【2013年中考攻略】专题4：韦达定理应用探讨
认识韦达定理：什么是韦达定理？如何应用？
**韦达定理的认识与应用**一、韦达定理的定义与来源韦达定理，也称为韦达公式，是一元二次方程的重要定理之一，由法国数学家弗朗索瓦·韦达在1615年提出。
韦达定理指出，对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其两个根x₁和x₂满足以下关系：1. x₁ + x₂ = -b/a2. x₁ × x₂ = c/a韦达定理不仅是一元二次方程根与系数之间关系的体现，更是代数学中的基本定理之一，具有广泛的应用价值。
二、韦达定理的详细阐述1. 根与系数的关系韦达定理最核心的内容是一元二次方程的根与系数之间的关系。
对于一个标准形式的一元二次方程ax²+bx+c=0，其两个根x₁和x₂与系数a、b、c之间存在确定的数学关系。
具体来说，就是x₁和x₂的和等于-b除以a，x₁和x₂的乘积等于c除以a。
2. 定理的证明韦达定理的证明主要依赖于一元二次方程的求根公式。
对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其求根公式为x=(−b±√(b²-4ac))/(2a)。
通过这个求根公式，我们可以直接计算出x₁和x₂的值，然后验证它们与系数a、b、c之间的关系是否满足韦达定理。
三、韦达定理的应用场景1. 解一元二次方程韦达定理最直接的应用就是解一元二次方程。
通过韦达定理，我们可以根据一元二次方程的系数直接得出其根的和与积，这在某些情况下比使用求根公式更加简便。
2. 判断根的情况通过韦达定理，我们还可以判断一元二次方程根的情况。
例如，如果系数b²-4ac大于0，则一元二次方程有两个不相等的实数根；如果b²-4ac等于0，则一元二次方程有两个相等的实数根；如果b²-4ac小于0，则一元二次方程没有实数根。
3. 解决其他问题除了解决一元二次方程本身的问题外，韦达定理还可以应用于其他数学问题和实际问题中。
例如，在代数式求值、方程组的求解、几何问题的计算等方面都可以看到韦达定理的应用。
(高分秘笈)2013中考数学 解题方法及提分突破训练 韦达定理及应用专题(含解析)
解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。
国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。
消息传开，数学界为之震惊。
同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。
韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。
你能利用韦达定理解决下面的问题吗？ 一 真题1.（2012•某某）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c （a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a 、b 、c 有如下关系：x1+x2=-a b x1•x2=a c把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴的两个交点为A （x1，0），B （x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 连个交点间的距离为：参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x1，0），B （x2，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求b2-4ac 的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求b2-4ac 的值．2.（2010•某某）阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据上述材料填空：已知x1，x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则3.已知关于x的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实数根，且满足2a-b=0．①利用根与系数的关系判断这两根的正负情况．②若将y=x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12图象沿对称轴向下移动3个单位，写出顶点坐标和对称轴方程．4.设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据该材料填空：若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2．则k的值为二名词释义一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理详细讲解初中
韦达定理详细讲解初中1. 韦达定理的基本概念嘿，大家好！今天咱们聊聊一个有趣的数学小知识，那就是韦达定理。
你可能会问，韦达是谁呀？其实，他是个很牛的数学家，专门研究方程的。
韦达定理主要是讲关于二次方程的根和系数之间的关系。
简单来说，如果你有一个形如 (ax^2 + bx + c = 0) 的方程，韦达定理告诉我们根的和和根的积是怎么回事。
听起来有点复杂，但别担心，咱们一步一步来，保证你听得明白！1.1. 根的和与根的积首先，咱们来看看根的和。
设这个方程的两个根是 (x_1) 和 (x_2)，那么根据韦达定理，它们的和就是 (frac{b{a)。
哦，别以为这就完了！根的积也很重要，两个根的积是(frac{c{a)。
这就像你找朋友聚会，知道总共有多少人（和）和几对情侣（积），就能推算出不少事情来。
1.2. 实际例子来个实际例子，让你更容易理解。
假设我们有个方程 (2x^2 4x + 2 = 0)。
这里 (a = 2)，(b = 4)，(c = 2)。
根据韦达定理，根的和是 (frac{4{2 = 2)，根的积是 (frac{2{2 = 1)。
哇，这样一算，感觉根的关系就像你和你最好的朋友一样，彼此心知肚明呢！2. 韦达定理的应用说到这儿，可能有的小伙伴会想：“这理论有啥用呢？”别急，让我给你讲讲韦达定理在实际生活中的妙用。
其实，这个定理在解决各种实际问题时简直是个好帮手！比如说，你想找出一个水池的水位变化，或者解决一些最优化问题，韦达定理都能派上用场，帮助你理清思路。
2.1. 在几何中的应用不仅如此，韦达定理在几何学里也大显身手哦！想象一下，一个三角形的顶点坐标，你可以用韦达定理来帮助你计算出某些重要的点，简直就是数学界的瑞士军刀，功能强大到不行。
2.2. 数学竞赛中的好帮手另外，韦达定理在数学竞赛中也是一大法宝。
许多题目都能通过它轻松解出，比如求解二次方程的根，甚至能帮助你推导出一些新的数学性质。
韦达定理的原理应用是什么
韦达定理的原理应用是什么1. 韦达定理简介韦达定理（Vieta’s theorem）是一个用于解二次方程的定理，它通过多项式的系数与根之间的关系，揭示了根与系数之间的重要特征。
这个定理是以法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）的名字命名的，他在16世纪首次提出了这个定理。
2. 韦达定理的表述如果我们有一个二次方程：ax2+bx+c=0其中a、b、c是实数，x是未知数。
韦达定理给出了与这个二次方程相关的根之间的关系：如果r1和r2是方程的两个实数根，那么他们满足以下关系：r1 + r2 = -b / ar1 * r2 = c / a这些关系将帮助我们解决二次方程并找到其根的值。
3. 韦达定理的应用韦达定理有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景：3.1. 求二次方程的根韦达定理为我们提供了一个实用的方法来求解二次方程的根。
我们只需要根据方程的系数，计算出和与积的值，然后利用韦达定理的关系式即可得到方程的两个根。
例如，对于方程 2x^2 + 3x - 5 = 0，我们可以使用韦达定理计算出： - 和的值：-3 / 2 - 积的值：-5 / 2这样我们就得到了方程的两个根。
3.2. 寻找根与系数之间的关系韦达定理不仅仅是一个用于解二次方程的工具，它还揭示了根与系数之间的重要关系。
通过韦达定理，我们可以发现以下一些有趣的规律：•和的值与一次项系数的相反数成比例：根的和与一次项系数的相反数成正比。
即 r1 + r2 = -b / a•积的值与常数项成比例：根的积与常数项成正比。
即 r1 * r2 = c / a这些规律对于我们研究多项式方程的性质以及根的特性都非常有用。
3.3. 解决实际问题韦达定理可以应用于解决一些实际的问题。
例如，假设我们正在研究一个投掷物体的运动，我们希望知道在什么时候物体落地。
我们可以将物体的运动模型建立为二次方程，然后通过韦达定理求解出方程的根。
中考数学解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题(含解析)
解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。
国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。
消息传开，数学界为之震惊。
同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。
韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。
你能利用韦达定理解决下面的问题吗？一 真题链接1.（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c （a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a 、b 、c 有如下关系：x1+x2=-a b x1•x2=a c把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴的两个交点为A （x1，0），B （x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 连个交点间的距离为：参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x1，0），B （x2，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求b2-4ac 的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求b2-4ac 的值．2.（2010•娄底）阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据上述材料填空：已知x1，x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则3.已知关于x 的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实数根，且满足2a-b=0． ①利用根与系数的关系判断这两根的正负情况．②若将y=x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12图象沿对称轴向下移动3个单位，写出顶点坐标和对称轴方程．4.设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据该材料填空：若关于x 的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2．则k 的值为二 名词释义一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
初中数学运用“韦达定理”解题的题型详解
初中数学运用“韦达定理”解题的题型详解
韦达定理是初中数学中的一条非常重要的定理，涉及的章节包括一元二次方程，二次函数。
在中考中也多有涉及。
一、已知一元二次方程的一个根，求另一根
例1：关于x的一元二次方程（m﹣1）x²﹣x﹣2=0，若x=﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．
分析本题可直接解方程求出另一根，但如果应用韦达定理可更快解决．应用时应把方程化为一般形式ax²＋bx＋c＝0（a≠0）．根据选择使得到另一根易于计算的原则，酌情选择用两根之和或两根之积．
二、一元二次方程根、两根关系及字母系数的互求
例2 已知关于x的一元二次方程x²＋6x＋a＝0（a为常数）的一
个根为√11－3，求a的值．
三、求两根和、积及其代数式的值．
例3．若x₁，x₂是关于x的方程x²﹣2x﹣5=0的两根，则代数式x₁²﹣3x₁﹣x₂﹣6的值是_________．
分析：通过韦达定理求出x₁+x₂与x₁x₂的值，将其整体代入到所求的代数式中求值。
四、检验某两数是否为已知一元二次方程的两根
例4 试检验4＋3√2与4－3√2是不是方程x²－8x＋4＝0的两根。
分析本题可分别把两数代入检验，但计算量大，如果应用韦达定理，可只检验两数之和是否为8，两数之积是否为4，若都符合则为原方程两根，否则不是．
五、结合一元二次方程根的判别式判定一元二次方程实根的符号
例5 m为何值时，关于x的一元二次方程(m＋3)x²－mx＋1＝0的两个根，
(1)均为正数； (2)一正一负； (3)均为负数，
分析本题用常规方法有一定难度．利用一元二次方程根的判别式与韦达定理相结合，比较容易确定两根的符号．。
专题 韦达定理(解析版)
专题02 韦达定理韦达定理虽是初二一元二次方程时的内容，但因为考试没有要求，很多学校都没怎么系统的讲过，很多学生还不是很了解韦达定理，更别提掌握和灵活运用了。
而韦达定理在高中阶段运用的非常频繁，许多知识点都要结合韦达定理来做，希望通过本章学习让学生能够理解掌握韦达定理．韦达定理实际上就是一元二次方程中根与系数的关系，韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．【例1】已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．设方程的另一个根为1x，知识梳理知识结构模块一： 运用韦达定理，求方程中参数典例剖析则5621-=x ，531-=∴x ．由52)53(k-=+-，得7-=k ．所以，方程的另一个根为53-．k 的值为-7．1．1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】5132m -<≤2．0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba的值． 【难度】★★ 【答案】58 【解析】由方程的结构可知a 、b 1是方程08199952=+-x x 的两根，由韦达定理可得58=b a【例2】若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根． (1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：分别变形为可以利用x 1＋x 2和x 1x 2来表示的形式．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根，2521-=+∴x x ，2321-=x x ．(1)∵|x 1-x 2|2=21x ＋22x -2x 1x 2=(x 1＋x 2)2-4x 1x 2)23(4)25(2-⨯--=6425+=449=， 27||21=-∴x x ． 对点精练模块二：运用韦达定理，求代数式的值典例剖析(2)493425)23()23(2)25()(2)(112222121221222122212221+=--⨯--=-+=⋅+=+x x x x x x x x x x x x 937=． (3)31x ＋32x =(x 1＋x 2)(21x -x 1x 2＋22x )=(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2-3x 1x 2]8215)]23(3)25[()25(2-=-⨯--⨯-=．评析：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的两根，则a acb b x 2421-+-=，aacb b x 2422---=，||4|242||2424|||222221a acb a ac b a ac b b a ac b b x x -=-=-----+-=-∴||a ∆=． 于是有下面的结论：【例3】已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：运用根的意义和根与系数关系解题．解：由于α、β是方程x 2＋2x -5=0的实数根，∴α2＋2α-5=0，αβ=-5，∴α2＋2α=5 ∴α2＋αβ＋2α=α2＋2α＋αβ =5-5=0评析：注意利用变形为可以用根系关系表示的形式．注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1) 恰当组合；(2) 根据根的定义降次； (3) 构造对称式．【例4】关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值． 【难度】★★ 【答案】31．已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ． 【难度】★★ 【答案】02．设a ,b 是相异的两实数，满足ab b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值． 【难度】★★ 【答案】3100-3．设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值． 【难度】★★ 【答案】-5【例5】已知关于x 的方程x 2＋2(m -2)x ＋m 2＋4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此其根的判别式应大于等于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得对点精练模块三：利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的情况典例剖析x 1＋x 2=-2(m -2)，x 1·x 2=m 2＋4． ∵21x ＋22x -x 1·x 2=21， ∴(x 1＋x 2)2-3x 1·x 2=21， 即[-2(m -2)]2-3(m 2＋4)=21，化简，得m 2-16m -17=0，解得m =-1，或m =17． 当m =-1时，方程为x 2-6x ＋5=0，Δ>0，满足题意；当m =17时，方程为x 2＋30x ＋293=0，Δ=302-4×1×293<0，不合题意，舍去． 综上，m = -1．评析：在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．【例6】已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程4x 2＋4(m -1)x ＋m 2=0的两个非零实数根，问x 1和x 2能否同号？若能同号，请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：利用判别式和根与系数关系共同解决本题． 解：由Δ=-32m ＋16≥0得21≤m ．x 1＋x 2=-m ＋1，041221≥=m x x ． ∴x 1与x 2可能同号，分两种情况讨论：(1)若x 1>0，x 2>0，则⎩⎨⎧>>+002121x x x x ，解得m <1且m ≠0．21≤∴m 且m ≠0． (2)若x 1<0，x 2<0，则⎩⎨⎧><+002121x x x x ，解得m >1，与21≤m 相矛盾．综上所述：当21≤m 且m ≠0时，方程的两根同号．【例7】一元二次方程240x x a -+=有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围．【难度】★★ 【答案】【解析】构造二次函数()a x x x f +-=42，由()03<f 即可满足题意【例8】已知一元二次方程222(9)560x a x a a +-+-+=一个根小于0，另一根大于2，求a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】【解析】构造二次函数()()659222+-+-+=a a x a x x f ，由()00<f 且()02<f 即可满足题意1．已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】m >72．设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x + 有最小值?并求出这个最小值． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】3<a 382<<a 对点精练3．已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x ．(1) 求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实根．(2) 若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析： 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手． 解：(1)△=2m 2-4m +4=2(m -1)2+2>0， ∴方程总有两个不相等的实数根；(2) ∵x 1·x 2=24m -≤0，∴1x 、2x 异号或其中一根为0，∴对212+=x x 可分两种情况讨论，去掉绝对值.当x 1≥0，x 2<0时，-x 2-x 1=2，即-(m -2)=2，解得m =0， 此时，方程为x 2+2x =0，解得x 1=0，x 2=-2； 当x 1≤0，x 2>0时，x 2+x 1=m -2=2，解得m =4， 当m =4时，x 2-2x -4=0，解得151x =-+，251x =+.4．若关于x 的方程20x x a ++=的两个根，一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】2a <-【例9】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么baa b +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2 【难度】★★模块四：利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等典例剖析【答案】B【解析】评析 可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件．【例10】解方程121193482232222=+-++-++x x x x x x x x ． 【难度】★★ 【答案】-1，-4，28952895-+，． 【解析】分析：观察方程左边两式的关系，用换元法，令t x x xx =-++4322代入求解．1．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】11182m <≤ 【解析】提示：根据两边之和、两边之差的关系及△≥0得到．2．已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根．(1) 当m =2和m >2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形? 并说明理由；(2) 若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ=1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长；(3) 在(2)的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan ∠BDC 和tan ∠BCD ． 【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】(1)当m =2时，x 2-4x +4=0． ∵△=0，方程有两个相等的实数根．∴AB=CD ，此时AB ∥CD ，则该四边形是平行四边形； 当m >2时，△=m -2>0，对点精练又∵AB+CD=2m >0， AB•CD=217()24m -+ >0， ∴AB≠CD ． 该四边形是梯形．(2) 根据三角形的中位线定理可以证明：连接梯形的两条对角线的中点的线段等于梯形的上下底的差的一半．则根据PQ=1，得CD -AB=2． 由CD -AB=||||21a x x ∆=-解得m =3 当m =3时，则有x 2-6x +8=0， ∴x =2或x =4， 即AB=2，CD=4(3)根据该梯形是等腰梯形，平移一腰，则得到等边△BEC ． ∴∠BCD=60°，∠BDC=30°．∵tan ∠BDC+tan ∠BCD=tan ∠BDC•tan ∠BCD=1．∴所求作的方程是y 2-+1=0． 评析：对于(2)，易建立含AC 、BD 及m 的关系式，要求出m 值，还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB 的另一隐含关系式．注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．3．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD=m ，BD=n ，AC 2：BC 2=2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求：m ，n 为整数时，一次函数y =mx +n 的解析式．【难度】★★★【答案】见解析 【解析】解：易证△ABC ∽△ACD ，∴AC ABAD AC=，AC 2=AD•AB ，同理BC 2=BD•AB ， ∵2221AC BC =，∴21m n = ∴m =2n …①， ∵关于x 的方程14x 2-2(n -1)x +m 2-12=0有两实数根， ∴△=[-2(n -1)]2-4×14×(m 2-12)≥0，∴4n 2-m 2-8n +16≥0，把①代入上式得n ≤2…②， 设关于x 的方程14x 2-2(n -1)x +m 2-12=0的两个实数根分别为x 1，x 2， 则x 1+x 2=8(n -1)，x 1•x 2=4(m 2-2)，依题意有(x 1-x 2)2<192，即[8(n -1)]2-16(m 2-12)<192， ∴4n 2-m 2-8n +4<0，把①式代入上式得n >12…③， 由②、③得12<n ≤2， ∵m 、n 为整数，∴n 的整数值为1，2，当n =1，m =2时，所求解析式为y =2x +1，当n =2，m =4时，解析式为y =4x +2．韦达定理在高中阶段是一种非常常用且重要的解题手段，同学们一定要在充分理解的基础上加以掌握及灵活运用．同学们要能掌握根与系数的关系，知道韦达定理的常见变式与常规题型，注重设而不解，注重整体，通过整体带入来解决问题．一、选择题1．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程的两根，则02=++p qx x 反思总结课后练习p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，3 【难度】★★ 【答案】C2．在R t △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 【难度】★★ 【答案】B3．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p的值是 ( )A ．1B ．-lC ．21-D ．21 【难度】★★ 【答案】C4．两个质数a 、b 恰好是整系数方程x 2-99x +m =0的两个根，则baa b +的值是 ( ) A ．9413 B ．1949413 C ．999413 D ．979413【难度】★★ 【答案】B5．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为 ( ) A ．0232=---m x x B ．0232=--+m x x C ．02412=---x m x D ．02412=+--x m x 【难度】★★ 【答案】D6．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( ) A ．0≤m ≤1 B ．m ≥43 C ．143≤<m D ．43≤m ≤1【答案】C二、填空题7．关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一根为0，则m 的值为______ 【难度】★★ 【答案】-18．CD 是R t △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ． 【难度】★★ 【答案】69．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ． 【难度】★★ 【答案】510．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】解：设x 1，x 2是方程的两个根，则①x 1+x 2=-p ，②x 1x 2=q ， ∵②-①得：p+q=28， ∴x 1x 2-x 1-x 2=28， ∴x 1x 2-x 1-x 2+1=28+1， ∴x 1(x 2-1)-(x 2-1)=29， 即(x 1-1)(x 2-1)=29， ∵两根均为正整数，∴x 1-1=1，x 2-1=29或x 1-1=29，x 2-1=1，∴方程的两个根是：x 1=2，x 2=30．或x 1=30，x 2=2． 故答案为：x 1=30，x 2=2．三、解答题11. 若关于x 的一元二次方程3x 2+3(a +b )x +4ab =0的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?【答案】见解析【解析】解：(a +b )2≤4正确．理由：原式可化为(x 1+x 2)2-=3x 1x 2+1， ∴(a +b )2=4ab +1，∵△=9(a +b )2-4×3×4ab ≥0， ∴3(a +b )2-4×4ab ≥0， ∴(a +b )2≥163ab ，即4ab +1≥163ab ∴4ab ≤3，∴4ab +1≤4，即(a +b )2≤4．12．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ． (1) 当k 为何值时，此方程有实数根；(2) 若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值． 【难度】★★ 【答案】(1)512k ≤；(2) 0．13．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ． (1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2) 求22212111x mx x mx -+-的最大值． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b 2-4ac =4(m -2)2-4(m 2-3m +3)=-4m +4>0，∴m <1， 结合题意知：-1≤m <1．(1)∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4(m -2)2-2(m 2-3m +3)=2m 2-10m +10=6 ∴m=，∵-1≤m <1，∴m=∴当m =-1时，式子取最大值为10．14．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程210x ax ++=和20x bx c ++=有一个相同的实数根，并且使方程20xx a ++=和20x cx b ++=也有一个相同的实数根，试求a b c ++的值．【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】解：设x 12+ax 1+1=0，x 12+bx 1+c =0，两式相减，得(a -b )x 1+1-c =0，解得x 1=1c a b--, 同理，由x 22+x 2+a =0，x 22+cx 2+b =0，得x 2=(1)1a bc c -≠- ∴x 2=11x ， 由韦达定理的两根之积的关系知，11x 是第一个方程的根， ∴x 2是方程x 2+ax +1=0和x 2+x +a =0的公共根， 因此两式相减有(a -1)(x 2-1)=0， 当a =1时，这两个方程无实根， 故x 2=1，从而x 1=1， 于是a =-2，b +c =-1， 所以a +b +c =-3．。
浅谈韦达定理四种应用
浅谈韦达定理四种应用韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系，由法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在其著作《论方程的识别与订正》中提出。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在中学数学教学和中考中有着广泛的应用。
可以将其应用归纳为：（1）不解方程求方程的两根和与两根积；（2）求对称代数式的值；（3）构造一元二次方程；（4）求方程中待定系数的值；（5）在平面几何中的应用；（6）在二次函数中的应用。
韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
韦达定理与一元二次方程的根根的判别式的关系更是密不可分。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。
韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。
利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，韦达定理应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现。
韦达定理是开拓了广泛和无限的发展空间。
韦达定理最重要的作用是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。
韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础。
利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，韦达定理应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现。
韦达定理的应用专题
韦达定理的应用一.综述直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解.二.例题精讲破解规律例1. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l1与C交于A，B两点，设A(x1,y1),B(x2,y2)，证明：x1x2=p24，y1y2=−p2；点评:当直线恒过x轴上的点时,可以考虑设直线方程为x=my+n,这样联立方程消去x比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1: 椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0)离心率为√63，F1，F2是椭圆的左、右焦点，以F1为圆心，√3+1为半径的圆和以F2为圆心、√3−1为半径的圆的交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的下顶点为A，直线l:y=kx+32与椭圆C交于两个不同的点M,N，是否存在实数k使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.(),0n例2. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2: 已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1(−2√3，0)，F 2(2√3，0)，且长轴长为8．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线y =x +2与椭圆相交于A ，B 两点，求弦长|AB|．例3:已知双曲线的左右两个顶点是,,曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点， （1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.()2222:10,0x y C a b a b -=>>22162y x -=()2,3C C 12F F 、l 2F 34πl C ,A B 1F AB ∆22:14x C y -=1A 2A C ,P Q x 1A P 2A Q M M D ()0,2E D ,A B EA EB λ=u u u r u u u rλ规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,现学现用3: 已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程；（2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.三.课堂练习 强化技巧1. 已知椭圆过，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点， 点坐标为，求直线的斜率之和.2. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。
(完整版)韦达定理的应用
模块一 根的判别式1、定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=注：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式． 2、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则 ①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．练习：运用判别式，判定方程实数根的个数【例1】 不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=； （2）20ax bx +=（0a ≠）【巩固】不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定根的判别式与韦达定理【巩固】不解方程判定下列方程根的情况：（1）22340x x +-=； （2）232x +=； （321x x +=；（4）22(21)220m x mx +-+=；（5）2210x ax a ++-=；（6220+=；（7）4(1)30x x +-=； （8）2(1)(2)x x m --=【例2】 已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程2222()()0x a b c x a b c ++++++= 的根的情况（ ）．A ．有2个负根B ．有2个正根C ．有2个异号的实根D ．无实根利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围【例3】 m 取什么值时，关于x 的方程222(3)6x mx +-=有两个相等的实数根【巩固】如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ． 1k <B ． 0k ≠C ．10k k <≠且D ． 1k >【巩固】方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【巩固】若关于x 的二次方程2(1)220m x mx m -++-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是【巩固】若关于x 的一元二次方程2(1)210k x x ++-=有实数根，则k 的最小整数值为【巩固】已知方程22(21)10m x m x +++=有实数根，求m 的范围．【例4】 关于x 的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【巩固】关于x 的方程210x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（ ） 【巩固】已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：|1|m -【巩固】已知关于x 的一元二次方程20x m -=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．【巩固】k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．【例5】 关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是 ．【巩固】若方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根，求：正整数a ．【例6】 已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【巩固】当a b 、为何值时，方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根？【例7】 已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【巩固】若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（ ）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定通过判别式，证明与方程相关的代数问题【例8】 对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．【巩固】求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根．【巩固】已知实数a 、b 、c 、r 、p 满足2pr >，20pc b ra -+=，求证：一元二次方程220ax bx c ++= 必有实根．【巩固】证明：无论实数m 、n 取何值时，方程2()0mx m n x n +++=都有实数根【巩固】已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．模块二 韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12bx x a +=-，12c x x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=． 利用韦达定理求代数式的值【例9】 不解方程224)0x x +--，求两根之和与两根之积【巩固】设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值 （1）12(3)(3)x x --； （2）211211x xx x +++； （3）12x x -【巩固】已知方程22430x x +-=的两个根为1x 、2x （1）12x x += ； （2）12_______x x ⋅=； （3）1211_______x x +=； （4）2212_______x x += 【巩固】已知α、β是方程2520x x ++=的值．利用韦达定理求参数的值【例10】方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 【例11】若3-、2是方程20x px q -+=的两个根，则________p q +=【巩固】若方程210x px ++=的一个根为1，则它的另一根等于 ，p 等于【巩固】关于x 的方程2210x bx +-=的一个根为2-，则另一个根是 ，______b =【巩固】方程2380x x m -+=的两个根之比为3:1，则_______m =【巩固】已知2240x x k -+=的一个根，求另一个根和k 的值【例12】已知方程240x x m ++=的两个根的平方和是10，求m 的值。
韦达定理在实际问题中的应用
韦达定理在实际问题中的应用韦达定理是一个非常有用的几何定理，它被广泛应用于各种实际问题中，包括工程学、物理学和金融学等领域。
本文将讨论韦达定理的定义、证明和一些实际应用。
一、韦达定理的定义韦达定理是一个三角形内部的一个重要定理，它阐述了三角形内任意一点到三边的距离之积等于这个点到三边的三条距离之积。
图1：韦达定理示意图设三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，三角形内任意一点P到三条边的距离分别为d1、d2和d3，则根据韦达定理有：AB × PC × d1= BC × PA × d2= AC × PB × d3二、韦达定理的证明韦达定理的证明可以使用相似三角形和割线定理来完成。
首先，我们利用相似三角形证明了韦达定理在三角形底边上的一个特殊情况。
例如，在图1中，我们可以通过相似三角形证明： PB/AB = PC/AC令 d1 = h1、d2 = h2，则 h1/h2 = PB/PC因此，韦达定理的底边情况成立。
接下来，我们可以使用割线定理继续证明韦达定理。
在图1中，我们从点P引一条平行于AB的直线，它与BC和AC的交点分别为Q和R。
根据割线定理，有：PB/PC = BQ/CR又因为三角形PAB和PCQ相似，三角形PAR和PRB相似，因此有以下等式成立：PA/PC = AB/BQRA/RB = AP/PB将上述等式代入割线定理公式中得：PB/PC = AB/BQ = AP/CR = RA/RB = h3/h4因此，有以下等式成立：AB × PC × d1 = BC × PA × d2 = AC × PB × d3 = h1 × h2 × h3/h4由此可知，韦达定理成立。
三、韦达定理在许多实际问题中都有广泛的应用。
以下是一些例子。
1.测量塔的高度韦达定理可以用于测量一座塔的高度，方法是测量一个与塔底线平行的直线段和它到塔顶的距离，以及一个与塔底线垂直的直线段和它到塔顶的距离。
浅谈韦达定理在解题中的应用
浅谈韦达定理在解题中的应用韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理．纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现，关于涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽．在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长．下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考．一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．例1 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC＝DC，设AD＝d．求证：(1)c＋d＝2bcosA；(2)c·d＝b2－a2．分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有a2＝b2＋c2－2bccosA；a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)．∴ c2－2bccosA＋b2－a2＝0，d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．由韦达定理，有c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2．例2 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．故ab＋a＋b＝－2．二、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b 形式的式子，则可考虑应用韦达定理．例3若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．∵ x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．则z2≤0，又∵z为实数，∴z2＝0，即△＝0．于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例5 已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a＋2a＝－P，①a·2a＝q，②P2－4q＝1．③把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．例6 设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p －q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7 m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①α(4－α)＝－(m－1)．②由②得m＝1－4α＋α2，③把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，即(α－3)(α2＋1)＝0．∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．把α＝3代入③，得m＝－2．故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．。
浅谈韦达定理在解题中的应用
浅谈韦达定理在解题中的应用韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理．纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现，关于涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽．在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长．下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考．一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．例1 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC＝DC，设AD＝d．求证：(1)c＋d＝2bcosA；(2)c·d＝b2－a2．分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有a2＝b2＋c2－2bccosA；a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)．∴ c2－2bccosA＋b2－a2＝0，d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．由韦达定理，有c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2．例2 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．故ab＋a＋b＝－2．二、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b 形式的式子，则可考虑应用韦达定理．例3 若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．∵ x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．则z2≤0，又∵z为实数，∴z2＝0，即△＝0．于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例5 已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p 与q之值，解此方程．解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a＋2a＝－P，①a·2a＝q，②P2－4q＝1．③把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．例6 设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7 m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①α(4－α)＝－(m－1)．②由②得m＝1－4α＋α2，③把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，即(α－3)(α2＋1)＝0．∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．把α＝3代入③，得m＝－2．故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．。
中考数学教学指导：例谈“韦达定理”在初中代数中的应用
例谈“韦达定理”在初中代数中的应用韦达定理在解答初中数学问题中有着极其重要的作用，历年来各地中考试题都有涉及，现举例谈谈它在初中代数中的应用．一、已知一元二次方程的一个根，求另一根例1 已知方程x 2－6x ＝－1的一个根为3－，求另一个根．分析 本题可直接解方程求出另一根，但如果应用韦达定理可更快解决．应用时应把方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．根据选择使得到另一根易于计算的原则，酌情选择用两根之和或两根之积．解 原方程变形为x 2－6x ＋1＝0，设方程的另一根为x 1，∵已知一根为3－x 1＋（3－6，∴x 1＝3＋3＋．二、一元二次方程根、两根关系及字母系数的互求例2 已知关于x 的一元二次方程x 2＋6x ＋a ＝0（a3，求a 的值．分析 本题可直接把方程的已知根代入原方程，求出a 的值，但由于已知根为无理数，3，设另一根为x 1，则应用韦达定理中两根和的关系，可得x 1＝－63）＝－3再应用两根之积的关系，得a ＝（－3（－32．解 略．例3 设关于x 的一元二次方程x 2－px ＋8＝0(p 为常数)的两根为x 1、x 2，问p 取何值时，x 1： x 2＝1：2．分析 本题可用求根公式先求出关于x 的一元二次方程的两根，再根据两根之比，求出p 的值，但解法较繁琐．可由已知两根的关系得x 2＝2x 1，再应用韦达定理，得121328x p x =⎧⎪⎨=⎪⎩容易解得p＝±6．解略，三、求两根和、积及其代数式的值．例4 已知方程x2－x－4＝0的两根为x1、x2，试求（x12＋3x1＋4）·（x22＋3x2＋4）的值．分析本题可先用求根公式求出方程的两根，再代入所求式子求出它的值，但计算量比较大．可应用韦达定理，先把（x12＋3x1＋4）·（x22＋3x2＋4）适当变形，就可求出它的值．解由韦达定理，得四、检验某两数是否为已知一元二次方程的两根，例5 试检验4＋4－x2－8x＋4＝0的两根．分析本题可分别把两数代入检验，但计算量大，如果应用韦达定理，可只检验两数之和是否为8，两数之积是否为4，若都符合则为原方程两根，否则不是．解略．五、已知两数和与积，求此两数，例6 已知两数和为5，积为1，求此两数．分析本题可用设元列方程求解．但应用韦达定理的逆定理，可直接写出方程求解，解依韦达定理的逆定理，可知此两数是一元二次方程x2－5x＋1＝0的两根，解得x1，x2六、求作方程使其根为已知数或满足某种条件例7 求作一个一元二次方程，使其两根和为1，积为－3．分析本题可用列方程方法求出一元二次方程．但如果应用韦达定理求解，会更方便．解设所求一元二次方程为x2＋px＋q＝0（p、g为常数）．由一元二次方程的根与系数关系，可知－p＝1，g＝－3，从而得方程x2－x－3＝0．例8 已知x1、x2为一元二次方程3x2－7x＋3＝0的两根，求作一个新的一元二次方程，使它的两根为2x 1＋1，2x 2＋1．分析 本题可先解一元二次方程，求出它的解，再代入新方程两根的代数式，用列方程方法可求出新的一元二次方程，但方法很繁琐，如应用韦达定理，相对简单．解 设所求一元二次方程为x 2＋px ＋q ＝0（p 、q 为常数）．由韦达定理，可知七、在解方程《组）中的应用．例9 解方程：22121x x x x-+=- 分析 本题直接解方程出现高次方程比较难，而利用韦达定理，会更容易．八、在证明等式或不等式中的应用例10 若实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1．求证：a 、b 、c 有一个大于32． 分析 本题用常规方法证明比较难，利用韦达定理，会利索些．证明 ∵a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1，∴a 、6、c 中必有一个正数，两个负数，不仿设a>0．九、简化有理系数多项式的求值例11 已知x ＝44322621823815x x x x x x --++-+的值． 分析 本题用代入法可求出所求代数式的值，但计算量大．可应用韦达定理先得到一个一元二次方程，然后把所求代数式适当变形，可容易求出．解 ∵x ＝4x 2－8x ＋13＝0．用x 2－8x ＋13去除所求式子的分子与分母，得 4322621823815x x x x x x --++-+ ()()()22281321108132x x x x x x -++++=-++＝5．十、结合一元二次方程根的判别式判定一元二次方程实根的符号例12 m 为何值时，关于x 的一元二次方程(m ＋3)x 2－mx ＋1＝0的两个根，(1)均为正数；(2)一正一负；(3)均为负数，分析 本题用常规方法有一定难度．利用一元二次方程根的判别式与韦达定理相结合，比较容易确定两根的符号．解 设方程(m ＋3)x 2－mx ＋1＝0的两根为x 1、x 2．(1)要x 1，x 2均为正，必须有()1212203103430mx x m x x m m m ⎧+=>⎪+⎪⎪=>⎨+⎪⎪∆=-+≥⎪⎩解得m ≥6；(2)要两根异号，必须有 ()12203430m x x m m m ⎧+=>⎪+⎨⎪∆=-+≥⎩ 解得m ＜－3；(3)要x 1，x 2均为负，必须有 ()1212203103430m x x m x x m m m ⎧+=>⎪+⎪⎪=>⎨+⎪⎪∆=-+≥⎪⎩解得－3＜m ≤－2．。
浅谈韦达定理的应用
浅谈韦达定理的应用【摘要】：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）在解题中的运用。
【关键词】：一元二次方程 韦达定理 运用由一元二次方程)04,0(022≥-≠=++ac b a c bx ax 的求根公式可以得到aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=，此时a c x x a b x x =⋅-=+2121,。
这个结论就是韦达定理。
它揭示了一元二次方程根与系数的关系，应用十分广泛，我们在学习中应该掌握定理的本质意义。
一、根据题目条件，直接运用定理若问题要求一元二次方程字母系数的值，或求与一元二次方程的根的有关的代数式的值，或求作符合条件的一元二次方程等，可直接应用韦达定理。
例1 已知方程0652=-+kx x 的一根是2，求它的另一根及k 的值。
解：设方程的另一个根为x ，由韦达定理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+)2.(....................562)1.......(..........22x k x 由方程（2）得：)3(. (5)3-=x ， 把(3)代入方程（1）得：514-=k 。
例2 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程01322=--x x 的各根的倒数。
解：设方程01322=--x x 的两根为21,x x 则有：21,232121-=⋅=+x x x x 。
设所求方程为02=++q px x ，由题意知，该方程的两根分别为211,1x x 。
由韦达定理得： p x x x x p x x -=⋅+-=+21212111，即， 3=∴p 。
q x x =⋅2111，即q x x =211 2-=∴q 。
因此所求作的方程为0232=-+x x 。
例 3 设z y x 、、为实数且)0(22222>=++=++a a z y x a z y x ，，求证：z y x 、、都不能为负值且不大于a 32。
解：此题的证法很多，运用韦达定理也很巧妙，可把三个未知数中其中的一个当成常数如下：z a y x a z y x -=+∴=++， ， 又xy z a z a xy z a y xy x a z y x 22)(222222222222222+-=-+-=++∴=++，， ， 2)2(a z xy -=∴，利用韦达定理把y x ,看成关于m 的一元二次方程的两根，可作出方程,0)2()(22=-+--a z m z a m y x 、 为实数，0)32()2(4)(022≥-=---=∆≥∆∴z a z a z z a ，即 ⎩⎨⎧≤-<0320)1(z a z 可求出0032><a a 与题设矛盾。
韦达定理怎么运用
韦达定理怎么运用
韦达定理怎么运用
导语：中国南宋伟大的数学家秦九韶在他1247年编写的世界数学名著《数书九章》一书中提出了数字一元三次方程与任何高次方程的解法“正负开方术”，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。
那么，接下来就让我们一起来了解以下关于一元三次方程韦达定理怎么用的具体方法吧。
文章仅供大家的参考借鉴!希望文章能够帮助到大家!
韦达定理怎么运用
应用范围1：已知两个根其中的一个，就可以代入韦达定理的关系式里的任何来求得另一个根，并且还可以用另一个关系式来检验。
应用范围2：根据根与系数的关系，把已知的两个根的和的相反数做所求方程的一次项系数，两根的积做常数项，而把二次项系数作为1，这样，就能作出这个方程。
应用范围3：根据根与系数的关系，可以把所求的两个数当作一元二次方程当中的系数，然后解这个方程，那么方程的两个根就是这两个数。
应用范围4：已知一个一元二次方程，不解这个方程，求某些代数式的.值(这些代数式是方程两个根的对称式)。
应用范围5：已知一个一元二次方程，不解这个方程，求作另一个方程，使它的根与原方程的根有某些特殊关系。
应用范围6：利用给出的条件，确定一个一元二次方程中某些字母系数的值。
韦达定理知识点及应用解析
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点与应用解析1、定义：若x 1，x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则有x 1 + x 2 = -a b ， x 1·x 2 = ac 。
对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0，则有x 1 + x 2 =-p ，x 1·x 2 =q2、应用的前提条件：根的判别式△≥0 ⇔方程有实数根。
3、若一个方程的两个为x 1，x 2 ，那么这个一元二次方程为a[x 2+(x 1+x 2)x+ x 1·x 2]=0(a ≠0)4、根与系数的关系求值常用的转化关系：①x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=a c a 2b -2-⎪⎭⎫ ⎝⎛=222a ac b - ②cb x x x x x x -=+=+21212111 ③(x 1+a)(x 2+a)= x 1x 2 +a(x 1+x 2) +a 2 =a c -b +a 2 ④(x 1-x 2)2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =2a4ac -b 2 5、方法归纳：（1）一元二次方程的根与系数的关系的运用条件条件为一元二次方程，即a ≠0，且必须有实数根，即△≥0；（2）运用一元二次方程的根与系数的关系时，一元二次方程应化为一般形式，若系数中含字母要注意分类讨论；（3）一元二次方程的根与系数的关系有时与一元二次方程根的定义综合运用，注意观察所求代数式是特点。
（4）解题思路：将含有根的代数式变形成含有两根和与两根积的式子，再通过韦达定理转化成关于系数的式子，同时要注意参量的值要满足根的实际意义。
6、一元二次方程的根与系数的关系的应用：（1）不解方程，判别一元二次方程两根的符号。
（判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，判别式判定根的存在与否，若＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
专题4：韦达定理应用探讨
【2013年中考攻略】专题4：韦达定理应用探讨锦元数学工作室 编辑韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。
韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212bc x +x =x x =a a-⋅，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。
其逆命题：如果12x x ，满足1212b cx +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。
韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式2=b 4ac 0∆-≥。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
锦元数学工作室将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。
下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
典型例题：例1：（2012湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是【 】A ．－2B ．2C ．3D ．1例2：（2001湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1·x 2的值是【 】A.4.B.3.C.－4.D.－3.例3：（2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】 A ．x 2+2x ﹣4=0 B ．x 2﹣4x+4=0 C ．x 2+4x+10=0 D ．x 2+4x ﹣5=0例4：（2012广西来宾3分）已知关于x 的一元二次方程x 2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【 】A ．－2B ．0C ．1D ．2练习题：1. （2007重庆市3分）已知一元二次方程22x 3x 10--=的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2= ▲ 。
中考数学_专题4_韦达定理应用探讨
2013年中考攻略专题4韦达定理应用探讨韦达，1540年出生于法国地波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚地兴趣，常利用业余时间钻研数学.韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究地重大进步.韦达讨论了方程根地各种有理变换，发现了方程根与系数之间地关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系地结论称为“韦达定理”）.人们为了纪念他在代数学上地功绩，称他为“代数学之父”.韦达定理说地是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212b c x +x =x x =a a-⋅，. 这两个式子反映了一元二次方程地两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 地关系.其逆命题：如果12x x ，满足1212bc x +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠地两个根也成立.韦达定理地应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根地判别式2=b 4ac 0∆-≥.韦达定理及其逆定理作为一元二次方程地重要理论在初中数学教案和中考中有着广泛地应用.锦元数学工作室将其应用归纳为：①不解方程求方程地两根和与两根积； ②求对称代数式地值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数地值； ⑤在平面几何中地应用；⑥在二次函数中地应用.下面通过近年全国各地中考地实例探讨其应用.一、不解方程求方程地两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积.典型例题：例1：（2012湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x2－3x ＋2＝0地两根，则x1＋x2地值是【 】A ．－2 B ．2 C ．3 D ．1【答案】C.【考点】一元二次方程根与系数地关系.【分析】根据一元二次方程根与系数地关系，得x1＋x2＝3.故选C.例2：（2001湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x2＋4x ＋3＝0地两个根，则x1·x2地值是【 】 A.4. B.3. C.－4. D.－3.【答案】B.【考点】一元二次方程根与系数地关系.【分析】根据一元二次方程地根与系数地关系，得12c 3x x ===3a 1⋅.故选B.例3：（2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4地是【 】A ．x2+2x ﹣4=0B ．x2﹣4x+4=0C ．x2+4x+10=0D ．x2+4x ﹣5=0【答案】D.【考点】一元二次方程根地判别式和根与系数地关系.【分析】根据一元二次方程根地判别式和根与系数地关系，要使方程地两实数根和为﹣4，必须方程根地判别式△=b2﹣4ac ≥0，且x1+x2=﹣b a=﹣4.据此逐一作出判断： A ．x2+2x ﹣4=0：△=b2﹣4ac=20＞0，x1+x2=﹣b a=﹣2，所以本选项不合题意； B ．x2﹣4x+4=0：△=b2﹣4ac=0，x1+x2=﹣b a =4，所以本选项不合题意； C ．x2+4x+10=0：△=b2﹣4ac=﹣28＜0，方程无实数根，所以本选项不合题意；D ．x2+4x ﹣5=0：b2﹣4ac=36＞0，，x1+x2=﹣b a=﹣4，所以本选项符号题意. 故选D.例4：（2012广西来宾3分）已知关于x 地一元二次方程x2+x+m=0地一个实数根为1，那么它地另一个实数根是【 】A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2【答案】A.【考点】一元二次方程根与系数地关系.【分析】设方程地另一个实数根为x ，则根据一元二次方程根与系数地关系，得x ＋1=－1，解得x=－2. 故选A.练习题：1. （2007重庆市3分）已知一元二次方程22x 3x 10--=地两根为x1、x2，则x1+x2= ▲ .2. （2005浙江湖州3分）已知一元二次方程2x 12x 70+-=地两个根为x1、x2，则x1+x2地值是【 】A ．－12B ．12C ．－7D ．73. （2011广西来宾3分）已知一元二次方程x2+mx ﹣2=0地两个实数根分别为x1、x2，则x1·x2= ▲ ．4.（2011湖北咸宁3分）若关于x 地方程022=+-m x x 地一个根为1-，则另一个根为【 】A ．3-B ．1-C ．1D ．3 5.（2011云南昆明3分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+4=0地两根，则x1+x2与x1•x2地值分别是【 】 A 、﹣72，﹣2 B 、﹣72，2 C 、72，2 D 、72，﹣2 二、求对称代数式地值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根地对称式地值.所谓对称式，即若将代数式中地任意两个字母交换，代数式不变（()()f x y =f y x ，，），则称这个代数式为完全对称式，如2211x +y +x y，等.扩展后，可以视x y -中x 与y -对称.典型例题：例1：（2012四川攀枝花3分）已知一元二次方程：x2﹣3x ﹣1=0地两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22地值为【 】 A ． ﹣3B ． 3C ． ﹣6D ． 6 【答案】A.【考点】一元二次方程根与系数地关系，求代数式地值.【分析】由一元二次方程：x2﹣3x ﹣1=0地两个根分别是x1、x2，根据一元二次方程根与系数地关系得，x1+x2=3，x1x2=―1，∴x12x2＋x1x22=x1x2（x1＋x2）=（－1）·3=－3.故选A.例2：（2012山东莱芜3分）已知m 、n 是方程x2＋22x ＋1＝0地两根，则代数式m2＋n2＋3mn 地值为【 】A ．9 B ．±3 C ．3 D ．5【答案】C.【考点】一元二次方程根与系数地关系，求代数式地值.【分析】∵m 、n 是方程x2＋22x ＋1＝0地两根，∴m ＋n=-mn=1..故选C.例3：（2012江苏南通3分）设m 、n 是一元二次方程x2＋3x －7＝0地两个根，则m2＋4m ＋n ＝ ▲ ．【答案】4.【考点】求代数式地值，一元二次方程地解，一元二次方程根与系数地关系.【分析】∵m 、n 是一元二次方程x2＋3x －7＝0地两个根，∴m 2＋3 m －7＝0，即m 2＋3 m ＝7；m ＋n ＝－3.∴m2＋4m ＋n ＝（m 2＋3 m ）＋（m ＋n ）＝7－3＝4.例4：（2012湖北鄂州3分）设x1、x2是一元二次方程x2＋5x －3=0地两个实根，且21222x (x 6x 3)a 4+-+=，则a= ▲ .【答案】10.【考点】一元二次方程地解和根与系数地关系.【分析】∵x1、x2是一元二次方程x2＋5x －3=0地两个实根，∴x22＋5x2－3=0，x1x2=－3. 又∵21222x (x 6x 3)a 4+-+=，即212222x (x 5x 3x )a 4+-++=，即122x (0x )a 4++=.∴122x x a 4+=，即()23a 4-+=，解得a=10.练习题：1. （2012湖南张家界3分）已知m 和n 是方程2x2﹣5x ﹣3=0地两根，则11+m n= ▲ ． 2. （2012四川泸州3分）设x1，x2是一元二次方程x2 – 3x – 1 =0地两个实数根，则221212x x 4x x ++地值为 ▲ 3. （2012山东日照4分）已知x1、x2是方程2x2+14x －16=0地两实数根，那么2112x x x x +地值为 ▲ .4. （2012黑龙江绥化3分）设a ，b 是方程x2＋x －2013=0地两个不相等地实数根，则a2＋2a ＋b 地值为 ▲5. （2012黑龙江大庆4分）若方程2x x 10--=地两实根为a 、b ，求11a b+地值． 6. （2011湖北荆州、荆门3分）关于x 地方程2ax (3a 1)x 2(a 1)0-+++=有两个不相等地实根1x 、2x ， 且有1122x x x x 1a -+=-，则a 地值是【 】A.1B.1-C. 1或1-D.27.（2011贵州黔东南4分）若a 、b 是一元二次方程2x 2011x 10-+=地两根，则11a b +地值为【 】 A 、2010 B 、2011 C 、20101 D 、20111 8. （2011江苏苏州3分）已知a 、b 是一元二次方程2x 2x 10--=地两个实数根，则代数式()()a b a b 2ab -+-+地值等于 ▲ ．9. （2011山东德州4分）若x1，x2是方程x 2+ x ﹣1=0地两个根，则x 12+ x 22= ▲ ．10. （2011广西玉林、防城港6分）已知：1x 、2x 是一元二次方程2x 4x 10-+=地两个实数根．求：2121211(x x )()x x +÷+地值．考点：实数地运算；零指数幂；负整数指数幂．专题： HYPERLINK "javascript:void(0)" 计算题．三、构造一元二次方程：如果我们知道问题中某两个字母地和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根地一元二次方程.扩展后字母可为代数式.典型例题：例1：（2012湖北随州4分）设242a 2a 10b 2b 10+-=--=，，且1－ab2≠0，则522ab +b 3a+1a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭= ▲ .例2：（2012四川内江12分）如果方程20x px q ++=地两个根是12,x x ，那么1212,.,x x p x x q +=-=请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x 地方程20,(0),x mx n n ++=≠求出一个一元二次方程，使它地两个根分别是已知方程两根地倒数；（2）已知a 、b 满足221550,1550a a b b ---==-,求a b b a+的值； （3）已知a 、b 、c 满足0,16a b c abc ++==求正数c 地最小值.【答案】解：（1）设关于x 地方程20,(0)x mx n n ++=≠地两根为12,x x ，则有：1212,.x x m x x n +=-=，且由已知所求方程地两根为1211,x x ∴12121211x x m x x x x n +-+==，12121111x x x x n⋅==. ∴所求方程为210m x x n n--+=，即210(0)nx mx n ++=≠. （2）∵a 、b 满足221550,1550a a b b --=--=，∴a 、b 是方程21550x x --=地两根.∴15,5a b ab +==- . ∴()()2222221522475a b ab a b a b a b b a ab ab ab +-+++===-=-=--. （3）∵0,16a b c abc ++==且0c > ∴16,a b c ab c +=-=. ∴a 、b 是一元二次方程()()21600x c x c c--+=>地两个根， 代简，得 ()221600cx c x c ++=> . 又∵此方程必有实数根，∴此方程地0∆≥，即()224160cc -⋅⋅≥，()3340c c -≥.又∵0c > ∴3340c -≥. ∴4c ≥.∴正数c 地最小值为4.． 【考点】一元二次方程根与系数地关系和根地判别式，代数式化简.【分析】（1）设方程20,(0)x mx n n ++=≠地两根为12,x x ，得出1211m x x n -+=，12111x x n ⋅=，再根据这个一元二次方程地两个根分别是已知方程两根地倒数，即可求出答案.（2）根据a 、b 满足221550,1550a a b b --=--=，得出a 、b 是一元二次方程21550x x --=地两个根，由15,5a b ab +==-，即可求出a b b a+地值. （3）根据0,16a b c abc ++==，得出16,a b c ab c+=-=，a 、b 是一元二次方程22160cx c x ++=地两个根，再根据0∆≥，即可求出c 地最小值.例3：（2012四川宜宾8分）某市政府为落实“保障性住房政策，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设．（1）求到2013年底，这两年中投入资金地平均年增长率（只需列出方程）；（2）设（1）中方程地两根分别为x1，x2，且mx12﹣4m2x1x2+mx22地值为12，求m 地值．【答案】解：（1）设到2013年底，这两年中投入资金地平均年增长率为x ，根据题意得：3+3（x+1）+3（x+1）2=10.5.（2）由（1）得，x2+3x ﹣0.5=0，由一元二次方程根与系数地关系得，x1+x2=﹣3，x1x2=﹣0.5.又∵mx12﹣4m2x1x2+mx22=12即m[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣4m2x1x2=12，即m[9+1]﹣4m2（﹣0.5）=12，即m2+5m ﹣6=0，解得，m=﹣6或m=1.【考点】一元二次方程地应用，一元二次方程根与系数地关系.【分析】（1）方程地应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解.本题等量关系为：2011年、2011年和2013某市用于保障房建设资金总量=10.5亿元，把相关数值代入求得合适地解即可.（2）由（1）得到地一元二次方程，根据根与系数地关系求得关于m 地一元二次方程，解之即得m 地值.例4：（2012贵州黔西南14分）问题：已知方程2x +x 1=0-，求一个一元二次方程，使它地根分别是已知方程根地2倍.解：设所求方程地根为y ，则y=2x ，所以y x=2把y x=2代入已知方程，得2y y +1=022⎛⎫- ⎪⎝⎭ 化简，得：2y +2y 4=0-故所求方程为2y +2y 4=0- 这种利用方程根地代换求新方程地方法，我们称为“换根法”.请阅读材料提供地“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）（1）已知方程2x +x 2=0-，求一个一元二次方程，使它地根分别是已知方程根地相反数，则所求方程为：；（2）已知关于x 地一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有两个不等于零地实数根，求一个一元二次方程，使它地根分别是已知方程地倒数.【答案】解：（1）y2－y －2=0.（2）设所求方程地根为y ，则1y x=（x≠0），于是1x y =（y≠0）. 把1x y =代入方程2ax +bx+c=0，得211a +b +c=0y y ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭， 去分母，得a+by+cy2=0.若c=0，有2ax +bx=0，可得有一个解为x=0，与已知不符，不符合题意.∴c≠0.∴所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）.【考点】一元二次方程地应用.【分析】（1）设所求方程地根为y ，则y=－x 所以x=－y.把x=－y 代入已知方程，得y2－y －2=0.（2）根据所给地材料，设所求方程地根为y ，再表示出x ，代入原方程，整理即得出所求地方程. 练习题：1. （2004辽宁沈阳2分）请你写出一个二次项系数为1，两实数根之和为3地一元二次方程： ▲ .2. （2005山东临沂3分）请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且其两根互为倒数 ▲ .3.（2002浙江杭州10分）已知某二次项系数为1地一元二次方程地两个实数根为p 、q ，且满足关系式 ()22p q p 15p q pq 6⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，试求这个一元二次方程．4. （2007江苏淮安3分）写出一个两实数根符号相反地一元二次方程： ▲ .四、求方程中待定系数地值：已知方程两根满足某种关系，则可以利用韦达定理确定方程中待定字母系数地值.典型例题：例1：（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如果关于x 地一元二次方程x2+4x+a=0地两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a 地值为【 】A ．3 B ．﹣3 C ．13 D ．﹣13【答案】B.【考点】一元二次方程根与系数地关系.【分析】∵x1，x2是关于x 地一元二次方程x2+4x+a=0地两个不相等实数根，∴x1+x2=﹣4，x1x2=a.∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2（x1+x2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3.故选B.例2：（2012湖南株洲3分）已知关于x 地一元二次方程x2﹣bx+c=0地两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b 与c 地值分别为【 】 A ．b=﹣1，c=2 B ．b=1，c=﹣2 C ．b=1，c=2 D ．b=﹣1，c=﹣2【答案】D.【考点】一元二次方程根与系数地关系.【分析】∵关于x 地一元二次方程x2﹣bx+c=0地两根分别为x1=1，x2=﹣2，∴x1+x2=b=1+（﹣2）=﹣1，x1•x2=c=1×（﹣2）=﹣2.∴b=﹣1，c=﹣2.故选D.例3：（2012内蒙古呼和浩特3分）已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0地两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a 、b 地值分别是【 】A ．a=﹣3，b=1 B ．a=3，b=1 C ．3a=2-，b=﹣1 D ．3a=2-，b=1【答案】D.【考点】一元二次方程根与系数地关系.【分析】∵x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0地两根，∴x1+x2=﹣2a ，x1x2=b ，∵x1+x2=3，x1x2=1，∴﹣2a=3，b=1，解得3a=2-，b=1.故选D. 例4：（2012内蒙古包头3分）关于x 地一元二次方程()2x mx+5m 5=0--地两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+x2=7，则m 地值是【 】A.2 B. 6 C. 2或6 D . 7【答案】B.【考点】一元二次方程根与系数地关系，解不等式和一元二次方程.【分析】∵方程()2x mx+5m 5=0--有两个正实数根，∴()1212x +x =m 0m 5x x =5m 50>>>⎧⎪⇒⎨⋅-⎪⎩. 又∵2x1+x2=7，∴x1=7－m.将x1=7－m 代入方程()2x mx+5m 5=0--，得()()()27m m 7m +5m 5=0----.解得m=2或m=6.∵m 5>，∴m=6.故选B.例5：（2012山东威海3分）若关于x 地方程()22x +a 1x+a =0-地两根互为倒数，则a= ▲ .【答案】－1.【考点】一元二次方程根与系数地关系，倒数.【分析】∵关于x 地方程()22x +a 1x+a =0-地两根互为倒数，∴设两根为x 和1x. 则根据一元二次方程根与系数地关系，得21x+=1a x 1x =a x⎧-⎪⎪⎨⎪⋅⎪⎩. 由21x =a x⋅得a=1±. 但当a=1时，1x+=1a x-无意义. ∴a=－1.例6：（2012湖北孝感12分）已知关于x 地一元二次方程x2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0．(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等地实数根；(2)若x1、x2是原方程地两根，且|x1－x2|＝m 地值和此时方程地两根．【答案】解：（1）证明：由关于x 地一元二次方程x2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0得△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，∵无论m 取何值，（m+1）2＋4恒大于0，∴原方程总有两个不相等地实数根.（2）∵x1，x2是原方程地两根，∴x1+x2=－（m+3），x1•x2=m+1.∵|x1－x2|＝∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8.∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m －3=0.解得：m1=－3，m2=1.当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：，x2=当m=1时，原方程化为：x2＋4x ＋2=0，解得：x1=－，x2=－2【考点】一元二次方程根地判别式和根与系数地关系.【分析】（1）根据关于x 地一元二次方程x2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0地根地判别式△=b2－4ac 地符号来判定该方程地根地情况.（2）根据根与系数地关系求得x1＋x2和x1•x2，由已知条件|x1－x2|＝平方后可以得到关于x1＋x2和x1•x2地等式，从而列出关于m 地方程，通过解该方程即可求得m 地值，最后将m 值代入原方程并解方程.例7：（2012湖南怀化10分）已知12x ,x 是一元二次方程2(a 6)x 2ax a 0-++=地两个实数根.（1）是否存在实数a ，使1122x x x 4x -+=+成立？若存在，求出a 地值；若不存在，请你说明理由；（2）求使12(x 1)(x 1)++为负整数地实数a 地整数值. 【答案】解：（1）成立.∵12x ,x 是一元二次方程2(a 6)x 2ax a 0-++=地两个实数根， ∴由根与系数地关系可知，1212a 2ax x x x a 6a 6=+=---，； ∵一元二次方程2(a 6)x 2ax a 0-++=有两个实数根， ∴△=4a2－4（a －6）•a≥0，且a-6≠0，解得，a≥0，且a≠6. 由1122x x x 4x -+=+得1212x x 4x x =++，即a 2a4a 6a 6=---. 解得，a=24＞0，且a －6≠0.∴存在实数a ，使1122x x x 4x -+=+成立，a 地值是24. （2）∵121212a 2a 6(x 1)(x 1)=x x x x 1=1=a 6a 6a 6+++++-+----， ∴当12(x 1)(x 1)++为负整数时，a －6＞0，且a －6是6地约数. ∴a －6=6，a －6=3，a －6=2，a －6=1.∴a=12，9，8，7. ∴使12(x 1)(x 1)++为负整数地实数a 地整数值有12，9，8，7.【考点】一元二次方程根与系数地关系和根地判别式，解分式方程. 【分析】根据根与系数地关系求得1212a 2ax x x x a 6a 6=+=---，；根据一元二次方程地根地判别式求得a 地取值范围.（1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即a 2a4a 6a 6=---，通过解该关于a 地方程即可求得a 地值；（2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得a 地取值范围，然后在取值范围内取a 地整数值.例8：（2011四川南充8分）关于地一元二次方程x2+2x+k+1=0地实数解是x1和x2．（1）求k 地取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k 为整数，求k 地值．【答案】解：（1）∵方程有实数根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，解得k≤0.∴k 地取值范围是k≤0.（2）根据一元二次方程根与系数地关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1， ∴x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）. 由﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k ＞﹣2. 又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0. ∵k 为整数，∴k 地值为﹣1和0.【考点】一元二次方程根地判别式和根与系数地关系，解一元一次不等式组.【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k 地取值范围.（2）先由一元二次方程根与系数地关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入所给不等式即可求得k 地取值范围，然后根据k 为整数，求出k 地值.例9：练习题：1. （2011湖南株洲3分）孔明同学在解一元二次方程2x 3x c 0-+=时，正确解得1x 1=，2x 2=，则c 地值为 ▲ ．2. （2011湖北孝感10分）已知关于x 地方程222(k 10x )x k --+=有两个实数根x1，x2， （1）求k 地取值范围；（2）若1212x x x x 1=⋅+-，求k 地值.3. （2012湖北鄂州8分）关于x 地一元二次方程22x (m 3)x m 0---=. （1）证明：方程总有两个不相等地实数根；（2）设这个方程地两个实数根为x1，x2，且｜x1｜=｜x 2｜－2，求m 地值及方程地根. 4. （2012四川南充8分）关于x 地一元二次方程x2＋3x ＋m －1=0地两个实数根分别为x1,x2.（1）求m 地取值范围；（2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m 地值.5. （2011四川达州3分）已知关于x 地方程x2﹣mx+n=0地两个根是0和﹣3，则m= ▲ ，n= ▲ .6. （2011四川泸州2分）已知关于x 地方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0地两实根地平方和等于11，则k 地值为 ▲ .7. （2011四川乐山10分）题甲：已知关于x 地方程222(a 1)a 4x x 7a 0+-+--=地两根为x1、x2，且满足121233x x x x 20--⋅-=.求24a 2(1)a 4a++⋅-地值. 8. （2006北京市7分）已知：关于x 地方程2mx 14x 70--=有两个实数根x1和x2，关于y 地方程()22y 2n 1y n 2n 0--+-=有两个实数根y1和y2，且－2≤y1＜y2≤4．当21212122622y y 140x x x x -+-+=+⋅（）时，求m 地取值范围.9. （2006四川凉山6分）已知：x2+a2x+b=0地两个实数根为x1、x2；y1、y2是方程y2+5ay+7=0地两个实数根，且x1－y1=x2－y2=2．求a 、b 地值.五、在平面几何中地应用：在平面几何中，①两圆外切，两圆圆心距离等于两圆半径之和；②勾股定理两直角边地平方和等于斜边地平方地应用，可以与一元二次方程根与系数地关系相结合命题.典型例题：例2：（2003江苏镇江6分）已知，如图，Rt △ABC 中，∠ACB=900，AB=5，两直角边AC 、BC 地长是关于x 地方程()2x m 5x 6m 0-++=地两个实数根.（1）求m 地值及AC 、BC 地长（BC>AC ）（2）在线段BC 地延长线上是否存在点D ，使得以D 、A 、C 为顶点地三角形与△ABC 相似？若存在，求出CD 地长；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）设方程()2x m 5x 6m 0-++=地两个根分别是x1、x2.∴x1+x2=m+5，x1•x2=6m.∴2222121212x x x x 2x x m 526m +=+-=+-⋅（）（） .∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=5， ∴22212x x AB +=.∴22m 526m 5+-⋅=（），∴m2-－m=0.∴m=0或m=2. 当m=0时，原方程地解分别为x1=0，x2=5，但三角形地边长不能为0，所以m=0舍去；当m=2时，原方程为x2－7x+12=0，其解为x1=3，x2=4，所以两直角边AC=3，BC=4. ∴m=2，AC=3，BC=4. （2）存在.已知AC=3，BC=4，AB=5，欲使以△AD1C为顶点地三角形与△ABC 相似，则11AB AC BCAD CD AC==. ∴134CD 3=，则CD1=94. 欲使以△AD2C 为顶点地三角形与△ABC 相似，则22AB BC ACAD CD AC==. ∴BC=CD2=4.综上所述，在线段BC 地延长线上是存在点D ，使得以D 、A 、C 为顶点地三角形与△ABC 相似，CD 地长为94或4.【考点】相似三角形地判定，根与系数地地关系，相似三角形地判定和性质，勾股定理.【分析】（1）先利用根与系数地关系与勾股定理求出m 地值，再代入m 地值求出AC 、BC 地长.（2）根据相似三角形地性质来解答此题，利用相似比即可求出CD 地长. 练习题：1. （2012山东潍坊3分）已知两圆半径r1、r2分别是方程x2—7x+10=0地两根，两圆地圆心距为7，则两圆地位置关系是【 】． A ．相交 B ．内切 C ．外切 D ．外离2. （2006四川广安8分）已知：△ABC 地两边AB 、AC 地长是关于x 地一元二次方程x2－（2k+3）x+k2+3k+2=0地两个实数根，第三边BC 地长为5．试问：k 取何值时，△ABC 是以BC 为斜边地直角三角形？3. （2002江苏无锡9分）已知：如图，⊙O 地半径为r ，CE 切⊙O 于C ，且与弦AB 地延长线交于点E ，CD ⊥AB 于D ．如果CE=2BE ，且AC 、BC 地长是关于x 地方程()22x 3r 2x r 40--+-=地两个实数根．求：（1）AC 、BC 地长；（2）CD 地长．4. （2002湖南益阳10分）巳知：如图，在△ABC 中，∠B=90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径地半圆交AB 于点E ，与AC 切于点D ．当22AD AE 5+=时，AD 、AE （AD ＞AE ）是关于x 地方程x2－（m －1）x ＋m －2=0（m≠0）地两个根．（1）求实数m 地值；（2）证明：CD 地长度是无理方程x 1=地一个根；（3）以B 点为坐标原点，分别以AB 、BC 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，求过A 、B 、D 三点且对称轴平行于y 轴地抛物线地解读式．5. （2010湖南株洲3分）两圆地圆心距d=5，它们地半径分别是一元二次方程x2-5x+4=0地两个根，这两圆地位置关系是 ▲七、在二次函数中地应用：一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)可以看作二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当y ＝0时地情形，因此若干二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)地图象与ｘ轴交点地综合问题都可以用韦达定理解题.典型例题：例1：（2012天津市3分）若关于x地一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1m4 >-；③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m地图象与x轴交点地坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论地个数是【】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3例2：（2012甘肃兰州10分）若x1、x2是关于一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)地两个根，则方程地两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1＋x2＝ba-，x1•x2＝ca．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)地图象与x轴地两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间地距离为：AB＝|x1－x2|＝参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a ＞0)地图象与x 轴地两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线地顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．(1)当△ABC 为直角三角形时，求b2－4ac 地值； (2)当△ABC 为等边三角形时，求b2－4ac 地值．【答案】解：（1）当△ABC 为直角三角形时，过C 作CE ⊥AB 于E ，则AB ＝2CE.∵抛物线与x 轴有两个交点，△＝b2－4ac ＞0， 则|b2－4ac|＝b2－4ac.∵a ＞0，∴AB又∵CE 224ac b b 4ac==4a 4a --2b 4ac 4a -⋅.2b 4ac 2-，即()222b 4ac b 4ac=4--.∵b2－4ac ＞0，∴b2－4ac ＝4.（2）当△ABC 为等边三角形时，由(1)可知CE ，∴2b 4ac 4a - ∵b2－4ac ＞0，∴b2－4ac ＝12.【考点】抛物线与x 轴地交点，根与系数地关系，等腰三角形地性质，等边三角形地性质.【分析】（1）当△ABC为直角三角形时，由于AC＝BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE．根据本题定理和结论，得到AB，根据顶点坐标公式，得到CE24ac b=4a-，列出方程，解方程即可求出b2－4ac地值.（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE AB，据此列出方程，解方程即可求出b2－4ac地值.例3：（2012广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）地两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB地长为d，当p 为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．例4：（2012湖北荆州12分）已知：y关于x地函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2地图象与x轴有交点．（1）求k地取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点地横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．①求k地值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y地最大值和最大值．【答案】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x 轴有一个交点.当k ≠1时，函数为二次函数，其图象与x 轴有一个或两个交点， 令y=0得（k ﹣1）x2﹣2kx+k+2=0．△=（﹣2k ）2﹣4（k ﹣1）（k+2）≥0，解得k ≤2．即k ≤2且k ≠1. 综上所述，k 地取值范围是k ≤2.（2）①∵x1≠x2，由（1）知k ＜2且k ≠1.由题意得（k ﹣1）x12+（k+2）=2kx1（*），将（*）代入（k ﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k （x1+x2）=4x1x2.又∵x1+x2=2k k 1-，x1x2=k+2k 1-，∴2k •2k k 1-=4•k+2k 1-， 解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）.∴所求k 值为﹣1.②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x ﹣12）2+32，且﹣1≤x ≤1， 由图象知：当x=﹣1时，y 最小=﹣3；当x=12时，y 最大=32.∴y 地最大值为32，最小值为﹣3.【考点】抛物线与x 轴地交点，一次函数地定义，一元二次方程根地判别式和根与系数物关系，二次函数地最值.【分析】（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x 轴有一交点；当k ≠1时，函数为二次函数，若与x 轴有交点，则△≥0.（2）①根据（k ﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数地关系，建立关于k 地方程，求出k 地值.②充分利用图象，直接得出y 地最大值和最小值.例5：（2012湖北黄石10分）已知抛物线C1地函数解读式为2y ax bx 3a(b 0)=+-<，若抛物线C1经 过点(0,3)-，方程2ax bx 3a 0+-=地两根为1x ，2x ，且12x x 4-=.（1）求抛物线C1地顶点坐标. （2）已知实数x 0>，请证明：1x x +≥2,并说明x 为何值时才会有1x 2x+=. （3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设1A(m,y )，2B(n,y )是C2上地两个不同点，且满足： 00AOB 9∠=，m 0>，n 0<.请你用含有m 地表达式表示出△AOB地面积S ，并求出S 地最小值及S 取最小值时一次函数OA 地函数解读式.（参考公式：在平面直角坐标系中，若11P(x ,y )，22Q(x ,y )，则P ，Q 两点间地距离【答案】解：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a ＝－３.∴a ＝１ .∴ｙ＝x2＋bx －３∵x2＋bx －３=０地两根为x1，x2且12x x 4-=，∴12x x -=＝４且b ＜０.∴b ＝－２. ∴()22x x x ----ｙ＝２３＝１４. ∴抛物线Ｃ１地顶点坐标为（１，－４）.（2）∵x ＞０，∴1x 20x +-=≥ ∴1x 2x +≥.时，即当x ＝１时，有1x 2x +=. （3）由平移地性质，得C2地解读式为：y ＝x2 .∴Ａ(m ，m2)，B （n ，n2）.∵ΔAOB 为直角三角形，∴OA2＋OB2=AB2. ∴m2＋m4＋n2＋n4＝（m －n ）2＋（m2－n2）2， 化简得：m n ＝－１.∵ＳΔAOB=12⋅O A O B=m n ＝－１，∴ＳΔAOB 111m 212m 2⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭. ∴ＳΔAOB 地最小值为１，此时m ＝１,Ａ(１,１). ∴直线OA 地一次函数解读式为ｙ＝x.【考点】二次函数综合题，曲线上点地坐标与方程地关系，一元二次方程根与系数地关系，二次函数地性质，不等式地知识.【分析】（1）求抛物线地顶点坐标，即要先求出抛物线地解读式，即确定待定系数a 、b 地值．已知抛物线图象与y 轴交点，可确定解读式中地常数项（由此得到a 地值）；然后从方程入手求b 地值，题目给出了两根差地绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积地形式），结合根与系数地关系即可求出b 地值.（2）将1x x+配成完全平方式，然后根据平方地非负性即可得证. （3）结合（1）地抛物线地解读式以及函数地平移规律，可得出抛物线C2地解读式；在Rt △OAB 中，由勾股定理可确定m 、n 地关系式，然后用m 列出△AOB 地面积表达式，结合不等式地相关知识可确定△OAB 地最小面积值以及此时m 地值，从而由待定系数法确定一次函数OA 地解读式.别解：由题意可求抛物线C2地解读式为：y ＝x2.∴Ａ(m ，m2)，B （n ，n2）.过点A 、B 作x 轴地垂线，垂足分别为C 、D ，则AOC BOD ACDB S S S S ∆∆=--梯形2222111(m n )(m n)m m n n 2221mn(m n)2=+--⋅-⋅=-- 由BOD △∽OAC △得 BD OD OC AC =，即22n n m m -=.∴mn 1=-. ∴1111S mn(m n)=m+2122m 2⎛⎫=--≥⋅= ⎪⎝⎭. ∴ＳΔAOB 地最小值为１，此时m ＝１,Ａ(１,１).∴直线OA 地一次函数解读式为ｙ＝x.例6：（广东广州14分）已知关于x 地二次函数()2y ax bx c a 0=++≠地图象经过点C （0，1），且与x 轴交于不同地两点A 、B ，点A 地坐标是（1，0）（1）求c 地值；（2）求a 地取值范围；（3）该二次函数地图象与直线y ＝1交于C 、D 两点，设A 、B 、C 、D 四点构成地四边形地对角线相交于点P ，记△PCD 地面积为S1，△PAB 地面积为S2，当0＜a ＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．【答案】解：（1）把C （0，1）代入二次函数2y ax bx c =++得：1＝0＋0＋c ，解得：c ＝1. ∴c 地值是1.（2）由（1）二次函数为2y ax bx 1=++，把A （1，0）代入得：0＝a b +＋1，∴b ＝－1－a .∵二次函数为2y ax bx 1=++与x 轴有两个交点，∴ 一元一次方程2ax bx 1=0++根地判别式∆＞0，即()()2221a 4a=a 2a 1a 1----+-＝＞0，∴a ≠1且a ＞0. ∴a 地取值范围是a ≠1且a ＞0.（3）证明：∵0＜a ＜1，∴B 在A 地右边，设A （1，0），B （b x ，0），∵()2ax 1a x 1=0+--+由根与系数地关系得：1＋b x ＝1+a a ，∴b 1x =a . ∴AB ＝11a 1a a--=. 把y ＝1代入二次函数得：()2ax 1a x 1=1+--+解得：x 1＝0，x 2＝错误！未找到引用源.， ∴CD ＝错误！未找到引用源..过P 作MN ⊥CD 于M ，交x 轴于N ，则MN ⊥x 轴，∵CD ∥AB ，∴△CPD ∽△BPA.∴PM CD PN AB＝，即1aPM a 1a 1PM a+--＝. 解得，1a PM 2+＝.∴1a PN 2-＝. ∴ 121111a 1a 11a 1a S S CD PM AB PN 1222a 22a 2++---⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅＝＝＝. 即不论a 为何值，S1－S2地值都是常数.这个常数是1.【考点】二次函数综合题，解一元一次方程，解二元一次方程组，根地判别式，根与系数地关系，二次函数图象上点地坐标特征，待定系数法求二次函数解读式，相似三角形地判定和性质.【分析】（1）把C （0，1）代入抛物线即可求出c .（2）把A （1，0）代入得到0＝a b +＋1，推出b ＝－1－a ，求出方程2ax bx 1=0++地∆地值即可.（3）设A （1，0），B （b x ，0），由根与系数地关系求出AB 错误！未找到引用源.，把y ＝1代入抛物线得到方程()2ax 1a x 1=1+--+，求出方程地解，进一步求出CD 过P 作MN ⊥CD 于M ，交x轴于N ，根据△CPD ∽△BPA ，求出PN 、PM 地长，根据三角形地面积公式即可求出S1－S2地值即可.例7：（2011黑龙江大庆8分）已知二次函数2y ax bx b(a 0,b 0)=-+>>)图象顶点地纵坐标不大于－ b 2．(1)求该二次函数图象顶点地横坐标地取值范围；(2)若该二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点，求线段AB 长度地最小值．【答案】解：（1）∵2y ax bx b(a 0,b 0)=-+>>图象顶点坐标为（b ,2a24ab b 4a -）， 由已知得24ab b b 4a 2-≤- ，解得b 32a ≥. ∴该二次函数图像顶点地横坐标地取值范围是不小于3.（2）设1212A(x , 0) , B(x , 0)(x x )<，则12x x ，是方程2ax bx b=0-+地两个根. ∴1212b b x +x =x x =a a ⋅，.∴21AB x x =-== 由（1）可知b 6a≥.由于当b 6a≥时，随着b a∴当b =6a 时，线段AB 地长度地最小值为.【考点】二次函数地性质，二次函数和x 轴地交点与一元二次方程地关系，韦达定理.【分析】（1）先求出2y ax bx b(a 0,b 0)=-+>>地顶点地纵坐标，根据题意得出b 32a≥，即可得出该二次函数图象顶点地横坐标地取值范围.（2）设1212A(x , 0) , B(x , 0)(x x )<，则12x x ，是方程2ax bx b=0-+地两个根，由韦达定理，根据21AB x x =-求出线段AB 长度地最小值.例8：（2012湖南长沙10分）如图半径分别为m ，n （0＜m ＜n ）地两圆⊙O1和⊙O2相交于P ，Q 两点，且点P （4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x 轴，y 轴分别切于点M ，点N ，⊙O2与x 轴，y 轴分别切于点R ，点H ．（1）求两圆地圆心O1，O2所在直线地解读式；（2）求两圆地圆心O1，O2之间地距离d ；（3）令四边形PO1QO2地面积为S1，四边形RMO1O2地面积为S2．试探究：是否存在一条经过P ，Q 两点、开口向下，且在x 在，请求出此抛物线地解读式；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）由题意可知O1（m ，m ），O2（n ，n ），设过点O1，O2地直线解读式为y=kx+b ，则有：mk+b=m nk+b=n ⎧⎨⎩（0＜m ＜n ），解得k=1b=0⎧⎨⎩.∴两圆地圆心O1，O2所在直线地解读式为：y=x.（2）由相交两圆地性质，可知P 、Q 点关于O1O2对称．∵P （4，1），直线O1O2解读式为y=x ，∴Q （1，4）.如图1，连接O1Q ， O2Q.∵Q （1，4），O1（m ，m ），∴根据勾股定理得到：1O Q =又∵O1Q 为小圆半径，即QO1=m ，，化简得：m2﹣10m+17=0 ①同理可得：n2﹣10n+17=0 ②由①，②式可知，m 、n 是一元二次方程x2﹣10x+17=0 ③地两个根，解③得：x 5=±.∵0＜m ＜n ，∴m=5－n=5+∵O1（m ，m ），O2（n ，n ），。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【2013年中考攻略】专题4：韦达定理应用探讨韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。
韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为―韦达定理‖）。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为―代数学之父‖。
韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212b c x +x =x x =aa-⋅，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。
其逆命题：如果12x x ，满足1212bc x +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。
韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式2=b 4ac 0∆-≥。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
锦元数学工作室将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。
下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
典型例题：例1：（2012湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是【 】A ．－2B ．2C ．3D ．1 【答案】C 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝3。
故选C 。
例2：（2001湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x1·x2的值是【】A.4.B.3.C.－4.D.－3. 【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得12c3x x===3a1⋅。
故选B。
例3：（2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【】A．x2+2x﹣4=0B．x2﹣4x+4=0C．x2+4x+10=0D．x2+4x﹣5=0【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，要使方程的两实数根和为﹣4，必须方程根的判别式△=b2﹣4ac≥0，且x1+x2=﹣ba=﹣4。
据此逐一作出判断：A．x2+2x﹣4=0：△=b2﹣4ac=20＞0，x1+x2=﹣ba=﹣2，所以本选项不合题意；B．x2﹣4x+4=0：△=b2﹣4ac=0，x1+x2=﹣ba=4，所以本选项不合题意；C．x2+4x+10=0：△=b2﹣4ac=﹣28＜0，方程无实数根，所以本选项不合题意；D．x2+4x﹣5=0：b2﹣4ac=36＞0，，x1+x2=﹣ba=﹣4，所以本选项符号题意。
故选D。
例4：（2012广西来宾3分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【】A．－2 B．0 C．1 D．2【答案】A。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】设方程的另一个实数根为x，则根据一元二次方程根与系数的关系，得x＋1=－1，解得x=－2。
故选A。
练习题：1.（2007重庆市3分）已知一元二次方程22x3x10--=的两根为x1、x2，则x1+x2=▲ 。
2. （2005浙江湖州3分）已知一元二次方程2x12x70+-=的两个根为x1、x2，则x1+x2的值是【 】A ．－12B ．12C ．－7D ．73. （2011广西来宾3分）已知一元二次方程x 2+mx ﹣2=0的两个实数根分别为x 1、x 2，则x 1·x 2= ▲ ．4.（2011湖北咸宁3分）若关于x 的方程022=+-m x x 的一个根为1-，则另一个根为【 】A ．3-B ．1-C ．1D ．35.（2011云南昆明3分）若x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣7x+4=0的两根，则x 1+x 2与x 1•x 2的值分别是【 】A 、﹣72错误！未找到引用源。
，﹣2 B 、﹣72，2 C 、72，2 D 、72，﹣2二、求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
所谓对称式，即若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变（()()f x y =f y x ，，），则称这个代数式为完全对称式，如2211x +y +x y，等。
扩展后，可以视x y -中x 与y -对称。
典型例题：例1：（2012四川攀枝花3分）已知一元二次方程：x 2﹣3x ﹣1=0的两个根分别是x 1、x 2，则x 12x 2+x 1x 22的值为【 】 A ． ﹣3 B ． 3 C ． ﹣6 D ． 6【答案】A 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。
【分析】由一元二次方程：x 2﹣3x ﹣1=0的两个根分别是x 1、x 2，根据一元二次方程根与系数的关系得，x 1+x 2=3，x 1x 2=―1， ∴x 12x 2＋x 1x 22=x 1x 2（x 1＋x 2）=（－1）·3=－3。
故选A 。
例2：（2012山东莱芜3分）已知m 、n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根，则代数式m 2＋n 2＋3mn 的值为【 】A ．9B ．±3C ．3D ．5 【答案】C 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。
【分析】∵m 、n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根，∴m ＋n=22-，mn=1。
∴()()2222m +n +3mn =m+n +mn =22+1=8+1=9=3-。
故选C 。
例3：（2012江苏南通3分）设m 、n 是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则m 2＋4m ＋n ＝ ▲ ． 【答案】4。
【考点】求代数式的值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵m 、n 是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根， ∴m 2＋3 m －7＝0，即m 2＋3 m ＝7；m ＋n ＝－3。
∴m 2＋4m ＋n ＝（m 2＋3 m ）＋（m ＋n ）＝7－3＝4。
例4：（2012湖北鄂州3分）设x 1、x 2是一元二次方程x 2＋5x －3=0的两个实根，且21222x (x 6x 3)a 4+-+=，则a= ▲ .【答案】10。
【考点】一元二次方程的解和根与系数的关系。
【分析】∵x 1、x 2是一元二次方程x 2＋5x －3=0的两个实根，∴x 22＋5x 2－3=0，x 1x 2=－3。
又∵21222x (x 6x 3)a 4+-+=，即212222x(x 5x 3x )a 4+-++=，即122x (0x )a 4++=。
∴122x x a 4+=，即()23a 4-+=，解得a=10。
练习题：1. （2012湖南张家界3分）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则11+mn= ▲．2. （2012四川泸州3分）设x 1，x 2是一元二次方程x 2 – 3x – 1 =0的两个实数根，则221212x x 4x x ++的值为 ▲3. （2012山东日照4分）已知x 1、x 2是方程2x 2+14x －16=0的两实数根，那么2112x x x x +的值为 ▲ .4. （2012黑龙江绥化3分）设a ，b 是方程x 2＋x －2013=0的两个不相等的实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为▲5. （2012黑龙江大庆4分）若方程2x x 10--=的两实根为a 、b ，求11a b+的值．6. （2011湖北荆州、荆门3分）关于x 的方程2ax (3a 1)x 2(a 1)0-+++=有两个不相等的实根1x 、2x ，且有1122x x x x 1a -+=-，则a 的值是【 】A. B.1- C.或1- D.27.（2011贵州黔东南4分）若a 、b 是一元二次方程2x 2011x 10-+=的两根，则11a b+的值为【 】A 、2010B 、2011C 、20101 D 、201118. （2011江苏苏州3分）已知a 、b 是一元二次方程2x 2x 10--=的两个实数根，则代数式()()a b a b 2ab -+-+的值等于 ▲ ．9. （2011山东德州4分）若x 1，x 2是方程x 2+ x ﹣1=0的两个根，则x 12+ x 22= ▲ ． 10. （2011广西玉林、防城港6分）已知：1x 、2x 是一元二次方程2x 4x 10-+=的两个实数根．求：2121211(x x )()x x +÷+的值．三、构造一元二次方程：如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
扩展后字母可为代数式。
典型例题：例1：（2012湖北随州4分）设242a 2a 10b 2b 10+-=--=，，且1－ab 2≠0，则522ab +b 3a+1a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭= ▲ .例2：（2012四川内江12分）如果方程20x px q ++=的两个根是12,x x ，那么1212,.,x x p x x q +=-=请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x 的方程20,(0),x m x n n ++=≠求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数； （2）已知a 、b 满足221550,1550aa bb ---==-,求a b ba+的值；（3）已知a 、b 、c 满足0,16a b c abc ++==求正数c 的最小值。
【答案】解：（1）设关于x 的方程20,(0)x m x n n ++=≠的两根为12,x x ，则有：1212,.x x m x x n +=-=，且由已知所求方程的两根为1211,x x∴12121211x x m x x x x n +-+==，12121111x x x x n⋅==。
∴所求方程为210m x x nn--+=，即210(0)nx m x n ++=≠。
（2）∵a 、b 满足221550,1550a a b b --=--=，∴a 、b 是方程21550x x --=的两根。
∴15,5a b ab +==- 。
∴()()2222221522475a b aba b a b a b baababab+-+++===-=-=--。