空间向量求空间角_

又B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)，
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∴cos〈B→C1，n〉＝B→→C1·n
|BC1||n|
＝
－a－a 3a×
9＝－29 2
6.
设 BC1 与平面 AMC1 所成的角为 θ，
则 sin θ ＝|cos〈B→C1，n〉|＝296.
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n1

n2

l

|
cos
||
cos

n1,n2
||
|
n1 n2 n1 | | n2
|
|
（三）二面角问题
在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，侧棱
SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，Az D=2，求二面角
A-SD-C的大小.
S
A
B x
y D
C
解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1，
2
A
而面SAD的法向量n2 = (1,0,0). 于是二面角A-SD-C的大小θ满足
B x
C

cos cos n1, n2
1
1 6,
11 4 100 6 6
∴二面角A-SD-C的大小为 arccos 6 .
6
y D
练习一
如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
A→M·n＝0.
a2y＋ 2az＝0，
令 y＝2，则 z＝－ 22，x＝0.
∴n＝(0，2，－ 22)．
解 (1)如图，建立空间直角坐标系．
∵∠ADC＝∠DAB＝90°，
AB＝4，CD＝1，AD＝2.
∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)．
由PD⊥平面ABCD，得
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∠PAD 为 PA 与平面 ABCD 所成的角，
∴∠PAD＝60°.
在 Rt△PAD 中，由 AD＝2，得 PD＝2 3.
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)， C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
设平面 PAB 的法向量为 m＝(x，y，z)， 则mm··AA→ →PB＝＝00，⇒（ （xx， ，yy， ，zz） ）··（ （0，2课，前0探，1究，1学）习0）＝＝0，0 ⇒ 课堂讲练互动
谢谢大家！
再见！
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⇒z＝2x0＋，y＝0， 令 x＝1，则 y＝－ 2，故 m＝(1，－ 2，0)．
设平面 PBC 的法向量为 n＝(x′，y′，z′)，则
nn··CC→→PB＝＝00，⇒（ （xx′′， ，yy′′， ，zz′′） ）··（ （0，2，－01，，01））＝＝00，⇒－2yx′′＋＝z′＝0，0.
A1
B1
得 AB ( a , 2
3 2
a,0),
AA1

(0,0,
2a)


a
x

3 ay 0 0
由 ，解得 2 2

2az 0
取y= ,得n=(3, ,0)， 3
x 3y z0
3
，
C O
A B
设AC1 (a,0, 2a)与n夹角为α
x
中点,则对角线DB1与z CM所成角的余弦值为
_____.
A1
D1
B1
C1
A M
x
B
D
y
C
C
解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标 系A- xyz, 设正方体的棱长为2, 那么
M(1,0, 0), C(2,2,0), B1(2, 0, 2), D(0,2 ,0),
于是：CM (1,2,0) DB1 (2,2,2)
而 sin | cos
| 3a 0 0 |
3a 1
∴ 30.
9 3 0 a2 0 2a2 2 3 3a 2
故：AC1与侧面ABB1A1所成的角大小为30°.
【课堂演练】已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面边长为 a， 侧棱长为 2a，M 为 A1B1 的中点，求 BC1 与平面 AMC1 所成角的正弦值．
∴P(0，0，2 3)．
(2)由(1)得，P→A＝(2，0，－2 3)，B→C＝(－2，－3，0)， ∴co〈 s P→A，B→C〉＝2×（－2）＋0×（ 4×－31）3 ＋（－2 3）×0
＝－ 13， 13
即
PA
与
BC
所成角的余弦值为
13 13 .
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（二）线面角问题
线面角问题
正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高 为 2a ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角。
z
C1
A1
A x
B1
C O
B
解:建立如图示的直角坐标系,则
z
C1

A(
a 2
,0,0),B(0,
3 2
a
,0)
A1(
a 2
,0, 2a).
C(-
a 2
,0,
2a)
设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)
0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，
0，1）.
z
S
设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由
SC (1,1,1), CD (1,1,0) 得

x y z 0


x

y

0
,
解得

x y

z
2 z
,
取z

2得
n1=(1,1,2).
（一）异面直线夹角问题
是 所成A1正D角1方的、体余A1A弦CB1值的CD．中－点A，1B求1C异1D面1中直，线EA、E与F分CF别
[思路探索] 可考虑建立空间直角坐标系，求出A→E，C→F的
坐标，利用坐标运算求所求角的余弦值．
解 不妨设正方体棱长为2，分 别取DA、DC、DD1所在直线为x 轴、y轴、z轴建立如图所示空间 直角坐标系，则
令 y′＝－1，则 z′＝－1，故 n＝(0，－1，－1)，
∴cos〈m，n〉＝m|m·||nn| ＝
3 3.
∴二面角
A-PB
-C
的余弦值为
3 3.
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课堂小结
• 用向量法求空间中的角。 • 如何求异面直线夹角、线面角。 • 需要注意的问题。
作业布置
• 优化设计P92页第三课时。
已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面边长为 a，侧
为 A1B1 的中点，求 BC1 与平面 AMC1 所成角的正
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故AA→→CM1＝＝((0－，2a23，a，2a2a，)，2a)，
3.法向量的夹角与二面角的平面角的关系

n1 g n2
设 n1 ,n2 = g
设 —l —的平面

角为
l
g
p－g

n1 g n2
两个平面的法向量在二面角内 同时指向或背离。


l
n1
g
设 n1 ,n2 = g
设 —l —的平面


n2

角为
l
g
g
两个平面的法向量在二面角内 一个指向另一个背离。
用向量法求空间中的角
高二（7）班 授课教师：李中辉
1
知识点回顾 (一)、基本原理
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行 ∥ u ∥ v u kv. 线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ； 线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ； 面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
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A(2，0，0)、C(0，2，0)、E(1，0，2)、F(1，1，2)，
则A→E＝(－1，0，2)，C→F＝(1，－1，2) ∴|A→E|＝ 5，|C→F|＝ 6.A→E·C→F＝－1＋0＋4＝3. 又A→E·C→F＝|A→E||C→F|cos〈A→E，C→F〉 ＝ 30cos〈A→E，C→F〉 ∴cos〈A→E，C→F〉＝ 1300，∴所求值为 1300.
设DB1与CM所成角为θ, DB与1 CM 所成角为α,
∴cosθ =|cosα|

240
2 15
1 4 0 4 4 4 5 4 3 30
若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，求二面
角 A-PB-C 的余弦值．
解 如图所示建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B( 2，1，0)， C(0，1，0)，P(0，0，1)，
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【课堂演练】
四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与 平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD 中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝ 1，AD＝2. (1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标； (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．