几种常见函数的导数

1 若f ( x) ln x, 则f ( x) x
几种常见函数导数
淘宝培训 www.yingtu.net 淘宝培训
psz05ntr
堂。放学后，你俩不要乱跑，就在学堂门口等着，爹爹会去接你们。”懂事的李根点头答应：“娘，你放心，我会记着锁了门带上妹妹去 学堂的。放学后，我一定拉着妹妹在学堂门口等着爹爹来接！”女儿小腊梅奇怪地问：“娘，放学后，爹爹要接我们去哪里啊？”李妻亲 亲她的小脸蛋，笑着说：“到时候你们就知道了。好好读书啊！”然后，夫妻俩就匆匆地出门了。他们先去早早就开市的菜市场上采购了 三鲜馅儿料、割了二斤猪肉、买了一只卤鸡，以及各色鲜菜，然后就一路疾走，径直往耿正兄妹三人租住的小院儿去了。当他们来到小院 儿的门口时，还不到兄妹三人平常的出门时间呢！耿正听到敲门声赶来开门，吃惊地看到气喘吁吁的李老乡夫妇提着大包小包站在门口， 不解地问：“叔叔婶子，你们这是？”李妻嘴快，喘着气儿高兴地说：“今儿个是八月十五，咱们一起过节！你们只管去铺子做事去，这 饺子我来包，菜也由我来做就行了！”李老乡接着说：“还有啊，你们兄妹仨晚上都去我们那边赏月，吃月饼去！”耿正还没有来得及答 话，耿英和耿直也跑过来了。快嘴耿直高兴地说：“哎呀，这要不是叔叔婶子提醒，今年的八月十五又给忘记了，月饼也又要照常给省了 呢！”耿直说着，赶快从李老乡夫妇俩手里接过大包小包，和姐姐一起提了放到厨房里。耿正忙将李老乡夫妇往正屋的厅房内让，笑着说： “可不是啊，我们三个又把这八月十五节给忘记了！”耿英和耿直放了东西以后也赶快过厅房里来。耿英笑着说：“时间过得真快啊，这 又到八月十五节了！也是，这过不惯了，真就记不起来了呢！”耿直则高兴地说：“有叔叔和婶子在，我们今年终于又有八月十五节过 了！”耿英不好意思地说：“只是这又要麻烦婶子了！”李妻高兴地笑着说：“麻烦啥啊，婶子高兴还来不及呢！”于是，兄妹三人也就 不再客气，和李老乡一起高高兴兴地去铺子了。临近中午时，李老乡去隔壁的小饭店里对掌柜的说：“实在抱歉！我们今儿个不过来吃饭 了，要回家吃过节的饺子去！”掌柜的笑着说：“咱们饭铺里也可以定做啊，你要早说就好啦！”李老乡也笑着说：“嗨，您就别提啦， 我家婆姨非要自己做呢！”掌柜的笑着点头：“理解理解，李掌柜的是家有贤妻啊！”告辞出来后，李老乡直接奔小学堂接一双儿女去了。 小学堂在店铺与李老乡的家之间，所以李妻让娃娃们不要回家，就在学堂门口等着接。那天的午饭非常丰盛，除了特大个儿的三鲜饺子之 外，李妻还做了包括卤鸡在内的六个荤素凉菜和热菜。可以想见，她独自一人那一上午有多么得忙活啊！耿正兄妹三人虽然吃得很香，但 心里边老大过意不去。耿英说：“婶子，你包饺子已经很不容易了，怎么还做了这么多菜啊！”又对李老乡说：“我说叔啊，您
y f ( x ) C lim 0 x 0 x
' '
公式二
(xn)’ =nxn-1 (n∈Q)
n
下面我们就n∈N*的情况加以说明。
证明：y f ( x ) x n n y f ( x x ) f ( x ) ( x x ) x
n 1 2 n2 2 n n n x n C1 x x C x ( x ) ... C ( x ) x n n n
2 2 1 3 解： y ( x ) 2 x 2 x
3
y x 3 2 ( 3)
1 2 2 27 27
小结：
’ C = 0 (C为常数)
(xn)’ =nxn-1 (n∈Q)
(sinx)’=cosx
2.对数函数的导数:
(cosx)’=-sinx
(2) y 2
x 1 5
x
(3) y log
a
已知f(x)=x ,且f(1)=-4,求实数a.
若f ( x) a , 则f ( x) a ln a(a 0)
x x
若f ( x) e , 则f ( x) e
x
x a
x
1 若f ( x) log , 则f ( x) (a 0, a 1) x ln a
x x 2 cos(x ) sin , 2 2
y x 2 f ( x ) (sinx ) lim limcos(x ) lim x 0 x x 0 2 x 0 x 2 cos x 1 cos x . 同理可证,公式4: (cos x ) sin x .
T
M
o

x0
x
y y 0 f ( x 0 )( x x 0 ).
新课: 几种常见函数的导数 根据导数的定义,可以得出一些常见函数的导数公式 公式一
C’ = 0 (C为常数)
求函数y f ( x) C的导数
证明 : y f ( x ) C y f ( x x ) f ( x ) C C 0 y 0 x
第三章
导 数
一
导 数
3.2 几种常见函数的导数
由定义求导数（三步法）
步骤:
(1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x
( 3) 求极限
y y lim . x 0 x
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.
导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率, 即 f ( x0 ) t an , (为倾角 )
过( x0 , f ( x0 ))的 切线方程为
y
y f ( x)
31 4
2 y ( x 2 ) x 2 (4) y x x 2 2 x
Байду номын сангаас
2.已知y x , 求y x2
3
解： y ( x ) 3 x
3
3 1
3 x y x2 3 (2) 12
2
2
1 3.已知 y 2 , 求y x 3 x

1 1 1 ' 1 ' x x x x 2 2 x 2 2
1 2
1 1 2
课本P88
用公式求解3个常用函数导数
公式三
(sinx)’=cosx (cosx)’=-sinx
公式四
si n x m 1. 要证明这个公式,必须用到一个常用极限 lxi 0 x
' n ' x 0
y x
C x
1 n
n 1
C x
2 n
n2
x ... C ( x )
n n
n 1
nx
n 1
例：求下列函数的导数
x
' 3
'
3x
31
3x
2
2 1 2 ' 3 21 x 2 x 2 x 3 2 x x


n 1 2 n2 2 n n C1 x x C x ( x ) ... C ( x ) n n n
y f ( x) ( x ) lim x 0 x n 1 2 n2 n n 1 lim [C1 x C x x ... C ( x ) ] n n n
1 1 (1) (log a x) ( a 0, a 1). (2) (ln x ) . x ln a x
3.指数函数的导数:
x
(1) ( a ) a ln a ( a 0, a 1). x x (2) (e ) e .
x
例2 求下列函数的导数：
(1) x sin t
公式3: (sin x ) cos x .
证 : y f ( x ) sinx, y f ( x x ) f ( x ) sin(x x ) sinx
x x x y 2 cos(x 2 ) si n 2 x si n 2 cos(x ) , x x x 2 x 2
北京大峪中学高三数学组
2017年10月24日星期二
sin
例１ 求下列函数的导数：
(1) y x
解：
4
(2) y x
3
0
(4) y x
(5) y sin45
4 41
1 (3) y x
3
(6)u cos v
(1) y ( x ) 4 x
3
4x
(2) y ( x ) 3x 3x 1 1 y ' 1 x11 x2 (3) y x 1 1 1 x 1 1 1