高等数学测试及答案(第一章)

高等数学测试（第一章）

一 .选择题（每题2分，共20分） 1.（2分）7

1

2arcsin

16)(2

-+-=x x x f 的定义域为 （ ） A ．[]3,2 B ．[]4,3- C ．[)4,3- D ．()4,3-

2.（2分） 已知函数)12(-x f 的定义域为[]1,0，则函数)(x f 的定义域为 （ ） A ．⎥⎦

⎤⎢⎣⎡1,2

1 B ．[]1,1- C ．[]1,0 D ．[]2,1-

3.（2分）已知1)1(2

++=+x x x f ， 则)(x f = （ ） A ．22

+-x x B ．12

--x x C ．12

++x x D ．12

+-x x

4.（2分）下列函数对为相同函数的是 （ ）

A ．1)(,1

1

)(2-=+-=

x x g x x x f B ． 3ln )(,ln 3)(x x g x x f == C ．2

ln )(,ln 2)(x x g x x f == D ． 2)(,)(x x g x x f =

=

5.（2分）若()f x ()x R ∈为奇函数，则下列函数一定为偶函数的是 （ ） A ．(2)f x B ．(2)f x -+ C ．(||)f x D ．2()f x

6.（2分）函数1

22+=x x

y 的反函数为 （ ）

A ．x x y -=1log 2

B ．x x y +=1log 2

C ．x x y +=1log 2

D ．x

x y -=1log 2 7.（2分）已知极限22

lim(

)0x x ax x

→∞++=，则常数a 等于 （ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2

8.（2分）当0x +

→等价的无穷小量是 （ ）

A

．1-B

．ln(1+ C

1 D

．1-

9.（2分）点1x =是函数31

1()1131x x f x x x x -<⎧⎪

==⎨⎪->⎩

的 （ ）

A ．连续点

B ．可去间断点

C ．跳跃间断点

D ．第二类间断点

10.（2分）下列命题正确的是 （ ） A ． 两无穷大之和为无穷大； B ． 两无穷小之商为无穷小；

C ． )(lim 0

x f x x →存在当且仅当)(lim 0

x f x x -→与)(lim 0

x f x x +

→均存在；

D ． )(x f 在点0x 连续当且仅当它在点0x 既左连续又右连续． 二．填空题（每题3分，共15分）

11.（3分）函数()f x 在点0x 处有定义是()f x 在0x 处极限存在的________________. 12.（3分）当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数A=____________. 13.（3分）已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2

1()2x f x -=，则函数值(0)f =_____.

14.（3分）若lim ()x f x π

→存在，且sin ()2lim ()x x

f x f x x ππ

→=

+-，则lim ()x f x π→=________________.

15.（3分）设函数()()[]x x x f g x x f -=-=1,21，则⎪⎭

⎫

⎝⎛21g =________________. 三． 计算题(共55分)

16.（5分）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++

++++∞→n n n n n 2221

(21)

1

1lim . 17.（5分）)1(lim 2

x x x x -++∞

→. 18.（5分）x

x e x x x 2sin 1lim 3202

-→--. 19.（5分）x

x x x cot 20)32sin 1(lim +-→.20.（5分）()⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡+-→x x x 1ln 11lim 0. 21.（5分）30tan sin lim x x x x →-.

22.（5

分）2

1lim

1

x x e →-. 23.（5分） x

x x +→0

lim .

24.（7分）设3214

lim 1

x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值.

25.（8分）若)(lim 1

x f x →存在，且23)(2++=x x x f )(lim 1x f x →，求)(x f 和)(lim 1

x f x →.

四.证明题（共10分）

26.（10分）设函数()f x ，()g x 均在闭区间[],a b 上连续，且有()()f a g a a >+，()()f b g b b <+，证明：存在,a b ξ∈（）

，使()()f g ξξξ=+成立.

答案：

一. 选择题1—5 BBDBC ；6—10 AABBD ．

二．填空题11、无关条件； 12、3； 13、 0； 14、 1；15、3． 三．计算题

16. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 2221 (211)

1lim . 【解析】因为

),...,2,1(11112

2

2

n i n i n n n =+≤

+≤

+， 所以

1

1 (21)

11

2

2

2

2

2

+≤

++

++++≤

+n n n

n n n n n n ，

而11

lim

lim

2

2=+=+∞

→∞

→n n

n

n n

n n .

由两边夹逼准则可知，11

(211)

1lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n . 17.)1(lim 2

x x x x -++∞

→.