可以将其转换为角度不
等式，然后判断两个角度的大小关系，从而获得结论。
五、条件不等式法：将不等式的左右两侧都加上某个条件，将其变换为条件不等式，
然后根据条件判断两个式子大小关系。
六、单值不等式变形法：将不等式变为单值不等式，然后将单值不等式中的变量通过
某种方式改变，从而继续解决不等式本身，用这种方法可以得出不等式的正确性。
七、多元不等式的考虑：由于某些不等式涉及多个变量，因此需要考虑这些变量的关系，包括不等式的变换形式，和多个变量的联系在内的其他因素，这样才能正确地证明不
等式的正确性。
以上就是证明不等式的各种方法，正确运用上述方法，可以帮助我们轻松地证明定理，有助于提高科学研究的水平。
高数考研不等式的证明
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–
, 注意到 f (0) = f (1),
3、利用极值、最值证明不等式 、利用极值、 例5. 证明当 0 < x < 2时, 4xlnx – x2 – 2x + 4 > 0. 时 证: 令 f (x) = 4xlnx – x2 – 2x + 4 , 则 f ′(x) = 4lnx – 2x + 2 ,
2(2 − x ) ，f ′′(1) = 2 > 0, 这是唯一驻点. 这是唯一驻点 而 f ′′( x ) = x 的极小值点. 故 x = 1是 f (x)的极小值点 是 的极小值点 又当0 又当 < x < 2时, f ′′ > 0, 故曲线 y = f (x)在(0, 2)内 时 ′′(x) 在 内 是凹的, 既是极小值点, 是凹的 故 x = 1既是极小值点 又是最小值点 从而在 既是极小值点 又是最小值点, 0 < x < 2中, 有 中 f (x) > f (1) = 1 > 0， ， 4xlnx – x2 – 2x + 4 > 0. 从而
(0 < ξ1 < c )
f ′(a ) − f ′(c ) = f ′′(ξ 2 ) ⋅ ( a − c ) (c < ξ 2 < a )
≤ M (c + a − c ) = Ma
7
⇒| f ′(0) | + | f ′(a ) |=| f ′′(ξ1 ) | ⋅c + | f ′′(ξ 2 ) | (a − c )
考研数学高数中不等式证明的六种方法
考研数学：高数中不等式证明的六种方法（Ⅰ）来源：文都教育不等式证明是考研数学高数中的重要内容，也是考研数学的常考知识点，但也是学生很难掌握牢固的内容。
只要方法和技巧掌握得恰当，同学们攻克不等式的证明不在话下。
下面文都考研数学教研老师介绍六种常见的证明方法，希望帮助广大考生掌握不等式证明。
首先，介绍三种比较常用的方法和典型例题，后续会继续介绍另外三种重要的方法和相关例题。
1、利用函数的单调性证明不等式利用单调性证明不等式是高等数学中一种最常用的方法，使用范围非常广。
主要思路是将所证明的不等式做一些适当或必要的变形后，构造适当函数()F x 及区间[,]a b ，利用导数确定函数在区间内的单调性。
如果一阶导数不能确定函数的单调性是，再利用高阶导数来判断函数的单调性。
下面来看一道典型例题：例1 证明：当0x >时，ln(1)x x +<．证明：构造函数()ln(1)F x x x =+-，则1'()11F x x=-+．当0x >时，'()0F x <，()F x 单调减少，则()(0)0F x F <=，即ln(1)x x +<． 类似可证明：当0x >时，1xe x >+．这两个不等式是经常会使用到的，同学们务必牢记。
2、利用函数的最值证明不等式利用函数的最大值、最小值证明不等式是一种比较特殊的方法，主要利用连续函数的最大值最小值定理或利用导数求出函数的最值。
具体思路是求出函数()f x 在给定区间内的最大值M 、最小值m ，则函数在该区间内满足()m f x M ≤≤。
例2 证明：111ln(1)x x +<-， 当10x x <≠且时成立． 证明：令()ln(1)ln(1)F x x x x x =+---， 则1'()1ln(1)ln(1)11x F x x x x x =+---=----，当0x <时，'()0F x <，()F x 单调递减；当01x <<时，'()0F x >，()F x 单调递增，所以0x =是()F x 的极小值点，也是最小值点．又(0)0F =，故()(0)(10)F x F x x >∀>≠且，即ln(1)ln(1)x x x x +->-.又ln(1)0x x -<，所以有ln(1)1ln(1)x x x x +-<-，即111ln(1)x x +<-． 3、利用函数的凸凹性证明不等式分按定义和依据定理两种请况证明不等式，具体如下：（1）如果要证明的不等式中包含形如122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭、121[()()]2f x f x +的项，那么往往可以找到合适的函数，并利用该函数的凸凹性证明不等式。
考研不等式的证明方法
考研不等式的证明方法(1)利用函数的单调性：将不等式适当的变形，移项后一端为0，另一端为函数，推断单调性后将函数与端点处函数值进行比较，该方法通常能解决多数不等式的证实问题。
(2)如果出现同一函数在两点函数值的形式，则合计使用拉格朗日中值定理，将识字进行适当的放缩。
(3)可以通过推断函数的凹凸性后结合函数的图形证实不等式;也可以讲函数其他点的函数值与函数的最大值或最小值比较，得到所证实的不等式。
(4)如果二阶或二阶以上可导，常用泰勒公式，将函数展开后进行恰当的放缩。
2考研数学解题技巧准确掌握答题时间考试时长是3小时，答题的时间分配一般可以按照如下方式：选择题和填空题约1小时，解答题约1个半小时，预留半小时检查和补做前面未做的题，以及作为机动和回旋余地。
选择题和填空题每题一般花4~5分钟，如果一道题3分钟仍无思路则应跳过。
解答题每题一般花10分钟左右，一道题如果5~6分钟仍一筹莫展，则应跳过，暂时放弃。
该放弃时应敢于放弃、善于放弃，放弃后应尽快调整好自己的心态，要相信自己不会做的题别人很可能也不会做。
切忌没完没了地纠缠于某个题，这将造成灾难性的后果。
做题要细心做题时一定要仔细，该拿分的一定要拿住。
尤其是选择题和填空题，因为体现的只是最后结果，一个小小的错误都会令一切努力功亏一篑。
很多同学认为选择和填空的分值不大，把主要的精力都放在了大题上面，但是必须要引起大家注意的是：两道选择或填空题的分值就相当于一道大题，如果这类题目失分过多，仅靠大题是很难把分数提很高的。
做完一道选择、填空题时只必须要大家再仔细的验算一遍即可，并不必须要一定要等到做完考卷以后再检查，而且这样也不会花费大家很长时间。
做大题的时候，关于前面说的完全没有思路的题不要一点不写，写一些相关的内容得一点"步骤分'。
选择题"四种'答题方法举反例排除法。
这是针对提示中给出的函数是抽象的函数，抽象的对立面是具体，所以我们用具体的例子来核定，这个跟我们刚刚的赋值法有某种相似之处。
考研不等式的证明方法
考研不等式的证明方法考研数学中，不等式是一个重要的内容，常常需要我们掌握不同不等式的证明方法。
下面我将介绍一些常用的不等式证明方法，帮助你更好地应对考试中的不等式问题。
1.直接法：根据不等式的定义，使用已知条件或基本的数学性质进行证明。
例如，证明对任意实数x，都有，x，≥0。
2.反证法：假设不等式不成立，然后通过证明导致矛盾，进而推出不等式成立。
例如，证明对任意实数x，都有x^2≥0。
3.数学归纳法：适用于一些具有递归结构的不等式。
首先证明当n=1时不等式成立，然后假设n=k时不等式成立，再证明n=k+1时不等式也成立。
例如，证明对任意正整数n，都有1+2+3+...+n≥(1+n)/21.AM-GM不等式证明方法：(1) 直接法：根据AM-GM不等式的定义进行证明。
例如，证明对任意正实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
(2) 反证法：假设不等式不成立，然后推导出矛盾。
例如，证明对任意正实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
(3)数学归纳法：适用于多个变量的情况。
首先证明n=2时不等式成立，然后假设n=k时不等式成立，再证明n=k+1时不等式也成立。
(4) Jensen不等式：根据Jensen不等式的定义进行证明。
例如，证明对任意凸函数f(x)，有f((x1+x2+...+xn)/n)≤(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n。
2. Cauchy-Schwarz不等式证明方法：(1) 直接法：根据Cauchy-Schwarz不等式的定义进行证明。
例如，证明对任意实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)。
(2) 三角不等式法：利用三角不等式和实数平方函数的性质进行证明。
例如，证明对任意实数a和b，有，ab，≤(a^2+b^2)/23.柯西不等式证明方法：(1) 直接法：根据柯西不等式的定义进行证明。
证明不等式的若干方法
(〖jf(z〗baf(x)g(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf2(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗bag2(x)dx〖jf)〗
柯西施瓦茨不等式是一个常用的不等式，在证明过程中我们可以直接利用常用不等式进行证明，即方便又快捷。
例6 设f(x)在区间［a,b］上连续，且f(x)>0,证明〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2 。〖jf)〗
证明：(〖jf(z〗baf(x)1f(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf(x))2 dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba（1f(x))2dx〖jf)〗
即得 〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2〖jf)〗
5 利用函数图形的凹凸性进行证明
解一：令f(x)=xlna-alnx(x≥a),因为f′(x)=lna-ax>1-ax≥0(x≥a)
所以f(x)在x≥a时单调增加。因此当bφa时，有f(b)>f(a)=0，即有blna>al,x>e,则有f′(x)=1-lnxx2<0(x>e)，因此f(x)单调减少，故当b>a>e时，有lnaa>lnbb即ab>ba。
例7 xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2,(x>0,y>0,x≠y)
令 f(t)=tlnt(t>0), f′(t)=lnt+1, f′(t)=1t>0, 故 f(t)=tlnt在（x,y）或（y,x）,x>0,y>0是凹的，于是
12［f(x)+f(y)］>f(x+y2)
函数的凹凸性证明方法首要是找到辅助函数f(x)，利用函数f(x)在所给区间［a,b］的二阶导数确定函数的凹凸性。
高等数学中证明不等式的几种方法
高等数学中证明不等式的几种方法
高等数学中证明不等式是一个重要的技能，它可以帮助我们更好地理解数学问题，并且可以帮助我们更好地解决实际问题。
证明不等式的几种方法有：反证法、极限法、函数法、图形法、数学归纳法、数学归纳法等。
反证法是证明不等式的最常用的方法，它的基本思想是：假设不等式不成立，从而得出矛盾，从而证明不等式成立。
极限法是另一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是：当变量的值趋近于某个值时，不等式的结果也会趋近于某个值，从而证明不等式成立。
函数法是另一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是：通过求解函数的极值，从而证明不等式成立。
图形法是另一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是：通过绘制函数的图形，从而证明不等式成立。
数学归纳法是另一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是：通过对一系列数学问题的归纳，从而证明不等式成立。
数学归纳法是一种比较复杂的证明不等式的方法，它的基本思想是：通过对一系列数学问题的归纳，从而证明不等式成立。
以上就是证明不等式的几种方法，它们都有各自的优点和缺点，因此，在实际应用中，我们应该根据实际情况选择最合适的方法。
只有这样，我们才能更好地理解数学问题，并且可以帮助我们更好地解决实际问题。
证明不等式的几种方法
不等式证明题的命题形式多样，证明不等式的方法也很多，如综合法、分析法、反证法、放缩法、构造法等.本文主要介绍一下综合法、分析法、反证法的应用技巧.一、综合法用综合法证明不等式，需先根据题目中的已知信息，以及已知的事实、结论、性质、定理等，一步步推导，直到推导出需要证明的式子为止.因而综合法就是由“因”到“果”的推导过程.每一步的推导过程一定要符合数学逻辑.在证明不等式时，可以从左往右推导，也可以从右往左推导.例1.若a,b,c是不完全相等的正数，求证：ln a+b2+ln b+c2+ln c+a2>ln a+ln b+ln c.证明：由于a,b,c都是正数，所以a+b2≥ab>0,b+c2≥bc>0,a+c2≥ac>0，又因为a,b,c是不完全相等的正数，如果这三个不等式都成立，就取不到等号，因此a+b2·b+c2·c+a2>ab·bc·ca=abc，在上式的两边取对数得：ln(a+b2·b+c2·c+a2)>ln(abc)，即：lna+b2+ln b+c2+ln c+a2>ln a+ln b+ln c.解答本题主要运用基本不等式a+b2≥ab；然后根据不等式的可乘性，通过取对数，将不等式左边的式子进行化简.在推导不等式的过程中，经常需要用到这几个不等式：a2+b2≥2ab,a+b2≥ab(当且仅当a=b时取等号).二、分析法用分析法解题的思路和综合法相反，用分析法证明不等式，需要从要证明的不等式出发，然后分析这个不等式成立的充分条件是什么，一步一步递推，证明不等式成立的充分条件符合题中给出的信息，或者符合已知的数学结论.一般来说，分析法常用于证明较复杂的不等式问题.若由不等式一边的式子很难推导出另一边的式子，就可以采用分析法进行证明，通过分析、推理，一步步简化不等式，最终得到一个比较简便的等价不等式.例2.设a>b>0,求证：(a-b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b.证明：要证：(a-b)28a a+b2ab(a-b)28b，即证：(a+b)28a<(a-b)22<(a-b)28b，由于a>b>0，所以a≠b，即证：(a+b)24a<1<(a+b)24b，<1<1<，根据a>b>0，可知该不等式成立，于是得证：(a+b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b.这个不等式较为复杂，我们很难从不等式左边的式子推导出右边的式子，同样也很难反向推导出结论，但是可以用分析法，将不等式一步步简化，先将中间项合并，再将其化为1，然后通过恒等变换，化简即可.三、反证法反证法是解答证明题的一个重要手段.一般地，当题目中出现“至少”“不存在”“至多”等字眼时，都可以考虑使用反证法进行证明.用反证法证明不等式，要首先假设命题不成立；然后结合题中已知的信息和已有的数学知识，得到存在矛盾的结论，那就说明假设的命题不成立，这样就可以证明不等式成立.例3.已知a>0,b>0，且a+b>2,求证：1+b a,1+a b中至少有一个小于2.证明：假设1+b a,1+a b都大于2，因为a>0,b>0，则1+b≥2a,1+a≥2b，将这两个式子相加得：2+a+b≥2a+2b，化简得：a+b≤2,与题目中的a+b>2相矛盾，因此，1+b a,1+a b中至少有一个小于2.由题目中出现了“至少”的字眼，所以考虑使用反证法进行证明.在提出假设命题时，要注意命题的反面情况，如“1+b a、1+a b至少有一个小于2”的反面情况是“1+b a、1+a b都大于2”.熟练掌握综合法、分析法、反证法的适用情形、特点，以及解题的步骤，对解题有很大的帮助.同学们在日常学习中，要学会积累解题技巧和规律，以提升解题的效率.（作者单位：江西省龙南中学）赖明辉备考指南59。
高等数学中不等式的证明方法
高等数学中不等式的证明方法1.常用在多项式中"舍掉一些正(负)项'而使不等式各项之和变小(大)，或"在分式中扩大或缩小分式的分子分母'，或"在乘积式中用较大(较小)因式代替'等效法，而达到其证题目的。
所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个(或多个)中间变量C，使，由A到C叫做"放'，由B到C叫做"缩'。
常用的放缩技巧还有：(1)假设(2)(3)假设则(4) (5)(6)或 (7)2.你必须铭记基本公式,均值不等式以及课后的一些重要推倒式.证实主要就是要将不等式的一边变形成为你所熟知的公式类型,也要铭记分析法,综合法等解题思路,一般不等式证实用分析法就好,思路比较简单,试于为灵活应用公式打下基础.2学习方法一比较法是证实不等式的最基本方法，具体有作差比较和作商比较两种。
基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。
当求证的不等式两端是分项式(或分式)时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式(或幂指数式时常用作商比较)例1已知a+b0，求证：a3+b3a2b+ab2分析：由题目观察知用作差比较，然后提取公因式，结合a+b0来说明作差后的正或负，从而达到证实不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30推断差式的正负。
∵(a3+b3)?(a2b+ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)证实： =(a-b)2(a+b)又∵(a-b)20a+b0(a-b)2(a+b)0即a3+b3a2b+ab2例2 设a、bR+，且ab，求证：aabbabba分析：由求证的不等式可知，a、b具有替换对称性，因此可在设ab0的前提下用作商比较法，作商后同1比较大小，从而达到证实目的，步骤是：10作商20商形整理30推断为与1的大小证实：由a、b的对称性，无妨解ab0则aabbabba=aa-b?bb-a=(ab)a-b∵a?b?0，ab?1，a-b?0(ab)a-b?(ab)0=1即aabbabba1，又abba0aabbabba 学习1 已知a、bR+，nN，求证(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1) 3学习方法二1. 解：设函数f(x)=e^x，g(x)=x+1.关于函数f(x)=e^x,为自然指数函数，定义域为全体实数，函数在定义域上为单调增函数，值域为：[0,+)，图像示意图如下： 2. 关于函数g(x)=x+1,为一次函数，定义域和值域均为全体实数，在定义域范围内，函数为增函数，图像示意图如下3.从图像可，函数g(x)=x+1在函数f(x)=e^x的下方，二者有一个交点为(0,1),所以有：f(x)=g(x)即：e^x=x+1，成立。
考研高数不等式证明的方法
考研高数不等式证明的方法 不等式证明是考研数学试卷中的中上等难度题目，我们在复习的时候，一定要掌握好复习 的方法。
为大家精心准备了考研高数的知识点，欢迎大家前来阅读。
考研高数重难点：不等式证明的方法利用微分中值定理：微分中值定理在高数的证明题中 是非常大的，在等式和不等式的证明中都会用到。
当不等式或其适当变形中有函数值之差时，一般可考虑用拉格朗日中值定理证明。
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广， 当不等式或其适当变形中有两个函数在两 点的函数值之差的比值时，可考虑用柯西中值定理证明。
利用定积分中值定理：该定理是在处理含有定积分的不等式证明中经常要用到的理论，一 般只要求被积函数具有连续性即可。
基本思路是通过定积分中值定理消去不等式中的积分号，从而与其他项作大小的比较，进 而得出证明。
除此之外，最常用的方法是左右两边相减构造辅助函数，若函数的最小值为 0 或为常数， 则该函数就是大于零的，从而不等式得以证明。
考研数学复习建议一、打牢基础“懂，首先要求同学们对考研数学的形式、考研大纲及考 研用书进行全面的分析与深入的了解。
这个阶段，要求同学们全身心进行基础阶段的复习。
这个阶段同学们一定要认真细致学习课本基本知识点， 弄熟定义、 公式、 定理及相关习题。
只有打牢基础，才能决胜千里。
最后，要求同学们做好规划，合理安排复习，做好经常性的总结与归纳。
二、 踏实前行数学不像英语和政治科目， 能通过一定的背诵、 记忆， 就能取得可观的成绩。
数学必须通过大量的练习，才能得到巩固。
不盲目地搞题海战术，要有计划、有针对性地做题，才能将知识领悟得透彻。
强化阶段，同学们一定要利用好复习资料，做题的过程中，重点积累技巧与方法，吃透数 学的知识点与题型。
三、总结归纳经过前期基础知识的积累和做题的巩固，同学们对知识点、练习题、真题都 有了深刻的认识。
这时，要做好归纳与总结，构建整体的知识结构体系，将之前所学的知识点牢牢记忆在脑 海中。
证明函数不等式的六种方法
证明函数不等式的六种方法在高中数学中，函数的不等式是一个重要的主题。
证明函数不等式是一个基本的技能，它可以帮助学生更好地理解函数的性质并提高数学思维能力。
下面我们介绍六种证明函数不等式的方法。
1. 代数法这种方法是最常用的方法之一。
我们可以将不等式两边的函数展开，并进行简单的代数计算，以确定不等式的正确性。
例如，我们要证明：f(x) > g(x)其中f(x) = x^2 + 2x + 1g(x) = x^2 + x我们可以将f(x)和g(x)展开，然后将它们相减，得到：f(x) - g(x) = x + 1因此，f(x) > g(x) 当且仅当 x > -12. 消元法这种方法通常适用于含有多个变量的不等式。
我们可以将其中一个变量消去，从而使不等式简化。
例如，我们要证明：f(x, y) > g(x, y)其中f(x, y) = x^2 + y^2g(x, y) = x^2 - y^2我们可以将y消去，得到：f(x, y) - g(x, y) = 2y^2因此，f(x, y) > g(x, y) 当且仅当 y ≠ 03. 极限法这种方法通常适用于连续函数的不等式。
我们可以将不等式两边取极限，以确定不等式的正确性。
例如，我们要证明：f(x) > g(x)其中f(x) = x^2 + 2x + 1g(x) = x^2 + x我们可以将f(x)和g(x)的极限计算出来，得到：lim (f(x)) = +∞x→+∞lim (g(x)) = +∞x→+∞因此，f(x) > g(x) 当 x → +∞4. 导数法这种方法通常适用于在区间内单调的函数不等式。
我们可以计算函数的导数，以确定函数的单调性和不等式的正确性。
例如，我们要证明：f(x) > g(x)其中f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1g(x) = x^2 + 2x + 1我们可以计算f(x)和g(x)的导数，得到：f'(x) = 3x^2 + 6x + 3g'(x) = 2x + 2由于f'(x) > g'(x) 在 [-1, +∞) 上成立，并且f(-1) > g(-1) ，因此，f(x) > g(x) 在 [-1, +∞) 上成立。
不等式证明技巧
不等式证明技巧
1. 比较法，这就像我们走路，要知道哪条路更近！比如证明 2x+3＞
x+5，我们就把左边减去右边，看看是不是大于 0 就知道啦！
2. 分析法，哎呀呀，就像侦探破案一样，一步步找到证据来证明不等式！比如证明根号(x+1)＞x，咱们就从结论往回推，找到能说明它成立的条件。
3. 综合法，这不就是把各种线索都放到一起嘛！比如说已知 a＞b，b＞c，
那咱就能直接得出 a＞c 啦。
4. 放缩法，哈哈，就像把东西变胖或变瘦一样！比如要证明一个式子小于
1/2，咱可以把一些项放大一点，让它更容易看出来。
就好比证明 1/(n+1)!＜1/2^n。
5. 反证法，哇哦，和别人争论的时候常用到呀，假设不对然后推出矛盾！例如证明不存在整数 x 让 x^2-2x-3=0 成立。
6. 数学归纳法，就像爬楼梯一样，先证明第一步能行，再假设第 n 步行然
后证明第n+1 步也没问题！像证明1+2+3+…+n=n(n+1)/2 就很适用呢。
7. 构造函数法，嘿，这就像给自己打造一个专属工具来解决问题！比如构造个函数来证明不等式 x^2+2x+2＞0。
8. 换元法，相当于给问题换个包装呀！像证明(1+2^x)(1+3^x)≥4 ，咱可
以换个元来让它更简单明了。
9. 利用基本不等式，这可是个宝贝啊！举例来说，已知 x＞0，y＞0，要证
明x+y≥2 根号(xy) 是不是很常用！
我觉得呀，这些不等式证明技巧都超级实用，就像我们手里的武器，能帮我们攻克一个又一个难题！大家可得好好掌握它们呀！。
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考研数学：高数中不等式证明的六种方法
不等式证明是考研数学高数中的重要内容，也是考研数学的常考知识点，但也是学生很难掌握牢固的内容。
只要方法和技巧掌握得恰当，同学们攻克不等式的证明不在话下。
下面介绍六种常见的证明方法，希望帮助广大考生掌握不等式证明。
首先，介绍三种比较常用的方法和典型例题，后续会继续介绍另外三种重要的方法和相关例题。
1、利用函数的单调性证明不等式
2、利用函数的最值证明不等式
3、利用函数的凸凹性证明不等式
4、利用中值定理(微分中值定理或积分中值定理)证明不等式
5、利用Taylor公式证明不等式考研数学：高数中不等式证明
的六种方法
来源：网络发表于：2014-8-22 15:05 浏览次数：43
摘要：不等式证明是考研数学高数中的重要内容，也是考研数学的常考知识
点，但也是学生很难掌握牢固的内容。
只要方法和技巧掌握得恰当，同学们攻克不等式的证明不在话下。
下面介绍六种常见的证明方法，希望帮助广大考生掌握不等式证明。
不等式证明是考研数学高数中的重要内容，也是考研数学的常考知识点，但也是学生很难掌握牢固的内容。
只要方法和技巧掌握得恰当，同学们攻克不等式的证明不在话下。
下面介绍六种常见的证明方法，希望帮助广大考生掌握不等式证明。
首先，介绍三种比较常用的方法和典型例题，后续会继续介绍另外三种重要的方法和相关例题。
1、利用函数的单调性证明不等式
2、利用函数的最值证明不等式
3、利用函数的凸凹性证明不等式
4、利用中值定理(微分中值定理或积分中值定理)证明不等式
5、利用Taylor公式证明不等式
6、利用柯西—施瓦茨不等式证明不等式
以上仅总结与归纳了高等数学中证明不等式的六种常用方法。
当然，还有其他很多种证明不等式的方法，在解题时也需要一定的技巧。
这就要求同学们在平时的复习过程中多积累，不断地总结。
在考试中，不等式证明的方法和技巧的选用，完全取决于同学们平时的努力程序。
希望同学们平时多练习、多巩固、多积累、多总结，在考试中一鸣惊人。
6、利用柯西—施瓦茨不等式证明不等式
以上仅总结与归纳了高等数学中证明不等式的六种常用方法。
当然，还有其他很多种证明不等式的方法，在解题时也需要一定的技巧。
这就要求同学们在平时的复习过程中多积累，不断地总结。
在考试中，不等式证明的方法和技巧的选用，完全取决于同学们平时的努力程序。
希望同学们平时多练习、多巩固、多积累、多总结，在考试中一鸣惊人。