运筹学04对偶问题

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《运筹学》线性规划的对偶问题

《运筹学》线性规划的对偶问题

3、资源影子价格的性质
z y b1w1 b2w2 bi wi bmwm z z b1w1 b2w2 (bi bi )wi bmwm z bi wi
w
o i
z o bi
最大利润的增量 第i种资源的增量
第i种资源的边际利润
■影子价格越大,说明这种资源越是相对紧缺 ■影子价格越小,说明这种资源相对不紧缺 ■如果最优生产计划下某种资源有剩余,这种资源的影子 价格一定等于0
总利润(元)
单位产品的利润(元/件)
产品产量(件)
max z c1x1 c2 x 2 c2 x 2
s.t.
a11x1 a12x 2 a1n x n x n1
a 21x1 a 22x 2 a 2n x n
x n2
b1
b2
a m1x1 a m2 x 2 a mn x n
差额成本=机会成本 ——利润
5、互补松弛关系的经济解释
wix ni
0xwni
0 x ni i 0 wi
0 0
x jwmj
0xwjm j
0 0
w m x
j j
0 0
在利润最大化的生产计划中 (1)边际利润大于0的资源没有剩余 (2)有剩余的资源边际利润等于0 (3)安排生产的产品机会成本等于利润 (4)机会成本大于利润的产品不安排生产
4、产品的机会成本
增加单位资源可以增加的利润
max z c1x1 c2x2 c jx j cn xn
s.t.
a11x1 a12x 2 a1jx j a1nx n b1 w1
a 21x1 a 22x 2 a 2jx j a 2nx n b2 w2
a m1 x1 a m2 x 2 a mj x j a mn x n bm wm

运筹学对偶理论

运筹学对偶理论

动态规划的对偶性
动态规划的对偶性是指对于给定的动态规划问 题,可以构造一个与之对应的对偶问题,这两 个问题的最优解是相互对应的。
在动态规划中,原问题通常关注的是多阶段决 策的最优解,而对偶问题则关注的是如何将原 问题的最优解转化为一系列子问题的最优解。
对偶理论在动态规划中也有着广泛的应用,例 如在计算机科学、人工智能、控制系统等领域。
运筹学对偶理论
• 对偶理论概述 • 对偶理论的基本概念 • 对偶理论在运筹学中的应用 • 对偶理论的局限性与挑战 • 对偶理论案例分析
01
对偶理论概述
对偶问题的定义
对偶问题
在运筹学中,对偶问题是指原问题的 目标函数和约束条件保持不变,但变 量的约束方向被颠倒的问题。
线性规划中的对偶问题
在线性规划中,原问题为最大化问题 ,其对偶问题则为一个等价的线性规 划问题,目标函数变为最小化问题。
对偶理论面临的挑战
算法优化
01
对偶理论在求解大规模优化问题时,算法效率和稳定性面临挑
战。
多目标优化问题
02
对偶理论在处理多目标优化问题时,难以权衡和协调不同目标
之间的矛盾。
动态环境适应性
03
对偶理论在应对动态环境和不确定性因素时,需要进一步改进
和优化。
对偶理论的未来发展方向
拓展应用领域
进一步探索对偶理论在其他领域的应用,如金融、 医疗、交通等。
详细描述
在金融风险管理问题中,动态规划对偶理论可以用于确定 最优的风险管理策略,以最小化风险并最大化收益。通过 构建动态规划模型,可以找到最优的风险管理方案,提高 金融机构的风险管理能力。
总结词
动态规划对偶理论在电力系统优化问题中具有重要应用。

政治经济学-运筹学-对偶-对偶问题总结

政治经济学-运筹学-对偶-对偶问题总结

原问题求极大值时,对偶问题求极小:
约束条件中是 <= 对偶变量是 >= 相反 约束条件中是 = 对偶变量是 无约束 相反 约束条件中是 >= 对偶变量是 <= 相反 变量条件中是 <= 对偶约束是 <= 相同 变量条件中是 无约束 对偶约束是 = 相反 变量条件中是 >= 对偶约束是 >= 相同 原问题求极小值时,对偶问题求极大:
约束条件中是 <= 对偶变量是 <= 相同 约束条件中是 = 对偶变量是 无约束 相反 约束条件中是 >= 对偶变量是 >= 相同 变量条件中是 >= 对偶约束是 <= 相反 变量条件中是 无约束 对偶约束是= 相反 变量条件中是 <= 对偶约束是 >= 相反 1231231231231231231231231212max min 2523..225..12221,321,00,0x x x y y y s t x x x s t y y y x x x y y y x x x y y y x x y y -++++⎧⎧⎪⎪++≤-+≥-⎪⎪⎪⎪-+-≥⇒+-≥⎨⎨⎪⎪-+=-+=⎪⎪⎪⎪≥≥≤⎩⎩原问题:。

运筹学(对偶问题及性质)

运筹学(对偶问题及性质)
1
若初始矩阵中变量 xj的系数向量为Pj, 迭代后为P’j, 则有 P’j=B-1 Pj
2
当B为最优基时,应有
3
令Y=CBB-1, 则
项 目
基变量
非基变量
XB
XN Xs
CB XB B-1b
I
B-1N B-1
cj-zj
0 -Ys1
XB XN
Xs
0 Xs b
B N
I
cj-zj
CB CN
0
项 目
基变量
非基变量
XB
XN Xs
CB XB B-1b
I
B-1N B-1
cj-zj
0
CN-CBB-1N -CBB-1
02
对偶性质
对偶性质
例2.4 已知线性规划 的最优解是X*=(6,2,0)T,求其对偶问题的最优解Y*。 解:写出原问题的对偶问题,即 标准化
Y*=(1,1),最优值w=26。
解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为:
对偶问题的第一、二个约束的松弛变量等于零,即y3=0,y4=0,带入方程中:
在市场竞争的时代,厂长的最佳决策显然应符合两条: 吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型产品所获利润。由此原则,便构成了新规划的不等式约束条件。 竞争性原则。即在上述不吃亏原则下,尽量降低机时总收费,以便争取更多用户。
设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4,则新的线性规划数学模型为:
原问题的松弛变量
x1
x2
x3
x4
x5
x3
15/2
0
0
1
5/4
-15/2
x1
7/2

运筹学04-线性规划的对偶问题

运筹学04-线性规划的对偶问题

生产计划问题
总结词
生产计划问题是线性规划对偶问题的另一个重要应用,主要研究如何安排生产 计划,以满足市场需求并实现利润最大化。
详细描述
在生产过程中,企业需要合理安排生产计划,以最小化生产成本并最大化利润。 通过线性规划对偶问题,可以确定最优的生产计划,使得生产过程中的资源得 到充分利用,同时满足市场需求。
对偶理论的发展趋势与未来研究方向
1 2 3
混合整数对偶
随着混合整数规划问题的日益增多,对偶理论在 处理这类问题中的研究将更加深入。
大数据优化
随着大数据技术的不断发展,如何利用对偶理论 进行大规模优化问题的求解将成为一个重要研究 方向。
人工智能与优化
人工智能和机器学习方法为优化问题提供了新的 思路,与对偶理论的结合将有助于开发更高效的 算法。
THANKS
感谢观看
线性规划问题的数学模型
目标函数
通常是一个线性函数,表示要优化的目标。
约束条件
通常是一组线性等式或不等式,表示决策变 量所受到的限制。
可行解集合
满足所有约束条件的解的集合,称为可行解 集合。
02
对偶问题概念
对偶问题的定义
线性规划的对偶问题是通过将原问题 的约束条件和目标函数进行转换,形 成与原问题等价的新问题。
对偶理论与实际问题的结合
01
02
03
供应链管理
在供应链优化问题中,对 偶理论可以用于协调供应 商和零售商之间的利益, 实现整体最优。
金融风险管理
在金融领域,对偶理论可 以用于评估和管理投资组 合的风险,提高投资效益。
交通调度
在交通调度问题中,对偶 理论可以用于优化车辆路 径和调度计划,提高运输 效率。

管理运筹学线性规划的对偶问题优质课件

管理运筹学线性规划的对偶问题优质课件

AX b
s.t.
X
0
YA C s.t.Y 0
• 其中Y=(y1,y2,…,ym),其他同前。
• 3.1.3 一般问题旳对偶问题——非对称型对偶问题
• • 线性规划有时以非对称型出现,那么怎样从原始问题写出
它旳对偶问题呢?
11
OR:SM
• 例1 写出下列线性规划旳对偶问题
max Z ( x) 2x2 5x3
23
OR:SM
• 例4 求解下列线性规划问题
max Z ( x) 4 x1 3x2
Y1
x1
6
Y2
x2 8
Y3
s.t.
x1
x2
7
Y4
3
x1
x2
15
Y5
x2 1
x1, x2 0
(3 7)
• 解:该问题仅有两个变量,但约束较多,其对偶问题为
minW ( y) 6 y1 8 y2 7 y3 15 y4 y5
y1 y3 3y4 4
s.t.
y2
y3
y4
y5
3
y1, y2 , , y5 0
(3 8)
24
OR:SM
• 把上述问题(3-8)作为原始问题求解,其最终单纯形表见下 表(3.3)
22
OR:SM
• 3.1.5 对偶问题旳最优解
• 主要推论: • 1.原始问题单纯形表中松驰变量旳检验数恰好相应着对偶
问题旳一种解。 • 2.原始问题单纯形表中,原始问题旳松弛变量旳检验数相应
于对偶问题旳决策变量;而原始问题旳决策变量旳检验数相应 于对偶问题旳松弛变量,只是符号相反。
• 注意:在两个互为对偶旳线性规划问题中,可任选一种进行 求解,一般是选择约束条件少旳,因求解旳工作量主要受到 约束条件个数旳影响。

对偶理论知识点总结

对偶理论知识点总结

对偶理论知识点总结一、一般理解对偶理论是运筹学和数学中的一个重要理论,主要研究优化问题的对偶性质和利用对偶问题来解决原始问题的方法。

优化问题是现实世界中的一种普遍问题,它的目标是在一定的约束条件下找到最优解。

而对偶理论则是研究优化问题的一个重要角度,它告诉我们,对于每一个原始问题都存在一个对偶问题,通过对偶问题我们可以获得原始问题的一些重要信息,比如最优解的下界。

二、对偶问题的定义在深入了解对偶理论之前,我们首先需要了解什么是对偶问题。

对于一个原始优化问题:\[ \begin{cases} inf \ c^T x \\ Ax=b \\ x\geq0 \end{cases}\]它的对偶问题可以定义为:\[ \begin{cases} sup \ b^T y \\ A^Ty+c=y \\ y\geq0 \end{cases}\]其中,\(c,x\)是原始问题的目标函数和解向量,\(A,b\)是原始问题的约束条件,对偶问题的目标函数和解向量分别为\(b,y\)。

原始问题和对偶问题之间存在着一种对偶关系,通过对偶问题我们可以获得原始问题的一些重要信息。

三、对偶性质对偶理论的一个重要性质就是对偶性质,它告诉我们原始问题和对偶问题之间存在着一种非常紧密的联系。

具体来讲,对偶性质包括弱对偶性和强对偶性两个方面。

1. 弱对偶性:对于任意一个优化问题,其对偶问题的目标函数值不会超过原始问题的目标函数值,即对于原始问题的任意可行解x和对偶问题的任意可行解y,有\[c^Tx\geqb^Ty\]2. 强对偶性:若原始问题和对偶问题均存在最优解,则它们的目标函数值相等,即\[inf \c^Tx=sup \ b^Ty\]这两个对偶性质告诉我们,对偶问题的解可以为原始问题的最优解提供一个下界,并且在某些情况下,对偶问题的解可以等于原始问题的最优解。

四、对偶问题的应用对偶理论不仅仅是一种理论概念,更是一种实际问题求解的工具。

在实际问题中,我们经常可以通过对偶问题来求解原始问题,或者通过对偶问题的解来获得原始问题的解。

《运筹学》第四章对偶问题

《运筹学》第四章对偶问题
CX ≤Y b 性质3 最优性
设X,Y分别为(P1)与(D1)的任意可行解,则当
CX = Yb
时, X, Y分别是(P1)与(D1)的最优解。
性质4无界性 互为对偶的两个线性规划问题,若其中一个问题的解无界, 则另一个问题无可行解。
性质5 对偶定理 互为对偶的两个线性规划问题,若其中一个问题有最优解,
资源 产品


拥有量
设备 A
2
2
12
设备 B
1
2
8
原材料 A
4
/
16
原材料 B
/
4
12
2.资源最低售价模型
设 企业生产甲产品为X1件, 乙产品为X2件,则
max z 2x1 3x2
设第i种资源价格为yi,( i=1, 2, 3) 则有
2x1 2x2 12
y1
x1 2x2 8
4 x1
X*= (4, 6, 4, 0, 0)T
( D1):min w=8y1+12y2+36y3 ( Ds):min w=8y1+12y2+36y3
y1
+3y3 ≥ 3
y1 +3y3 -y4 = 3
s.t.
2y2+4y3 ≥ 5
y1 , y2, y3 ≥ 0
s.t.
2y2+4y3 -y5 = 5
y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ≥ 0
大连海事大学交通运输管理学院
2.4.1 对偶问题的提出 2.4.2 原问题与对偶问题 2.4.3 对偶问题的性质 2.4.4 对偶变量的经济含义 2.4.5 对偶单纯形法
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品,已知生产单位

运筹学线性规划的对偶问题

运筹学线性规划的对偶问题

例5 已知线性规划问题 minω = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 x1 + x2 + 2x3 + x4 + 3x5 ≥ 4 2x1 - x2 + 3x3 + x4 + x5 ≥ 3 xj ≥ 0,j = 1,2,3,4,5
已知其对偶问题的最优解为y1* = 4/5, y2* = 3/5;z = 5。试用对偶理论找 出原问题的最优解.
试用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。
证: 首先看到该问题存在可行解,例如X = (0,0,0) 而上述问题的对偶问题为
minω = 2y1 + y2 -y1 - 2y2 ≥ 1 y1 + y2 ≥ 1 y1 - y2 ≥ 0 y1 ,y2 ≥ 0
由第一约束条件可知对偶问题无可行解,因而无最优解。由此 原问题也无最优解。
0 0
无约束
m个
约束条件

=
约束条件右端项 目标函数变量的系数
对偶问题(或原问题) 目标函数 min
n个


约束条件

=
m个
0 0


变量

无约束
目标函数变量的系数
约束条件右端项
原问题中的价值向量与对偶问题中的资源向量对换(上下对换) 原问题: X在C和A的右边;
xj yi
y1 y2 ┇ ym
对偶关系 maxZ
x1 x2 ┅ xn
a11 a12 ┅ a1n a21 a22 ┅ a2n ┇┇ ┇ am1 am2 ┅ amn ≥≥┅≥ c1 c2 ┅ cm
原关 minω 系

运筹学对偶问题

运筹学对偶问题

在运筹学中,对偶问题是一个与原问题相对应的问题。

以线性规划问题为例,每一个线性规划问题必然有与之相伴而生的另一个线性规划问题,即任何一个求maxz的LP1都有一个求minw的LP2。

将LP1称为“原问题”,记为P;将LP2称为“对偶问题”,记为D。

对偶问题的经济学解释——影子价格又称影子利率,用线性规则方法计算出来的反映资源最优使用效果的价格。

用微积分描述资源的影子价格,即当资源增加一个数量而得到目标函数新的最大值时,目标函数最大值的增量与资源的增量的比值,就是目标函数对约束条件(即资源)的一阶偏导数。

用线性规划方法求解资源最优利用时,即在解决如何使有限资源的总产出最大的过程中,得出相应的极小值,其解就是对偶解,极小值作为对资源的经济评价,表现为影子价格。

运筹学04对偶理论

运筹学04对偶理论
线性规第划一及节单纯型法
对偶问题的提出
第1页
§1 对偶问题的实际意义
背景1 最优化问题的两个侧面:
周长给定, 求面积最大
面积给定, 求周长最小
容积给定, 求表面积最小
表面积给定, 求容积最大
资源给定, 求挣钱最多
收益给定, 求用资源最少
对偶问题
第2页
背景2 出租机器还是搞生产?卖产品还是卖资源?
第29页
线性规第划五及节单纯型法
对偶单纯形法
第30页
§5 对偶单纯形法
检验数全部非正的基本解叫正则解。对偶单纯形法从正则解开始。
Step1. 从一个正则解 x(1) 开始;
Step2. 若所有 bi 0 ,则 x(1)是最优解,停止;否则转入下一步;
Step3. 选择出基变量 max bi , bi 0 br ,
n
n
则 aij x j bi ; 若 aij x j bi ,
; jm1
则 aij yi c j
jm1
若 aij yi c j ,
i 1
i 1
则 yi 0, 则 x j 0,
第18页
§3 对偶的基本性质
max z cx Ax b x0
min b' y
A' y c' y0
x1, x2 0
产品价格 2 3
第3页
清华紫光集团想租用北航的设备,那么出什么价格时北航才肯出租设备呢?
设备 A, B, C 的每工时的出租价为 y1, y2, y3 ,为能租到设备,租金不能低于产品 所得的利润,即应有
2 y1 4 y2 2, 2 y1 5 y3 3,
并且希望租金越低越好,其线性模型为

运筹学对偶问题

运筹学对偶问题

(B)
minW 20y1 10 y2 5y3 s.t. 3y1 4 y2 y3 4 2 y1 3y2 y3 5 y1 0, y2 0, y3为自由变量
比较
(A)
(B)
max Z 4x1 5x2 s.t.
3x1 2x2 20
4x1 3x2 10
当原问题的约束条件的符号不完全相同时,也存在 对偶问题,这种对偶问题称为非对称对偶问题。

max Z 4x1 5x2 s.t.
3x1 2x2 20
4x1 3x2 10
x1 x2 5
x1

0,
x
为自
2



分析:
为求对偶问题,可先做过渡,将问题对称化:
对称化
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2



am1 x1 am2 x2 amn xn bm x1 0, x2 0, xn 0
则以下线性规划问题:
(B)
minW b1 y1 b2 y2 bm ym s.t.
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1
max Z 4x1 5x2 s.t. 3x1 2x2 20 4x1 3x2 10 x1 x2 5 x1 0, x2为自由变量
4x1 3x2 10

x1 x1

x2 x2

5 5
x1 x2 5
设x 2 x 3 x 4 , x3 0, x 4 0
min W ' 20 y1 '10 y2 '5 y3 '5 y4 ' s.t. 3 y1 '4 y2 ' y3 ' y4 ' 4 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 2 y1 '3 y2 ' y3 ' y4 ' 5 y1 ' 0, y2 ' 0, y3 ' 0, y4 ' 0

运筹学第四章习题答案

运筹学第四章习题答案

即:4y1+6y2=﹣8 ① 又由于原问题的最优解X1*>0,X2*<0是松约束,故对偶问题的 约束必为紧约束,即对偶问题的前两个约束必为等式:
y1+y2=﹣2 y1+ky2=﹣2 ∴由①②解得y1*=﹣2 Y*=(﹣2,0)
② ③ y2*=0,即对偶问题的最优解为
将y1*,y2*的值代入③式得k=﹣1
(2)max z=4x1-2x2+3x3-x4
X1+x2+2x3+x4≤7
2x1-x2+2x3-x4=﹣2
s、t
X1-2x2+x4≥﹣3
X1、x3≥0 x2、x4无符号约束
解:其对偶问题为:
Min w=7y1-2y2-3y3
y1+2y2+y3≥4
y1-y2-2y3=﹣2
s、t
2y1+2y2≥3
y1-y2+y3=﹣1
y1≥0 y2无符号约束 y3≤0
4、已知线性规划问题:
Max z=x1+2x2+3x3+4x4
x1+2x2+2x3+3x4≤20
s、t
2x1+x2+3x3+2x4≤20
xj≥0 j=1、2、3、4
其对偶问题最优解为y1=1.2 y2=0.2,由对偶理论直接求出原问题的 最优解。
解:将Y*=(1.2,0.2)代入对偶问题的约束条件:
1、写出下列线性规划问题的对偶问题。
(1)min z=x1+x2+2x3
X1+2x2+3x3≥2
2x1+x2-x3≤4
s.t
3x1+2x2பைடு நூலகம்4x3≤6

运筹学第4章 单纯形法的对偶问题

运筹学第4章 单纯形法的对偶问题

管理运筹学
3
§1 线性规划的对偶问题
如果我们把求目标函数最大值的线性规划问题看成原问题,则把求目标函数最小值的线 性规划问题看成对偶问题。下面来研究这两个问题在数学模型上的关系。
1 求目标函数最大值的线性规划问题中有n 个变量 m个约束条件,它的约束条件都是小于 等于不等式。而其对偶则是求目标函数为最小值的线性规划问题,有m个变量n个约束条件, 其约束条件都为大于等于不等式。
5x1 3x2 x3 200
管理运筹学
10
§1 线性规划的对偶问题
通过上面的一些变换,我们得到了一个和原线性规划等价的线性规划 问题:
max z 3x1 4x2 6x3
s.t. 2x1 3x2 6x3 440,
6x1 4x2 x3 100, 5x1 3x2 x3 200 5x1 3x2 x3 200 x1, x2 , x3 0
进一步,我们可以令y3

y
' 3

y
'' 3
,这时当
y
' 3

y
'' 3
时,y

0,当
y
' 3

y
'' 3
时, y3 0 。这也就是说,尽管
y
' 3
,
y
'' 3

0,
但 y3 的取值可以为正,可以为0,
可以为负,即 y3 没有非负限制。
这样我们把原规划的对偶问题化为
min f 440 y1 100 y2 200 y3
这样第二个约束条件也就符合要求。对于第三个约束条件,我们可以 用小于等于和大于等于两个约束条件来替代它。即有

运筹学-对偶问题

运筹学-对偶问题

对偶问题的应用场景
资源分配问题
在资源有限的情况下,如何合理分配资源以达到 最优目标。
运输问题
如何制定运输计划,使得运输成本最低且满足运 输需求。
生产计划问题
如何制定生产计划,使得生产成本最低且满足市 场需求。
投资组合优化问题
如何选择投资组合,使得投资收益最大且风险最 小。
02
对偶问题在运筹学中的重要性
对偶问题的理论完善与深化
对偶理论的数学基础
进一步深入研究对偶理论的数学基础,包括对偶映射、对偶函 数、对偶不等式等,为解决对偶问题提供更坚实的理论基础。
对偶问题的转化与求解
研究如何将复杂的对偶问题转化为更容易求解的形式,或 者设计有效的求解方法,以提高对偶问题的求解效率。
对偶理论与实际应用的结合
在对偶理论不断完善的基础上,进一步探索如何将其应用于实际问题 中,以解决实际问题的优化问题,提高决策的科学性和效率。
在整数规划中,对偶问题通常 是指将原问题的约束条件或目 标函数进行一些变换,使得原 问题与对偶问题在结构上存在 一定的对称性。
对偶问题的性质
02
01
03
对偶问题的最优解与原问题的最优解具有密切关系。
在线性规划中,如果原问题是最大化问题,则对偶问 题是最小化问题,反之亦然。
在整数规划中,对偶问题的约束条件和目标函数通常 与原问题存在一定的对称性。
02 求解步骤
03 1. 定义原问题和对偶问题。
04
2. 利用状态转移方程和最优子结构性质,求解对偶问 题。
05 3. 利用对偶问题的解,求解原问题。
博弈论中的对偶策略
1. 定义博弈中的策略空间和支付 函数。
求解步骤
2. 构造对偶问题。

运筹学04-对偶问题

运筹学04-对偶问题

对偶问题变量类型
的对应关系
约束


0 变量 0
无限制
4.2 对偶问题的基本性质
定理1 对偶问题的对偶就是原问题
Max Z=CX s.t. AX ≤b X ≥0 对偶的定义
Min W=Yb s.t. YA ≥C Y≥0
Min Z’=-CX s.t. -AX≥-b X ≥0
Max W’=-Yb s.t. -YA≤-C Y≥0 对偶的定义
≤ b
n
n
例2:求线性规划问 题的对偶规划
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 4 x1 x2 9 x , x 0 1 2 W 7 y1 9 y2 3 y1 4 y2 5 2 y1 y2 6 y , y 0 1 2
CX YAX Yb
所以原问题的目标函数值有上界,即可找到有限 最优解;对偶问题有下界,也存在有限最优解。
(2) Max Z CX 0 X s AX IX s b s.t X , X s 0
1

X* ˆ X* X s
1
C 0 CB B A I C CB B 1 A CB B
Z CX CB B 1 b
Z W
推论: 若一对对偶问题中的任意一个有最优解,则另一个也有 最优解,且目标函数最优值相等。
一对对偶问题的关系,有且仅有下列三种: 1. 都有最优解,且目标函数最优值相等; 2. 两个都无可行解; 3. 一个问题无界,则另一问题无可行解。
定理5 若 X , Y分别为(P) , (D)的可行解,则X , Y
对偶关系对应表
原问题 目标函数类型 目标函数系数 Max 目标函数系数 对偶问题 Min 右边项系数
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则 Y CB B 1 为对偶问题
Min s.t
CB
W Yb YA C Y 0 Z XB XB b B-1b CBB-1b
0 XS B-1 -CBB-1
XB I 0
CN-CBB-1N
Min W = 30y1+ 60y2 + 24y3 例1 Max Z=40X1+ 50X2 X1+2X2 30 y1 y1+3y2 + 0y3 40 3X1+2X2 60 y2 s.t 2y1+2y2 + 2y3 50 s.t y3 2X2 24 y1 , y2 , y3 0 X1 , X2 0 Max W’ = -30y1- 60y2 24y3 y1+3y2 + 0y3 – y4 = 40 2y1+2y2 + 2y3 – y5 = 50 s.t y1 , y2 , y3 , y4 , y5 0
根据原则2 ,对方能够接受的价格显然是越低越好,因此 此问题可归结为以下数学模型:
目标函数 Min W = 30y1 + 60 y2 + 24y3 y1 + 3y2 约束条件 s.t y1 , y2 , y3 0 原线性规划问题称为原问题,此问题为对偶问题, y1 , y2 , y3 称为影子价格
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 3 x 2 x 7 1 2 4 x1 x2 9 x1 , x2 0
上式已为对称型对偶问题,故可写出它的对偶规划
Min s.t
7 y1 9 y2 Z 7 y1 3 y1 4 y2 5 3 y1 2 y1 y2 6 2 y1 y, y, y 0 1 1 2
所以Y*是对偶问题的可行解, 1 W Y b C B b B 对偶问题的目标函数值为 X*是原问题的最优解,原 问题的目标函数值为
Z CX CB B 1 b
Z W
推论: 若一对对偶问题中的任意一个有最优解,则另一个 也有最优解,且目标函数最优值相等。
一对对偶问题的关系,有且仅有下列三种:
CX YAX Yb
所以原问题的目标函数值有上界,即可找到有限 最优解;对偶问题有下界,也存在有限最优解。
(2) 当X*为原问题的一个最优解,B为相应的最优基,通 过引入松弛变量Xs,将问题(P)转化为标准型
C 0 CB B A I C CB B 1 A CB B
Z CX AX X s b X , X s 0
对偶问题 Min W Yb YA Ys c s.t Y , Ys 0
AX X s b
X s b AX
YA Ys C Ys YA C YAX Ys X CX
4.1 对偶问题
(1) 对偶问题的提出
例1、生产组织与计划问题 A 煤 劳动力 仓库 单位利润 1 3 0 40 B 2 2 2 50 可用资源 30 60 24
A, B各生产多少, 可获最大利润?
目标函数
Max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24 x1,x2 0
定理2 (弱对偶定理)
yb X , 分别为 (P), (D) 的可行解,则有 C X y
证明:由A X b, y 0
有 yA X y b
由 yA C, X 0 有 y A X C X
所以 C X y A X yb
推论1、(P), (D)都有可行解,则必都有最优解。 推论2、(P)有可行解, 但无有限最优解,则(D)无可 行解。 定理3、 X , y 分别为(P), (D)的可行解,且 C X = y b , 则它们是(P), (D) 的最优解。
则上式化为

y1 y1 y1
Min s.t
Z 7 y1 9 y2 3 y1 4 y2 5 2 y1 y2 6 y 无限制, y 0 2 1
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 4 x1 x2 9 x , x 0 1 2
约束条件
s.t
如果因为某种原因,不愿意自己生产,而希望通 过将现有资源承接对外加工来获得收益,那么应 如何确定各资源的使用价格?
两个原则 1. 所得不得低于生产 的获利 2. 要使对方能够接受
目标函数
Max Z= 40x1 +50x2
x1 + 2x2 30 y1
约束条件 s.t 3x1 + 2x2 60 2x2 24 y2 y3
解:由原问题的结构可知为对称型对偶问题
Min s.t
例3:求线性规划问 题的对偶规划
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 4 x1 x2 9 x , x 0 1 2
解:由原问题的结构可知不是对称型对偶问题, 可先化为对称型,再求其对偶规划。
40
2y1 + 2 y2 + 2y3 50
(2) 对偶问题的形式
定义 设原线性规划问题为
Max Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x j 0 j 1,2, , n
1. 都有最优解,且目标函数最优值相等;
2. 两个都无可行解;
3. 一个问题无界,则另一问题无可行解。
定理5 若 X , Y分别为(P) ,
(D)的可行解,则X , Y为 最优解的充要条件是 证: (必要性) 原问题
Y b AX 0 YA C X 0
同时
成立
Max s.t

对偶问题变量类型
的对应关系
约束

0 变量 0
无限制
4.2 对偶问题的基本性质
定理1 对偶问题的对偶就是原问题
Max Z=CX s.t. AX ≤b X ≥0 对偶的定义
Min W=Yb s.t. YA ≥C Y≥0
Min Z’=-CX s.t. -AX≥-b X ≥0
Max W’=-Yb s.t. -YA≤-C Y≥0 对偶的定义
s.t
s.t
为其对偶问题,其中yi (i=1,2,…,m) 称为对偶变量。 上述对偶问题称为对称型对偶问题。 原问题简记为(P),对偶问题简记为(D)
原始问题 Max Z=CX s.t. AX≤b X ≥0
Max C
对偶问题 Min W=Yb s.t. YAT≥C Y ≥0
Min
bT
AT m ≥ CT
m
A n
≤ b
n
例2:求线性规划问 题的对偶规划
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 4 x1 x2 9 x , x 0 1 2 W 7 y1 9 y2 3 y1 4 y2 5 2 y1 y2 6 y , y 0 1 2
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 4 x1 x2 9 x , x 0 1 2
Min s.t
W 7 y1 9 y2 3 y1 4 y2 5 2 y1 y2 6 y , y 0 1 2
设三种资源的使用单价分别为 y1 , y2 , y3
y1 +3 y2 40
x1,x2 0
生产单位产品A的资源消耗所得不少于单位产品A的获利
生产单位产品B的资源消耗所得不少于单位产品B的获利 2y1 + 2 y2 + 2y3 50
通过使用所有资源对外加工所获得的收益
W = 30y1 + 60 y2 + 24y3
YAX YX s Yb
YX s Ys X 0
原始问题和对偶问题变量、松弛变量的维数
Max Z=CX s.t. AX+XS=b X, XS ≥0
n m XS
X
m Y
A
YS
I
= b
Min W=Yb s.t. ATY-YS=C W, WS ≥0
XTYS=0 YTXS=0
n
AT
m
-I
n
= C
原始问题的变量
原始问题的松弛变量
x1
xj
xn
xn+1 xn+i xn+m
y1
yi ym
ym+1
ym+j
yn+m
对偶问题的变量
对偶问题的松弛变量
xjym+j=0
yixn+i=0
(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
在一对变量中,其中一个大于0,另一个一定等于0
4.3 对偶问题的解
Max Z CX 0 X s * 为原问 X * ˆ 题的一 设原问题为 AX IX s b 令 X X s.t s 最优解 X , X 0 s
证明:对任X,有CX y b =CX
X最优
定理4(主对偶定理) 若一对对偶问题(P)和(D)都有可行解,则它们都 有最优解,且目标函数的最优值必相等。
证明: (1) 当X*和Y*为原问题和对偶问题的一个可行解 有
AX b YAX Yb
YA C
YAX CX
对偶问题目标函数值
原问题目标函数值
Max W’ = -30y1- 60y2 - 24y3 +0(y4 + y5 )-M (y6 + y7 ) s.t y1+3y2 + 0y3 – y4 + y6 = 40 2y1+2y2 + 2y3 – y5 + y7 = 50 y1 , y2 , y3 , y4 , y5 0
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