第二章 时间序列分析基本概念1 (1)

k 0 k 1
2、对称性
k k
k k
3、非负定性
4、非惟一性：一个平稳时间序列一定惟一决定了它 的自相关函数，但一个自相关函数未必惟一对应着ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 个平稳序列。
三、偏自相关函数
自相关系数反映了时间序列在两个不同时刻xt和xt+k的 相关程度，但这一相关是简单相关，并不是纯相关。因 为xt和xt+k的简单相关包含了xt通过xt+1 、xt+2… xt+k-1传 递到对xt+k的影响。 举例： xt
如果μ=0，且以上三个条件都满足，则这一过程为带有零均值的白噪声过
程。
如果{xt} 同时还服从正态分布，则它就是一个严平稳的随机过程。 白噪声序列是一种最简单的平稳序列，它在时间序列分析中占有非常重要
的地位。
注： （1）在实际建模中，经常需要检验模
型的残差序列是否是白噪声序列，即判断模型是


2 j


j
为线性平稳序列。
作业：证明{Xt}为一宽平稳序列。
第三节 平稳时间序列的特征描述
引：平稳时间序列可以由它的均值、方差、自相关、 偏自相关等特征描述，由于大多数情况下，可行的 时间序列仅包含一次实现，这就使得整体上计算均 值成为不可能，对一个平稳过程我们自然的要用时 间均值代替总体均值，下面我们将介绍样本均值、 样本自协方差、样本自相关函数、偏自相关函数等。
X(t)
t
时间序列： 随机过程的一次样本实现称为时间序列，也用{xt }或xt表
示。
随机过程与时间序列的关系图示
在经济分析中常用的时间序列数据都是经济变量随机 序列的一次样本实现。
二、时间序列的分布及其特征
1、时间序列的概率分布 一个时间序列是一个无限维随机向量，它的概率分布可以用
事物变化的过程可以分成两类。一类是确 定型过程，一类是非确定型过程。
确定型过程即可以用关于时间t的函数描述的过程。 例如，真空中的自由落体运动过程，行星的运动过 程等。
非确定型过程即不能用一个（或几个）关于时间t的确 定性函数描述的过程。换句话说，对同一事物的变化过 程独立、重复地进行多次观测而得到的结果是不相同的。 例如：对河流水位的测量。其中每一时刻的水位值 都是一个随机变量，如果以一年的水位纪录作为实 验结果，便得到一个水位关于时间的函数xt。这个 水位函数是预先不可确知的。只有通过测量才能得 到。而在每年中同一时刻的水位纪录是不相同的。
否充分提取随机时间序列中的相关信息。
（2）在金融中，通常假定资产收益率序列
是白噪声序列，检验资产收益率序列的中心化序 列是否是白噪声序列被用来作为有效市场假定是 否成立的判定工具。
标准正态白噪声序列时序图
2.独立同分布（iid）序列 定义：
如果时间序列{Xt}中的随机变量Xt（t=0, ±1, ±2 ……） 是相互独立的随机变量，且Xt具有相同的分布（当Xt有 一阶矩时，往往还假定EXt=0）,则称{Xt}为独立同分布 序列。
一、两种不同的平稳性定义 二、平稳序列的自协方差和自相关函数
一、两种不同的平稳性定义
1、严平稳过程 设｛xt｝为一时间序列，m, τ为任意整数，若对于 时间 t的任意m个值t1<t2<…<tm，都有：
FXt1 ,Xt2 Xtm (x1, x2 , , xm ) FXt1 ,Xt2 Xtm (x1, x2 , , xm )
(t, s) (s,t) 且有： (t,t) DX t
4.自相关函数
(t,s) (t,s) (t,s) DXt • DXs (t,t) (s, s)
自相关函数描述了时间序列的{Xt}自身的相关结构。 自相关函数也具有对称性，且有：(t,t) 1
第二节 平稳时间序列
此定义表明，严平稳的概率分布与时间的平移无关。 则称{Xt}为严平稳过程。
2、宽平稳过程 若时间序列{Xt }存在有穷的二阶矩，且该序列满足 如下条件：
1) EXt2 ,t T
2) t EXt , 为常数，t T 3) (t, s) E( X t )(X s ) (t s,0)，t, s
1.均值函数 t EX t xdFXt (x)
t 即为时间序列{Xt}的均值函数。被{Xt}的一维分布族所决
定。当t取遍所有时刻时，我们就得到一个均值函数序列，它 反映的是时间序列{Xt}每时每刻的平均水平。
2.方差函数
DXt E(Xt t )2

2
(x t ) dFXt (x)
tk 1

x )(xt k
x)
(2)
ˆˆk

1 nk
n
( xt
tk 1

x )(xt k

x)
通过证明有如下结论： 上述样本自协方差函数ˆk ˆˆk 都是总体自协方差
函 但数 是，kˆ的k 比渐ˆˆk的近方无差偏小估，计且，在且大ˆk样比本ˆˆk情的况偏下要（大n。很
偏自相关函数：指扣除Xt和Xt+k之间的随机变量 Xt+1,Xt+2, …Xt+k-1等影响之后的Xt和Xt+k之间的相关性。 滞后k期的偏自相关其实就是如下的条件相关：
φkk = cor(Xt,Xt+k|Xt+1,Xt+2 … Xt+k-1)
偏自相关函数一般用 kk表示。
四、白噪声序列和独立同分布序列
的一次实现。 随机过程简记为 {xt} 或 xt。随机过程也常简称为过程。
例如：某河流一年各时刻的水位值，{x1, x2, …, xT-1, xT,}，可以看作一个随机过程。每一年的水位纪录则 是一个时间序列，{x11, x21, …, xT-11, xT1}。而在每年中 同一时刻（如t = 2时）的水位纪录是不相同的。{ x21, x22, …, x2n,} 构成了x2取值的样本空间。
可见独立同分布序列{Xt}是严平稳序列。
白噪声序列与独立同分布序列： 一般来说，白噪声序列与独立同分布序列是不同的两 种序列 但是当白噪声序列为正态序列时，它也是独立同分布 序列，此时我们称其为正态白噪声序列
四、线性平稳序列
设{εt}为正态白 噪声序列，则称序列：

xt jt j j
第二章 时间序列分析的基本概 念
本章引入一些基本概念，如随机过程、自相关和 偏自相关函数。
随之讨论平稳时间序列的一些概念，以及时间序 列均值、方差、自相关函数和偏自相关函数的估 计，最后介绍线性差分方差。
差分方程在线性时间序列的模型刻画中起着重要 作用。
Contests
第一节 随机过程 第二节 平稳时间序列 第三节 平稳时间序列的特征描述 第四节 线性差分方程
E(Xt )(Xtk ) 由上容易推断出平稳随机序列一定具有常数方差：
DX t (t, t) 0 E( X t )2
类似的，平稳序列的自相关函数可记为：
k (t, s)
(t, s) k DXt • DXs 0
2、平稳序列自协方差和自相关函数的性质 1、规范性
当t取遍所有时刻时，我们就得到一个均值函数序列DXt，它 反映序列值围绕其均值做随机波动时平均的波动程度。
3.自协方差函数
(t, s) E( X t t )(X s s )

(x t )(y s )dFXt,Xs (x, y)
时间序列的自协方差函数是随机变量间协方差的推广，自协 方差函数具有对称性，即：
如果我们能确定出时间序列的概率分布，我们就 可以对时间序列构造模型，并描述时间序列的全 部随机特征。
但由于确定时间序列的分布函数一般不可能，人 们更加注意使用时间序列的各种特征统计量的描 述，如均值函数、协方差函数、自相关函数、偏 自相关函数等，这些特征统计量往往能代表随机 变量的主要特征。
三、时间序列的特征统计量
大），二者差别不大，因此我们通常用ˆk 作为 样本自协方差函数。 由于当k相对于n而言较大时，ˆk 的偏比ˆˆk更大， 因此，在时间序列分析时，一般滞后期k最多 取至n/4
三、样本自相关函数（SACF）
在以后讨论中，若不作特别说明，平稳序列即指宽平稳 序列。
二、平稳序列的自协方差和自相关函数
1、平稳序列的自协方差函数和自相关函数 若{Xt}为平稳序列，假定EXt=μ，由于 (t, s) (t s,0)令
s=t-k，于是我们就可以用以下记号表示平稳序列的自协方 差函数，即： k E( Xt EXt )(Xtk EXtk )
联系： （1）若一个序列为严平稳序列，且有有穷的二阶矩， 那么该序列也必为宽平稳序列。但反过来一般不成 立。 （2）若时间序列为正态序列（即它的任何有限维分 布都是正态分布），那么该序列为严平稳序列和宽 平稳序列是相互等价的。
注：由于在实际中严平稳序列的条件非常难以满足，我 们研究的通常是宽平稳序列。
随机过程： 由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为
{x (s, t) , sS , tT }。其中S表示样本空间，T表示序 数集。 对于每一个 t, tT, x (·, t ) 是样本空间S中的一个随
机变量。 对于每一个 s, sS , x (s, ·) 是随机过程在序数集T中
第五节 差分运算及滞后算子
第一节 随机过程
一、随机过程和时间序列 二、时间序列的分布 三、时间序列的特征统计量
一、随机过程的概念
引：
时间序列不是无源之水。它是由相应随机 过程产生的。只有从随机过程的高度认识 了它的一般规律。对时间序列的研究才会 有指导意义。对时间序列的认识才会更深 刻。
1.白噪声（White noise）序列(纯随机序列) 定义：若时间序列{Xt}满足下列性质：
(1)EXt
(2)
(t,
s)

E(
Xt

)( X
s

)


0
2
ts ts
则称此序列为白噪声序列。
白噪声是平稳的随机过程，因其均值为常数，方差不变，且除滞后零阶外，
自协方差都为零。显然上述白噪声是宽平稳随机过程。
一、样本均值
对时间序列的一次样本实现，需要用样本均值代
替总体均值
x

1 n
n t 1
xt
x 可以证明， 是 的无偏、一致估计。
二、样本自协方差函数 对于时间序列的一次样本现，我们也需要通过样
本自协方差函数估计总体自协方差函数。这里有 两种形式：
(1)
ˆk

1 n
n
( xt
一Xt1般…地…，X对tm于的任联意合m分∈布N函，数t1为，：t2，……tm∈T，随机变量
FXt1, ,Xtm x1, , xm P(Xt1 x1, , Xtm xm )
时间序列的有限维分布函数。
如果时间序列的所有有限维分布都是正态分布， 则称该时间序列为正态序列，又称高斯序列。
则称该时间序列为宽平稳过程。
此定义表明，宽平稳过程各随机变量的均值为常数， 且序列中任意两个变量的协方差仅与时间间隔(t-s)有 关。
3、严平稳过程与宽平稳过程的联系和区别
区别： （1）严平稳序列的概率分布随时间的平移而不变， 宽平稳序列的均值和自协方差随时间的平移而不 变。 （2）一个严平稳序列，不一定是宽平稳序列； 一个宽平稳序列也不一定是严平稳序列。 例如：服从柯西分布的严平稳序列就不是宽平稳 序列，因为它不存在一、二阶矩。
它的有限维分布族来描述。 一个时间序列所有有限维分布函数的全体，称为该序列的有
限维分布函数族。 例如： 设的｛分X布t｝函为数一为随FXt机x即过：程，对每一t∈T（T {0,1,2, } ），Xt
FXt x P(Xt x) 时间序列的一维分布函数。
当为任：意F给Xt1,定Xt1 xt11,，x2 t2P∈(XTt1 时x1,，Xt2 随 x机2) 变时量间X序t1列、的X二t2的维联分合布分函布数函。数