数学人教B必修1第三章312 指数函数

3、1、2 指数函数

1。指数函数的概念

（1）定义:一般地,函数y ＝a x

(a ＞0，a ≠1,x ∈R ）叫做指数函数，其中x 是自变量,函数的定义域是R 、

（2)理解指数函数的定义,需要注意的三个问题：

①因为a ＞0,且a ≠1,x 是任意一个实数时，a x

是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集R 、

②规定底数a 大于零且不等于1的理由： 如果a ＝0,错误!

如果a ＜0，比如y ＝（－4）x

，这时对于x ＝错误!,x ＝错误!,…，在实数范围内函数值不存在；

如果a ＝1，y ＝1x

＝1，是一个常量,对它没有研究的必要。 针对上述各种情况，所以规定a ＞0,且a ≠1、

③y ＝a x 是指数函数的定义式,a x

的系数必须是1,自变量x 必须在指数的位置上，并且指数一定为x 、如y ＝－a x

,y ＝2×3x

,2

1=2x y －,y ＝3x

＋1等都不是指数函数. 【例1－1】下列函数中,指数函数的个数是（ )

①y ＝3x ＋1；②y ＝3x ；③y ＝x 3

、

A 。0 B.1 C.2 D.3 答案：B

【例1－2】函数y ＝(a －2)2a x

是指数函数,则( ) A.a ＝1或a ＝3 B.a ＝1

C 。a ＝3

D 。a ＞0,且a ≠1

解析：由指数函数定义知2(2)=10,1a a a ⎧-⎨>≠⎩，

且，

所以解得a ＝3、

答案:C

2.指数函数的图象与性质

（1)根据解析式作函数图象，一般用描点法，即列出x ,y 的对应值表，描点、连线.利

用这种方法,我们在同一坐标系中作出函数y ＝2x ,y ＝10x ,y ＝错误!x 和y ＝错误!x

的图象.

x

图象

性

质

①定义域为R ,值域为（0，＋∞) ②图象都过点（0，1) ③当x ＞0时，y ＞1;当x ＜0时,0＜y ＜1 ③当x ＞0时，0＜y ＜1;当x ＜0时,y ＞1 ④在（－∞，＋∞)上单调递增 ④在（－∞,＋∞）上单调递减

学习指数函数的图象与性质需注意的几点

①当底数a 大小不定时，必须分“a ＞1”和“0＜a ＜1”两种情形讨论。

②当0＜a ＜1,x →＋∞时，y →0;当a ＞1,x →－∞时,y →0、当a ＞1时,a 的值越大,图象随x 增大时，递增速度越快,即“底大图高”;当0＜a ＜1时，a 的值越小，图象随x 增大时，递减速度越快，即“底小图低”.(其中“x →＋∞”的意义是：“x 趋向于正无穷大”)

在y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大到小。如：当a ＞b ＞1＞c 时,函数图象如图.

③指数函数图象的平移规律

若已知y ＝a x 的图象,则把y ＝a x 的图象向左平移b (b ＞0）个单位长度,则得到y ＝a

x ＋b

的图象；把y ＝a x 的图象向右平移b (b ＞0)个单位长度，则得到y ＝a x －b 的图象;把y ＝a x

的图

象向上平移b （b ＞0)个单位长度，则得到y ＝a x ＋b 的图象；把y ＝a x

的图象向下平移b （b

＞0）个单位长度，则得到y ＝a x

－b 的图象.

④指数函数图象的对称规律

函数y ＝a x 的图象与y ＝a －x 的图象关于y 轴对称，y ＝a x 的图象与y ＝－a x

的图象关于x

轴对称，y ＝a x 的图象与y ＝－a －x

的图象关于坐标原点对称。

【例2－1】函数=(31)x

y -在R 上是（ ) A.增函数 B.奇函数 C.偶函数 D 。减函数

解析：由于0＜3－1＜1，所以函数y ＝(3－1）x

在R 上是减函数，f （－1）＝（3－1）－1

＝

31

2

,f （1)31，则f （－1）≠f （1），且f （－1）≠－f （1),所以函数y 31)x 不具有奇偶性.

答案:D

【例2－2】指数函数y ＝a x 与y ＝b x

的图象如图,则( ）

A 。a ＜0,b ＜0 B.a ＜0，b ＞0

C.0＜a ＜1,b ＞1 D 。0＜a ＜1，0＜b ＜1

解析：由图象知，函数y ＝a x 单调递减,故0＜a ＜1；函数y ＝b x

单调递增,故b ＞1、 答案：C

【例2－3】指数函数11

=2332x y a a ⎛⎫⎧⎫∈⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭

，，，的图象如图，则分别对应于图象①②③④

的a 的值为( ）

A 。112,332，

B 。113,223，

C 。113,223，

D 。112,332

，

解析:设图象①,②，③，④对应的函数分别为y ＝m x

，y ＝n x

,y ＝c x ,y ＝d x

,当x ＝1时，

如图易知：

c 1＞

d 1＞m 1＞n 1

、

又∵m ,n ,c ，112332d ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，，

，, ∴c ＝3，d ＝2,1=2m ，1

=3n 、

答案:B

3.用待定系数法求指数函数的解析式

指数函数的解析式y ＝a x

中仅含有一个参数a ,则只需要一个条件即可确定指数函数的解析式，这样的条件往往是已知f （m ）＝n 或图象过点(m ，n ）等等.通常利用待定系数法求

解,设出指数函数的解析式f （x )＝a x

，利用已知条件列方程求出常数a 的值.

利用待定系数法求指数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如：a m

＝n ,这时先把n 化为以m 为指数的指数幂形式n ＝k m

，则解得a ＝k 、还可以直接写出1=m

a n ,再利用指数幂的运算性质化简1m

n 、

【例3－1】若指数函数的图象经过点(5，125)，则该指数函数的解析式为__________。

答案:y ＝x 3

【例3－2】已知指数函数f （x )的图象经过点1216⎛⎫- ⎪⎝⎭

，，试求f （－1）和f (3)。 分析：设出函数f （x ）的解析式，利用待定系数法求出.

解：设f （x ）＝a x

(a ＞0，且a ≠1）, ∵函数f （x )的图象经过点1216⎛⎫- ⎪⎝⎭

，,∴a －2

＝

1

16

，解得a ±4、 又a ＞0，则a ＝4,∴f (x ）＝4x

， ∴f （－1)＝4－1

＝

14

，f （3)＝43

＝64、 4.指数函数的定义域、值域的应用问题

(1）利用指数函数的定义域、值域求形如y ＝f (a x

)（a ＞0，且a ≠1）型的函数的定义域和值域。

对于函数y ＝f (a x ）（a ＞0,且a ≠1),由于指数函数y ＝a x

(a ＞0，且a ≠1)的定义域是R ，

值域是(0，＋∞)，则利用换元法，设a x

＝t ，转化为求函数f （t ），t ∈（0,＋∞)的定义域和值域。

（2)利用指数函数的定义域、值域求形如y ＝a f （x ）

(a ＞0，且a ≠1)型的函数的定义域、值域。

对于函数y ＝a f (x ）（a ＞0,且a ≠1)，由于指数函数y ＝a x

(a ＞0，且a ≠1）的定义域是R ，

因此满足f (x ）有意义的自变量x 的取值范围是函数y ＝a f (x ）

（a ＞0，且a ≠1）的定义域.设u ＝f （x ),求出函数u ＝f (x ）的值域E ,则函数y ＝a u （u ∈E )的值域是函数y ＝a f （x )(a ＞0,且

a ≠1）的值域.例如，函数1

=5x

y ，要使函数f (x ）有意义，自变量x 的取值只需满足错误!有

意义,即x ≠0,所以函数1=5x

y 的定义域是(－∞，0）∪(0,＋∞）.设错误!＝u ,由于x ∈(－

∞，0)∪(0，＋∞)，则u ∈(－∞,0)∪（0,＋∞)，则函数y ＝5u

的值域是（0,1）∪（1,＋∞）。

【例4－1】求下列函数的定义域、值域：

（1)11

=0.4x y -;（2)y （3）y ＝2x

＋1、

分析：根据使函数有意义的条件求定义域,结合指数函数的图象与性质求值域。 解：(1)由x －1≠0,得x ≠1,故函数的定义域为{x |x ≠1｝。

由

1

01

x ≠-,得y ≠1,故函数的值域为｛y |y ＞0,且y ≠1}. (2）由5x －1≥0，得15x ≥，故函数的定义域为15x x ⎧⎫

⎫≥⎨⎬⎪⎭⎩

⎭、