人教版九年级数学中考总复习 第12课时 二次函数 含解析及答案

第12课时 二次函数
知能优化训练
一、中考回顾
1.(2021浙江中考)关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是( ) A.有最大值4 B.有最小值4 C.有最大值6 D.有最小值6
2.(2021天津中考)已知抛物线y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 是常数,a ≠0)经过点(-1,-1),(0,1),当x=-2时,与其对应的函数值y>1.有下列结论: ①abc>0;
②关于x 的方程ax 2+bx+c-3=0有两个不等的实数根; ③a+b+c>7.
其中,正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2021安徽中考)设抛物线y=x 2+(a+1)x+a ,其中a 为实数. (1)若抛物线经过点(-1,m ),则m= ;
(2)将抛物线y=x 2+(a+1)x+a 向上平移2个单位长度,所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 .
(2)2
4.(2021江苏连云港中考)某快餐店销售A,B 两种快餐,每份利润分别为12元、8元,每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润,准备降低每份A 种快餐的利润,同时提高每份B 种快餐的利润.售卖时发现,在一定范围内,每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份,每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变,那么这两种快餐一天的总利润最多是 元.
5.(2020天津中考)已知点A (1,0)是抛物线y=ax 2+bx+m (a ,b ,m 为常数,a ≠0,m<0)与x 轴的一个交点. (1)当a=1,m=-3时,求该抛物线的顶点坐标;
(2)若抛物线与x 轴的另一个交点为M (m ,0),与y 轴的交点为C ,过点C 作直线l 平行于x 轴,E 是直线l 上的动点,F 是y 轴上的动点,EF=2√2.
①当点E 落在抛物线上(不与点C 重合),且AE=EF 时,求点F 的坐标; ②取EF 的中点N ,当m 为何值时,MN 的最小值是√2
2
当a=1,m=-3时,抛物线对应函数的解析式为y=x 2+bx-3.∵抛物线经过点A (1,0),∴0=1+b-3,解得b=2.∴抛物线对应函数的解析式为y=x 2+2x-3.
∵y=x 2+2x-3=(x+1)2-4, ∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4).
(2)①∵抛物线y=ax 2+bx+m 经过点A (1,0)和M (m ,0),m<0,∴0=a+b+m ,0=am 2+bm+m ,即am+b+1=0.∴a=1,b=-m-1.∴抛物线对应函数的解析式为y=x 2-(m+1)x+m ,根据题意,得点C (0,m ),点E (m+1,m ).过点A 作AH ⊥l 于点H (图略).由点A (1,0),得点H (1,m ).在Rt △EAH 中,EH=1-(m+1)=-m ,HA=0-m=-m , ∴AE=√EH 2+HA 2=-√2m.
∵AE=EF=2√2,∴-√2m=2√2,解得m=-2.此时,点E (-1,-2),点C (0,-2),有EC=1.∵点F 在y 轴上,∴在Rt △EFC 中,CF=√EF 2-EC 2=√7.∴点F 的坐标为(0,-2-√7)或(0,-2+√7). ②由N 是EF 的中点,得CN=1
2
EF=√2.
根据题意,点N 在以点C 为圆心、√2为半径的圆上.由点M (m ,0),点C (0,m ),得MO=-m ,CO=-m.∴在Rt △MCO 中,MC=√MO 2+CO 2=-√2m.当MC ≥√2,即m ≤-1时,满足条件的点N 落在线段MC 上,MN 的最小值为MC-NC=-√2m-√2=√2
2,解得m=-3
2;当MC<√2,即-1<m<0时,满足条件的点N 落在线段CM 的延长线上,MN 的最小值为NC-MC=√2-(-√2m )=√2
2,解得m=-12.∴当m 的值为-32或-1
2时,MN 的最小值是√2
2.
二、模拟预测
1.已知二次函数y=kx 2-6x+3的图象与x 轴有公共点,则k 的取值范围是( )
A.k<3
B.k<3,且k ≠0
C.k ≤3
D.k ≤3,且k ≠0
2.函数y=k
x 与y=-kx 2-k (k ≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
3.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A,点
B(-1,0),则
①二次函数的最大值为a+b+c;
②a-b+c<0;
③b2-4ac<0;
④当y>0时,-1<x<3.
其中正确的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
4.小明在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格:
根据表格中的信息回答问题:该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时,y=.
4
5.若y关于x的函数y=kx2+2x-1的图象与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为.
0或k=-1
6.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,若将其向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后图象对应函数的解析式为.
2-2x
7.如图①,若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合),我们把这样的两抛物线L1,L2互称为“友好”抛物线,可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条.
(1)如图②,已知抛物线L3:y=2x2-8x+4与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标;
(2)请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4对应函数的解析式,并指出L3与L4对应函数中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围;
(3)若抛物线y=a1(x-m)2+n的任意一条“友好”抛物线对应函数的解析式为y=a2(x-h)2+k,请写出a1与a2的关系式,并说明理由.
∵抛物线L3:y=2x2-8x+4,
∴y=2(x-2)2-4.
∴顶点为(2,-4),对称轴为x=2,
设x=0,则y=4,∴C(0,4).
∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为(4,4).
(2)∵以点D(4,4)为顶点的L3的友好抛物线L4还过点(2,-4),
∴L4对应函数的解析式为y=-2(x-4)2+4.
∴L3与L4对应函数中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是2≤x≤4.
(3)a1=-a2,理由如下:
由题意可得,{n=a2(m-ℎ)2+k,
k=a1(ℎ-m)2+n.
①
②
由①+②,得(a1+a2)(m-h)2=0, ∴a1=-a2.。