第六节子空间的交与和
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
推论 如果 n 维线性空间V 中两个子空间V1,V2 的维数之和大 于 n ，那么V1,V2 必含有非零的公共向量。
例 4 在 P4 中，设V1 L(1, 2 ) ，V2 L(1, 2 ) ， 其中1 (1,1,1,1) ，2 (1,2,1,0) ， 1 (2,1,0,1) ， 2 (1,1,3,7) ， 求 P4 的子空间V1 V2 与V1 V2 的基和维数。
例 5 在 P[x]4 中，已知 f1 (x) x x 2 x3 ，f 2 (x) 3x x3 ，f3 (x) x 2 3x3 ， f4 (x) 2x x2 2x3， f5 (x) 5x 2x2 6x3 ，试求包含这 5 个多项式的最小 的线性空间W 的一组基及维数，并写出 fi (x) 被W 的基线性表出的表达式。
§6 子空间的交与和
一、子空间的交与和
定理 5 设V1,V2 是线性空间V 的两个子空间，那么它们的交V1 V2 也 是V 的子空间。
定义 9 设V1,V2 是线性空间V 的子空间，集合{1 2 | 1 V1, 2 V2} 称为V1 与V2 的和，记作V1 V2 。
定理 6 设V1,V2 是线性空间V 的子空间，那么V1 V2 也是V 的子空间。
例 1 在 R3 中，用V1 表示一条通过原点的直线，V2 表示一个通过原 点且与V1 垂直的平面，那么V1 V2 {0} ，V1 V2 = R3
例 2 设 A Psn ，B Ptn ，X Pn ，V1,V2 分别表示 AX 0 ，BX 0 的
解空间，则V1
V2
是
A B
Hale Waihona Puke Baidu
X
0 的解空间。
例 3 设1, 2 ,, s 与 1, 2 ,, t 是V 中两个向量组，则
L(1, 2 ,, s ) + L(1, 2 ,, t ) = L(1, 2 ,, s , 1, 2 ,, t )
二、维数公式
定理 7 如果V1,V2 是线性空间V 的两个子空间，那么 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
注意：1）子空间的交与和满足交换律和结合律，即 交换律：V1 V2 =V2 V1 ，V1 V2 =V2 V1 结合律： (V1 V2 ) V3 =V1 (V2 V3 ) ， (V1 V2 ) V3 =V1 (V2 V3 ) ； 2）设V1,V2 ,W 都是V 的子空间，则 W V1,W V2 W V1 V2 ； W V1,W V2 W V1 V2 ； 3）对于子空间V1 与V2 ，下面论断等价 ①V1 V2 ；②V1 V2 V1 ；③V1 V2 V2 。 4）两个子空间的并未必是子空间。
例 4 在 P4 中，设V1 L(1, 2 ) ，V2 L(1, 2 ) ， 其中1 (1,1,1,1) ，2 (1,2,1,0) ， 1 (2,1,0,1) ， 2 (1,1,3,7) ， 求 P4 的子空间V1 V2 与V1 V2 的基和维数。
例 5 在 P[x]4 中，已知 f1 (x) x x 2 x3 ，f 2 (x) 3x x3 ，f3 (x) x 2 3x3 ， f4 (x) 2x x2 2x3， f5 (x) 5x 2x2 6x3 ，试求包含这 5 个多项式的最小 的线性空间W 的一组基及维数，并写出 fi (x) 被W 的基线性表出的表达式。
§6 子空间的交与和
一、子空间的交与和
定理 5 设V1,V2 是线性空间V 的两个子空间，那么它们的交V1 V2 也 是V 的子空间。
定义 9 设V1,V2 是线性空间V 的子空间，集合{1 2 | 1 V1, 2 V2} 称为V1 与V2 的和，记作V1 V2 。
定理 6 设V1,V2 是线性空间V 的子空间，那么V1 V2 也是V 的子空间。
例 1 在 R3 中，用V1 表示一条通过原点的直线，V2 表示一个通过原 点且与V1 垂直的平面，那么V1 V2 {0} ，V1 V2 = R3
例 2 设 A Psn ，B Ptn ，X Pn ，V1,V2 分别表示 AX 0 ，BX 0 的
解空间，则V1
V2
是
A B
Hale Waihona Puke Baidu
X
0 的解空间。
例 3 设1, 2 ,, s 与 1, 2 ,, t 是V 中两个向量组，则
L(1, 2 ,, s ) + L(1, 2 ,, t ) = L(1, 2 ,, s , 1, 2 ,, t )
二、维数公式
定理 7 如果V1,V2 是线性空间V 的两个子空间，那么 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
注意：1）子空间的交与和满足交换律和结合律，即 交换律：V1 V2 =V2 V1 ，V1 V2 =V2 V1 结合律： (V1 V2 ) V3 =V1 (V2 V3 ) ， (V1 V2 ) V3 =V1 (V2 V3 ) ； 2）设V1,V2 ,W 都是V 的子空间，则 W V1,W V2 W V1 V2 ； W V1,W V2 W V1 V2 ； 3）对于子空间V1 与V2 ，下面论断等价 ①V1 V2 ；②V1 V2 V1 ；③V1 V2 V2 。 4）两个子空间的并未必是子空间。