上海市嘉定区2022届高三高考一模数学试题 带详解
上海市嘉定区2022届高三一模数学试题
一、单选题二、多选题1. 若集合，则（ ）A．B．C．D．2.已知向量，，若，则（ ）A ．或B．或C ．或D．或3. 在直角中，点在斜边延长线上，，，，则的面积是（ ）A．B．C．D．4.已知，则（ ）A ．1B．C．D．5.已知集合，则（ ）A．B．C．D．6. 已知，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（ ）A ．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B ．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C ．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D ．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.68. 设复数满足（是虚数单位），则最大值为（ ）A．B ．2C．D ．39. 某学校高三年级有男生640人，女生360人．为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值（单位：cm ），并计算得到男生样本的平均值175，方差为36，女生样本的平均值为165，方差为36，则下列说法正确的是（ ）A ．若男、女样本量分别为，，则总样本的平均值为171.4B．若男、女样本量分别为，，则总样本的方差为36C．若男、女的样本量都是，则总样本的平均值为170D．若男、女的样本量都是，则总样本的方差为6110. 在菱形ABCD 中，E 是AB 边的中点，F 是AD 边的中点，则（ ）A．B．上海市嘉定区2022届高三一模数学试题上海市嘉定区2022届高三一模数学试题三、填空题四、解答题C．D．11. 已知a ､b 是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若，则B．若，则C ．若，，则D ．若与所成的角和与所成的角相等，则12. 下列命题中正确的是（ ）A ．中位数就是第50百分位数B ．已知随机变量X ~，若，则C．已知随机变量~，且函数为偶函数，则D ．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为13. 已知，是双曲线的左，右焦点，过右焦点与实轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，若三角形为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为______.14.已知函数（）的图象关于轴对称，且与直线相切，写出满足上述条件的一个函数______．15.如图，圆台中，，其外接球的球心O在线段上，上下底面的半径分别为，，则圆台外接球的表面积为________.16. 已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若在区间内是单调函数，求实数的取值范围．17. 空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数级别类别户外活动建议Ⅰ优可正常活动Ⅱ良Ⅲ轻微污染易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动．轻度污染Ⅳ中度污染心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降低，健康人群中普遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动．中度重污染Ⅴ重污染健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前出现某些疾病，老年人和病人应当留在室内，避免体力消耗，一般人群应尽量减少户外活动．现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图．(1)求这60天中属轻度污染的天数；(2)求这60天空气质量指数的平均值；(3)将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第五组．从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天，记它们的空气质量指数分别为，，求事件的概率．18. 设函数定义域为，且.设点是函数图像上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为．（1）写出的单调递减区间（不必证明）；（2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值.19. 记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知A，B，C成等差数列，．(1)求；(2)求函数的值域．20.在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，问题：在中，角A、B、C对应的边分别为a，b、c，若，________，求角B的值和b的最小值．21. 已知为双曲线的左右焦点，且该双曲线离心率小于等于，点和是双曲线上关于轴对称非重合的两个动点，为双曲线左右顶点，恒成立．(1)求该双曲线的标准方程；(2)设直线和的交点为，求点的轨迹方程．。
上海市嘉定区2022届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷
上海市嘉定区2022届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷数学（理）试卷2022年1月考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题纸不能折叠．3．本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟．1．函数ylog2(某2)的定义域是_____________．2．已知i是虚数单位，复数z满足z(13i)1，则|z|_______．3．已知函数yf(某)存在反函数yf则f11(某)，若函数yf(某1)的图像经过点(3,1)，(1)的值是___________．2某4．已知数列{an}的前n项和Snn（nN），则a8的值是__________．5．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20cm，则此圆锥的体积为________cm．234，则tan____________．45a1某2y20，且双曲线的右焦点与7．已知双曲线221（a0，b0）满足b2ab6．已知为第二象限角，in抛物线y43某的焦点重合，则该双曲线的方程为______________．8．分别从集合A{1,2,3,4}和集合B{5,6,7,8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是_________．9．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(7,3)，点C在直线y4上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则OGOC的最小值为__________．2r10．若lim存在，则实数r的取值范围是_____________．n2r111．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3某y0与某3y0的距离之和等于4，则P到原点距离的最小值为_________．·1·n12．设集合A{(某,y)(某4)y1}，B{(某,y)(某t)(yat2)1}，若存在实数t，使得AB，则实数a的取值范围是___________．2a某2某1,某0,13．已知函数f(某)是偶函数，直线yt与函数f(某)的图像自左2某b某c,某0至右依次交于四个不同点A、B、C、D，若|AB||BC|，则实数t的值为________．14．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二2222级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、、n级分形图．则n级分形图的周长为__________．图（1）图（2）图（3）15．设向量a(某1,1)，b(3,某1)，则“a∥b”是“某2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件216．若某2展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）某A．180B．120C．90D．4517．将函数yin2某（某R）的图像分别向左平移m（m0）个单位，向右平移n（n0）个单位，所得到的两个图像都与函数yin2某n的图像重合，则mn6的最小值为（）A．254B．C．D．36318．设函数f(某)的定义域为D，若存在闭区间[a,b]D，使得函数f(某)满足：①f(某)在[a,b]上是单调函数；②f(某)在[a,b]上的值域是[2a,2b]，则称区间[a,b]是函数f(某)的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A．函数f(某)某（某0）存在“和谐区间”·2·2B．函数f(某)e（某R）不存在“和谐区间”某4某(某0）存在“和谐区间”某211D．函数f(某)logaa某（a0，a1）不存在“和谐区间”8C．函数f(某)如图，正三棱锥ABCD的底面边长为2，侧棱长为3，E为棱BC的中点．（1）求异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求该三棱锥的体积V．ABDEC20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知函数f(某)2in某co某23co某3，某R．（1）求函数f(某)的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形ABC中，若f(A)1，ABAC22，求△ABC的面积．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．·3·3在椭圆C上．已知椭圆C的中心在原点，焦点在某轴上，长轴长为4，且点1,2（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量d(2,1)的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA||PB|为定值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数f(某)某22m．2（m为实常数）某（1）若函数yf(某)图像上动点P到定点Q(0,2)的距离的最小值为2，求实数m的值；（2）若函数yf(某)在区间[2,)上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；（3）设m0，若不等式f(某)k某在某1,1有解，求k的取值范围．223．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．数列{an}的首项为a（a0），前n项和为Sn，且Sn1tSna（t0）．设bnSn1，cnkb1b2bn（kR）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）当t1时，若对任意nN，|bn||b3|恒成立，求a的取值范围；（3）当t1时，试求三个正数a，t，k的一组值，使得{cn}为等比数列，且a，t，k成等差数列．·4·某参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分）y213121．(2,)2．3．24．155．166．7．某18．9．92724n1744110．(,1],11．2212．0,13．14．34333二．选择题（每小题5分，满分20分）15．B16．A17．C18．D三．解答题19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）（1）取BD中点F，连结AF、EF，因为EF∥CD，所以AEF就是异面直线AE与CD所成的角（或其补角）．（2分）在△AEF中，AEAF22，EF1，（1分）12所以coAEF2．（2分）8222所以，异面直线AE与CD所成的角的大小为arcco．（1分）8（2）作AO平面BCD，则O是正△BCD的中心，（1分）3连结OE，OE，（1分）32322所以AOAEEO，（1分）3所以，V1132323Sh4．（2分）3343320．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）（1）f(某)2in某co某3(2co某1)in2某3co某2某2in2某2，3（2分）所以，函数f(某)的最小正周期为．（1分）由2k得k22某32k2（kZ），（2分）5，（2分）某k（kZ）1212·5·所以，函数f(某)的单调递增区间是k（2）由已知，f(A)2in2A5．（1分）,k（kZ）121211，所以in2A，（1分）33245因为0A，所以2A，所以2A，从而A．（2分）2333364又ABAC|AB||AC|coA2，，所以，|AB||AC|2，（1分）所以，△ABC的面积S1122．（2分）|AB||AC|inA2222221．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）因为C的焦点在某轴上且长轴为4，某2y2故可设椭圆C的方程为，（1分）21（ab0）4b3在椭圆C上，所以131，（2分）因为点1,244b22解得b1，（1分）某2y21．（2分）所以，椭圆C的方程为4某m（2）设P(m,0)（2m2），由已知，直线l的方程是y，（1分）21y(某m),2由22某22m某m240（某）（2分）某y21,4设A(某1,y1)，B(某2,y2)，则某1、某2是方程（某）的两个根，m24所以有，某2某2m,某1某2，（1分）2222222所以，|PA||PB|(某1m)y1(某2m)y2115(某1m)2(某1m)2(某2m)2(某2m)2[(某1m)2(某2m)2]444552[某12某22m(某1某2)2m2][(某1某2)22m(某1某2)2某1某22m2]445．（3分）[m22m2(m24)2m2]5（定值）422所以，|PA||PB|为定值．（1分）（写到倒数第2行，最后1分可不扣）22．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）·6·（1）设P(某,y)，则y某2222m2，某2m|PQ|某(y2)某某（1分）某m22某22m22|m|2m2，（1分）某2当m0时，解得m所以，m21；当m0时，解得m21．（1分）21或m21．（1分）（只得到一个解，本小题得3分）（2）由题意，任取某1、某2[2,)，且某1某2，某1某2mmm2某12(某某)则f(某2)f(某1)某20，（2分）21某2某某某112因为某2某10，某1某20，所以某1某2m0，即m某1某2，（2分）由某2某12，得某1某24，所以m4．所以，m的取值范围是(,4]．（2分）（3）由f(某)k某，得某m2k 某，某m2因为某,1，所以k21，（2分）某某2令t1122，则t[1,2]，所以kmt2t1，令g(t)mt2t1，t[1，2]，某1于是，要使原不等式在某,1有解，当且仅当kg(t)min（t[1，．（1分）2]）2111因为m0，所以g(t)mt1图像开口向下，对称轴为直线t0，mmm因为t[1,2]，故当0当2132，即m时，g(t)ming(2)4m5；（4分）m23132，即m0时，g(t)ming(1)m3．（5分）m23·7·综上，当m当2时，k[4m5,)；32m0时，k[m3,)．（6分）323．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）（1）因为Sn1tSna①当n2时，SntSn1a②，①—②得，an1tan（n2），（2分）又由S2tS1a，得a2ta1，（1分）所以，{an}是首项为a，公比为t的等比数列，所以anatn1（nN）．（1分）某（2）当t1时，ana，Snna，bnna1，（1分）由|bn||b3|，得|na1||3a1|，(n3)a[(n3)a2]0（某）（1分）当a0时，n3时，（某）不成立；当a0时，（某）等价于(n3)[(n3)a2]0（某某）（某某）成立．n3时，22恒成立，所以a．n3712n1时，有4a20，a．n2时，有5a20，a．（3分）2522综上，a的取值范围是,．（1分）75n4时，有(n3)a20，即aa(1tn)a(1tn)aatn11（3）当t1时，Sn，bn，（1分）1t1t1t1tanat(1tn)atn11atk(1t)2atcnknn，（2分）1t1t(1t)2(1t)2(1t)21at0,at1,1t所以，当时，数列{cn}是等比数列，所以t（2分）2k(1t)atk,0t12(1t)又因为a，t，k成等差数列，所以2tak，即2tt1t，t1解得t51．（1分）2·8·从而，a51，k253．（1分）253时，数列{cn}为等比数列．（1分）2所以，当a5151，t，k22·9·。
2024届上海嘉定区高三一模数学试卷和答案
2023-2024学年上海嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷(考试时间120分钟，满分150分)一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.1.不等式260x x --<的解集为.2.已知()2,1a = ，()1,2b =- ，则23a b +=.3.函数sin πy x =的最小正周期为.4.已知tan 2α=，则πtan 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.5.双曲线22145x y -=的离心率为.6.已知事件A 和B 独立，()14P A =,()113P B =,则()P A B = .7.已知实数a 、b 满足6ab =-，则22a b +的最小值为.8.已知()612x +的二项展开式中系数最大的项为．9.关于x 的方程232=x x mx -+有三个不同的实数解，则实数m 的值为.10.已知11个大小相同的球，其中3个是红球，3个是黑球，5个是白球，从中随机取出4个形成一组，其中三种颜色都有的概率为.11.已知复平面上一个动点Z 对应复数z ,若4i 2z -≤,其中i 是虚数单位，则向量OZ扫过的面积为.12.正四棱台1111ABCD A B C D -,3AB =,111A B =,12AA =,M 是11C D 的中点，在直线1AA 、BC 上各取一个点P 、Q ，使得M 、P 、Q 三点共线，则线段PQ 的长度为.二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.13.直线倾斜角的取值范围为……（）A.π02⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B.π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[)0,π D.[]0,π14.两位跳水运动员甲和乙，某次比赛中的得分如下表所示，则正确的选项为……（）第一跳第二跳第三跳第四跳第五跳甲85.59686.475.994.4乙79.58095.794.0586.4A.甲和乙的中位数相等，甲的均分小于乙B.甲的均分大于乙，甲的方差大于乙C.甲的均分大于乙，甲的方差等于乙D.甲的均分大于乙，甲的方差小于乙15.已知等差数列{}n a ，公差为d ，12()f x x a x a =-+-，则下列命题正确的是……（）A.函数()y f x =（x ∈R ）可能是奇函数B.若函数()y f x =（x ∈R ）是偶函数，则0d =C.若0d =，则函数()y f x =（x ∈R ）是偶函数D.若0d ≠，则函数()y f x =（x ∈R ）的图像是轴对称图形16.已知四面体ABCD ,AB BC =,AD CD =.分别对于下列三个条件:①AD BC ⊥；②AC BD =；③2222AB CD AC BD +=+,是AB CD ⊥的充要条件的共有几个……（）A.0B.1C.2D.3三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．已知三角形ABC ，1CA CB ⋅=- ，三角形的面积12S =，（1）求角C 的值；（2）若3sin cos 4A A =，求c .18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n n =+，其中n N ∈,1n ≥.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n H .19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验.房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示.（图片引自梁思成《营造法式.注释》卷五）材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W 来刻画梁的承重能力.对于两个截面积相同的梁，称W 较大的梁的截面形状更好.三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，圆形截面正方形截面矩形截面条件r 为圆半径a 为正方形边长h 为矩形的长，b 为矩形的宽，h b>抗弯截面系数31π4W r =3216W a =2316W bh =（1）假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；（2）宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点.考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D ,如下图所示,请问:h b 为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理.20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．抛物线24y x =上有一动点(),P s t ，0t >.过点P 作抛物线的切线l ，再过点P 作直线m ，使得m l ⊥，直线m 和抛物线的另一个交点为Q .（1）当1s =时，求切线l 的直线方程；（2）当直线l 与抛物线准线的交点在x 轴上时，求三角形OPQ 的面积（点O 是坐标原点）；（3）求出线段PQ 关于s 的表达式，并求PQ 的最小值.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知()e x x f x =，()ln xg x x=.（1）求函数()y f x =、()y g x =的单调区间和极值；（2）请严格证明曲线()y f x =、()y g x =有唯一交点；（3）对于常数10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若直线y a =和曲线()y f x =、()y g x =共有三个不同交点()1,x a 、()2,x a 、()3,x a ，其中123x x x <<，求证：1x 、2x 、3x 成等比数列.2023-2024学年第一学期高三年级质量调研数学参考答案一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.(1)()2,3-(2)()1,8(3)2(4)12-(5)32(6)152(7)12(8)4240x (9)3-(10)611(11)83(12)275二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.(13)C(14)B(15)D(16)C三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．解（1）1cos 1CA CB ab C ⋅=-⇒=-，1sin 12S ab C =⇒=，两式相除得：tan 1C =-，所以3π4C =.(2)sin cos sin 222A A A =⇒=，所以π6A =或π3(舍)，所以π6A =所以π12B =，62sin 4B =由正弦定理得，sin sin a c C A =，sin sin b c C B=,所以22sin sin sin abc C A B=,由（1）ab =，所以22c =即c =18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.解(1)()()221112n n S n n S n n n -=+⇒=-+-≥()122n n n a S S n n -=-=≥，又112a S ==，所以2n a n =.(2)1111141n n a a n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以n H 111111142231n n ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭+……+，所以()1114141n nH n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭=.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．解：(1)假设截面面积均为正常数S，31π=44S W r r ===，321666S W a a ===，23166S W bh h ==，所以326W W =>==，又因为3<π，所以，所以21W W >，综上，321W W W >>，于是矩形截面的梁的截面形状最好.(2)()()322223110666b D b W bh b D b b -+==-=>,导函数22336b D W -+'=，所以当b =时，3W 取到最大值，此时h =: 2.83:2h b =≈，:3:2h b =的结论与抗弯系数理论的结论不同，但比较接近，是合理的，应肯定李诫从实践中总结的经验的实用价值.20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．解（1）因为0st >，所以(),P s t在曲线y =y '=l，所以l的直线方程为)y x s -=-，将1s =代入，则l 的直线方程为1y x =+.(2)设()22,Q x y ，将()1,0-代入方程)y x s -=-，得1s =，而直线m的方程为)y x s -=-，将1s =代入，则直线m 的方程为3y x =-+，联立24y x =，则24120y y +-=，由韦达定理得124y y +=-，而12y t ===，所以26y =-，所以三角形OPQ 的面积()1326122S =⋅⋅--=⎡⎤⎣⎦.(3)设()22,Q x y，)y x s -=-联立方程24y x =，得2840y y s +--=，因为t =，所以2y =-,所以244x s s=++，因为(,P s,44,Q s s ⎛++- ⎝,所以()322116s PQ s +=.对于2133231s u s s s -+==+，55233321213332s u s s s ---⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭，因为2s =，0u '=；02s <<，0u '<；2s >，0u '>，所以2133min 22u -=+，2316=PQ u ，()213332min 131622163210842=PQ -⎛⎫+=+++= ⎪⎝⎭，min PQ =.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．解（1）对于()y f x =，()1xx f x e -'=，对于()y g x =，()21ln xg x x -'=，严格增区间(],1-∞；严格减区间[)1+∞，；严格增区间(]0e ，；严格减区间[)e +∞，；1x <1x =1x >()0f x '>()0f x '=()0f x '>极大值0e x <<e x =e x >()0g x '>()0g x '=()0g x '>极大值极大值为1e极大值为1e（2）对于函数()()y f x g x =-，()0,x ∈+∞，设()()()h x f x g x =-，()211ln e x x xh x x--'=-，当[]1,e x ∈时，()0h x '<，严格递减，()()111110e h h e e e e -⎛⎫=⋅-< ⎪⎝⎭，存在一个零点0x ；当()0,1x ∈时，()0f x >，()0g x <，()()()0h x f x g x =->，无零点；当()e,+x ∈∞时，由（1）得1()e g x <，ln 1xx<，所以1ln x x e <<<，所以()()ln ()f x f x g x <=，所以()()()0h x f x g x =-<，无零点；综上所述，曲线()y f x =、()y g x =有唯一交点，且横坐标()01,x e ∈.(3)因为()y f x =在()0,1上严格单调递增，值域为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以y a =和()y f x =在()0,1x ∈上有一个交点，同理y a =和()y f x =在()1,+∞上有另一个交点；因为()y g x =在()1,e 上严格单调递增，值域为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以y a =和()y g x =在()1,e 上有一个交点，同理y a =和()y g x =在(),e +∞上有另一个交点，由题意，共有三个不同交点，则上述四个交点中有两个重合，于是y a =和()y f x =交点横坐标为1x 、2x ，y a =和()y g x =交点横坐标为2x 、3x ，其中()10,1x ∈，()21,x e ∈，()3,x e ∈+∞，由题意12312223ln ln x x x x x x e e x x ===，而222ln 2ln ln x x x x e=，因为()10,1x ∈、()2ln 0,1x ∈，又因为()y f x =在()0,1上严格单调递增，所以12ln x x =即12x x e =，同理23ln x x =，综上，113322ln x x x e x x x ==，所以1x 、2x 、3x 成等比数列.。
2022年上海市嘉定二中高考数学模拟试卷+答案解析(附后)
2022年上海市嘉定二中高考数学模拟试卷1. 已知集合，，则______.2. 不等式的解集为______.3. 若等差数列满足，则______.4. 已知函数，它的反函数为，则______.5. 展开式中的系数为______.6. 若实数x、y满足，则的最大值为______.7. 《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为______.8. 若数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且各项的和为a，则a的值为______ .9. 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，中任取5个不同数，则这5个数的中位数是6的概率为______.10. 已知函数是定义域为R的奇函数，且当时，若函数在上的最小值为3，则实数a的值为______.11. 已知椭圆为参数，，的焦点分别、，点A为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为若，则椭圆的普通方程为______.12. 已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有3个零点，则的取值范围是______.13. 已知复数为虚数单位，则“z为纯虚数”是“”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 若、，且，则ab的最小值为( )A. 16B. 4C.D.15.在中，，若，则( )A. 3B.C. 2D.16. 在正方体中，E、F分别是线段AB、上的动点，且直线EF 与所成的角为，则下列直线中与EF所成的角必为的是( )A. CDB. BDC.D.17. 如图，圆锥的底面半径，高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点．求圆锥的侧面积和体积；求异面直线CD与AB所成角的大小．结果用反三角函数表示18. 设常数，函数若函数是偶函数，求实数a的值；若对任意求实数a的取值范围．19. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB 所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知，，路宽米．设当时，求的面积；求灯杆BC与灯柱AB长度之和米关于的函数解析式，并求当为何值时，L取得最小值．20. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，它的右顶点与抛物线的焦点重合，经过点且不垂直于x轴的直线与双曲线C交于M、N两点．求双曲线C的标准方程；若点M是线段AN的中点，求点N的坐标；设P、Q是直线上关于x轴对称的两点，求证：直线PM与QN的交点必在直线上．21. 若项数为且的有穷数列满足：，则称数列具有“性质M”．判断下列数列是否具有“性质M”，并说明理由；①1，2，4，3；②2，4，8，设，若数列具有“性质M”，且各项互不相同．求证：“数列为等差数列”的充要条件是“数列为常数列”；已知数列具有“性质M”．若存在数列，使得数列是连续k个正整数1，2，⋅⋅⋅，k的一个排列，且，求k的所有可能的值．答案和解析1.【答案】【解析】解：集合，，故答案为：利用交集定义、不等式性质直接求解．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】【解析】解：，，解得：，故不等式的解集是，故答案为：问题转化为，求出不等式的解集即可．解分式不等式的方法是：移项，通分化不等式为，再转化为整式不等式，然后利用二次不等式或高次不等式的结论求解．3.【答案】8【解析】解：是等差数列，，故答案为：由是等差数列可得，从而即可求出的值．本题考查等差数列的性质，考查学生基本的运算能力，属于基础题．4.【答案】2【解析】解：由题意令，解得，根据反函数的定义可得，故答案为：令，解得，再根据反函数的定义即可求解．本题考查了反函数的定义，考查了学生的运算能力，属于基础题．5.【答案】60【解析】解：展开式的通项为令得到展开式中的系数是故答案为通过二项展开式的通项公式求出展开式的通项，利用x的指数为2，求出展开式中的系数．本题是基础题，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．考查计算能力．6.【答案】6【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为故答案为：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．7.【答案】2【解析】解：根据题意知，直三棱柱的底面三角形是底面边长为2，高为1的直角三角形，底面面积为，且直三棱柱的高为2，所以该“堑堵”的体积为故答案为：根据题意求出直三棱柱的底面三角形面积，再求三棱柱的体积即可．本题考查了利用三视图求简单几何体的体积应用问题，是基础题．8.【答案】1【解析】【分析】本题考查了无穷等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由题意可得：，化为：，解得a并验证即可得出．【解答】解：由题意可得：，化为：，解得或，时，公比为0，舍去．故答案为：9.【答案】【解析】解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，中任取5个不同数，基本事件总数，这5个数的中位数是6是指取到的5个数中含有6，且先在0，1，2，3，4，5取2个不同的数，后在7，8，9中取两个不同的数，或先在7，8，9取2个不同的数，后在0，1，2，3，4，5中取两个不同的数，这5个数的中位数是6的不同取法有：，故答案为：故答案为：先基本事件总数，这5个数的中位数是6是指取到的5个数中含有6，且先在0，1，2，3，4，5取2个不同的数，后在7，8，9中取两个不同的数，或先在7，8，9取2个不同的数，后在0，1，2，3，4，5中取两个不同的数，由此能求出这5个数的中位数是6的不同取法．本题考查实数值求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．10.【答案】3【解析】解：因为是定义域为R的奇函数，且当时，当时，，则所以，因为函数在上的最小值为3，当时，在上单调递增，当时，函数取得最小值，解得舍，当时，函数在上单调递增，当时，函数取得最小值，解得，当时，根据对勾函数的性质可知，当时，函数取得最小值，解得舍，综上，故答案为：由已知结合奇函数定义先求出当时的函数解析式，然后结合基本函数的单调性对a进行分类讨论，确定函数单调性，进而可求．本题主要考查了函数解析式的求解，还考查了函数的单调性在函数最值求解中的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．11.【答案】【解析】解：根据题意，椭圆为参数，，，其普通方程为，若其焦点分别、，则，则有，①点A为椭圆的上顶点，则A的坐标为，又由，而，则，，又由，且A、B、三点共线，则B的坐标为，又由，则有，②联立①②，解可得：，；故椭圆的方程为；故答案为：根据题意，由椭圆的焦点坐标可得，即可得，结合椭圆的性质可得、的长，分析可得B的坐标，进而可得，两式联立解可得a、b的值，即可得答案．本题考查椭圆的性质，涉及椭圆的参数方程，属于中档题．12.【答案】【解析】解：函数，其中，，恒成立，，，，，结合的范围，可得或①当时，，由，且，可得在区间上恰有3个零点，，，即，即，即综合可得，②当时，，由，且，可得在区间上恰有3个零点，，，即，即综合可得，此时，综上，结合①②可得，，故答案为：由题意，利用正弦函数的周期性、零点和最值，分类讨论，求得的范围．本题主要考查了正弦函数的周期性、零点和最值，属中档题．13.【答案】B【解析】解：当时，为纯虚数，反之，若z为纯虚数，则，解得或，“z为纯虚数”是“”的必要非充分条件，故选：由复数为虚数单位是纯虚数求得值，再结合充分必要条件的判定得答案．本题考查复数的基本概念，考查充分必要条件的判断，是基础题．14.【答案】A【解析】解：，，，当且仅当，即，时取等号，解得，当且仅当，时等号成立，的最小值为故选：根据基本不等式即可得出，然后即可求出ab的最小值．本题考查了基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．15.【答案】B【解析】解：中，，，所以，所以，因为，所以，解得故选：用向量、表示出向量和，再利用求出的值．本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，是基础题．16.【答案】C【解析】解：连接交于N，过A作交于H，过N作于M，、F分别是线段AB、上的动点，在平面内，易证平面，，又，所以平面，，则为直线EF与所成的角，又直线EF与所成的角为，，设正方体的棱长为1，则可得，，又，，在中，，又，故直线与EF所成的角必为，故选：连接交于N，过A作交于H，过N作于M，，计算可得，可知直线与EF所成的角必为本题考查异面直线所成的角，属中档题．17.【答案】解：圆锥的底面半径，高，母线长，则圆锥的侧面积，体积；连接CO，为底面直径AB所对弧的中点，，以O为坐标原点，分别以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，异面直线CD与AB所成角的大小为【解析】由已知求得圆锥的母线长，再由圆锥的侧面积公式与体积公式求解；以O为坐标原点，分别以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线CD与AB所成角的大小．本题考查圆锥侧面积与体积的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18.【答案】解：因为函数为偶函数，所以，即，整理得，所以：对任意整理得，因为，所以，根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值，所以，所以a的取值范围为【解析】由已知结合偶函数的定义即可求解a：由已知不等式恒成立先进行分离参数，然后结合二次函数的性质及指数函数性质可求．本题主要考查了函数的奇偶性的定义及不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．19.【答案】解：当时，，，又，，为边长为24的等边三角形，的面积为在中，，，，由正弦定理得，，解得，在中，，，，，由正弦定理得，，，，，，，当，即时，L取得最小值【解析】当时，，，所用为边长为24的等边三角形，进而求出的面积．在中，，，，由正弦定理求出AC，再在在中由正弦定理可得，，进而求出L关于的函数解析式，再结合三角函数的性质即可求出L的最小值．本题主要考查了函数的实际应用，考查了正弦定理得应用，以及三角函数的性质，属于中档题．20.【答案】解：由题意得，解得，所以双曲线C的标准方程为；设，因为M是线段AN的中点，所以，则得，解得，，所以所求点N的坐标为或；证明：由题意可设直线MN的方程为，联立方程组，消去y，并整理得，设，，由一元二次方程根与系数的关系，得，又设，，则得直线PM的方程为，直线QN的方程为，两个方程相减得①，因为，把它代入①得，所以，因此直线PM与QN的交点在直线上．【解析】由题意得，解得，即可求解；设，因为M是线段AN的中点，所以，代入双曲线方程即可求解；由题意可设直线MN的方程为，与双曲线方程联立后整理即可得证．本题考查了双曲线的性质，属于中档题．21.【答案】解：，该数列不具有“性质M”；，该数列具有“性质M”；证明：充分性，若数列是常数列，则即，或又数列且各项互不相同，，数列为等差数列；必要性，若数列为等差数列，则，即，数列为常数列；数列是连续k个正整数1，2，⋅⋅⋅，k的一个排列，当时，，，不符合题意；当时，数列3，2，4，1满足，，符合题意；当时，数列2，3，4，5，1满足，符合题意；当时，令，则，且，的取值有以下三种可能①，②，③，当时，，由知，，，是公差为1或的等差数列，若公差为1时，由得或，，不合题意，不合题意；若公差为，同上述方法可得不符合题意；当满足②，③时，同理可证不符合题意，故：或【解析】按照题目给出的定义：数列具有“性质M”直接判断；根据充要条件的概念直接证明；根据条件可知，，⋅⋅⋅逐渐增大，且最小值为1，分情况可求之．本题考查了给出新定义求解问题，数列的通项公式，充要条件等知识，综合性较强，是难题．。
2022-2023学年2023届上海市嘉定区高三数学一模试卷+标答
2022学年第一学期高三年级质量调研数学试卷一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.第六题有两空，每空2分. 1.已知集合{}11Axx =−<，Z 是整数集，则A =Z .2.已知复数1iz =，i 是虚数单位，则z 的虚部为 . 3.直线1x =10y −+=的夹角大小为.4.已知m ∈R ，若关于x 的方程()22223111mx x m m x m x ++−=⋅+++解集为R ，则m 的值为.5.已知某一个圆锥的侧面积为20π，底面积为16π，则这个圆锥的体积为 .6.某果园种植了100棵苹果树，随机抽取的12棵果树的产量（单位：千克）分别为：24 25 36 27 28 32 20 26 29 30 26 33据此预计，该果园的总产量为 千克以及第75百分位数为 千克. 7.已知常数m ∈R ，在()nx my +的二项展开式中，33x y 项的系数等于160，则m =.8.若函数11y x =−的值域是12(,0)[,)−∞+∞ ，则此函数的定义域为 ． 9.如图为正六棱柱''''''ABCDEF A B C D E F −.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线'A B 异面的共有______条.10.关于x 的方程|23||2||1|x x x −+−+=−的解集为_________.11.在空间直角坐标系中，点(1,0,0)A ，点(5,4,3)B −，点(2,0,1)C ，则AB 在CA方向上的投影向量的坐标为 .12.已知抛物线2=3x y ，动点A 自原点出发，沿着y 轴正方向向上匀速运动，速度大小为v .过A 作y 轴的垂线交抛物线于B 点，再过B 作x 轴的垂线交x 轴于C 点.当A 运动至()0,100时，点C 的瞬时速度的大小为 .F'E'D'C'B'A'FED CBA（第9题图）二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.13. 已知ABC △，那么“2220AC AB BC +−<u u u r u u u r u u u r ”是“ABC △为钝角三角形”的（ ）.A 充分条件但非必要条件 .B 必要条件但非充分条件 .C 充要条件 .D 以上皆非14.已知四条双曲线，2211x y Γ−=：，222194x y Γ−=：，223149y x Γ−=：，22411616x y Γ−=：，关于下列三个结论的正确选项为 （ ） ①4Γ的开口最为开阔； ②1Γ的开口比3Γ的更为开阔； ③2Γ和3Γ的开口的开阔程度相同..A 只有一个正确 .B 只有两个正确 .C 均正确 .D 均不正确15.甲、乙两人弈棋，根据以往总共20次的对弈记录，甲取胜10次，乙取胜10次.两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得200元奖金.第一局、第二局比赛都是甲胜，现在比赛因意外中止.鉴于公平，奖金应该分给甲（ ）.A 100元 .B 150元 .C 175元 .D 200元16. 中国古代数学家用圆内接正6n 边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率π的值. 若据此证明π 3.14>，则正整数n 至少等于（ ）.A 8 .B 9 .C 10 .D 11三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分． 如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D −，底面正方形ABCD 的边长为2，13AA =, （1）求证：平面11AA CC ⊥平面1A BD ； （2）求点A 到平面1A BD 的距离.18．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 若数列1n a是等差数列，则称数列{}n a 为调和数列.若实数a b c 、、依次成调和数列，则称b 是a 和c 的调和中项. （1）求13和1的调和中项； （2）已知调和数列{}n a ，16a =，42a =，求{}n a 的通项公式.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．李先生属于一年工作250天的上班族，计划购置一辆新车用以通勤.大致推断每天早八点从家出发，晚上六点回家，往返总距离为40公里.考虑从A B 、两款车型中选择其一，A 款车是燃油车，B 款车是电动车,售价均为30万元.现提供关于两种车型的相关信息:A 款车的油耗为6升/百公里，油价为每升8至9元.车险费用4000元/年.购置税为售价的10%.购车后，车价每年折旧率为12%.保养费用平均2000元/万公里；B 款车的电耗为20度/百公里，电费为每度0.6至0.7元.车险费用6000元/年.国务院2022年出台文件，宣布保持免除购置税政策.电池使用寿命为5年，更换费用为10万元.购车后，车价每年折旧率为15%.保养费用平均1000元/万公里.（1） 除了上述了解到的情况，还有哪些因素可能需要考虑?写出这些因素（至少3个，不超过5个）；（2） 为了简化问题，请对相关因素做出合情假设，由此为李先生作出买车的决策，并说明理由.20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．如图所示，由半椭圆()2212104x y C y b+=≤：和两个半圆()()222:110C x y y ++=≥、()()223:110C x y y −+=≥组成曲线:(,)0C F x y =，其中点12A A 、依次为1C 的左、右顶点，点B 为1C 的下顶点，点12F F 、依次为1C 的左、右焦点.若点12F F 、分别为曲线23C C 、的圆心，（1）求1C 的方程；（2）若点P Q 、分别在23C C 、上运动，求BP BQ +的最大值，并求出此时点P Q 、的坐标；（3）若点M 在曲线:(,)0C F x y =上运动，点(0,1)N −，求NM 的取值范围.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 已知ln ()xf x x=， （1） 求函数()y f x =的导数，并证明：函数()y f x =在[),e +∞上是严格减函数（常数e 为自然对数的底）； （2） 根据（1），判断并证明9989与8999的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；（3） 已知a 、b 是正整数,a b <，baa b =，求证：2,4a b ==是满足条件的唯一一组值.2022学年第一学期高三年级数学参考答案与评分标准一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.第六题有两空，每空2分.1.{}1；2.1-；3.6π；4.2；5.16π；6.2800，31；7.2；8.()(],11,3-∞ ；9.5；10.3,2]2[；11.77,0,22⎛⎫⎪⎝⎭；12.320v 二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.13.A ；14.D ；15.C ；16.C三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．（1）【解答】正四棱柱1111ABCD A B C D -11A A ABCD A A BD AC BD⊥⇒⊥⎧⇒⎨⊥⎩平面----------------3分BD ⇒⊥平面11AACC ，又BD ⊆平面1A BD ⇒平面11AACC ⊥平面1A BD .得证.-------------------3分（2）【解答】设点A 到平面1A BD 的距离为d，11A B A D BD ⎧==⎪⎨=⎪⎩⇒1A BDS ∆=⇒13A A BD V d -=--------3分2ABD S ∆=,又1A A ⊥平面ABD ⇒12A ABD V -=，----------3分由11A ABD A A BD V V --=⇒32211d ==为所求.---------2分18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分（1）【解答】设13和1的调和中项为b ，依题意得：3、1b 、1依次成等差数列，--------4分所以13+1==22b ，即1=2b 为所求.---------2分（2）【解答】依题意，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，设其公差为d ，1113269d d =-⇒=，-------4分所以()()1111121116918n n n d n a a +=+-=+-=，得1821n a n =+为所求.------4分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．（1）【解答】李先生可能还需要考虑的因素有：1、考虑非通勤时段的车辆使用情况2、油价和电价的变化3、工作单位能否提供免费充电4、电动车的国家减免政策的变化5、车辆的外观、内饰与品牌效应6、车牌费用（写出一条即可得2分）（2）【解答】假设仅考虑通勤时的车辆费用，油价和电价保持相对稳定，电动车的免购置税政策保持不变.计算时取价格区间的中位数即电价0.65元/度、油价8.5元/升.车辆费用为车价、能源费用、税费、车险费用、保养费用，并扣除车辆残余价值.写出1至5年任意一年中的一组对比数据，-------4分；例如：A 款车使用5年的总费用为：54025053000008.540005300004025052000300000(10.12)228243,16A y ⨯⨯=+⨯+⨯++⨯⨯⨯-⨯-=B 款车使用5年的总费用为：5402505402505300000200.65600051000300000(10.15)208388,10010000B y ⨯⨯⨯⨯=+⨯⨯+⨯+⨯-⨯-=所以，如果李先生打算开5年就按二手车卖掉，可以选B 款车.再写出6至10年任意一年中的一组对比数据，------2分.（两组数据写出其一，给4分.均写，给6分）结论：使用年数不超过5年，建议买B 款车；------1分使用年数超过5年，建议买A 款车.---------1分20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．（1）【解答】依题意，()()211,01,0F F -、，所以2413b =-=，---2分于是1C 的方程为()221043x y y +=≤------2分（2）【解答】由对称性，不妨设2P C ∈，3Q C ∈，()()()()112221216BP BQ BF F P BF F Q +≤+++=+++=,------------4分当1B F P 、、三点共线，同时2B F Q 、、三点共线，()max6BP BQ +=，此时33,22P ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭,33,22Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.--------------2分（3）【解答】曲线:(,)0C F x y =关于y 轴对称，不妨设点M 在曲线2C ()()22110x y y -+=≥或曲线1C 的右半部分()2210,043x y x y +=≥≤上运动.----1分①当点M 在曲线()()22110x y y -+=≥上运动，设()cos 1,sin M θθ+，0θπ≤≤.()()222=cos 1+sin 134NMπθθθ⎛⎫++=++⎪⎝⎭，0θπ≤≤21,NM⎡⇒∈⎣NM ⎡⎤⇒∈⎣⎦；------3分②当点M 在曲线()2210,043x y x y +=≥≤上运动，设()2cos ,M θθ，02πθ-≤≤.())2222=2cos +1sin 5NMθθθθ+=-++,02πθ-≤≤245NM⎡⎤⇒∈-⎣⎦NM ⇒∈-,-------3分综合①②，1NM ⎤∈-+⎦.---1分21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．（1）【解答】()y f x =的导函数为21ln x y x -'=，令21ln 0xy x-'==，驻点为x e =，----2分列表：x()0,e e()+e ∞，()f x '+-()f x极大值所以，函数()y f x =在[),e +∞上是严格减函数.---2分（2）【解答】判断99898999>，-----------2分下面证明：由（1），()()8999f f >，即ln 89ln 998999>，所以9989ln 89ln 99>，由ln y x =的单调性，99898999>.---------3分推广：对于实数a b 、，若e a b <<，则ln ln a b a b>即b aa b >（*）.----------1分（3）【解答】因为422416==，可见2,4a b ==满足()1,baa ba b a b N =≤<∈、，-------2分下面证明唯一性：①若3a ≥，由*可知ba ab >，与b a a b =矛盾；--------2分②若1a =，则11bb =即1b =，与a b <矛盾；--------2分③若2a =，则()222,bbb b N =<∈即ln 2ln 2b b=，容易验证3b ≠，4b =成立，若5b ≥，由*可知ln 4ln 4b b >，则ln 2ln 4ln 24b b=>，于是22b b >，与22b b =矛盾.综合①②③，2,4a b ==是满足条件的唯一一组值.--------2分。
2021-2022学年上海嘉定区高考数学一模试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③2．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a //β，b //α，则“a //b “是“α//β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图，若输入ln10a =，lg b e =，则输出的值为（ ）A ．0B ．1C ．2lg eD ．2lg104．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．2,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5．已知集合{}22|A x y x ==-，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( ) A ．[12]-， B ．[12]-，C ．(12]-，D ．2,2⎡⎤-⎣⎦6．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数2()e (2)e xx f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ）A ．1B ．12或0 C ．1或0 D ．2或08．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=9．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 3C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ） A 5B ．22C ．3D ．3310．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即2222221[()]42c a b S a c +-=-若ABC ∆的面积112S =，3a =2b =，则sin A 等于（ ）A ．5510B ．116C ．5510或116D ．1120或113611．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．4512．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022年上海市长宁区、嘉定区高考仿真模拟数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷含解析考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ） A ．2B ．1C ．2D ．52．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C ．102D ．123．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()2,00,01,02x xx f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩4．将一块边长为cm a 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm ，则a 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．125．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下：嘉宾 A BC D EF评分969596 89 9798嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ） A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>>6．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ） A ．6898B ．6896C ．5268D ．52667．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( ) A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++8．若i 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数2iz的点是（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H9．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是A ．1个B ．3个C ．4个D ．7个10．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =若ABC ∆的面积2S =，a =2b =，则sin A 等于（ ）A ．10B ．6C ．10或6D ．1120或113611．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或1512．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市嘉定区2024届高三一模数学试题
一、单选题二、多选题1. 函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为A．B．或C．D ．或2. 若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D ．不存在这样的实数k3. 已知直线和圆，则圆心O 到直线l 的距离的最大值为（ ）A．B．C．D．4. 将函数的图象向下平移1个单位长度.得到函数的图象，则函数的图象大致是（ ）A．B．C．D．5.已知为定义在上的奇函数，则函数的解析式可以为（ ）A．B．C．D．6. 已知，“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7. 已知为等差数列的前项和，且满足，，，若对任意的正整数，恒有，则正整数的值是（ ）A ．1B ．4C ．7D ．108. 某特种冰箱的食物保鲜时间y （单位：小时）与设置储存温度x（单位：）近似满足函数关系（k ，b 为常数），若设置储存温度的保鲜时间是288小时，设置储存温度的保鲜时间是144小时，则设置储存温度的保鲜时间近似是（ ）A ．36小时B ．48小时C ．60小时D ．72小时9. 已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是（ ）A．B．C ．向量与向量的夹角是120°D ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为10. 如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列说法中正确的是（ ）上海市嘉定区2024届高三一模数学试题三、填空题四、填空题五、填空题六、解答题七、解答题A．存在点，，使得B ．异面直线与所成的角为60°C ．三棱锥的体积为D．点到平面的距离为11. 关于函数，下列说法正确的是（ ）A ．函数在上最大值为B ．函数的图象关于点对称C ．函数在上单调递增D ．函数的最小正周期为12. 在△中，三边、、所对的角分别为、、，若，则角的大小为_________．13. 在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为______.14. 有7名学生去旅游，计划分别去3个不同的景点，每个景点至少去2名学生，则不同出行方案的种数为___________.（用数字作答）15. 明代商人程大位在公元1592年编撰完成《算法统宗》一书.书中有如下问题：“今有女子善织，初日迟，次日加倍，第三日转速倍增，第四日又倍增，织成绢六丈七尺五寸.问各日织若干？”意思是：“有一位女子善于织布，第一天由于不熟悉有点慢，第二天起每天织的布都是前一天的2倍，已知她前四天共织布6丈7尺5寸，问这位女子每天织布多少？”根据文中的已知条件，可求得该女了第一天织布________尺，若织布一周（7天），共织________尺.（其中1丈为10尺，1尺为10寸）16. 直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则__________；的面积为__________．17. 用表示不超过的最大整数，已知数列满足：，，.若，，则________；若，则________.18. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A 作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值.19. 如图多面体中，面面，为等边三角形，四边形为正方形，，且，、八、解答题九、解答题十、解答题分别为、的中点．（1）做出平面与平面的交线，记该交线与直线交点为，则的值是多少？（不需说明理由，保留作图痕迹）；（2）求二面角的余弦值．20.如图所示，已知是圆锥底面的两条直径，为劣弧的中点．(1)证明：；(2)若，为线段上的一点，且，求证：平面平面．21. 机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元．(Ⅰ)写出y 与x 之间的函数关系式；(Ⅱ)从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；(Ⅲ)使用若干年后，对机床的处理方案有两种：(1)当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；(2)当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．22. 新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作中的经验和不足，设计了一份调查问卷，满分100分，随机发给100名男性居民和100名女性居民，分数统计如下：100位男性居民评分频数分布表分组频数3127285合计100100位女性居民评分频数分布表分组频数5156479合计100（Ⅰ）求这100位男性居民评分的均值和方差；（Ⅱ）已知男性居民评分服从正态分布，用表示，用表示，求；（Ⅲ）若规定评分小于70分为不满意，评分大于等于70分为满意，能否有99%的把握认为居民是否满意与性别有关?附：，，，.参考公式，.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.204 6.6357.87910.828。
上海嘉定区嘉一联合中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析
上海嘉定区嘉一联合中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数对任意，有，且当时，，则函数的大致图象为（）参考答案：2. 在四边形ABCD中，=0，且，则四边形ABCD 是（）A．等腰梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形参考答案：C3. 若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为（）A．34πB．C．D．114π参考答案：C【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】作出直观图，求出三棱锥的外接球的半径，即可求出几何体的外接球的表面积．【解答】解：如图，设底面正△BCD外接圆的圆心O1，其半径；设侧面等腰△ACD外接圆的圆心O2，则在Rt△O2CH中，r2=O2A=O2C=4﹣O2H，由得，所以，则此三棱锥的外接球的表面积为，故选C．4. 运行如如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．1008 B．2015 C．1007 D．﹣1007参考答案：D考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1?k，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值，利用并项求和求得S．解答：解：执行程序框图，有k=1，S=0满足条件n＜2015，S=1，k=2；满足条件n＜2015，S=﹣1，k=3；满足条件n＜2015S=2，k=4；满足条件n＜2015S=﹣2，k=5；满足条件n＜2015S=3，k=6；满足条件n＜2015S=﹣3，k=7；满足条件n＜2015S=4，k=8；…观察规律可知，有满足条件n＜2015S=1006，k=2012；满足条件n＜2015S=﹣1006，k=2013；满足条件n＜2015S=1007，k=2014；满足条件n＜2015，S=﹣1007，k=2015；不满足条件n＜2015，输出S的值为﹣1007．故选：D．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值是解答本题的关键，属于基础题．5. 已知函数，则下列结论正确的是（A）两个函数的图象均关于点（—，0）成中心对称（B）淤的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2 倍，再向右平移个单位即得于（C）两个函数在区间（—，）上都是单调递增函数（D）两个函数的最小正周期相同参考答案：A略6. 设x，y满足约束条件则z＝4x+y的最小值为A．-3 B．-5 C．-14 D．-16参考答案：C7. 某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．12+B．6+C．12+2πD．6+4π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由俯视图为扇形及正视及侧视图为矩形知，该几何体由圆柱切割而成，故分矩形及曲面求侧面积．【解答】解：该几何体的侧面积由矩形的面积及曲面面积构成，其中矩形的面积为2×3×2=12，曲面的面积为×2×3=2π，故其侧面积S=12+2π，故选C．8. 直线与圆相交于A,B两点(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为 ( )A. B.2 C.D.参考答案：A因为△AOB是直角三角形，所以圆心到直线的距离为，所以，即。
2022年上海市长宁、青浦、宝山、嘉定高三下学期第一次联考数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷含解析考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（ ）A ．54B ．43 C ．32D ．22．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．83．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ） A．12B．12C ．32D15．若x ，y 满足约束条件0,2,10,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的取值范围为（ ）A ．[]5,1--B ．[]5,5-C ．[]1,5-D ．[]7,3-6．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） AB或3C ．2D ．2或37．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．98．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A ．2B ．2C ．1D ．39．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．3210．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知边长为4的菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AN NM =，则AM AN ⋅=（ ）A ．16B ．14C ．12D ．812．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022年上海市长宁区嘉定区高三一模数学试卷
2022年上海市长宁区嘉定区高三一模数学试卷一、填空题（共12小题；共60分）1.设集合=2<1,∈，集合=，则∩=______．2.函数=in3>0的最小正周期是π，则=______．3.设i为虚数单位，在复平面上，复数2i2对应的点到原点的距离为______．4.若函数=log2+1+的反函数的图象经过点4,1，则实数=______．5.已知+3展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则=______．6.甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有______种．7.若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为______cm3．8.若数列的所有项都是正数，且1+2++=2+3∈，则lim212→∞3π21+3+++1=______．9.如图，在△中，∠=45°，是边上的一点，=5，=7，=3，则的长为______．10.有以下命题：①若函数既是奇函数又是偶函数，则的值域为0；②若函数是偶函数，则=；③若函数在其定义域内不是单调函数，则不存在反函数；④若函数存在反函数1，且1与不完全相同，则与1图象的公共点必在直线=上；其中真命题的序号是______．（写出所有真命题的序号）2=1,2，=,1，=,0，其中为原点坐标，>0，>0，若，11.设向量，三点共线，则+的最小值为______．12.如图，已知正三棱柱111的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1点的最短路线的长为______cm．第1页（共7页）二、选择题（共4小题；共20分）13.“<2”是“2<4”的A.充分非必要条件C.充要条件B.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件14.若无穷等差数列的首项1<0，公差>0，的前项和为，则以下结论中一定正确的是A.单调递增15.给出下列命题：（1）存在实数使in+co=2．（2）直线=是函数=in图象的一条对称轴．2π3B.单调递减C.有最小值D.有最大值（3）=coco∈的值域是co1,1．（4）若，都是第一象限角，且>，则tan>tan．其中正确命题的题号为A.（1）（2）B.（2）（3）4C.（3）（4）9D.（1）（4）16.如果对一切实数，，不等式co2≥in恒成立，则实数的取值范围是A.∞,3C.22,224B.3,+∞D.3,3三、解答题（共5小题；共65分）17.如图，已知⊥平面，⊥，与平面所成的角为30°，且==2．（1）三棱锥的体积；（2）设为的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．+218.在△中，，，分别是角，，的对边，且8in2（1）求角的大小；2co2=7．（2）若=3，+=3，求和的值．19.某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园，将其中的区域开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点的坐标为1,2，曲线是函数=2图象的一部分，过对边上一点在区域内作一次函数=+>0的图象，与线第2页（共7页）段交于点（点不与点重合），且线段与曲线有且只有一个公共点，四边形为绿化风景区：2（1）求证：=8；（2）设点的横坐标为，①用表示，两点坐标；②将四边形的面积表示成关于的函数=，并求的最大值．20.已知函数=923+3；（1）若=1，∈0,1时，求的值域；（2）当∈1,1时，求的最小值；（3）是否存在实数，，同时满足下列条件：①>>3；②当的定义域为,时，其值域为2,2，若存在，求出，值，若不存在，请说明理由．21.已知无穷数列的各项都是正数，其前项和为，且满足：1=，=+11，其中≠1，常数∈．（1）求证：+2是一个定值；（2）数列是一个周期数列（存在正整数，使得对任意∈，都有+=成立，则称为周期数列，为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列是各项均为有理数的等差数列，=231∈，问：数列中的所有项是否都是数列中的项若是，请说明理由，若不是，请举出反例．第3页（共7页）答案第一部分1.22.23.54.35.66.607.3783π8.29.56210.①②11.812.13第二部分13.B14.C15.B16.D第三部分17.（1）如图，因为⊥平面，所以⊥，又⊥，所以⊥平面，因为⊥平面，与平面所成的角为30°，故∠=30°，由==2，得=4，=22，所以=164=23，=2322=22，则某△某31=某某某61=某2某22某2642=.3（2）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标=系，2第4页（共7页）=2,1,0，0,2,2，22,0,0，0,0,0，0,2,0，2,1,0，=22,2,2，设异面直线与所成角为，则co==4=arcco3．63．623．6=3所以异面直线与所成角的大小为arcco18.（1）在△中有+=π，由条件可得：41co+4co2+2=7，又因为co+=co，所以4co24co+1=0．解得co=，又∈0,π，21π所以=3．（2）由co=2知2+222=2，即+22=3．又=3，+=3，代入得=2．+=3,=1,=2,由或=2=2=1.19.（1）函数=2过点1,2，代入计算得=2，所以=22，=+,由消去得22=0，2=2由线段与曲线有且只有一个公共点，得=24某2某=0，解得=8．（2）设点的横坐标为，则,22，①直线的方程为=+，即=所以28282过点，=22，解得=4，=422，令=0，解得=2，所以2,0，令=2，解得=2+2，所以2+2,2．②将四边形的面积表示成关于的函数为==2某22某2某2+2+2=4+2，由+2≥22=2，当且仅当=2，即=所以≤42，即的最大值是42．第5页（共7页）2时“=”成立，220.（1）因为函数=923+3，设=3，∈1,3，则=22+3=2+32，对称轴为=．当=1时，=12+2在1,3递增，所以∈1,3，所以函数的值域是：2,6；（2）因为函数的对称轴为=，当∈1,1时，∈3,3，当<3时，min==3= 28923；当3≤≤3时，min===32；当>3时，min==3=126．289232,<13故=3,；≤≤33126,>3（3）假设满足题意的，存在，因为>>3，所以=126，所以函数在3,+∞上是减函数．126=2,又因为的定义域为,，值域为,，则两式相减得6=126=2,22+，又因为>>3，所以≠0，所以+=6，与>>3矛盾．所以满足题意的，不存在．21.（1）因为=+11,①所以+1=+1+21,②②①得：+1=+1+2，因为>0，所以+2=．（2）当=1时，=21，所以2=1+，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：，+，+，2+，+2，3+，．当>0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，所以=0时，写出数列的前几项：，，，，．所以当>0且≠1时，该数列的周期是2．（3）因为数列是一个各项均为有理数的等差数列，++=2+，第6页（共7页）化简222=0，=+2+164是有理数．设2+16=，是一个完全平方数，则2+16=2，，均是非负整数=0时，=1，=1，=．≠0时，+=16=2某8=4某4可以分解成8组，=3,其中只有符合要求．=5此时=2，=3+12，=3+54，因为=231∈，所以=1时，不符合，舍去．=3+12时，若231=3+12，113则：3=4某311，=2时，=的项．，不是整数，因此数列中的所有项不都是数列中第7页（共7页）。
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又由 ，得 ，所以点C的轨迹为以OD为直径的圆.
因为
，
当且仅当点C、E、F共线，且点C在点E、F之间时，等号成立.
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】求解向量模的最值问题时，一般需要利用数形结合法，解答本题的关键是将求向量模长最值转化为圆上任意一点到定点距离的最小值求解.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简函数解析式得 ，根据其值域 ，可得 ， ，求解出对应的范围，代入即可得 的范围.
【详解】由 化简得 .
因为其值域为 ，不妨设 ， ，
即 ， ，则得 .
故选：D.
16.若存在实数 ，使得当 时，都有 ，则实数 的最大值为（）
A. 1B. C. 2D.
C.根据线面垂直的判定定理，若直线 与平面 内的两条相交直线垂直，则直线 与平面 垂直，若直线 与平面 内的无数条平行直线垂直，则直线 与平面 不一定垂直，故C错误；
D.因为 ，所以 确定唯一一个平面，又 与 都相交，故直线 共面，故D正确；
故选：D.
15.已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的值不可能为（）
则 ，解得 ，
∴函数 ，
∴ .
故答案为：4.
6.已知圆锥的底面半径为 ，侧面积为 ，则母线与底面所成角的大小为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由圆锥的底面半径为 和侧面积 ,求出圆锥的母线长,即可求得答案.
【详解】设底面半径为 ,母线 长为 ,底面中心为 ,
如图:
解得:
在 中,
故母线与底面所成角的大小为: .
【详解】化简原式，得 ，所以 .
故答案为：
3.若线性方程组的增广矩阵为 ，其解为 ，则 _____________.
【答案】6
【解析】
分析】根据增广矩阵表示出线性方程组，代入解后求出 和 ，即可求解.
【详解】根据题意，可知线性方程组为 ，
因其解为 ，所以 ，即 ，
故 .
故答案为：6.
4. 的二项展开式中 的系数为____________
【解析】
【分析】（1）由题可得 ，利用正弦定理即求；
（2）利用三角形面积公式可得 ，再利用同角关系式及余弦定理即求.a
【详解】由题意，将四名志愿者先分为三组，有 种，因为志愿者甲第一天不能参加，所以有 种分配方式，所以不同的安排方法一共有 种.
故答案为：
11.已知集合 ， ，将 中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列 ，设数列 的前 项和为 ，则使得 成立的最小的 的值为_____________.
【答案】36
（1）试求 的表达式；
（2）根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.
20.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，且椭圆 过点 、 ，过点F的直线l与椭圆 交于P、Q两点（点P在x轴的上方）.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 ，求点P的坐标；
（3）设直线AP、BQ的斜率分别为 、 ，是否存在常数 ，使得 ?若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式定理计算即可.
【详解】解： 展开式 通项公式为 ，
故当 时， 的二项展开式中 的项为 ，其系数为 .
故答案为：
5.若函数 的反函数的图像经过点 ，则 ____________.
【答案】4
【解析】
【分析】由题意可得 ，由此可求得实数 的值，进而可得 ，即可得解.
【详解】由于函数 的反函数的图象经过点 ，
4. 二项展开式中 的系数为____________
5.若函数 反函数的图像经过点 ，则 ____________.
6.已知圆锥的底面半径为 ，侧面积为 ，则母线与底面所成角的大小为_____.
7.已知实数x、y满足 ，则 的最小值为____________.
8.已知数列 的通项公式为 ， 是数列 的前 项和，则 ____________.
设 ， ，
因为 的最小值为3，
所以当 时，都有 .
若 ， ；
若 ， ，所以 ，解得 .
综上，所求实数m的最大值为2.
故选：C.
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17.如图，直三棱柱 中， ， ，点D是BC的中点.
（1）求三棱锥 的体积；
（2）求异面直线 与 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
14.下列命题中，正确的是（）
A. 三点确定一个平面
B. 垂直于同一直线的两条直线平行
C. 若直线 与平面 上的无数条直线都垂直，则
D. 若a、b、c是三条直线， 且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上
15.已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的值不可能为（）
【答案】
【解析】
【分析】利用抛物线焦点弦公式求得 ，从而得 的坐标，由题意得 的坐标，再计算直线 的斜率，又因为双曲线渐近线方程 ，由两直线垂直列式求解 ，从而得双曲线的焦距.
【详解】由抛物线定义可知， ，得 ，所以抛物线方程为 ，则 或 ，设 ，由题意得 ，则 ，又因为双曲线渐近线方程为 ，因为双曲线C的一条渐近线与直线 垂直，所以 ，得 ，则 ，所以双曲线的焦距为 .
18.在 中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c， ， .
（1）若 ，求A和 外接圆半径R的值；
（2）若三角形的面积 ，求c.
19.某公司2021年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2022年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2021年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2021年为第1年， 为第1年至此后第 年的累计利润（注：含第 年，累计利润=累计收入-累计投入，单位：千万元），且当 为正值时，认为新产品赢利.
【答案】
பைடு நூலகம்【解析】
【分析】令 ， ， ，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F， 与 的夹角为 ，由题意，计算 ， ，判断出点C的轨迹为以OD为直径的圆，利用向量基底表示，将 转化为 ，然后转化为圆上任意一点到定点距离的最小值进而求解 最小值.
【详解】令 ， ， ，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F，
【答案】C
【解析】
【分析】由各选项知最大值 ，
由 ，解得 ，这样必须有 ，然后不等式变形为 ，
记 ， ，分类讨论去年绝对值符号，可得 的最小值是3，因此 的最大值性质不大于3，才存在 保证不等式恒成立，由最大值 可得 的范围，得 的最大值．
【详解】解：由各选项知最大值 ，
因为 ，解得 ，所以 .
不等式 可化为 .
A. 三点确定一个平面
B. 垂直于同一直线的两条直线平行
C. 若直线 与平面 上的无数条直线都垂直，则
D. 若a、b、c是三条直线， 且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间点、线、面位置关系直接判断.
【详解】A.不共线 三点确定一个平面，故A错误；
B.由墙角模型，显然B错误；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意先计算 的面积，然后代入三棱锥体积公式计算即可；（2）由题意可判断直线 与 所成的角就是异面直线 与 所成的角，分别计算 、 ，利用余弦定理计算 ，即可得答案.
【小问1详解】
由题意得
所以三棱锥 的体积 .
即所求 三棱锥的体积为 .
【小问2详解】
连接 ，由题意得 ， ，且 ，
所以直线 与 所成的角就是异面直线 与 所成的角.
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
因为 ，所以 .
因此所求异面直线 与 所成角的大小为 .
18.在 中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c， ， .
（1）若 ，求A和 外接圆半径R的值；
（2）若三角形的面积 ，求c.
【答案】（1） ， ；
（2） 或 .
故答案为：
10.四名志愿者参加某博览会三天的活动，若每人参加一天，每天至少有一人参加，其中志愿者甲第一天不能参加，则不同的安排方法一共有____________种（结果用数值表示）
【答案】
【解析】
【分析】由题意，先分组再分配，先将四名志愿者分为三组，然后按照特殊元素优先考虑再进行分配，从而求解出不同安排方法种数.
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13.已知 ，则“ ”是“ ”的（）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式转化条件，结合充分必要性定义即可作出判断.
【详解】由 得 或 ，
∴“ ”是“ ”的必要非充分条件．
故选：B．
14.下列命题中，正确的是（）
2021.12
一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1.已知集合 ， ，则 ____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据集合交集的定义计算．
【详解】由已知 ．故答案为： ．
2.已知 是虚数单位，若复数 ，则 ____________.
【答案】
【解析】
【分析】化简复数，再代入模长计算公式即可.
故答案为: .
【点睛】本题主要考查了求母线和底面夹角,解题关键是掌握圆锥的特征,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.