高考数学总复习 73 推理与证明课件 新人教A版

④结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题； ⑤要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条 件推出结论的线索不够清晰的命题． ⑥如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨 论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情 形．
误区警示 1．用作商比较法时，要注意除式的符号，否则易出 错．因为AB>1，若 B>0，有 A>B，但若 B<0，则有 A<B. 2．分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是 充要条件． 3．推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、 不跳步．
解析：由 13＋23＋33＋…＋n3＝[nn2＋1]2 知 n＝6 时 为 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
(理)(2010·青岛一模)观察下列式子：1＋212<32，1＋212＋ 312<53，1＋212＋312＋412<74，……，根据以上式子可以猜想： 1＋212＋312＋…＋201102<________.
∴A1D2＝BD1·DC＝BD·BCB·CD2C·BC ＝ABB2C·A2C2＝AABB2＋2·AACC2 2＝A1B2＋A1C2. ∴A1D2＝A1B2＋A1C2. 类比 AB⊥AC，AD⊥BC 猜想： 四面体 A－BCD 中，AB、AC、AD 两两垂直，AE ⊥平面 BCD，则A1E2＝A1B2＋A1C2＋A1D2.
在 Rt △ BAE 中 ， BE ＝
a2b2＋a2c2＋b2c2
b2＋c2
.
∴S△BCD＝12DC·BE
＝12
b2＋c2·
a2b2＋a2c2＋b2c2
b2＋c2
.
∴S△2 BCD＝14(a2b2＋b2c2＋a2c2)． 即 S△2 BCD＝S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ADB.
a2＋b2b＋2c2c2 ＝
分析法的特点是：从“未知”看需知，逐步靠拢“已 知”，其每步推理都是寻求使每一步结论成立的充分条 件，直到最后把要证明的结论归纳为判定一个明显成立 的条件为止．
综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推 向“未知”，其每步推理都是寻找使每一步结论成立的 必要条件．
5．反证法 一般地，由证明 p⇒q，转向证明綈 q⇒r⇒…⇒t，而
答案：S△2 ABC＋S2△ACD＋S△2 ADB＝S2△BCD
点评：(1)用现代的眼光看，类比就是两个同构关系 的模型间的推理，模型间的同构关系，即它们结构或功 能上存在的某种对应性(相似性)，它是进行类比推理的依 据．
(2)本例中的三角形与四面体就是平面与空间中的两 个常见具有同构关系的模型，因而四面体中的很多性质 及证明方法都可以通过三角形中的性质及证明方法类比 得到．
－
ห้องสมุดไป่ตู้sin120°sin2α
＋
cos240°cos2α－sin240°sin2α]＝32＝右边．
所以命题得证．
点评：归纳出的一般性结论，要能使已知的结论为 其特殊情形．
(文)(2010·陕西理)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23 ＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第 五个等式为________________．
如图②，连接 BE 并延长交 CD 于 F，连接 AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面 ACD. 而 AF⊂平面 ACD， ∴AB⊥AF， 在 Rt△ABF 中，AE⊥BF， ∴A1E2＝A1B2＋A1F2. 在 Rt△ACD 中，AF⊥CD， ∴A1F2＝A1C2＋A1D2.
∴A1E2＝A1B2＋A1C2＋A1D2，故猜想正确．
2．用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路 步骤，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用 的方法．
反证法还常常用在要证的结论中含有许多种情形， 而结论的反面则有较少或仅一种情形的命题的证明中， 注意否定原命题时，要准确无误．
应用反证法证明数学命题的一般步骤： (1)分清命题的条件与结论． (2)做出与命题结论相矛盾的假设； (3)由假设出发，应用演绎推理方法、推出矛盾的结 果．
解析：设 AB＝a，AC＝b，AD＝c.
∵三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两垂直，
∴AB、AC、AD 两两垂直．
∴S△2 ABC＋S2△ACD＋S2△ADB＝14a2b2＋14a2c2＋14b2c2. 作 BE⊥DC 于 E，连接 AE，则 CD⊥AE.
在 Rt△CAD 中，AE＝
bc b2＋c2 .
2．合情推理 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想， 再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理形式，它是前 提为真时，结论可能为真的推理，这种推理叫做叫合情 推理，数学中常见的合情推理是归纳推理和类比推理．
(1)归纳推理 根据一类事物的部分对象具有某种特征，推出该类 事物的全部对象都具有这种特征的推理，或者由个别事 实概括出一般结论的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归 纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理． 归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同性质． ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性 命题(猜想)．
它的本质是，通过验证结论的充分条件为真，从而 判断结论为真．
※(3)关系推理 推理规则是：“如果 aRb，bRc，则 aRc”(其中 R 表示具有传递性的关系)，这种推理叫关系推理，如：由 a∥b，b∥c，推出 a∥c，若 a≥b，b≥c，则 a≥c，都是 关系推理．
(4)完全归纳推理 把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归 纳推理．
(3)数学中其它一些常见的具有同构关系的模型有： 等式与不等式、分数与分式、椭圆与双曲线、等差数列 与等比数列、长方形与长方体、圆与球等．
(文)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S4，S8－ S4，S12－S8，S16－S12 成等差数列．类比以上结论有： 设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn，则 T4，________， ________，TT1162成等比数列．
解析：依题意有 T4＝b1b2b3b4，TT84＝b5b6b7b8，TT182＝ b9b10b11b12，TT1126＝b13b14b15b16，若原等比数列公比为 q，则 T4，TT84，TT182，TT1126构成公比为 q16 的等比数列．故填TT84；TT182.
答案：T8；T12 T4 T8
解析：观察上述式子的构成规律可以发现，左边分 母依次为 n2，分子为 1，右边分母为 n，分子为 2n－1， 故其一般形式为 1＋212＋312＋…＋n12<2n－ n 1.令 n＝2010 即 得结论．
答案：1＋212＋312＋…＋201102<42001190
类比推理
[例 2] 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的 两边 AB，AC 互相垂直，则 AB2＋AC2＝BC2.”拓展到空 间，类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面 积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 A－BCD 的 三 个 侧 面 ABC 、 ACD 、 ADB 两 两 相 互 垂 直 ， 则 ________．”
点评：本例从结构上类比，从等差数列“和式的差” 类比到等比数列“积式的商”．
(理)在 Rt△ABC 中，AB⊥AC，AD⊥BC 于 D，求证： A1D2＝A1B2＋A1C2，那么在四面体 A－BCD 中，类比上述 结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．
解析：
如图①所示，在 Rt△ABC 中，AB2＋AC2＝BC2， 又由射影定理知 AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC， AC2＝BC·DC，
(4)断 定 产 生 矛 盾 结 果 的 原 因 在 于 开 始 所 做 假 设 不 真，从而肯定原命题为真．
3．进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征， ②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物 的相似性质等入手进行类比．
归纳推理
[例 1] 观察下列各式： sin25°＋sin265°＋sin2125°＝32. sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32. sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝32. 归纳猜想出一个一般性命题，并给出证明．
(2)类比推理 根据两类不同对象之间具有的某些类似特征和其中一 类对象的某些已知特征，推测另一类事物也具有这些特征 的推理叫类比推理． 类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结 论可能是真的．
类比推理的一般步骤： ①找出两类对象之间的相似性或一致性． ②用一类对象具有某种性质去推测另一类对象可能 具有这种性质，得出一个明确的命题(猜想)． 归纳推理和类比推理都属于合情推理．
t 与已知矛盾或与某个真命题矛盾，从而判定綈 q 为假， 推出 q 为真的证明方法叫做反证法．
反证法是从否定命题的结论出发，通过正确、严密 的逻辑推理，由此引出一个新的结论，而这个新结论与 已知矛盾，从而肯定原结论是正确的一种间接证明方法．
这里所谓的“与已知矛盾”主要是指：
(1)与假设自相矛盾． (2)与数学公理、定理、公式、法则、定义或已被证 明了的结论矛盾． (3)与公认的简单事实矛盾． 反证法主要适用于以下情形： ①结论本身是以否定形式出现的一类命题； ②关于唯一性、存在性的命题； ③结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；
4．在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要 被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面的相似甚至假象 就去类比，就会犯机械类比的错误．
5．合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证， 合情推理中运用猜想时要有依据．
6．用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理 依据．
1．综合法往往是分析法的逆向思维过程，表述简单， 条理清楚，所以实际证题时，可将分析法、综合法结合 起来使用，即：分析找思路，综合写过程．
第三节
推理与证明
重点难点 重点：①掌握合情推理和演绎推理． ②能熟练地运用综合法和分析法证题． 难点：①用综合法、分析法、反证法证题的思路． ②信息转换、逻辑分析．
知识归纳 1．推理的概念 根据一个或几个已知的判断得出一个新判断，这种 思维方式叫推理，推理一般有两部分组成：前提和结论． 日常生活和科学研究中经常使用的推理有合情推理 和演绎推理．
点评：将三角形类比到四面体，将三角形两边垂直， 类比到四面体的交于同一顶点的三面两两垂直，将由直角 顶点向斜边作垂线类比到由四棱锥的“直角顶角”向对面 作垂线，……要注意从结构特征上寻找其本质上的类似性.
4．直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的 定义、公理、定理、法则等，直接推证结论的真实性． (1)综合法 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经 过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 的证明方法叫做综合法．综合法是一种由因导果的证明 方法．
综合法的证明步骤用符号表示是： P0(已知)⇒P1⇒P2…⇒Pn(结论)． (2)分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立 的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个 明显成立的条件(已知条件或定理、定义、公理等)为止， 这种证明方法称为分析法． 分析法是一种执果索因的证明方法，用分析法证明 的逻辑关系是：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知)．
解析：一般性的命题为：
sin2α＋sin2(60°＋α)＋sin2(120°＋α)＝32. 证明如下：
左
边
＝
1－cos2α 2
＋
1－cos120°＋2α 2
＋
1－cos240°＋2α 2
＝32－12[cos2α＋cos(120°＋2α)＋cos(240°＋2α)]
＝
3 2
－
1 2
[cos2α
＋
cos120°cos2α
3．演绎推理 从一般性的原理出发，依据逻辑规则推导出某个特 殊情况下的结论，这种推理形式称作演绎推理．演绎推 理是从一般到特殊的推理． 它的特征是：当前提为真时，结论必然为真． (1)三段论推理 三段论推理是演绎推理的一般模式．它包括：
①大前提——已知的一般性原理．M 是 P ②小前提——所研究的特殊情况．S 是 M ③ 结 论 —— 根 据 一 般 原 理 ， 对 特 殊 情 况 做 出 的 判 断．S 是 P. ※(2)假言推理 假言推理的规则是：“若 p⇒q，p 真，则 q 真”．