人教版八年级数学下册第16章 二次根式 综合拓展训练(一)
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八年级数学人教版下册第16章《二次根式》
综合拓展训练（一）
1．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：
（1）请用不同的方法化简；
（2）化简：．
2．阅读下列解题过程：
；请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，化简：①②
（2）利用上面提供的解法，请计算：
．
3．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；＝＝
＝﹣1．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．
请任用其中一种方法化简：①；②．
4．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵a＝＝＝
2﹣，
∴a﹣2＝﹣，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简+++…+
（2）若a＝，①求4a2﹣8a+1的值；
②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1＝；2a2﹣5a++2＝．
5．阅读下面问题：因为；
所以，；
…
试求：
（1）（n为正整数）的值；
（2）利用上面所揭示的规律计算：
（）•．
6．阅读下列材料，并解决相应问题：
阅读：分母有理化就是把分母中的根号化去．
例如：＝＝＝+
应用：用上述类似的方法化简下列各式：
（1）
（2）++…+．
7．阅读理解材料：把分母中的根号去掉叫做分母有理化，例如：
①；②等运算都
是分母有理化．根据上述材料，
（1）化简：；
（2）计算：．
8．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如、、一样的式子，其实我们可以将其进一步化简：
＝＝（1）
＝＝（2）
＝＝＝﹣1 （3）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用下面的方法化简：
＝＝＝＝﹣1 （4）
①请参照（3）（4）的方法用两种方法化简；
②化简：+++…+．
9．（一）阅读下面内容：
＝＝；
＝＝﹣；
＝＝﹣2．
（二）计算：
（1）；
（2）（n为正整数）．
（3）+++…+．
10．请观察下列式子，按要求完成下列题目．
；；
；．试求：
（1）的值；
（2）（n为正整数）的值；
（3）根据上面的规律，试化简下列式子．+++…+．
11．已知：x＝+1，y＝﹣1，求代数式x2+2xy+y2的值．
12．已知x＝，y＝，求下列代数式的值：
（1）x2+y2
（2）．
13．已知：x＝﹣1，求代数式x2+5x﹣6的值．
14．已知x＝+，y＝﹣，求x2﹣y2的值．
15．已知x＝2+，求代数式（7﹣4）x2+（2﹣）x﹣的值．
参考答案
1．解：（1）
．
（2）原式＝
＝．
2．解：（1）①＝＝+3；
②＝＝；
（2）
＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）（+）＝（﹣）（+）
＝n．
3．解：①
＝
＝；
②
＝
＝
＝2﹣．
4．解：（1）原式＝×（+++…+）＝×（﹣1）
＝10
＝5；
（2）①∵a＝，
∴4a2﹣8a+1
＝4×﹣8×（1）+1
＝5；
②a3﹣3a2+a+1
＝﹣3+（）+1
＝7+5﹣（9）++1+1
＝0；
2a2﹣5a++2
＝2×++2
＝2；
故答案为：0，2．
5．解：（1）＝＝﹣；
（2）（）•，
＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）×（+1），
＝（﹣1+）×（+1），
＝2012﹣1，
＝2011．
6．解：（1）原式＝＝＝+；
（2）原式＝++…+
＝﹣1+﹣+…+﹣
＝﹣1．
7．解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝+++…+
＝﹣1+﹣+﹣+…+
＝﹣1．
8．解：（1）＝＝﹣；
＝＝﹣；
（2）+++…+
＝+++…+，
＝．
9．解：（二）（1）原式＝﹣；
（2）﹣；
（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝﹣1＝9．
10．解：（1）．
（2）＝＝．
（3）+++…+
＝﹣
＝﹣1．
11．解：∵x＝+1，y＝﹣1，
∴原式＝（x+y）2，
＝（1+﹣1）2，
＝（2）2，
＝12．
12．解：∵x＝，y＝，
∴x+y＝2，xy＝﹣2，
（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（2）2﹣2×（﹣2）＝24；
（2）＝﹣2＝﹣2＝﹣12．
13．解：当x＝﹣1，
x2+5x﹣6＝（﹣1）2+5（﹣1）﹣6
＝5﹣2+1+5﹣5﹣6
＝3﹣5．
14．解：∵x＝+，y＝﹣，
∴x+y＝2，x﹣y＝2，
∴x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝2×2
＝4．
15．解：∵x＝2+，
∴（7﹣4）x2+（2﹣）x﹣
＝（7﹣4）（2+）2+（2﹣）（2+）﹣
＝（7﹣4）（7+4）2+（4﹣3）﹣
＝49﹣48+1﹣
＝2﹣．