山西大学往届高等数学期末试题及答案

2013—2014学年第一学期期末试题

一、填空题（每题3分，共24分） 1、20

lim(1ln(1))______x

x x →++=

2、函数sin ln ()1

x x

f x x =

-的可去间断点是________

3、2

cos(1)

()(1)e (1)e ,x

x f x x x -=-+- 则(1)_______f '=

4、设,0

(x)sin ,0

ax e x f b x x ⎧<=⎨+≥⎩ 在0x = 处可导，则____,______a b ==

5、设()f x 连续，

arctan 0

()x

f t dt x =⎰

，则(0)_____f =

6、设2

2

2x y += ，23

2

(1()),()a y b y '''=+= ，则2____a b -= 7

、

2

32

(sin ________x -+=⎰

8、设320y y y '''-+=的通解为________ 二、简答题（每题8分，共48分） 1、设()y f x = 是由2cos()1x y

e

xy e +-=-所确定，求()y f x =在(0,1)的切线方程；

2、讨论3

2

3x y x

=- 的渐近线； 3、若曲线()y f x =由参数方程sin ,cos t t

x e t y e t ==所确定，求该曲线对应于02

t π

<<

的弧长； 4、若0

sin (),x

t

f x dt t

π=

-⎰

求0()d f x x π⎰

5、

3

22

1(1)

dx x +∞

+⎰

；

6、已知()F x 是()f x 的一个原函数，且2

()

()1xF x f x x =+ 求()f x ；

三、证明题与综合题（每题7分，共28分）

1、已知某曲线过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求曲线方程

2、若方程2

ln (1)x x k x =-恰有两个不同的根，讨论k 得取值范围； 3、曲线21(0)2y x x =

≥ 上一点M 处作切线，曲线及x 轴围成的面积为13

1）切点M 坐标；

2）过点M 的切线方程

3）上述平面绕2x = 旋转一周得到的旋转体的体积； 4、证明 当1x <时，(1)1x

e x -≤ 附加题：（20分）

1．求

2

1000

3

1

n n

-

=∑的整数部分；

2．设()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且()0f x ''>，且0x ∃使得0()0f x <，又

lim ()0x f x α→-∞

'=<，lim ()0x f x β→+∞

'=>，证明：()f x 有且仅有两个零点。

2012—2013学年第一学期期末试题

一、填空题：（每个小题5分，共25分） 1．函数sin ln ()1

x x

f x x =

-的可去间断点是________

2．设2

cos(1)

()1)(1)x

x f x x e x e -=-+-（，则(1)________f '=

3．设22

2

33312lim n n n n

n

→∞+(++

)=______ 4．设()f x 连续，

arctan 0

()x

f t dt x =⎰

，则(0)______f =

5．设 320y y y '''-+=的通解为________ 二、选择题：（每个小题3分，共15分）

1．曲线2

ln

(1)(2)

x y x x x =---的渐近线条数为______条 ()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 4

2．下列函数在区间其定义域内无界的是______

()A

()B 2

x

()C

()D

3．设对任意的(,)x ∈-∞+∞，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且lim[()()]0x g x x ϕ→∞

-=， 则lim ()______x f x →∞

()A 存在且一定等于零 ()B 存在当不一定等于零

()C 一定不存在 ()D 不一定存在

4．设函数()f x 在[0,2]上连续，且(0)(1)(2)6f f f ++=，则必[0,2]ξ∃∈使得，

()f ξ等于________

()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 6

5．设2

2

2x y +=，23

[1()]a y '=+，2

()b y ''=，则________

()A a b = ()B 2a b = ()C 3a b = ()D 9a b =

三、解答题：（共60分） 1． 求极限 0sin ln(1sin )

lim

ln(1sin )

x x x x x →-+-+ （8分）

2． 设()y y x =

由方程arctan

y x =所确定，求dy

dx

（ 8分） 3． 设()f x 可导，且cot 1

()

()1,lim[

]2()n x n f x n f e f x π→∞+==，求 ()f x （8分） 4. 计算：2

(1)x

xe dx x +⎰

（ 8分） 5.

计算：

20

a

⎰

(0a >) （7分）

6．计算：微分方程2

2

()20y x dy xydx -+=的通解（7分）

7．若方程2

ln (1)0x x k x --=恰有两个不同的根，求k 的取值范围？ (7分) 8

．求曲线1

)2

y x =≤≤绕x 轴旋转所得旋转体的体积和侧面积 (7分) 四、附加题：（共20分） 1．设1

()()()x f x x e

x x ϕ-=-，其中()x ϕ在[0,1]上二阶可导,(0)0ϕ=, (1)0ϕ≠,

（1）问1x =是否为()f x 的极值点，(1,0)点是否为()f x 的拐点？说明你的理由； （2）证明：(0,1)ξ∃∈使得，()0f ξ'''=

2．设()f x 在[0,)+∞上可导，且2

0()1x f x x

≤≤+,证明：0ξ∃>使得，2

221()(1)f ξξξ-'=+ 2012-2013学年第一学期期末考试试题答案

一、填空题：（每个小题5分，共30分） 1、0 2、3e 3、

13

4、1

5、212x x

c e c e +