(完整版)余弦定理练习题及答案

余弦定理练习题及答案

积累巩固

1. 已知c b a ,,是ABC ∆中角C B A ,,的对边,若21a =，5,4,b c ==则A ＝ .

2. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,3,30,a b c =

==︒则A ＝ . 3. 在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则

cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 ．

4. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ．

5. 在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝7 ，B ＝60°，求边C ．

延伸拓展

6. 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝ 2 ，A ＝45°，解此三角形．

7. 已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边，若ABC ∆面积

,60,2,2

3︒===∆A c S ABC 求a 、b 的值． 8.在 △ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .若 2

23cos cos 222

C A a c b ⋅+⋅=，求证：． 9. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .已知2223b c a bc +=+，求：

（1）A 的大小；（2）2sin cos sin()B C B C --的值．

10. 设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，且A=60o ，c=3b.求：

（1）

a c 的值；（2）cos cos sin sin B C B C

+的值. 创新应用

11. 在△ABC 中，a 、b 是方程02322

=+-x x 的两根，且1)cos(2=+B A .求：

（1）角C 的度数；（2）c ；（3）△ABC 的面积.

12. 已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若2

1sin sin cos cos =-C B C B ． （1）求A ； （2）若4,32=+=c b a ，求ABC ∆的面积 ．

13．当甲船位于A 处时获悉，在其正东方方向相距20

海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往

救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10

海里C 处的乙船，试问乙船直接赶往B 处救援最少要

走多少海里？

参考答案

1. 60o

解析：2221cos 22b c a A bc +-==，60A ∠=o ． 2. 解：由余弦定理可得

239233cos303c =+-⨯⨯=o ,解得330()6

c a A C π

==⇒==o 或． 3. 解：由余弦定理，所求式163699361616936612222

+-+-+-=++=． 4. 解：设顶角为C ，因为5,2l c a b c ===∴，由余弦定理得 222222447cos 22228

a b c c c c C ab c c +-+-===⨯⨯． 5. 解：由余弦定理得 (7 )2＝12＋c 2－2c cos60°，

∴c 2－c －6＝0，解得c 1＝3，c 2＝－2(舍去)；∴c ＝3．

6. 解：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得22＝( 2 )2＋c 2－2 2 c cos45°，∴c 2－2c －2＝0， 解得c ＝1＋ 3 或c ＝1－ 3 (舍去)；∴c ＝1＋ 3 ．

又cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋（1＋ 3 ）2－（ 2 ）22×2×（1＋ 3 ）

＝ 3 2 ，且B 为三角形内角； ∴B ＝30°； ∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°．

7. 解：23sin 21==∆A bc S ABC Θ，2

360sin 221=︒⋅∴b ，得1=b 由余弦定理得360cos 21221cos 222222=︒⋅⨯⨯-+=-+=A bc c b a ，

∴3=a ．

8. 证明：由已知得： ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，即

． 9. 解：(1)由余弦定理得2222cos ,a b c bc A =+- 22233cos .2226

b c a bc A A bc bc π+-====故所以 (2) 2sin cos sin()B C B C -- 2sin cos (sin cos cos sin )sin cos cos sin 1sin()sin()sin .2B C B C B C B C B C

B C A A π=--=+=+=-==

10. 解：（1）由余弦定理得

222222111772cos ()23329a a b c b A c c c c c c =+-=+-=⇒=g g g （2）由余弦定理及（1）的结论有

222222

71()93cos 27272c c c a c b B ac c c +-+-===g g 故2253sin 1cos 12827

B B =-=-= 同理可得2222227199cos 271272c c c a b c

C ab c c +-+-===g g 2133sin 1cos 12827

C C =-=-= 从而cos cos 5114333sin sin 39B C B C +==

11. 解：(1)∵1)cos(2=+B A ，∴21cos -

=C ，∴角C 的度数为120°. (2)∵a 、b 是方程02322=+-x x 的两根， ∴由求根公式计算得32=+b a ，2=ab ,

由余弦定理得C ab b a c cos 2222-+=)1(cos 2)(2

+-+=C ab b a ＝12－2＝10. ∴10=c . (3)2

3sin 21==C ab S . 12. 解：（1）21sin sin cos cos =

-C B C B Θ，21)cos(=+∴C B ； 又π<+

+∴C B ；π=++C B A Θ，32π=∴A ． （2）由余弦定理得A bc c b a cos 2222⋅-+=，

∴ 3

2cos 22)()32(22π⋅--+=bc bc c b ， 即)2

1

(221612-⋅--=bc bc ，4=∴bc ； 32

3421sin 21=⋅⋅=⋅=∴∆A bc S ABC ． 13. 解：在△ABC 中，9030120BAC ∠=+=o o o ，

∴BC ===

答：乙船直接赶往B 处救援最少要走海里．