高考数学 专题09 椭圆解答题解题方法总结(解析版)

专题09椭圆解答题解题方法总结

一．【学习目标】

1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．

2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 二．【知识要点】 1．椭圆的定义

平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程

(1) ______________ (a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝_____________． (2)y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)，焦点___________________，其中

c ＝_____________． 3．椭圆的几何性质以x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)为例 (1)范围：________________．

(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O (0，0)．

(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b )，B 2(0，b )；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c .

(4)离心率e ＝_______，0

（一）三角形的面积的解题思路（1）弦长公式和点到直线距离公式，（2）如果三角形被坐标轴分成两部分，用两个三角形面积之和求解

（二）定点问题（1）特殊位置找定点；（2）直线中含一个参数找定点 （三）定值问题 （四）角相等的转化 （五）距离问题的在转化 （六）相切问题的解决方法 （七）向量与椭圆的综合 （八）点差法的应用 （九）对称问题 （十）求轨迹的方法 四．【题型方法】；

（一）三角形的面积问题

例1．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>

2y x =+上，若直线l 与椭圆

交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k . （1）求该椭圆的方程. （2）若121

4

k k ⋅=-

，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2

214

x y +=；

（2）OPQ ∆的面积为定值1. 【解析】

由2

c e a =

=

，又由于0a b >>，一个长轴顶点在直线2y x =+上， 可得：2a =

，c =1b =.

（1）故此椭圆的方程为2

214

x y +=.

（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 联立椭圆的方程得：(

)

2

22

418440k x kmx m +++-=， 由(

)(

)

22

2

2

64441440k m k m ∆=-+->，可得2241m k <+，

则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+

，12PQ x x =-=， 又点O 到直线y kx m =+

的距离d =

，122OPQ

S d PQ m ∆=⋅⋅=

由于212121212121

4

y y x x m k k x x x x ++⋅===-，可得：22421k m =-，

故2

212OPQ

S m m

∆=⋅=，当直线PQ 的斜率不存在时，可算得：1OPQ S ∆=， 故OPQ ∆的面积为定值1.

练习1. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点为别为1F 、2F

，且过点(1,2

和2.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），2AF 的延长线与椭圆交于点B ，AO 的延长线与椭圆交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．

【答案】（1）2212

x y +=；（22

【解析】（1）根据题意得，将点2⎛

⎝

⎭和2

3,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆方程得：2222

1112131

24a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：2

2

2,1a b ==，所以椭圆的方程为2

212

x y +=.

（2）由（1）得椭圆的()11,0F -，()21

,0F ， ①当AB 的斜率不存在时，易知2221,,1,,1,222A B C ⎛⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴ΔABC 1

S 2222

=

⨯= ②当AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，

联立方程组()22

112

y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()2222214220k x k x k +-+-= 设()()1122,,,A x y B x y ，212

2122

2422

,2121

x x x k k k x k -+==++， ()

2

222

2

2

121222

422

14142121k k k x x k k B x k A x ⎛⎫-=++-=+-⨯ ⎪++⎝⎭

22

1221k k +=+， 点O 到直线AB 的距离2

1

k d k -=

+O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为