函数的幂级数展开.ppt

例1 由于函数
f
(
x
)
e
1 x2
,
0,
x 0, x0
在 x 0 处的任意阶导数都等于0 (见第六章§4 第
二段末尾), 即
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f (n)(0) 0 , n 1,2,L ,
因此 f 在 x 0 的泰勒级数为
0 0 x 0 x2 L 0 xn L .
2!
n!
显然它在(, )上收敛, 且其和函数 S( x) 0. 由
的拉格朗日余项为
Rn( x)
e x (n 1)!
x n1 (0
1).
显见
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|
Rn (
x)
|
e|x| (n 1)!
|
x
|n1
.
y
对任何实数 x, 都有
6
lim e|x| | x |n1 0,
4
n (n 1)!
2
因而
lim
n
Rn
(
x)
0.
由定理 14.11 得到
(n 3) 1 O 2
Rn( x)
sin
+(n
1)
π 2
x n1
| x |n1
0,
(n 1)!
(n 1)!
所以 f ( x) sin x 在(, )上可以展开为麦克劳 林级数:
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sin x x x3 x5 L (1)n1 x2n1 L .
3! 5!
(2n 1)!
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同样可证(或用逐项求导), 在(, )上有
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其中 在x与x0之间, 称(1)式为 f 在点 x0的泰勒公式.
由于余项 Rn( x) 是关于 ( x x0 )n的高阶无穷小, 因此 在点 x0 附近 f 可用(1)式右边的多项式来近似代替,
这是泰勒公式带来的重要结论.
再进一步, 设函数 f 在x x0 处存在任意阶导数, 就 可以由函数 f 得到一个幂级数
数, 则 an xn 就是 f 在 (R, R)上的泰勒展开式, n0
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即幂级数展开式是惟一的. 在实际应用上, 主要讨论函数在 x0 0 处的展开式, 这时(3)式就变成
f (0) f (0) x f (0) x2 L f (n)(0) xn L ,
1!
2!
n!
称为麦克劳林级数. 从定理14.11知道, 余项对确定函数能否展开为幂级
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 L f (k)(0) xk
2!
k!
c0 c1x c2 x2 L ck xk ,
即多项式函数的幂级数展开式就是它本身.
例3 求函数 f (x) = ex 的幂级数展开式.
解 由于 f (n)( x) ex , f (n)(0) 1(n 1,2,L ), 因此 f
数是极为重要的, 下面我们重新写出当 x0 0 时的
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积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项, 以便
于后面的讨论. 它们分别是
Rn( x)
1 n!
x 0
f (n1)(t )( x t )ndt,
Rn( x)
(n
1 1)!
f
(n1) (
) xn1,
在
0
与
x
之间,
Rn( x)
1 n!
的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数, 则
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
L
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn
(
x),
(1)
这里为Rn( x)拉格朗日型余项
Rn( x)
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x0
)n1 ,
(2)
此看到, 对一切 x 0都有 f ( x) S( x).
上例说明, 具有任意阶导数的函数, 其泰勒级数并不
都能收敛于该函数本身, 哪怕在很小的一个邻域内.
那么怎样的函数, 其泰勒级数才能收敛于它本身呢?
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定理14.11 设 f 在点 x0 具有任意阶导数, 那么 f 在
区间( x0 r, x0 r )上等于它的泰勒级数的和函数的
§2 函数的幂级数展开
由泰勒公式知道, 可以将满足一定条件的 函数表示为一个多项式与一个余项的和. 如 果能将一个满足适当条件的函数在某个区间 上表示成一个幂级数, 就为函数的研究提供 了一种新的方法.
一、泰勒级数 二、初等函数的幂级数展开式
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一、泰勒级数
在第六章§3的泰勒定理中曾指出, 若函数f在点x0
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
源自文库)2
L
f
(n) ( x0 ) n!
(
x
x0 )n
L
,
(3)
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通常称 (3) 式为 f 在 x x0 处的泰勒级数. 对于级数 (3)是否能在点 x0 附近确切地表达 f , 或者说级数(3) 在点 x0 附近的和函数是否就是 f 本身, 这就是本节 所要着重讨论的问题. 请先看一个例子.
f
(n1) (
x)(1
)n
x n1 , 0
1.
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二、初等函数的幂级数展开式
例2 求k次多项式函数 f ( x) c0 c1x c2 x2 L ck xk
的幂级数展开式. 解 由于
f
(
n
)
(0)
n!cn , 0,
n k, n k,
总有
lim
n
Rn
(
x
)
0,
因而
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充分条件是: 对一切满足不等式 | x x0 | r的 x , 有
lim
n
Rn
(
x)
0,
这里Rn( x)是f 在点 x0 泰勒公式的余项. 本定理的证明可以直接从第六章§3泰勒定理推出.
如果 f 能在点x0的某邻域上等于其泰勒级数的和函
数, 则称函数 f 在点 x0 的这一邻域内可以展开成泰
勒级数, 并称等式
cos x 1 x2 x4 L (1)n x2n L .
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f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
L
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
L
(4)
的右边为 f 在 x x0 处的泰勒展开式, 或幂级数展 开式.
由级数的逐项求导性质可得:
若 f 为幂级数 an xn 在收敛区间 (R, R)上的和函 n0
y ex
(n 2) (n 0)
1
2x
ex 1 1 x 1 x2 L 1 xn L , x (, ).
1! 2!
n!
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例4 对于正弦函数 f ( x) sin x, 有
f
(n)
(
x
)
sin
x
nπ 2
.
n
1,
2,L
.
现在考察 f 的拉格朗日型余项 Rn( x).因为 n 时,