2019上海高三数学浦东一模

3.不等式log x1

21>

0的解为

⎪⎪4x2+16

x≥2

1

⎪()|x-a|x<2

上海市浦东新区2019届高三一模数学试卷

2018.12

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1.已知全集U=R，集合A=(-∞,1]U[2,+∞)，则

U

A=

2.抛物线y2=4x的焦点坐标为

2

4.已知复数z满足(1+i)⋅z=4i（i为虚数单位），则z的模为

5.若函数y=f(x)的图像恒过点(0,1)，则函数y=f-1(x)+3的图像一定经过定点

6.已知数列{a}为等差数列，其前n项和为S.若S=36，则a+a+a=

n n9348

7.在△ABC中，角A、B、C对边是a、b、c.若a2=(2+3)⋅b2，b=c，则A=

8.已知圆锥的体积为3π

π，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为33

9.已知二项式(x+

1

24x

)n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第

五项为

10.已知函数f(x)=2x|x+a|-1有三个不同的零点，则实数a的取值范围为

11.已知数列{a}满足：na

n n+2=1007(n-1)a

n+1

+2018(n+1)a(n∈N*)，a=1，a=2，

n12

若lim a

n+1=A，则A=

n→∞a n

⎧x

12.已知函数f(x)=⎨，若对任意的x∈[2,+∞)，都存在唯一的

1

⎪⎩2

x∈(-∞,2)，满足f(x)=f(x)，则实数a的取值范围为

212

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.“a<1

4”是“一元二次方程

x2-x+a=0有实数解”的（）

A.充分不必要条件

B.充分必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

14.下列命题正确的是（）

1/9

3

A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行

B. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行

C. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行

D. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行

15. 将 4 位志愿者分配到进博会的 3 个不同场馆服务，每个场馆至少 1 人，不同的分配方案

有（

）种

A. 72

B. 36

C. 64

D. 81

uuur uuur

16. 已知点 A(1,-2) ， B(2,0) ， P 为曲线 y = 3 - x 2 上任意一点，则 AP ⋅ AB 的取值范

4

围为（

）

A. [1,7]

B. [-1,7]

C. [1,3 + 2 3]

D. [-1,3 + 2 3]

三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）

17. 已知直三棱柱 A B C - ABC 中， AB = AC = AA = 1 ， ∠BAC = 90︒ .

1 1 1

1

（1）求异面直线 A B 与 B C 所成角；

1

1 1

（2）求点 B 到平面 A BC 的距离.

1

1

18. 已知函数 f ( x ) = 2 3 sin x cos x - 2sin 2 x .

3 4

（1）若角 α 的终边与单位圆交于点 P( , ) ，求 f (α ) 的值；

5 5

（2）当 x ∈ [- π π

, ] 时，求 f ( x ) 的单调递增区间和值域.

6 3

2 / 9

① 3 小时以内（含 3 小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值 E ．．．．．

③ 超过 5 小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成

（1）当a = 1 时，写出累积经验值 E 与游玩时间 t 的函数关系式 E = f (t ) ，并求出游玩 6 小 ．．．．．

（2）该游戏厂商把累积经验值 E 与游玩时间 t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作 H (t ) ； ， ．．1．．．．．．

19. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统” 规则如下：

．．．． ． （单位： exp ）与游玩时间 t （小时）满足关系式： E = t 2 + 20t + 16a ；

② 3 到 5 小时（含 5 小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为 0

（即累积经验值不变）；

．．．．．

正比例关系，比例系数为 50.

．．．． ．

时的累积经验值；

．．．．．

若 a > 0 ，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于 24，

求实数 a 的取值范围.

20. 已知双曲线 Γ : x 2 y 2 - a 2 b 2

= 1 (a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别是 F 、 F ，左、右两顶点

1 2

分别是 A 、 A ，弦 AB 和 CD 所在直线分别平行于 x 轴与 y 轴，线段 BA 的延长线与线段

1

2

CD 相交于点P （如图）.

ur

（1）若 d = (2, 3) 是 Γ 的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ 的两渐近线的夹角θ ；

（2）若 | P A | = 1， | PB | = 5 ， | PC | = 2 ， | PD | = 4 ，试求双曲线 Γ 的方程；

（3）在（ ）的条件下，且| A 1 A 2 | = 4 ，点C 与双曲线的顶点不重合，直线CA 1 和直线 CA 2 与直线 l : x = 1 分别相交于点 M 和 N ，试问：以线段 MN 为直径的圆是否恒经过定点？若

是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由.

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