二次型的性质及应用
二次型的正定性与半正定性判定
二次型的正定性与半正定性判定在线性代数中，二次型是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
正定性与半正定性是二次型的两个重要性质，对于理解和解决实际问题起着至关重要的作用。
本文将深入探讨二次型的正定性与半正定性的判定方法，以及它们在实际问题中的应用。
一、二次型的定义与基本性质二次型是一个关于n个变量的二次齐次多项式，可以表示为:$$Q(x_1,x_2,...,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$$其中，$a_{ij}$为二次型的系数，$x_1,x_2,...,x_n$为变量。
二次型的基本性质有：1. 对称性：$a_{ij} = a_{ji}$2. 齐次性：$Q(kx_1,kx_2,...,kx_n) = k^2Q(x_1,x_2,...,x_n)$，其中k 为常数。
3. 定义正定性与半正定性的前提：二次型必须是实二次型，即系数$a_{ij}$为实数。
二、正定性的判定正定性是指对于任意非零向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)$，二次型$Q(x)$的取值都大于零。
正定性的判定方法有以下几种常用方式：1. 惯性定理: 二次型的惯性定理指出，通过变换二次型的系数矩阵，可以得到一个对角阵，该对角阵的主对角线上元素个数为二次型的正惯性指数。
- 若正惯性指数为n，则二次型正定；- 若正惯性指数为0，则二次型半正定；- 若正惯性指数非0非n，则二次型不定。
2. Sylvester定理: Sylvester定理是另一种判定二次型正定性的方法，通过判断二次型的所有顺序主子式是否大于零来确定。
- 若所有顺序主子式大于零，则二次型正定；- 若所有顺序主子式非负但存在某个顺序主子式为零，则二次型半正定；- 若存在某个顺序主子式小于零，则二次型不定。
三、半正定性的判定半正定性是指对于任意非零向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)$，二次型$Q(x)$的取值都大于等于零。
二次型的规范形与标准形
二次型的规范形与标准形在线性代数中，二次型是由一组变量的二次多项式构成的一类函数。
它在数学和应用领域都有广泛的应用。
对于任意二次型，可以通过适当的线性变换将其化为规范形或标准形。
本文将介绍二次型的规范形和标准形，并探讨它们的性质和应用。
1. 二次型的定义和性质二次型是由变量x1，x2，...，xn 的二次多项式构成的函数。
通常表示为Q(x) = x^T A x，其中x = (x1, x2, ..., xn)^T 是变量向量，A 是实对称矩阵。
二次型具有以下性质：- 对称性：Q(x) = Q(x^T)- 齐次性：Q(kx) = k^2 Q(x)，对任意实数k- 加性：Q(x + y) = Q(x) + Q(y)，对任意向量x，y2. 二次型的规范形对于任意二次型Q(x)，可以通过合适的变量变换将其化为规范形。
规范形是一种特殊的形式，使得无法再通过线性变换进一步简化。
规范形的形式如下：Q(x) = λ1 y1^2 + λ2 y2^2 + ... + λn yn^2其中，λ1，λ2，...，λn 是实数，y1，y2，...，yn 是规范变量。
通过矩阵的特征值分解，可以得到二次型的规范形。
具体步骤如下：- 求出二次型Q(x)对应的对称矩阵A的特征值λ1，λ2，...，λn- 对应每个特征值λi，求出对应的特征向量yi- 将特征向量yi按列排列得到矩阵P = (y1, y2, ..., yn)- 规范形为Q(x) = P^T Δ P，其中，Δ = diag(λ1, λ2, ..., λn) 是特征值对角矩阵3. 二次型的标准形二次型的标准形是规范形的一种特殊情况，对应于所有特征值都是1或-1的情况。
标准形的形式如下：Q(x) = y1^2 + y2^2 + ... + yn^2对于特征值λi = 1，取对应的特征向量yi作为标准变量；对于特征值λi = -1，取对应的特征向量yi的相反数作为标准变量。
相比规范形，标准形更加简洁，且易于分析和计算。
二次型的标准形与规范形
二次型的标准形与规范形引言在线性代数中，二次型是一个重要的概念。
它在解决优化问题、矩阵分析以及其他数学领域中有广泛的应用。
二次型可以通过变换来改变其表达形式，其中标准形和规范形是常用的两种变换形式。
本文将重点介绍二次型的标准形和规范形，并探讨它们的性质和应用。
二次型的定义在矩阵和向量的帮助下，我们可以定义二次型。
给定一个实对称矩阵A和一个实列向量$\\mathbf{x}$，一个二次型可以表示为$\\mathbf{x}^TA\\mathbf{x}$。
其中，A是一个$n\\times n$的实对称矩阵，$\\mathbf{x}$是一个n维实列向量。
二次型可以看作是向量$\\mathbf{x}$和矩阵A的乘积的形式。
二次型的标准形二次型的标准形是一个最简化的表达形式，可以通过合适的变换将任意的二次型转化为标准形。
标准形的特点是只有对角线上有非零元素，其余位置上都是零。
为了找到这样的标准形，我们需要进行特征值分解。
特征值分解根据实对称矩阵特征值的性质，矩阵A可以通过特征值分解表示为A=PDP T，其中P是由A的特征向量组成的正交矩阵，D是由特征值组成的对角矩阵。
将特征值代入二次型$\\mathbf{x}^TA\\mathbf{x}$中，可以得到$\\mathbf{x}^T(PDP^T)\\mathbf{x}$。
根据矩阵乘法的结合律，上式可以变为$(P^T\\mathbf{x})^TD(P^T\\mathbf{x})$。
标准形的规定为了将矩阵A转化为标准形，需要定义一个新的变量$\\mathbf{y} =P^T\\mathbf{x}$，其中$\\mathbf{y}$和$\\mathbf{x}$的关系可以写为$\\mathbf{x} = P\\mathbf{y}$。
带入二次型的表达式中，可以得到$\\mathbf{x}^TA\\mathbf{x} = \\mathbf{y}^TD\\mathbf{y}$。
根据特征值分解的性质，可以进一步将$\\mathbf{y}^TD\\mathbf{y}$化简为$y_1^2 + y_2^2 +\\ldots + y_n^2$。
二次型的基本理论和应用
二次型的基本理论和应用二次型是高等数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。
本文将针对二次型的基本理论和应用进行探讨。
一、二次型的定义二次型指的是$x_1,x_2,\cdots,x_n$的二次齐次多项式$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，即：$$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j $$其中$a_{ij}$为常数项，且矩阵$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$称为二次型的矩阵。
二、二次型的矩阵二次型的矩阵有很多重要性质：1. 对称矩阵二次型的矩阵$\boldsymbol{A}$是对称矩阵，即对于任意$i,j$都有$a_{ij}=a_{ji}$。
2. 正定矩阵若$\forall x \neq 0$，都有$x^T\boldsymbol{A}x>0$，则称矩阵$\boldsymbol{A}$为正定矩阵。
若$\forall x \neq 0$，都有$x^T\boldsymbol{A}x\geq 0$，则称矩阵$\boldsymbol{A}$为半正定矩阵。
正定矩阵可用来定义内积、距离和角度等概念，具有广泛的应用。
3. 特征值和特征向量二次型的矩阵$\boldsymbol{A}$存在$n$个特征值$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$，并且存在对应于每个特征值的特征向量$\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_n$，满足：$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_i=\lambda_i\boldsymbol{x}_i$$其中，若$\lambda_i>0$，则$\boldsymbol{x}_i$为正特征向量；若$\lambda_i=0$，则$\boldsymbol{x}_i$为零特征向量；若$\lambda_i<0$，则$\boldsymbol{x}_i$为负特征向量。
二次型在经济管理中的应用简介
二次型在经济管理中的应用简介一、引言二次型是高等数学中的一个重要概念，其在经济管理中有着广泛的应用。
本文将从二次型的定义、性质及应用方面进行详细介绍。
二、二次型的定义及性质1. 二次型的定义二次型是指具有形如 $Q(x)=x^T A x$ 的函数，其中 $x$ 是 $n$ 维列向量，$A$ 是 $n \times n$ 的实对称矩阵。
2. 二次型的性质（1）对于任意非零向量 $x$，有 $Q(x)>0$ 或 $Q(x)<0$ 或$Q(x)=0$。
（2）若矩阵 $A$ 正定，则对于任意非零向量 $x$，有 $Q(x)>0$。
（3）若矩阵 $A$ 半正定，则对于任意非零向量 $x$，有 $Q(x)\geqslant 0$。
（4）若矩阵 $A$ 半负定，则对于任意非零向量 $x$，有 $Q(x)\leqslant 0$。
三、经济管理中的应用1. 最小二乘法最小二乘法是一种常见的回归分析方法，在经济管理中广泛应用。
最小二乘法可以转化为求解一个二次型的最小值问题，即$\min\limits_{\beta} \sum_{i=1}^{n}(y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^{p}\beta_j x_{ij})^2$，其中 $y_i$ 是因变量，$x_{ij}$ 是自变量，$\beta_j$ 是回归系数。
将其转化为矩阵形式为$\min\limits_{\beta} (Y-X\beta)^T(Y-X\beta)$，其中$Y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^T$，$X=\begin{pmatrix} 1 & x_{11} & \cdots & x_{1p}\\ 1 & x_{21} & \cdots & x_{2p}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_{n1} & \cdots & x_{np}\\\end{pmatrix}$。
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二次型引言二次型是数学中的一个重要概念，它在线性代数、微分方程、优化问题等领域都有广泛的应用。
本文将介绍二次型的定义、性质和常见应用，并且给出一些例题以帮助读者更好地理解和应用二次型。
一、二次型的定义1.1 二次型的概念在线性代数中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，其形式可表示为：Q(x) = x^T·A·x其中，x = (x1, x2, ..., xn)为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
1.2 二次型的矩阵表示对于一个二次型Q(x)，其矩阵表示为A = (aij)，其中aij表示二次型中xixj的系数，即Q(x)中二次项的系数。
1.3 二次型的基本性质二次型具有以下基本性质：（1）二次型的值域对于任意非零向量x，Q(x) = x^T·A·x > 0，则称Q(x)为正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x < 0，则称Q(x)为负定二次型；若Q(x) = x^T·A·x >= 0，则称Q(x)为半正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x <= 0，则称Q(x)为半负定二次型；若存在一组非零向量使得Q(x) = x^T·A·x既大于0又小于0，则称Q(x)为不定二次型。
（2）二次型的规范形式通过合适的变量变换，可以将任意二次型Q(x)化为其规范形式，即Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λny^n^2，其中λi为实数（i = 1, 2, ..., n）。
（3）二次型的秩二次型的秩等于其非零特征值的个数。
如果二次型的秩为k，则存在可逆矩阵P，使得P^T·AP = D，其中D为对角矩阵，D的前k 个非零元素为二次型的非零特征值。
二、二次型的应用2.1 矩阵的正定性判定二次型的正定性与实对称矩阵的正定性等价。
二次型的标准型及其应用
二次型的标准型及其应用二次型在数学中具有重要的地位和广泛的应用。
在二次型的研究过程中，标准型是一个关键的概念。
本文将介绍二次型的标准型及其应用，并对其进行深入的探讨。
一、二次型的定义和性质首先，我们来定义什么是二次型。
二次型是指一个关于n个变量x1, x2, ..., xn的二次多项式，可以表示为Q(x) = x^TAX，其中x为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
在这个定义下，二次型有以下几个性质：1. 对称性：二次型与矩阵A的选择无关，只与矩阵A的对称性有关。
也就是说，如果存在一个实对称矩阵B，使得B = P^TAP，其中P 为一个非奇异矩阵，那么二次型Q(x) = x^TAX与Q(x) = x^T(Bx)是等价的。
2. 可负定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX<0，那么称二次型Q(x)为负定的。
3. 可正定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX>0，那么称二次型Q(x)为正定的。
4. 可半负定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX≤0，那么称二次型Q(x)为半负定的。
5. 可半正定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX≥0，那么称二次型Q(x)为半正定的。
6. 不定性：如果二次型既不是正定的也不是负定的，则称其为不定的。
二、二次型的标准型在研究和应用二次型时，将其转化为标准型是一个常见的方法。
标准型是指经过合适的线性变换将原二次型化为一个特殊的形式，使得计算和分析更加简洁明确。
对于任意的实对称矩阵A，存在一个非奇异矩阵P，使得PTAP = D，其中D为对角矩阵，其对角线上的元素为二次型的特征值。
设x = Py，则有Q(x) = x^TAx = (Py)^T A (Py) =y^TP^TAPy = y^TDy。
标准型的存在可以简化二次型的分析和计算过程，使得我们能够更加直观地理解和处理二次型的相关问题。
三、二次型的应用二次型作为一种重要的数学工具，在各个领域都有广泛的应用。
二次型代数
二次型代数二次型代数是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍二次型代数的基本概念、性质和应用，并通过实例来说明其实际应用。
一、二次型代数的基本概念二次型代数是指由n个变量的二次齐次多项式所组成的代数系统。
其中，多项式的每一项都是关于变量的二次幂。
二次型代数的一般形式可以表示为：Q(x) = x^T A x其中，Q(x)为二次型，x为n维列向量，A为n×n的对称矩阵。
1. 对称性：二次型代数的矩阵A是对称矩阵，即A = A^T。
2. 正定性：若对于任意非零向量x，都有x^T A x > 0，则二次型代数为正定二次型。
3. 半正定性：若对于任意非零向量x，都有x^T A x ≥ 0，则二次型代数为半正定二次型。
4. 负定性：若对于任意非零向量x，都有x^T A x < 0，则二次型代数为负定二次型。
5. 半负定性：若对于任意非零向量x，都有x^T A x ≤ 0，则二次型代数为半负定二次型。
6. 不定性：若既存在使得x^T A x > 0的非零向量x，也存在使得x^T A x < 0的非零向量x，则二次型代数为不定二次型。
7. 正交变换：对于二次型的矩阵A，若存在一个可逆矩阵P，使得P^T A P = D，其中D为对角矩阵，则称P为正交变换矩阵，D为A的标准型。
8. 主轴定理：对于任意实对称矩阵A，存在一个正交变换矩阵P，使得P^T A P = D，其中D为对角矩阵，D的对角线上的元素称为A的特征值。
三、二次型代数的应用1. 物理学中的能量函数：二次型代数可以用于描述物理系统的能量函数，通过对二次型的矩阵进行特征值分解，可以得到系统的能量分布情况。
2. 金融学中的投资组合优化：二次型代数可以用于构建投资组合的风险模型，通过最小化二次型的值，可以得到最优的投资组合方案。
3. 机器学习中的特征选择：二次型代数可以用于评估特征的重要性，通过最大化或最小化二次型的值，可以选择出最具有代表性的特征。
线性代数-二次型
在物理中的应用
在经典力学中，二次型常常用来描述物体的运动轨迹。例如，行星的运动轨迹可 以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到行星的运动轨迹。
在量子力学中，二次型也用于描述粒子的波函数。例如，一个自由粒子的波函数 可以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到粒子的能级和波 函数。
02
矩阵$A$的元素由二次型中各项的系数决定，即$A =
(a_{ij})$，其中$a_{ij} = frac{1}{2}(b_{ij} + b_{ ji})$。
03
矩阵表示的二次型可以方便地进行代数运算和变换，
例如求导数、求极值等。
二次型的几何意义
二次型在几何上表示一个二次 曲面或曲线，其形状由矩阵 $A$决定。
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在经济学中的应用
二次型在经济学中也有广泛的应用。 例如，在微观经济学中，二次型可以 用来描述消费者的效用函数，通过求 解这个二次型的最大值，可以得到消 费者的最优消费决策。
VS
在宏观经济学中，二次型可以用来描 述一个国家的生产函数，通过求解这 个二次型的最大值，可以得到一个国 家最优的产出水平。此外，二次型也 用于描述成本函数、需求函数等。
正定二次型
01
正定性
对于正定二次型，其矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。
02
特征
正定二次型的特征值都大于0。
03
实例
对于二次型 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，它是一个正定二次型，因为其
矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。
二次型及其规范型
二次型及其规范型二次型是数学中重要的概念，广泛应用于代数、线性代数以及物理学等领域。
本文将介绍二次型的基本定义、性质以及规范型的概念和应用。
一、二次型的定义和性质在线性代数中，我们称一个关于n个变量的多项式函数为一个二次型。
一个二次型可以表示为如下形式：$Q(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j$其中，$a_{ij}$是一个常数，$x_1, x_2, \cdots, x_n$是n个变量。
二次型具有以下性质：1. 对称性：如果$a_{ij} = a_{ji}$，则二次型称为对称二次型；2. 非负定性：当二次型对于所有的非零向量$x$都有$Q(x) > 0$时，称其为正定二次型；当$Q(x) \geq 0$，但存在非零向量$x_0$使得$Q(x_0) = 0$时，称其为半正定二次型；3. 定性：二次型的正负定性与其矩阵的特征值有关，正定二次型对应的特征值全为正数，半正定二次型对应的特征值非负。
二、规范型的定义和性质在研究二次型时，我们常常希望将其化为一个标准的形式，这就是规范型。
规范型的特点是尽可能简单且易于研究。
对于任意的n维实二次型，我们可以通过合同变换将其化为规范型。
合同变换是指对矩阵进行相似变换，即通过矩阵的乘积将一矩阵转化成与之相似的另一矩阵。
具体而言，对于对称矩阵$A$，存在可逆矩阵$P$，使得$P^TAP = \Lambda$，其中$\Lambda$为对角矩阵，对角线上的元素为$A$的特征值。
规范型的具体形式取决于原始二次型的特征值分布。
根据特征值的正负，规范型可以分为以下几种情况：1. 正定二次型的规范型为$x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2$；2. 负定二次型的规范型为$-x_1^2 - x_2^2 - \cdots - x_n^2$；3. 除了以上两种情况外，还有其他特征值组合形式的规范型。
线性代数的二次型
线性代数的二次型二次型作为线性代数中的一个重要概念，在各个领域有着广泛的应用。
本文将从基本概念、矩阵表示、规范形以及二次型的几何意义等方面进行论述，帮助读者更好地理解和应用线性代数中的二次型。
一、基本概念在线性代数中，二次型是一种特殊的多项式形式，它包含了二次项和线性项，不包含常数项。
通常表示为：$$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$$其中，$x_1,x_2,\cdots,x_n$是$n$个实数变量，$a_{ij}$是$n\timesn$阶实对称矩阵的元素。
二、矩阵表示二次型可以通过矩阵和向量的乘法来表示。
假设$A$是一个$n\times n$阶实对称矩阵，$x$是一个$n$维列向量，则二次型$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx$。
这样的表示方式更加简洁和便于计算。
三、规范形在研究二次型时，我们常常希望将其化为规范形，以便更好地理解和研究其性质。
规范形指的是将二次型化为一种特定形式的简化表示。
1. 实对称矩阵的对角化实对称矩阵可以对角化为对角阵，即$A=P\Lambda P^T$，其中$P$是正交矩阵，$\Lambda$是对角矩阵。
由于正交矩阵的转置等于其逆矩阵，所以对于二次型$Q(x)=x^TAx$，我们有$Q(x)=x^TP\LambdaP^Tx$。
2. 规范形当实对称矩阵的对角元素为1或-1，其余元素均为0时，二次型称为规范二次型。
规范二次型具有简洁的特点，形式为$Q(x)=\pmx_1^2\pm x_2^2\pm \cdots \pm x_r^2$，其中$r$是规范二次型中非零对角元素的个数。
四、二次型的几何意义二次型可以与几何图形相联系，使得我们能够通过计算二次型的特征值和特征向量来获得图形的有关信息。
1. 特征值与特征向量对于二次型$Q(x)=x^TAx$，如果存在非零向量$x$和实数$\lambda$，满足$Ax=\lambda x$，则称$\lambda$是$A$的一个特征值，$x$是相应的特征向量。
二次型考点
二次型考点一、二次型的概念及性质二次型是指一个形式上类似于二次多项式的代数式，它包含变量的二次幂和一次幂的乘积。
二次型在数学、物理等领域具有广泛的应用，其主要研究对象是二次型函数。
我们首先需要了解二次型的基本概念和性质，这将为后续的考点学习打下基础。
二、二次型的考点类型1.二次型的标准型：将二次型转化为标准型是解决许多二次型问题的关键，掌握标准型的转换方法有助于快速解题。
2.二次型的矩阵表示：了解二次型与矩阵之间的联系，学会将二次型表示为矩阵，并运用矩阵的知识解决二次型问题。
3.二次型的性质与应用：包括二次型的正定、负定、半正定、半负定和indefinite 等性质，以及如何利用这些性质解决实际问题。
4.二次型的最值问题：求解二次型函数的最值是二次型考点的常见题型，掌握求解方法至关重要。
5.二次型与二次方程的关系：了解二次型与二次方程之间的联系，学会如何利用二次方程的解法解决二次型问题。
三、二次型的解题策略1.熟练掌握二次型的基本概念和性质，特别是二次型的标准型和矩阵表示。
2.熟悉二次型的分类方法，根据题目特点选择合适的解题方法。
3.善于利用二次型的性质，如正定性质、最值性质等，简化问题。
4.灵活运用二次方程、矩阵运算等知识，解决实际问题。
5.提高计算能力，熟练掌握二次型的计算方法。
四、二次型真题解析这里列举一些二次型的典型真题，帮助大家巩固知识点。
1.题目：已知二次型$Q(x_1, x_2) = x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2$，求$Q(x_1, x_2)$ 的最小值。
2.题目：判断二次型$Q(x_1, x_2) = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$ 的正定性质。
3.题目：将二次型$Q(x_1, x_2) = x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2$ 转换为标准型。
五、总结与建议二次型作为数学、物理等领域的重要考点，掌握其概念、性质和解题方法至关重要。
在学习过程中，要注重以下几点：1.深入理解二次型的基本概念和性质，打下扎实的基础。
二次型的性质及应用
师学院本科毕业论文题目二次型的正定性及其应用学生王倩柳指导教师王军讲师年级2012级数学专接本专业数学与应用数学系别数学与信息科学系师学院数学与信息科学系2014 年5月重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师王军的指导下独立撰写完成的。
如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。
特此重声明。
毕业论文（设计）作者（签名）：2014 年月日目录摘要 (1)前言 (1)1 二次型的历史及概念 (2)1.1二次型的历史 (2)1.1 二次型的矩阵形式 (2)1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)2 二次型的正定性判别方法及其性质 (3)3 二次型的应用 (6)3.1 多元函数极值 (6)3.2 证明不等式 (12)3.3 因式分解 ............................................... (错误!未定义书签。
)3.4 二次曲线 (13)结论 (14)参考文献 (15)致 (14)二次型的正定性及其应用学生：王倩柳指导老师：王军摘要：二次型是高等代数中的主要容之一, 其理论的应用非常广泛。
在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。
因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。
关键词：二次型；矩阵；正定性；应用The second type of positive definite matrix and itsapplicationsStudent: Wang qianliuInstructor: Zhang wangjunAbstract: Quadratic form is one of its main content in Higher Algebra, Quadratic form theory is widely used in the middle school mathematics-the proof of inequality, extremum and the factorization problem, It is too cumbersome often using elementary mathematics method, but if solve them using of advanced algebra quadratic form properties, will make a lot of problems change numerous for brief, from difficult to easy. For our students, more should learn to use the knowledge of higher mathematics to guide or understanding of elementary mathematics knowledge content, a deeper understanding of the essence of higher algebra. This paper will discuss quadratic form theory to prove inequality, polynomial factorization, calculation of elliptical area, judge two the shape of the curve and actual examples of application.Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application前言二次型是高等代数中的主要容之一, 其理论的应用非常广泛。
二次型的正定性及其性质
二次型的正定性及其性质二次型是数学中一个非常重要的概念，也是各种数理模型中必不可少的一部分。
二次型的正定性是其性质之一，对于二次型的求解和优化有着非常重要的意义。
本文将介绍二次型的正定性及其性质，以及其在实际应用中的意义。
一、二次型的定义和表示二次型是指形如 $f(x)=x^TAx$ 的二次函数，其中 $A$ 是一个$n\times n$ 的实对称矩阵，$x$ 是一个 $n$ 维实向量。
一般情况下，二次型是所有 $n$ 维实向量上的定义域。
实对称矩阵 $A$ 是二次型的系数矩阵，也是二次型的重要特征。
二、二次型的正定性二次型的正定性是指对于所有非零的 $x$，都有 $x^TAx>0$，即二次型的取值全部大于 $0$。
简单来说，二次型的正定性就是指其取值范围全部在正半轴上。
其逆定义为负定性，即对于所有非零的$x$，都有$x^TAx<0$。
还有一种定义是半正定性（或半负定性），即对于所有非零的 $x$，都有 $x^TAx\ge 0$（或 $x^TAx\le 0$）。
正定性和负定性的性质非常相似，下面我们以正定性为例，讨论其性质。
三、正定性的性质1. 正定性是矩阵的特征正定性是指针对一个特定的实对称矩阵 $A$，其对应的二次型是正定的。
如果我们改变实对称矩阵 $A$，那么其对应的二次型的正定性也会随之改变。
2. 正定性是线性的如果我们将两个实对称矩阵 $A$ 和 $B$ 相加，那么其对应的二次型的正定性也会相加。
具体地，对于所有非零的 $x$，都有$(x^TAx)+(x^TBx)>0$，所以矩阵之和的正定性可以保持不变。
3. 正定性是半正定性的推广正定性和半正定性之间存在非常密切的关系。
如果一个实对称矩阵 $A$ 在对角线元素为正的情况下是半正定的，那么其对应的二次型在对应的坐标轴上是正定的。
换言之，正定性是半正定性的推广，而半正定性是指在坐标轴上的正定性。
4. 正定性和二次型的最小值正定性和二次型的最小值之间也存在密切的联系。
二次型的正定性与标准型
二次型的正定性与标准型二次型是数学中的重要概念，广泛应用于线性代数、微积分、几何等领域。
在二次型的研究中，正定性是一个重要的性质，而标准型则是对二次型的一种标准化表示。
本文将详细介绍二次型的正定性与标准型。
一、二次型的定义与性质二次型是形如$Q(x)=\mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x}$的函数，其中$\mathbf{x}$是$n$维向量，$\mathbf{A}$是$n \times n$的对称矩阵。
二次型具有以下性质：1. 对称性：二次型$Q(x)$中的矩阵$\mathbf{A}$是对称矩阵，即$\mathbf{A}=\mathbf{A}^T$。
2. 数域上的二次型：二次型中的矩阵$\mathbf{A}$可以是实数域$\mathbb{R}$ 上的或者复数域 $\mathbb{C}$ 上的。
3. 齐次性：$Q(kx)=k^2Q(x)$，其中$k$是标量。
4. 可加性：$Q(x+y)=Q(x)+Q(y)+2\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{y}$。
在研究二次型的正定性与标准型之前，我们先来看一下正定性的定义。
二、正定性的定义与性质正定性是指一个二次型的取值范围。
一个二次型$Q(x)$具有以下性质：1. 正定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x)>0$时，二次型$Q(x)$称为正定二次型。
2. 半正定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x) \geq 0$时，二次型$Q(x)$称为半正定二次型。
3. 负定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x)<0$时，二次型$Q(x)$称为负定二次型。
4. 半负定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x) \leq 0$时，二次型$Q(x)$称为半负定二次型。
正定二次型在数学和应用中具有重要意义，例如在优化问题、矩阵理论和最小二乘法中经常用到。
正定二次型
正定二次型正定二次型是线性代数中一种重要的二次型形式，它在数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将介绍正定二次型的定义、性质以及一些应用。
1. 定义对于一个n维向量x=(x1,x2,...,x n)T，其中x i表示向量x的第i个分量。
正定二次型是指具有如下形式的二次型：Q(x)=x T Ax其中A是一个$n \\times n$的对称矩阵，x T表示向量x的转置。
如果对于任意的非零向量x，都有Q(x)>0，则称二次型Q(x)为正定二次型。
2. 性质正定二次型具有一些重要的性质，下面将介绍其中几个性质。
2.1 对称性正定二次型的矩阵A是一个对称矩阵，即A=A T。
这是因为对于任意的向量x，都有x T Ax=x T(A T x)=(x T Ax)T=x T A T x。
因此，正定二次型的矩阵A是对称的。
2.2 正定性与正定矩阵的关系正定二次型与正定矩阵之间有着紧密的联系。
一个$n \\times n$的对称矩阵A 是正定矩阵，当且仅当对于任意的非零向量x，都有x T Ax>0。
而正定二次型Q(x)是由矩阵A定义的，因此正定矩阵与正定二次型是等价的概念。
2.3 正定矩阵的特征值对于一个正定矩阵A，它的特征值都大于零。
这是因为如果A的一个特征值为$\\lambda$，对应的特征向量为x，那么有$Ax = \\lambda x$。
进而，我们可以得到$x^T A x = x^T (\\lambda x) = \\lambda (x^T x) > 0$。
由于x是非零向量，x T x> 0，因此必有$\\lambda > 0$。
2.4 正定矩阵的行列式对于一个正定矩阵A，它的行列式大于零。
这是因为正定矩阵的特征值都大于零，而行列式是特征值的乘积，因此正定矩阵的行列式也大于零。
3. 应用正定二次型在数学和工程领域有着广泛的应用。
下面将介绍两个典型的应用。
3.1 正定二次型在优化问题中的应用正定二次型经常出现在优化问题的目标函数中。
二次型判定方法及应用
二次型判定方法及应用二次型是高等数学中的重要概念，广泛应用于线性代数、微积分、物理学、经济学等领域。
二次型的判定方法主要有正定、负定、半正定和半负定四种类型，这些判定方法在实际问题中具有重要的应用价值。
首先，我们来回顾二次型的定义。
对于n元变量x1，x2，...，xn和常数a11，a12，...，ann，二次型可以表示为：Q(x) = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annxn^2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ... + 2an-1nxn-1xn其中，a11，a22，...，ann为二次型的系数，x1，x2，...，xn为变量，Q(x)表示该二次型。
接下来，我们将讨论四个二次型判定方法的定义、性质和应用。
1. 正定：若对于任意非零的n元列向量x=(x1,x2,...,xn)T，都有Q(x)>0，称二次型Q(x)为正定二次型。
正定二次型的系数满足以下性质：- 系数矩阵A=(aij)为实对称正定矩阵；- 系数aii>0，1≤i≤n；- 正定二次型的极值点为唯一的极小值点，且该极小值点为原点。
正定二次型在优化问题中经常出现，例如，最优化问题的约束条件若是等式形式，将其通过拉格朗日乘数法转化为等价的含有二次项的目标函数，然后利用正定二次型的特性来求解最优解。
2. 负定：若对于任意非零的n元列向量x=(x1,x2,...,xn)T，都有Q(x)<0，称二次型Q(x)为负定二次型。
负定二次型的系数满足以下性质：- 系数矩阵A=(aij)为实对称负定矩阵；- 系数aii<0，1≤i≤n；- 负定二次型的极值点为唯一的极大值点，且该极大值点为原点。
负定二次型在最优化问题中也有应用，例如，在极大极小值问题中，如果一个目标函数的Hessian矩阵是负定的，那么该函数在极小值点处取得极小值。
3. 半正定：若对于任意的n元列向量x=(x1,x2,...,xn)T，都有Q(x)≥0，称二次型Q(x)为半正定二次型。
二次型的规范形
二次型的规范形二次型是数学中的一个重要概念，广泛应用于线性代数、数学物理等领域。
在讲述二次型规范形之前，我们先来了解什么是二次型。
一、二次型的定义在线性代数中，给定一个n维向量空间V上的对称矩阵A，我们称函数Q(x)=x^TAx，x∈V，为矩阵A的二次型。
其中x^T代表x的转置。
二、二次型的性质1. 对于任意的n维列向量x，有Q(x)=Q(\lambda x)，其中\lambda为任意实数。
这是因为Q(\lambda x)=(\lambda x)^TA(\lambdax)=\lambda^2x^TAx=\lambda^2Q(x)。
2. 对于任意的n维列向量x、y，有Q(x+y)=Q(x)+Q(y)+2x^TAy。
这是因为Q(x+y)=(x+y)^TA(x+y)=x^TAx+x^TAy+y^TAx+y^TAy=x^TAx +y^TAx+x^TAy+y^TAy=(x^TA+y^TA)x+(x^TA+y^TA)^Ty=x^ TAx+y^TAy+x^TAy+y^TAx=Q(x)+Q(y)+2x^TAy。
3. 对于任意的n维列向量x，有Q(-x)=Q(x)。
这是因为Q(-x)=(-x)^TA(-x)=(-1)^2(x^TAx)=x^TAx=Q(x)。
因此，二次型具有以上三个性质。
三、二次型的规范形对于一个二次型Q(x)，我们可以通过线性变换将其化为规范形。
二次型的规范形包括两种情况：标准型和标准配方法。
1. 标准型标准型是指没有交叉项的二次型。
即对角线以外的元素全部为0。
一个n维向量空间上的二次型Q(x)的标准型为Q(x)=c_1x_1^2+c_2x_2^2+...+c_nx_n^2，其中c_1,c_2,...,c_n为非负实数。
2. 标准配方法对于一个n维向量空间上的二次型Q(x)，我们可以通过正交变换将其化为标准配方法。
具体的步骤如下：①将二次型Q(x)的矩阵A对角化得到对角矩阵D。
②用正交变换y=P^Tx将二次型的矩阵A变换为对角矩阵D。
二次型与二次曲面的关系知乎
二次型与二次曲面的关系知乎二次型与二次曲面是数学中重要的概念，在代数学和几何学中都有广泛的应用。
二次型是一个关于n个变量的二次齐次多项式，它在代数学中有着重要的作用，而二次曲面则是由一个二次方程定义的曲面，在几何学中有着重要的应用。
本文将从二次型和二次曲面的定义、性质和应用等方面进行介绍。
1.二次型的定义和性质1.1二次型的定义二次型是一个关于n个变量的二次齐次多项式，一般可以表示为：f(x1, x2, ..., xn) = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annxn^2 +2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ... + 2ann-1x(n-1)xn其中，a11, a22, ..., ann是系数，称为二次型的系数，x1,x2, ..., xn是变量。
二次型可以用矩阵的形式表示为：f(x) = x^TAx其中，x是一个列向量，A是一个对称矩阵，它的元素aij就是二次型中xixj的系数。
二次型的系数矩阵A是对称矩阵，这是因为交换变量的顺序不会改变二次型的值，即f(x) = f(σ(x))，其中σ是一个置换。
1.2二次型的性质二次型具有一些重要的性质：（1）对称性：二次型的系数矩阵A是对称矩阵，即aij=aji。
（2）正定性：如果对任意非零向量x，都有x^TAx>0，那么称二次型f(x)是正定的。
正定二次型在优化问题和矩阵理论中有着重要的应用。
（3）负定性：如果对任意非零向量x，都有x^TAx<0，那么称二次型f(x)是负定的。
负定二次型在研究极值问题和矩阵理论中也有着重要的应用。
（4）半正定性和半负定性：如果对任意非零向量x，都有x^TAx≥0或x^TAx≤0，那么称二次型f(x)是半正定的或半负定的。
（5）非负定性：如果对任意向量x，都有x^TAx≥0，那么称二次型f(x)是非负定的。
二次型的正定性、负定性、半正定性和半负定性都与它的系数矩阵A的特征值有关，因此研究二次型的特征值是十分重要的。
二次型的性质及应用
二次型的性质及应用二次型是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。
二次型具有多种性质和应用，下面我将从定义、性质以及应用三个方面进行详细介绍。
一、二次型的定义和性质首先，我们来定义二次型。
设有n个变量x_1, x_2, \ldots, x_n，对于任意的实数a_{ij}和b_i，称函数Q(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j +\sum_{i=1}^n b_ix_i为n元二次型。
其中，a_{ij}和b_i是实数。
二次型的性质如下：1. 对称性：如果a_{ij}=a_{ji}，则二次型称为对称二次型。
2. 非负定性：若二次型对于任意非零向量\mathbf{x}都有Q(\mathbf{x})\geq 0，则称二次型为半正定二次型。
若对于任意非零向量\mathbf{x}都有Q(\mathbf{x})>0，则称二次型为正定二次型。
若对于任意非零向量\mathbf{x}都有Q(\mathbf{x})<0，则称二次型为负定二次型。
3. 二次型的规范形：通过合适的坐标变换，可以将任意二次型化为规范形。
规范形为Q(x_1, x_2, \ldots,x_n)=\lambda_1x_1^2+\lambda_2x_2^2+\ldots+\lambda_nx_n^2，其中\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n为实数，且\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n满足\lambda_1\geq \lambda_2\geq \ldots \geq\lambda_n。
4. 最大值和最小值：对于二次型Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}，其中A是一个对称矩阵。
若对任意向量\mathbf{x}\neq \mathbf{0}，有Q(\mathbf{x})\leq k，其中k为常数，则称k为二次型的上界。
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唐山师范学院本科毕业论文题目二次型的正定性及其应用学生王倩柳指导教师张王军讲师年级2012级数学专接本专业数学与应用数学系别数学与信息科学系唐山师范学院数学与信息科学系2014 年5月郑重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师张王军的指导下独立撰写完成的。
如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。
特此郑重声明。
毕业论文（设计）作者（签名）：2014 年月日目录摘要 0关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 0The second type of positive definite matrix and its applications 0前言 0二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。
在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。
因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。
其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义. 01 二次型的历史及概念 (1)1.1二次型的历史 (1)二次型的系统是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。
柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。
然而，那并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。
西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。
这个定律后被雅克比重新发现和证明。
1801年，高斯在《算数研究》中引进了二次型的正定，负定，半正定和半负定等术语。
二次型化简的进一步研究设计二次型或行列式的特征方程的概念。
特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。
而三个变数的二次型的特征值的实性则由阿歇特、蒙日和泊松建立的。
(1)二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。
它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，并将其实现应用价值. (1)1.3 正定二次型与正定矩阵的概念 (2)2 二次型的正定性的判别方法及其性质 (2)3.1 多元函数极值 (5)3.3 因式分解 (11)3.4 二次曲线 (12)结论 (13)参考文献： (13)致谢 (14)二次型的正定性及其应用学生：王倩柳指导老师：张王军摘要：二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。
在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。
因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。
关键词：二次型；矩阵；正定性；应用The second type of positive definite matrix and itsapplicationsStudent: Wang qianliuInstructor: Zhang wangjunAbstract: Quadratic form is one of its main content in Higher Algebra, Quadratic form theory is widely used in the middle school mathematics-the proof of inequality, extremum and the factorization problem, It is too cumbersome often using elementary mathematics method, but if solve them using of advanced algebra quadratic form properties, will make a lot of problems change numerous for brief, from difficult to easy. For our students, more should learn to use the knowledge of higher mathematics to guide or understanding of elementary mathematics knowledge content, a deeper understanding of the essence of higher algebra. This paper will discuss quadratic form theory to prove inequality, polynomial factorization, calculation of elliptical area, judge two the shape of the curve and actual examples of application.Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application前言二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。
在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。
因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。
其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.1 二次型的历史及概念1.1二次型的历史二次型的系统是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。
柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。
然而，那并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。
西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n 个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。
这个定律后被雅克比重新发现和证明。
1801年，高斯在《算数研究》中引进了二次型的正定，负定，半正定和半负定等术语。
二次型化简的进一步研究设计二次型或行列式的特征方程的概念。
特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。
而三个变数的二次型的特征值的实性则由阿歇特、蒙日和泊松建立的。
二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。
它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，并将其实现应用价值.1.2 二次型的矩阵形式定义1.1 设P 是一个数域，ij a ∈p,n 个文字1x ,2x ,…, n x 的二次齐次多项式2121111212131311(,,,)222n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++222223232222n n a x a x x a x x +++++2nn n a x +11n nij iji j a x x ===∑∑ 其中),...,2,1,,(n j i a aji ij==称为数域p 上的一个n 元二次型，简称二次型.当ij a 为实数时，f 称为实二次型.当ij a 为复数时,称 f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即12(,,...,)n f x x x =2221112...n n d x d x d x +++称f 为标准型.二次型12(,,...,)n f x x x 可唯一表示成12(,,...,)n f x x x =T x Ax ，其中12(,,...,)Tn x x x x =，()ij n n A a ⨯=为对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称A 为二次型的矩阵（必是对称矩阵），称A 的秩为二次型f 的秩.1.3 正定二次型与正定矩阵的概念定义1.2 设12(,,...,)n f x x x =T x Ax 是n 元实二次型（A 为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数12,,...,n c c c 都有12(,,...)0n f c c c >，则称f 为正定二次型,称A 为正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c ≥，则称f 为半正定二次型，称A 为半正定矩阵;如果12(,,...)0n f c c c <，则称f 为负定二次型，称A 为负定矩阵;如果12(,,...)0n f c c c ≤，称f 为半负定二次型，称A 为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型，称A 为不定矩阵.定义1.2 另一种定义 具有对称矩阵A 的二次型,AX X f T =(1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0<AX X T ）成立，则称AX X f T =为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定矩阵（负定矩阵）.(2) 如果对任何非零向量X , 都有0≥AX X T （或0≤AX X T ）成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.2 二次型的正定性的判别方法及其性质定理2.1实二次型12(,,...,)n f x x x =T x Ax 为正定的充要条件为（若A 是负定矩阵，则A -为正定矩阵）： 1）矩阵A 的各阶顺序主子式都大于零； 2）矩阵A 与单位矩阵合同； 3）A 的全部特征值是正的。