平面应力状态下的应变分析

2

x y
2
sin 2
xy
2
cos 2
二、 应变圆
(ε x ε y ) (ε x ε y ) γ xy cos 2α sin 2α εα 2 2 2
γ xy γ α (ε x ε y ) sin 2α cos 2α 2 2 2
与应力公式

形 OAP" ' B"
O
BB" PP"' γ
xy
dy
OP 的伸长为：
P"' D" PP"' cosα
γ
xy
dy cosα
P"' D" PP"' cosα
γ
xy
y'
y B B" γ xy
α
x'
P P'" D" γ xy dy A dx x
dy cosα
dy OP sin
O点沿 x′ 方向的 线应变为：
Lc
450
A
2 0
ε c ε y ε b ε 450
Lb
La

2
ε a ε x
y
c
45
0
b
3
1
b
εy
ε 450
εx
a
45
0
ε1

0
C D2 O
45
6
x
6
D1
0
1 OD1 370 10
450
A
2 0
3 OD2 175 10
2 0 24 ;
ε c ε y ε b ε 450
解: (1)选适当的比例尺,
绘出纵坐标轴。

2
ε a ε x
Lb
La
(2) 并根据已知的 450, x ， y 值分别作出平行于 该轴的直线La, Lb , Lc 。
y
c
εy
45
0
b
45
0
ε 450
εx
a
x
ε c ε y ε b ε 450
§7-6 平面应力状态下的应变分析
一、任意方向的应变 即研究平面应力状态下一点沿 任意方向的线应变和剪应变 假设点O处Oxy坐标系 内的线应变x， y和剪应变
y
xy为已知。
O 求沿任意方向的线应变
x
如图,将Oxy坐标系绕O点转角得一个新的 坐标系Ox’y’ 规定 角以逆时针转动时 为 正值。
xy 1 1 arctg 2 y x
(b)当εx<εy时,
xy 1 90 1 arctg 2 y x
(c)当εx=εy时,
1 45
具体是正负可由力的合成定理直接判断.
例题7-5
设用图a所示的45°应变花测得某构件表面上一点处 208 ×10-6 ,
ε α ε α1 ε α 2 ε α 3


x
cos
y
2

y
sin
y
2

xy
sin cos

x
2

x
2
cos 2

xy
2
sin 2
2、推导剪应变 （略）
γ α (ε x ε y ) sin 2α γ xy cos 2α
或



ε c ε y ε b ε 450
Lc
Lb
La
0 12


2
ε a ε x
2
2
（7-6-3）
主应变 1 与 x 轴间所夹角度 0 满足
xy tg 2 0 ( x y )
(7 6 4)
最大主应变 1 与 x 轴间所夹角度 记为1 ,最小主应变 1 与 x 轴间所夹角度 记为2 , 1与 2 间相差90°。
与主应力方向的确定相似,得到 (a)当εx>εy时,
Q
BB' PP" ε y dy
矩形OAPB变形后
φα 2
O dx
A
x
为 OAP"B'
OP 的伸长量为 P" D' PP"sinα
ε y dy sinα
P" D' PP"sinα
ε y dy sinα
y'
ε y dy
y B' D' B
α 2
P" P dy
α
x'
Q
dy OP sin
Lc
450
B
Lb
A
(3) 过 Lb 线上的任一点B, 作与 Lb成45°角(顺时针转向)的BA 线, 交La 线于A点 ;

2
ε a ε x
La
y
c
εy
45
0
b
C
ε 450
εx
45
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a
x
45
0
450
B
Lb
A
ε c ε y ε b ε 450
(4) 由B点作与 Lb 成45°角(逆 时针转向)的 BC 线,交 Lc 线于 C 点。
ε
o
γ xy
2
D1
具体作法: 以D1(x, xy/2) D2(y, -xy/2)两点连线为直径 画应变圆
εx
γ 2
三、主应变的数值与方向
在平面应力状态下， 在此平面内一点处也存 在着两个互相垂直的主 应变,其相应的剪应变 等于零。
ε1
A1
ε
A2
o
γ xy
2
D1
ε2 εx
γ 2
2α 0
A1 和A2 两点的纵坐标等于
O点沿 x′方向的 线应变为
φα 2
O dx
A
x
P" D' ε y dy sinα ε α 2 OP dy sinα
ε y sinα
2
（3）只有正值剪应 变xy 存在（规定xy 使直角减小为正） 的 2 假设OA边不动 矩形OAPB变形后为菱
y'
y B B" γ xy
α
x'
P P'" D" γ xy dy A dx x
（1）只有正值 x 存在 y' 的 1
假设OB边不动。 矩形 OAPB 变形后 成为 OA’P’B 。
y B
α
x'
P D P' dy A' x
O
AA' PP' ε x dx
A dx
ε x dx
OP 的伸长量 P' D 为 P' D PP'cosα
ε x dx cosα
y'
由线应变的定义可得O点
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1、推导线应变 从O点沿 x′方向取 出一微段 OP = dx′ , 并以它作为矩形 OAPB的对角线,该矩 形的两边长分别为 dx 和 dy 。
O
y
y'
B
P
x'
dy
α
x
A
dx OP dx' cosα dy sinα
dx
的三个线应变值为x= 345×10-6, 45° =
y = -149 ×10-6 。试用应变圆求该点处的主应变数值和方向。
y
45
0
b
45
0
c
εy
ε 450
εx
a
x
y
c
εy
45
0
x = 345×10-6
b
45
0
45° = 208 ×10-6
y = -149 ×10-6
ε 450
εx
a
x
Lc
零,它们的横坐标分别代表两个
ε1
εy
D2
主应变 1 , 2 。
两个主应变方向间的夹角 等于90°, 即两方向互相垂直。 为1与x轴的夹角。
0

γ xy
2
A1
ε
A2
O
γ xy
2
D1
ε2 εx
γ 2
2α 0
两个主应变的表达式为
1
x y 2 2
x y xy 2 2
O
P"' D" ε α 3 OP
γ xy dy cosα
dy sinα
γ sinα cosα
xy
ε α1 ε x cosα
2
ε α 2 ε y sinα
2
ε α 3 γ xy sinα cosα
根据叠加原理，x, y 和 xy 同时存在时，O点沿 x′方向
的线应变为
y'
y
ε α 为O点沿 x′方向的线应变。
x'
γα
为直角 x 'oy ' 的改变量。
α
o
x
y'
y
假设
O点处沿任意方向的微段内, 应变是均匀的。
x'
α
o x
变形在线弹性范围内都是微小的, 叠加原理成立。
下面分别计算
x,
y ,xy , 单独存在时的线应变 和
剪应变 ，然后叠加得这些应变分量同时存在时的和 。
x y
2 x y 2

x y
2
cos 2 x sin 2
相比
sin 2 x cos 2
以线应变 作为横坐标, 而将
(-/2) 作为纵坐标 , 便可绘出表 示平面应力状态下一点处不同 方向的应变变化规律（一点处 的应变状态）的应变圆

εy
D2
γ xy
2
Lc
ε a ε x

2
La
y
45
0
b
C
c
εy
ε 450
εx
45
0
O1
a
x
45
0
450
B
Lb
A
ε c ε y ε b ε 450
(5) 作与 BA与 BC 两线的垂 直等分线, 相交于O1 点
Lc

2
ε a ε x
La
y
c
εy
45
0
b
C
ε 450
εx
45
0
O1

0
a
x
45
450
B
Lb
A
ε c ε y ε b ε 450
Lc
(6) 过与 O1 点作横坐标轴 轴, 并以 O1A（O1B 或O1C） 为半径 作圆, 即为应变圆。

2
ε a ε x
La
y
c
εy
45
0
b
3
1
ε 450
εx
45
0
a
x
C
D2
O1
45
0
D1

应变圆与 轴的交点D1, D2的 横坐标, 即为主应变的数值。
y B
α
x'
P D P' dy A' x
沿 x′方向的线应变 1 为
O
P' D ε x dx cosα ε α 1 OP dx cosα
ε x cosα
2
A dx
ε x dx
（2）只有正值y 存在 2
假设OA边不动。
y'
ε y dy
y B' D' B
α 2
P" P dy
α
x'