离散数学总复习
《离散数学》总复习省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
P ES, ①
③(x)(P(x) (Q(x)R(x))) ④P(c) (Q(c)R(c)) ⑤Q(c)R(c)
P US, ③ T, ②, ④, I
⑥R(c) ⑦P(c)R(c) ⑧(x)(P(x)R(x))
T, ⑤, I T, ②, ⑥, I EG, ⑦
6
2、证明推理：
(PQ)(RS), (QP)R, R PQ
13
第三部分 代数系统
一、内容提要
1、代数系统旳定义（封闭性）、特殊元素（幺元，零元、逆 元、幂等元）。 2、代数系统之间旳关系：子代数，同态（单同态、满同态、 同构）。 3、同余关系旳定义和商代数。 4、半群、独异点和群旳定义及其相互间旳关系。 5、群旳基本性质：消去律、元素旳阶。 6、循环群旳性质及生成元。 7、子群旳定义及鉴定措施、正规子群旳定义及鉴定措施、子 群旳陪集。(拉格朗日定理)
=(a*c)*(a*b*c)
（由提醒）
即： (a*b*c)*(a*c) =(a*c)*(a*b*c)
故： a*b*c=a*c
24
8、设<G, ∘>是一种群，b G，定义函数f: G→G且给定成： 对任意旳x G，f(x)=b∘x∘b-1。
证明：f是从<G, ∘>到<G, ∘>旳一种同构映射。
证：
（1）显然<G, ∘>与<G, ∘>同类型；
b*a=a*b
18
4、设*运算是X中旳可结合旳二元运算，而且对任意旳x, y X, 若x*y=y*x，则x=y。证明：X中旳每个元素都是等幂旳。
证： 对任意旳x X, 要证明x是等幂旳，即证明：x*x=x 因为：*运算是X中旳可结合旳二元运算 所以：x*(x*x)=(x*x)*x 由已知：x*y=y*x x=y 得：x*x=x
《离散数学》总复习
(4) x H . 有 x a = a x， x 1 ( x a) x 1 = x 1 (a x) x 1
a x 1 = x 1 a.
x 1 H . 因此，< H, > 是 < G, > 子群。
《离散数学》总复习
十四.如果 < S, > 是半群，且 是可交换的，证明：若S中有元素a，b 使得a a = a, b b = b，则(a b) (a b) = a b。
S= G 。
15.群 < G, > 的运算表中每一行或每一列都是G中元素的 置换 。
1
16.n个结点的无向完全图Kn的边数 E =
n (n 1) 2
。
17.一棵树有一个结点的度数为2，二个结点的度数为3，三个结点的
度数为4，则有
10
个结点的度数为1。
解. 知识点: 树的基本概念及图的基本定理（握手定理）v
1
2
3
4
12.设 < A, > 是一个代数系统，A ，为定义在A上的二元运算。 若 x, y A, x y = y x，则称运算 为可交换的。 若 x, y, z A,( x y) Mz = x ( y z) ，则称运算 为可结合的。 若 x A, x x = x ，则称运算 为等幂的。
《离散数学》总复习
t(R) = {< a,a >,< a,b >,< a,c >,< a,d >,< b,a >,< b,b >,< b,c >,< b,d >,< c,d >}.
《离散数学》总复
八.已知A = {2,3,4,5,7,10,12,13,16,17,19,20,21,22,25, 29,30}，R是A上的
离散数学--总复习
离散数学--总复习第一部分：集合论知识点：集合关系（∈，?,?,?,=）集合运算（并、交、差、对称差、补集、幂集），特殊集合（?，E，P(A)）集合恒等式（幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、德摩根律、补交转换律(A-B=A?~B)、德·摩根律~(B?C)=~B~?C，A-(B?C)=(A-B)?(A-C)）证明集合包含或相等（根据定义, 通过逻辑等值演算证明、利用已知集合等式或包含式, 通过集合演算证明）1. 证:A?(B?C)=(A?B)?(A?C)证?x x∈A?(B?C)x∈A∨(x∈B∧ x∈C) (并,交的定义)(x∈A∨x∈B)∧(x∈A∨x∈C) (逻辑演算的分配律)x∈(A?B)?(A?C)2. 证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C)证(A-C)-(B-C)= (A ? ~C) ? ~(B ? ~C) (补交转换律)= (A ? ~C) ? (~B ? ~~C) (德摩根律)= (A ? ~C) ? (~B ? C) (双重否定律)= (A ? ~C ? ~B) ?(A ? ~C ? C) (分配律)= (A ? ~C ? ~B) ?(A ??) (矛盾律)= A ? ~C ? ~B (零律,同一律)= (A ? ~B) ? ~C (交换律,结合律)= (A – B) – C第二部分：逻辑学命题的定义（凡具有确定真假意义的陈述句均称为命题。
）联结词（?、∧、∨、→、?、↑、↓（公式转化为只含↑、↓的表达形式））例：将p → q化为只含↑的公式p → q ??p ∨q??(p∧?q) ? p↑?q?p↑?( q∧q)p↑ q↑ q命题符号化(1、王晓虽然聪明，但不用功.2、张辉与王丽都是三好生.3、张辉与王丽是同学.4、除非天冷，小王才穿羽绒服.5、除非小王穿羽绒服，否则天不冷.)等值演算（幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、蕴涵等值式A→B??A∨B等价等值式A?B?(A→B)∧(B→A)假言易位等值式A→B??B→?A等价否定等值式A?B??A??B）证明p→(q→r) ? (p∧q)→r证p→(q→r)p∨(?q∨r) （蕴涵等值式）(?p?∨q)∨r （结合律）(p∧q)∨r （德摩根律）(p∧q) →r （蕴涵等值式）判断下列公式的类型q?∧(p→q)解q?∧(p→q)q?∧(?p∨q) （蕴涵等值式）q∧(p?∧q) （德摩根律）p∧(q?∧q) （交换律，结合律）p∧0 （矛盾律）0 （零律）该式为矛盾式.命题公式（重言式、矛盾式、可满足式），利用真值表判断，等值演算，范式。
离散数期末复习
1
推理证明过程如下：
2
(∀x)(N(x) I(x)) P规则
3
(∃x)(N(x)
I(x)) T规则和
4
N(a)
I(a)
ES
1
规则和2
5
N(a)
T规则和3
6
I(a)
T规则和3
7
(∀x)(N(x) (Q(x)∇E(x)))
P规则
8
N(a) (Q(a)∇E(a)) US规则和６
• 8 Q(a)∇E(a)
空关系vs空集上的关系
空集上的关系：自反的，反自反的，对称的，反对称的， 可传递的。在空集上可定义任意元 关系。
性质：若A非空，空关系是反自反的，对称的，反对称的，可传递的； 若A是空集，该空关系是自反的，反自反的，对称的，反对称的，可传递的
空关系：对于任何集合A, 称空集为A上的空关系.
1. 3-1设A={1,2,3},R是ρ(A)上的二元关系，且R={<a,b>|a,b∈ρ(A),a∩b≠Φ},则R 不满足下列哪些性质？为什麽？
2. 自反性 2)反自反性 3)对称性 3. 反对称性 5)传递性 4. 解：1)因为Φ∈ρ(A)，但Φ∩Φ＝Φ 5. 所以<Φ,Φ>∉R，即Ｒ不满足自反性。 6. 因为{1}∈ρ(A)但{1}∩{1}={1}≠Φ 7. 即<{1},{1}>∈R，因此Ｒ不是反自反的． 8. 对任意x,y∈ρ(A),若x∩y≠Φ,即 9. <x,y>∈R,则y∩x≠Φ即<y,x>∈R即R满足对称性。
1. s(R)=R∪R~ 2. t(R)= ∪i=1nRi 3. 关系的性质： 4. R是自反的＝(∀x)(x∈X <x,x>∈R) 5. R是反自反的＝(∀x)(x∈X<x,x>∉R) 6. R是不自反的 7. (∃x)(∃y)(x,y∈X<x,x>∈R<y,y>∉R) 8. R是对称的＝(∀x)(∀y)(x,y∈X <x,y>∈R <y,x>∈R) 9. R是反对称的=(∀x)(∀y)(x,y∈X<x,y>∈R <y,x>∈Rx=y)
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关系，是自反的，所以 ai,bi T ai,bi 即T是自反的。 对任意a1,b1,a2,b2AXB若 a1,b1Ta2,b2 a2,b2T a1,b1 a1Ra2 b1Sb2 a2Ra1 b2Sb1 (a1Ra2 a2Ra1)( b1Sb2 b2Sb1) a1=a2 b1=b2 即a1,b1=a2,b2于是T是反对称的
12的因子={1，2，3，4，6，12}
12
6
4
3
2
1
23
5、下图给出了偏序集P，R的哈斯图，其中P={x1,x2,x3,x4,x5} (1)下列关系中哪一个是真的？
x1Rx2，x4Rx1， x3Rx5，x2Rx5， x1Rx1，x2Rx3，x4Rx5 (2)求出P中的最大元、最小元，极大元、极小元，如果存在的话。 (3)求出子集{x2,x3,x4}，{x3,x4,x5}，{x1,x2,x3}的上界、下界和上下确界如果
EG规则和14
问题得证。
请大家看第5章课件关于这方面的最后练习。
12
集合理论部分
熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算） 掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法 熟练掌握关系的三种表示法 能够判定关系的性质（等价关系或偏序关系） 掌握含有关系运算的集合等式 掌握等价关系、等价类、商集、划分、哈斯图、偏序集等概
C={{1,1, 2,2, 3,3, 4,4}, {1,2, 2,3, 3,4}, {2,1, 3,2, 4,3}, {1,3, 2,4},
{3,1, 4,2}, {1,4},{4,1}}
19
3、设A,R和B,S为偏序集，在集合AXB上定义关系T如 下： a1,b1,a2,b2AXB a1,b1Ta2,b2 a1Ra2 b1Sb2
离散数学复习题及答案
总复习题（一）一．单选题1 (C)。
一连通的平面图，5个顶点3个面，则边数为（）。
、4 、5 、6 、72、 (A)。
如果一个简单图，则称为自补图，非同构的无向4阶自补图有（）个。
、1 、2 、3 、43、 (D)。
为无环有向图，为的关联矩阵，则（）。
、是的终点、与不关联、与关联、是的始点4、 (B)。
一连通的平面图，8个顶点4个面，则边数为。
、9 、10 、11 、125、 (D)。
如果一个简单图，则称为自补图，非同构的3阶有向完全图的子图中自补图有个。
、1 、2 、3 、46、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。
、13 、12 、11 、107、 (D)。
有向图的通路包括。
、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路8、 (D)。
一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。
、9 、10 、11 、129、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。
、13 、12 、11 、1010、 (D)。
有向图的通路包括。
、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路11、 (D)。
一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。
、9 、10 、11 、1212、 (B)。
为有向图，为的邻接矩阵，则。
、邻接到的边的条数是５、接到的长度为４的通路数是５A B C D GG ≅G A B C D E ,V D =[]m n ij m ⨯D 1m ij =A i v je B i v j e C i v j e D i v j e A B C D GG ≅G A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D E ,V D=[]n n ij a ⨯D 5a )4(ij =A i v j v B i v j v、长度为４的通路总数是５、长度为４的回路总数是５13、 (C)。
在无向完全图中有个结点，则该图的边数为（）。
《离散数学》总复习上课讲义
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
离散数学复习题有答案
离散数学复习题有答案1. 什么是集合的子集？子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合。
如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A就是集合B的子集。
2. 描述有限集合和无限集合的区别。
有限集合是指元素数量有限的集合，可以被一一列举。
无限集合则包含无限多个元素，无法被完全列举。
3. 什么是二元关系？二元关系是集合A和集合B之间的一种对应关系，它由有序对(a, b)组成，其中a属于集合A，b属于集合B。
4. 什么是函数？函数是一种特殊的二元关系，其中每个定义域中的元素都与值域中的一个且仅一个元素相关联。
5. 什么是等价关系？等价关系是一种自反的、对称的、传递的二元关系。
在集合A上的等价关系将A划分为若干个不相交的等价类。
6. 什么是偏序关系？偏序关系是一种自反的、反对称的、传递的二元关系。
它在集合上定义了一个部分顺序。
7. 什么是有向图和无向图？有向图是一种图，其中的边有方向，表示从一个顶点指向另一个顶点。
无向图的边没有方向，表示两个顶点之间的双向连接。
8. 什么是强连通分量？在有向图中，强连通分量是指图中的一组顶点，这些顶点中的每一个顶点都可以到达集合中的其他任何顶点。
9. 什么是二进制数？二进制数是一种基数为2的数制，只使用0和1两个数字来表示数值。
10. 什么是逻辑运算？逻辑运算是对逻辑值（真或假）进行的操作，包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）等运算。
11. 什么是归纳法？归纳法是一种数学证明方法，通过证明一个基本情况，然后假设某个情况成立，再证明下一个情况也成立，从而证明整个命题。
12. 什么是图的遍历？图的遍历是指按照一定的规则访问图中的每个顶点，确保每个顶点都被访问一次。
常见的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
13. 什么是正规表达式？正规表达式是一种描述字符串集合的模式，用于文本搜索和文本处理。
它由一系列字符和元字符组成，定义了字符串的匹配规则。
离散数学总复习汇总
命题符号化—自然语言翻译为逻 辑式
符号化过程： ① 确定句子是否为命题.不是就不必 翻译. ② 确定复合命题中的原子命题; 确定句中连接词是否能对应于并且 对应于哪一个命题连接词. ③ 正确表示原子命题和选择命题连 接词.
联结词——1否定词 ¬
▪设 p 表 示 命 题 ， 则
‘p不真’ 是另一
p
¬p
命题，记为 ¬p，
读为 ‘非p’
0
1
▪否定词可用右表定 1
0
义，此表称为 ¬p的
真值表
联结词—— 2合取词 ∧
▪ 若p,q表示命题,则‘p
并且q’也是命题,记
为p∧q ,读为‘p合 p q p∧q
取q’.
00
0
01
0
▪p∧q的真值表如右表 1 0 0
命题的符号化
▪ 通常用小写的带或不带下标的英文字母a、 b、c、…p、q、r、…ai、 bi、 ci、 … pi、 qi、 ri、 …等表示简单命题
▪ 命题联结词又称为逻辑运算符，常用的有 五种，它们是：否定词¬、合取词∧ 、析 取词∨、蕴涵词→和等价词↔ 。
(p2,3,4-定义1.1,1.2,1.3,1.4,1.5)
对偶式
▪ 在仅含联结词¬、∧、∨的命题公式A中， 将∨换成∧，将∧换成∨，若A中含0或1， 就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A 的对偶式，记为A*。
若指定的一组值使G的值为真，则称这组值 为G的成真赋值；
若指定的一组值使G的值为假，则称这组值 为G的成假赋值；
离散数学复习资料
离散数学复习资料离散数学最全复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表“?”否定联结词，P是命题，?P是P的否命题，是由联结词?和命题P组成的复合命题.P取真值1，?P取真值0，P取真值0，?P取真值1. 它是一元联结词.“∧”合取联结词，P∧Q是命题P，Q的合取式，是“∧”和P，Q组成的复合命题. “∧”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P∧Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P∧Q取值为0，只有P，Q之一取0.“∨”析取联结词，“?∨”不可兼析取(异或)联结词，P∨Q是命题P，Q的析取式，是“∨”和P，Q组成的复合命题. P?∨Q是联结词“?∨”和P，Q组成的复合命题. 联结词“∨”或“?∨”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P?∨Q”?“(?P∧Q)∨(P∧?Q)”. P∨Q取值1，只要P，Q之一取值1，P∨Q取值0，只有P，Q都取值0.“→”蕴含联结词，P→Q是“→”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q 取值为0时，P→Q取值为0；其余各种情况，均有P→Q的真值为1，亦即1→0的真值为0，0→1，1→1，0→0的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P→Q”.“?” 等价联结词，P?Q是P，Q的等价式，是“?”和P，Q组成的复合命题. “?”在语句中相当于“…当且仅当…”，P?Q取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P 的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材P.16的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.既非永真，也非用假，成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)范式法，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式.等值式A ?B ，命题公式A ，B 在任何赋值下，它们的真值均相同，称A ，B 等值。
《离散数学》期末复习
《离散数学》期末复习第一篇：《离散数学》期末复习《离散数学》期末复习内容：第一章~第七章题型：一、选择题（20%，每题2分）二．填空题（20%，每题2分）三、计算题（20%，每题5分）四、证明题（20%，每题5分）五、判断题（20%，每题2分）第1章数学语言与证明方法1.1 常用的数学符号1.计算常用的数学符号式子 1.2 集合及其表示法1.用列举法和描述法表示集合2.判断元素与集合的关系(属于和不属于)3.判断集合之间的包含与相等关系，空集(E)，全集(∅)4.计算集合的幂集5.求集合的运算：并、交、相对补、对称差、绝对补6.用文氏图表示集合的运算7.证明集合包含或相等方法一：根据定义, 通过逻辑等值演算证明方法二：利用已知集合等式或包含式, 通过集合演算证明1.3 证明方法概述1、用如下各式方法对命题进行证明。
π直接证明法：A→B为真π间接证明法：“A→B为真” ⇔“ ¬B→¬A为真” π归谬法(反证法)： A∧¬B→0为真π穷举法： A1→B, A2→B,…, Ak→B 均为真π构造证明法：在A为真的条件下, 构造出具有这种性质的客体B π空证明法：“A恒为假” ⇒“A→B为真” π平凡证明法：“B恒为真” ⇒“A→B为真” π数学归纳法：第2章命题逻辑2.1 命题逻辑基本概念1、判断句子是否为命题、将命题符号化、求命题的真值（0或1）。
命题的定义和联结词(¬, ∧, ∨, →, ↔)2、判断命题公式的类型赋值或解释.成真赋值,成假赋值；重言式(永真式)、矛盾式(永假式)、可满足式:。
2.2 命题逻辑等值演算1、用真值表判断两个命题公式是否等值2、用等值演算证明两个命题公式是否等值3、证明联结词集合是否为联结词完备集 2.3 范式1、求命题公式的析取范式与合取范式2、求命题公式的主析取范式与主合取范式（两种主范式的转换）3、应用主析取范式分析和解决实际问题 2.4 命题逻辑推理理论1、用直接法、附加前提、归谬法、归结证明法等推理规则证明推理有效第3章一阶逻辑3.1 一阶逻辑基本概念1、用谓词公式符号命题（正确使用量词）2、求谓词公式的真值、判断谓词公式的类型 3.2 一阶逻辑等值演算1、证明谓词公式的等值式2、求谓词公式的前束范式第4章关系4.1 关系的定义及其表示1、计算有序对、笛卡儿积2、计算给定关系的集合3、用关系图和关系矩阵表示关系 4.2 关系的运算1、计算关系的定义域、关系的值域2、计算关系的逆关系、复合关系和幂关系3、证明关系运算满足的式子 4.3 关系的性质1、判断关系是否为自反、反自反、对称、反对称、传递的2、判断关系运算与性质的关系3、计算关系自反闭包、对称闭包和传递闭包 4.4 等价关系与偏序关系1、判断关系是否为等价关系2、计算等价关系的等价类和商集3、计算集合的划分4、判断关系是否为偏序关系5、画出偏序集的哈期图6、求偏序集的最大元、最小元、极小元、极大元、上界、下界、上确界、下确界7、求偏序集的拓扑排序第5章函数1.判断关系是否为函数2.求函数的像和完全原像3.判断函数是否为满射、单射、双射4.构建集合之间的双射函数5.求复合函数6.判断函数的满射、单射、双射的性质与函数复合运算之间的关系7.判断函数的反函数是否存在，若存在求反函数第6章图1.指出无向图的阶数、边数、各顶点的度数、最大度、最小度2.指出有向图的阶数、边数、各顶点的出度和入度、最大出度、最大入度、最小出度最小入出度3.根据握手定理顶点数、边数等4.指出图的平行边、环、弧立点、悬挂顶点和悬挂边5.判断给定的度数列能否构成无向图6.判断图是否为简单图、完全图、正则图、圈图、轮图、方体图7.求给定图的补图、生成子图、导出子图8.判断两个图是否同构6.2 图的连通性1.求图中给定顶点通路、回路的距离2.计算无向图的连通度、点割集、割点、边割集、割边3.判断有向图的类型：强连通图、单向连通图、弱连通图 6.3 图的矩阵表示1.计算无向图的关联矩阵2.计算有向无环图的关联矩阵3.计算有向图的邻接矩阵4.计算有向图的可达矩阵5.计算图的给定长度的通路数、回路数6.4 几种特殊的图1、判断无向图是否为二部图、欧拉图、哈密顿图第7章树及其应用 7.1 无向树1.判断一个无向图是否为树2.计算无向树的树叶、树枝、顶点数、顶点度数之间的关系3.给定无向树的度数列，画出非同构的无向树4.求生成树对应的基本回路系统和基本割集系统5.求最小生成树 7.2 根树及其应用1.判断一个有向图是否为根树2.求根树的树根、树叶、内点、树高3.求最优树4.判断一个符号串集合是否为前缀码5.求最佳前缀码6.用三种方法遍历根树第二篇：离散数学期末复习试题及答案(二)第二章二元关系1.设A={1,2,3,4},A上二元关系R={(a,b)|a=b+2}，S={(x,y)|y=x+1 or y=x2} 求R⋅S,S⋅R,S⋅R⋅S,S2,S3,S⋅Rc。
离散数学期末考试复习资料
《离散数学》课程综合复习资料一、判断题1．R1，R2是集合A上的二元关系，若R1和R2都是反自反的，则R1R2也是反自反的。
答案：√2．对任意集合A，A。
答案：×3．设<G,*>是一个群，B是G的非空子集，如果B是一个有限集，则<B,*>必定是<G,*>的子群。
答案：×4．A、B、C为任意集合，已知A⋂B=A⋂C，必须有B=C。
答案：×5．对于任意一个集合A，空集。
答案：√6．设E为全集，对任意集合A，A。
答案：×7．设A、B为任意两个集合，A答案：×8．R是集合A上的二元关系，若R是自反的，则R c也是自反的。
答案：√9．对于任意一个集合A，空集。
答案：×图是平面图。
10．K3,3答案：×11．“你去图书馆吗？”是一个命题。
答案：×12．如果有限集合A有n个元素，则其幂集p(A)有2n个元素。
答案：×13．群中可以有零元。
14．集合A的一个划分确定A的元素间的一个等价关系。
答案：√15．含有幺元的半群为独异点。
答案：√二、基本题1．将下列命题符号化：（1）只要不下雨，他就骑自行车上班。
（2）他或者骑自行车上班，或者乘公共汽车上班。
（3）有些大学生运动员是国家选手。
答案：（1）（⌝P→ Q）（2）（Q ∇ R 或 (Q∧⌝R)∨(⌝Q∧R)）（3）（(∃x)(P(x)∧Q(x))）2．求命题公式P∧(P→Q)的主析取范式。
答案：原式⇔P∧(⌝P∨Q)⇔(P∧⌝P) ∨ (P∧Q)⇔T∨ (P∧Q)⇔P∧Q3．求⌝(P→Q)的主合取范式。
答案：原式⇔⌝(⌝P∨Q)⇔⌝(⌝P∨Q)⇔P∧⌝Q⇔(P∨(⌝Q ∧Q))∧(⌝Q∨(⌝P∧P))⇔(P∨⌝Q)∧(P∨Q)∧(⌝P∨⌝Q)∧(P∨⌝Q)⇔(P∨⌝Q)∧(P∨Q)∧(⌝P∨⌝Q)4．设A={3,4}，试构成集合P(A)⨯A。
离散数学 复习资料
离散数学复习资料离散数学复习资料离散数学是计算机科学和数学领域的重要基础课程，它涉及到离散结构和离散对象的研究，如集合论、图论、逻辑、代数和组合数学等。
在计算机科学领域，离散数学为算法设计、数据结构和计算机网络等问题提供了理论基础。
本文将为大家提供一些离散数学复习资料，帮助大家更好地掌握这门课程。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是集合及其元素之间的关系。
在集合论中，我们需要了解集合的定义、运算、关系和函数等基本概念。
此外，还需要熟悉集合的证明方法，如直接证明、间接证明、归谬证明等。
在复习集合论时，可以通过做一些练习题来加深理解，同时也可以查阅一些相关的教材和参考资料。
二、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图及其性质和应用。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
在图论中，我们需要了解图的基本概念，如有向图和无向图、路径和回路、连通性和强连通性等。
此外，还需要掌握一些图的算法，如最短路径算法、最小生成树算法和网络流算法等。
复习图论时，可以通过绘制图和解决一些图的实际问题来加深理解。
三、逻辑逻辑是离散数学中的另一个重要分支，它研究的是推理和证明的规则。
在逻辑中，我们需要了解命题逻辑和谓词逻辑的基本概念，如命题、命题变量、逻辑连接词、真值表和推理规则等。
此外，还需要熟悉一些逻辑证明的方法，如直接证明、间接证明和数学归纳法等。
复习逻辑时，可以通过做一些逻辑推理题和证明题来提高逻辑思维能力。
四、代数代数是离散数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构和运算。
在代数中，我们需要了解集合的代数结构，如半群、幺半群、群、环和域等。
此外，还需要掌握一些代数运算，如集合的并、交和补运算，以及代数方程的求解方法。
复习代数时，可以通过做一些代数运算题和代数方程的求解题来加深理解。
五、组合数学组合数学是离散数学中的一个重要分支，它研究的是离散对象的组合和排列问题。
在组合数学中，我们需要了解组合和排列的基本概念，如组合数、排列数、二项式系数和多项式系数等。
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szniu@离散数学总复习一、判断题（如果下列命题为真,在题后的括号内记\/, 否则记⨯）．（1）{}a a a },{}{∈ （ ）正确（2）如果B A a ⋃∉，则A a ∉或B a ∉． （ ）错误（3）空集是任何集合的真子集 （ ）错误；（4）如果C A B A ⋂=⋂，则C B =． （ ） 错误；（5）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则},,,,,{332211><><><=⨯b a b a b a B A （ ） 错误（6）设集合}1,0{=A ，则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A2到A 的关系． （ ） 正确（7）设 B A ,都是有限集，n B m A ==,，则总共可以定义m n 个不同的A 到B的映射． （ ） 正确（8）设ρ是集合A 上的等价关系, 则当ρ>∈<b a ,时，ρρ][][b a = （ ）正确（9）设A 是集合，A A A →⨯: ，b b a = ，则 是可结合的． （ ）正确（10）单位元是可逆的． （ ）正确（11）设b a ,是群>⋅<,G 的元素，则对N n ∈，有n n n b a b a ⋅=⋅)( ． （ ） 错误（12）设>∧∨<,,,B 是布尔代数，则对任意B b a ∈,，有 b a b a ∨=∧． （ ）正确（13）设图G 是连通的，则任意指定G 的各边方向后所得的有向图是弱连通的． （ ）正确（14）不论无向图或有向图，初级回路一定是简单回路． （ ）正确（15）有向哈密尔顿图是强连通的． （ ）正确（17）设Q P ,都是命题公式，则Q P ⇒的充分必要条件为1⇔→Q P ． （ ）正确（18）命题公式q q p p →→∧))((是重言式． （ ）正确（19）设B A ,都是谓词公式，B A ⇒，则B A →是永真式． （ ）正确（20）“张明和张亮是兄弟”是复合命题，因为该命题中出现了联结词“和”． （ ）错误二、填空题（1）设集合B A ,中元素的个数分别为5#=A ，7#=B ，且9)(#=⋃B A ，则集合B A ⋂中元素的个数=⋂)(#B A3（2）设集合}5,1001|{Z x x x x A ∈≤≤=的倍数，是，}6,1001|{Z x x x x B ∈≤≤=的倍数，是，则B A 中元素的个数为 .33)(#,3)(#,16#,20#====B A B A B A（4）集合A 上的二元关系ρ为传递的充分必要条件是 ．ρρρ⊆（5）循环群>⊕<33,I 的所有子群为>⊕<3},0{，>⊕<33,I（6）设⋅,G 是群，e 为单位元，若G 元素a 满足a a =2，则=a . e（7）在整数集合I 上定义 运算为b a b a ++=2 ，则>< ,I 的单位元为 .-2（8）代数系统>+<,I 中（其中I 为整数集合，+为普通加法），对任意的I x ∈，其=-1x .x -（9）为了从（n ，m ）连通无向图得到一棵生成树，必须删除G 的 条边． m-n ＋1（15）n 阶完全图的任意两个不同结点的距离都为 ．1（16） 设q p ,的真值为0，s r ,的真值为1，则命题公式)()(s q r p ∨⌝∧↔的真值为 .（17）设:p 天下雨，:q 我骑自行车上班，则命题“如果天不下雨, 我就骑自行车上班”符号化为 .q p →⌝（18）设:p 经一事, :q 长一智，则命题：不经一事, 不长一智符号化为q p ⌝→⌝（19）设x x N :)(是自然数，x x F :)(是奇数，x x G :)(是偶数，则命题“任何 自然数不是奇数就是偶数。
” 符号化为 .))()(()()((x G x F x N x ∨→∀（20）设x x G :)(是金子，x x F :)(是发光的，则命题“金子是发光的, 但发光的不一定是金子”符号化为 .))()()(())()()((x G x F x x F x G x ⌝∧∃∧→∀三、选择题（每题后面有四个选项，四个选项中只有一个是正确的，请将正确的所对应的字母填在括号内）（1）设R 为实数集合，下列集合中哪一个不是空集 （ ） A. {}R x x x ∈=-且,01|2 B ．{}R x x x ∈=+且,09|2 C. {}R x x x x ∈+=且,1| D. {}R x x x ∈-=且,1|2 答案 A（2）设B A ,为集合，若φ=B A \，则一定有 （ ）A. φ=B B ．φ≠B C. B A ⊆ D. B A ⊇答案 C（3）下列各式中不正确的是 （ ）A. φφ⊆ B ．{}φφ∈ C. φφ⊂ D. {}}{,φφφ∈答案 C（4）设{}}{,a a A =，则下列各式中错误的是 （ ）A. {}A a 2∈ B ．{}A a 2⊆ C. {}A a 2}{∈ D. {}Aa 2}{⊆ 答案 B答案 B（5）设{}c b a A ,,=上的二元关系如下，则具有传递性的为 （ ） A. {}><><><><=a b b a a c c a ,,,,,,,1ρB ． {}><><=a c c a ,,,2ρC. {}><><><><=c b a b c c b a ,,,,,,,3ρD. {}><=a a ,4ρ答案 D（6）在整数集Z 上，下列哪种运算是可结合的 （ ）A. b a b a -= B ．},max{b a b a = C. b a b a 2+= D. ||b a b a -=答案 B（7）设集合{}10,,4,3,2,1 =A ，下面定义的哪种运算关于集合A 不是封闭的（ ）A. },max{y x y x =B ． },min{y x y x =C. },{GCD y x y x = ，即y x ,的最大公约数D. },{LCM y x y x = ，即y x ,的最小公倍数答案 D（8）设Q 是有理数集，在Q 定义运算*为ab b a b a -+=*，则*,Q 的单位元 为 （ ）A. a ； B ．b ； C. 1； D. 0答案 D（11）在任何图G 中必有偶数个 （ ）A. 度数为偶数的结点； B ．度数为奇数的结点；C. 入度为奇数的结点；D. 出度为奇数的结点.答案 B.（12）设G 为有n 个结点的无向完全图，则G 的边数为 （ ）A. )1(-n n B ．)1(+n n C. 2)1(-n n D. 2)1(-n答案 C.（13）给定下列序列，哪一个可构成无向简单图的结点度数序列 （ ）A. )3,2,2,1,1( B ．)2,2,2,1,1(C. )3,3,3,1,0(D. )5,4,4,3,1(答案 B（14）任何无向图G 中结点间的连通关系是 （ ）A. 偏序关系； B ．等价关系；C. 既是偏序关系又是等价关系；D. 既不是偏序关系也不是等价关系.答案 B.（15）有向图>=<E V G ,，其中},,,,,{f e d c b a V =，,,,,,,{><><><=d a c b b a E },,,><><e f e d ，则有向图>=<E V G ,是 （ ）A. 强连通图； B ．单向连通图；C. 弱连通图；D. 不连通图.答案 C.（16）下面哪个联结词不可交换 （ ）A. ∧； B ．→； C.∨； D.↔ .答案 B.（17）命题“没有不犯错误的人”符号化为(设x x A :)(是人,x x B :)(犯错误) （ ）A. ))()()((x B x A x ∧∀；B.))()()((x B x A x →∃⌝；C. ))()()((x B x A x ∧∃⌝；D.))()()((x B x A x ⌝∧∃⌝.答案 D.（18）设个体域},{b a A =，公式)()()()(x S x x P x ∃∧∀在A 上消去量词后应为 （ ）A. )()(x S x P ∧；B. ))()(()()(b S a S b P a P ∨∧∧；C. )()(b P a P ∧；D. )()()()(b S a S b P a P ∨∧∧.答案 B.（19）在谓词演算中，下列各式中，哪一个是正确的 （ ）A.),())((),())((y x A x y y x A y x ∃∀⇔∀∃；B.),())((),())((y x A x y y x A y x ∃∃⇔∃∃；C.),())((),())((y x A y x y x A y x ∃∀⇔∀∃；D.),())((),())((y x B x y y x A y x ∀∀⇔∀∀. 答案 B.（20）“学习有如逆水行舟，不进则退”。
设:p 学习如逆水行舟，:q 学习进步，:r 学习退步。
则命题符号化为 （ ）A. )(r q p →⌝∧； B ．)(r q p →⌝→；C. )(r q p →⌝∨；D. )(r q p →⌝↔.答案 B.四、求解下列各题1．设集合 }9,8,7,6,5,4,3,2,1{=A , ρ是A 上的整除关系, 画出><ρ,A 的哈斯图。
解答2. 设集合}36,24,12,6,3,2{=A , ρ是A 上的整除关系, (1) 画出><ρ,A 的哈斯图。
；(2) 求集合}12,6{=B 的上界、下界、最小上界和最大下界。
解：（1）><ρ,A 的哈斯图为上界为12,24,36，最小上界为12下界为2,3,6，最大下界为63．在下面的无向图G 中，回答下列问题adb（1）写出d a ,之间的所有初级通路；（2）写出d a ,之间的所有短程，并求),(d a d ；（3）判断无向图G 是否为欧拉图并说明理由。
解：（1）d a ,之间的所有初级通路共有7条，分别为aed ，aecd ，aebcd ，abed ，abcd ，abecd ，abced（2）d a ,之间的长度最短的通路只有1条，即aed ，因而它是d a ,之间唯一的短程，2),(=d a d（3）由于无向图G 中有两个奇度顶点3)deg(,3)deg(==c b ，所以无向图G 没有欧拉图回路，因而不是欧拉图。