高一数学竞赛选拔题(解答)(精编文档).doc

【最新整理，下载后即可编辑】2222RNBNCRNXNO+⋅=+=，①同理22RMAMCMO+⋅=. ②因为A，C，D，P四点共圆，所以MPMDMAMC⋅=⋅，③因为Q，D，C，B四点共圆，所以NQNDNBNC⋅=⋅，④由①，②，③，④得MPMDNQNDMONO⋅-⋅=-22)()(DPMDMDDQNDND+-+=M)(22DP MD DQ ND MD ND ⋅-⋅+-=, 所以， OD MN ⊥⇔2222MD ND MO NO -=-DP MD DQ ND ⋅=⋅⇔⇔P ,Q ,M ,N 四点共圆.3．（第一届“希望杯”全国邀请赛试题）求函数7210626174)(2234++++++=x x x x x x x f 在区间[-1，1]上的值域。

解：1726472)(22-+++++=x x x x x f 。

值域为]3215,15[。

4. （2000年北京市中学生数学竞赛）f(x)是定义在R 上的函数，对任意的x ∈R ，都有f(x+3) ≤f(x)+3和f(x+2) ≥f(x)+2，设g(x)=f(x)-x ，（1）求证g(x)是周期函数；（2）如果f(998)=1002，求f(2000)的值。

解：本例的难度显然又有增加，主要是难以具体化。

只能在抽象的层面来解决问题 （1）g(x)=f(x)-x ， 可得g(x+2)=f(x+2)-x-2， g(x+3)=f(x+3)-x-3，再以f(x+3) ≤f(x)+3和f(x+2) ≥f(x)+2代换，可得x x f x x f x g -=--+≥+)(22)()2(，① x x f x x f x g -=--+≤+)(33)()3(，②由①可得g(x+4) ≥f(x+2)-x-2 ≥f(x)+2-x-2=f(x)-x ，g(x+6) ≥f(x+2)-x-2≥f(x)-x 。

③由②可得g(x+6) ≤f(x+3)-x-3≤f(x)-x ，④由③、④知g(x+6)=f(x)-x=g(x)。

∴g(x)是周期函数获证（6是它的一个周期）（2）2000-998=1002是6的整数倍，所以g(2000)=g(998)，即f(2000)-2000=f(998)-998f(2000)=f(998)+1002=1002+1002=2004。

本题的不同之处在于没有“具体化”，而是利用f(x+3)与f(x+2)的反复操作以求g(x+6)与f(x)的关系，进而得到g(x+6)=g(x)，以达到证明的目的。

5、对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。

那么，对于n=7。

求所有子集的“交替和”的总和。

分析；n=7时，集合{7，6，5，4，3，2，1}的非空子集有个，虽然子集数目有限，但是逐一计算各自的“交替和”再相加，计算量仍然巨大，但是，根据“交替和”的定义，容易看到集合{1，2，3，4，5，6，7}与{1，2，3，4，5，6}的“交替和”是7；可以想到把一个不含7的集和A与的“交替和”之和应为7。

那么，我们也就很容易解决这个问题了。

解：集合{1，2，3，4，5，6，7}的子集中，除去{7}外还有个非空子集合，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，结组原则是设这是把结合为一组，显然，每组中，“交替和”之和应为7，共有组.所以,所有“交替和”之和应该为。

6、n元集合具有多少个不同的不交子集对？分析：我们一般想法是对于一个子集，求出与它不交的子集个数，然后就可以求出总的子集对来了。

解：如果子集对是有序的，即在子集对中可以区分第一个子集与第二个子集，则第一个子集若是k个元素，第二个子集就由其余n-k个元素组成，可能的情况是种，而这时第一个集合的选取的可能情况应为种，那么k从o变到n，总的情况可能就是。

如果子集对是无序的，即两个子集相同但次序不同的子集对不认为不同，则对有序子集对中有一对是由两个空集组成，而对其它个有序对，每一对中交换两个子集的次序，得到的是同一个无序子集对，因此有个无序子集对，其中至少有一个子集非空，于是无序子集对的总数为分析二：我们可以从元素的角度来思考问题。

对一个元素来说，它有三种不同的选择，在第一个集合中，在第二个集合中，或者不在两个集合中。

解法二：在计算有序对的数目时，对每一个元素来说有三种可能：它或在第一个子集，或在第二个子集，或不在其中任意一个子集，因此不同的不交有序子集对的总数，以下同解法一。

说明：本题为1973年捷克的竞赛题，对题目的不同分析使我们得到了差异很大的两个解法，解法一从题目要求想起，很容易想到，但解出最后解却不见得那么简单，而解法二的想法是类似于集合分析的想法，很难想到，但想出后比较容易求解，两个解法对比一下正体现了数学思维的两方面，一个是纯代数想法，以计算的方法替代对题目更深层次的研究，另一个则是控掘题目本身的内在关系，找出最合适的解答，我们当然推荐第二种做法。

7、（2007年宁波市高一数学竞赛）已知二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈满足条件：对任意实数x 都有()2f x x ≥；且当02x <<时，总有21()(1)2f x x ≤+成立。

（1）求(1)f 的值；（2）求(1)f -的取值范围。

解：（1）(1)2f = 5分（2）对任意实数x 都有()2f x x ≥，即2(2)0ax b x c +-+≥恒成立，∴20(2)40a b ac >⎧⎨--≤⎩，由于(1)2,,22f a b c a c b a =+++∴==-。

此时2211()(1)()(1)22f x x a x -+=--，当02x <<时，总有21()(1)2f x x ≤+成立，10,(1)422a f abc a ∴<≤∴-=-+=-的取值范围是(]2,0-。

15分8、（2006年全国初中数学竞赛） 10个学生参加n 个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n 的最小值．解：设10个学生为1S ，2S ，…，10S ，n 个课外小组1G ，2G ，…，n G ．首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为1S ，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾． ………………………………5分若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设1S 恰好参加1G ，2G ，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与1S 没有同过组，矛盾．所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n 个课外小组1G ，2G ，…，n G 的人数之和不小于3×10=30．另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n 个课外小组1G ，2G ，…，n G 的人数不超过5n ， 故 5n ≥30， 所以n ≥6． ……………………………10分下面构造一个例子说明n=6是可以的．}{543211S S S S S G ,,,,=，}{876212S S S S S G ,,,,=，}{1096313S S S S S G ,,,,=， }{1097424S S S S S G ,,,,=，}{987535S S S S S G ,,,,=，}{1086546S S S S S G ,,,,=．容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件． 所以，n 的最小值为6． ……………………………15分 9、（2005年全国初中数学竞赛）已知p ，q 都是质数，且使得关于x 的二次方程05)108(2=+--pq x q p x至少有一个正整数根，求所有的质数对（p ，q ）。

解：由方程两根的和为8p －10q 可知，若方程有一个根为整数，则另一个根也是整数。

由方程两根的积为5p q ，知方程的另一个根也是正整数。

设方程的两个正整数根分别为1x ，2x （1x ≤2x ），由根与系数的关系得1x ＋2x ＝8p －10q ① 1x 2x ＝5pq ②由②得，1x ，2x 有如下几种可能的情况：⎩⎨⎧==p q p q pq pq x qp q p x ,,5,5,,55,5,,,5,121 所以1x ＋2x ＝5pq ＋1，pq+5，p ＋5q ，q ＋5p ，代入①当1x ＋2x ＝5pq ＋1时，5pq ＋1＝8p －10q ，而5pq ＋1＞10p ＞8p －10q ，故此时无解。

当1x ＋2x ＝pq ＋5时，pq ＋5＝8p －10q ，所以（p ＋10）（q －8）＝－85因为p 、q 都是质数，只可能⎩⎨⎧=+--=-85,17101,58p q所以（p ，q ）＝（7，3）当1x ＋2x ＝p ＋5q 时，p ＋5q ＝8p －10q ，所以7p ＝15q ，不可能。

当1x ＋2x ＝5p ＋q 时，5p ＋q ＝8p －10q ，所以3p ＝11q ，于是（p ，q ）＝（11，3）综上所述，满足条件的质数对（p ，q ）＝（7，3）或（11,3） 10、（2004年全国初中数学竞赛）已知0<a ，0≤b ，0>c ，且ac b ac b 242-=-，求ac b 42-的最小值.解：令c bx ax y ++=2，由0<a ，0≤b ，0>c ，判别式042>-=∆ac b ，所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，且与x 轴有两个不同的交点)0,(1x A ，)0,(2x B ，因为021<=a c x x ，不妨设21x x <，则210x x <<，对称轴02≤-=abx ，于是c aac b b a ac b b x =--=-+-=2424221，………………（5分）所以aac b a ac b b c a b ac 242444222--≥--=≥-， …………………（10分）故442≥-ac b ，（第14（A ）题图）当1-=a，b=0，c=1时，等号成立.所以，acb42-的最小值为4. ………………………（15分）。