线代第七章讲义

g ( λ ) | ( u 1 ( λ ) f 1 ( λ ) + " + u m ( λ ) f m ( λ )).
定义7.3 设 f (λ), g(λ) ∈ F[λ]，如果多项式 d (λ) 是 f (λ) 与 g (λ) 的公因式，并且 f (λ) 与 g (λ) 的任一公因式 都是 d (λ) 的因式，则称 d (λ) 是 f (λ) 与 g (λ) 的一个最大 公因式. f (λ) 与 g (λ) 的首一最大公因式记为 (f (λ), g (λ))． 定义7.4 设 f (λ), g(λ) ∈ F[λ]，如果多项式 h (λ) 是 f (λ) 与 g (λ) 的公倍式，并且 f (λ) 与 g (λ) 的任一公倍式 都是 h (λ) 的倍式，则称 h (λ) 是 f (λ) 与 g (λ) 的一个最小 公倍式. f (λ) 与 g(λ) 的首一最小公倍式记为 [f (λ), g (λ)]．
λ ⎞ ⎟ − λ ⎟. 2⎟ −λ ⎠
例7.2 化 λ 矩阵为标准形：
0 0 ⎞ ⎛λ − a −1 ⎜ ⎟ λ − a −1 0 ⎟ ⎜ 0 . A(λ ) = ⎜ ⎟ λ − a −1 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ λ 0 0 − a ⎝ ⎠
7.3 λ 矩阵的行列式因子和初等因子
定义7.9 设 A(λ) ∈ F [ λ ]n×n,并且 R ( A( λ ) ) = r , 1 ≤ k ≤ r , 则 A(λ) 的全部 k 阶子式的首一最大公因式称为 A(λ) 的 k 阶行列式因子，记为 Dk (λ ) ． 例7.3 求下列 λ 矩阵的各阶行列式因子：
0 %
其中 di (λ) 是首一多项式，并且
d i ( λ ) | d i + 1 ( λ ) , i = 1, " , r − 1 .
在定理7.3中，与 λ 矩阵 A(λ) 等价的对角矩阵
⎛ d 1 (λ ) ⎜ ⎜ ⎜ S (λ ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ d 2 (λ ) % d r (λ ) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0⎠
第七章 矩阵的Jordan标准形
7.1 一元多项式 7.2 λ 矩阵及其标准形 7.3 λ 矩阵的行列式因子和初等因子 7.4 矩阵相似的条件 7.5 矩阵的 Jordan 标准形 7.6 Cayley 定理与最小多项式
7.1 一元多项式
定义7.1 设 F 是数域,n 是非负整数,λ 是一个文字, 称形式表达式
a ij (λ ) = bij (λ ), i , j = 1," , n, 则称 A( λ ) 与 B( λ ) 相等，记为 A( λ ) = B(λ )．
如果 n 阶矩阵 A( λ ) 的次数为 k ，则 A( λ ) 可表为 A( λ ) = A0 λ k + " + Ak − 1 λ + Ak , ( A0 ≠ 0 ) 其中 Ai 是 n 阶数字矩阵 . 例如
⎛ λ2 + λ ⎜ A(λ ) = ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0 0
λ
0
0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ λ + 1⎟ ⎠
定理7.4 等价的 λ 矩阵具有相同的秩和相同的各阶 行列式因子．
以下计算 λ 矩阵 A(λ) 的行列式因子． 设 A(λ) 的 Smith 标准形为
⎛ d 1 (λ ) ⎞ ⎜ ⎟ d 2 (λ ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ % ⎜ ⎟ d r (λ ) ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜ % ⎟ ⎜ ⎟ 0⎠ ⎝
q(λ ) 和 r (λ ) 分别称为 g(λ ) 除 f (λ ) 的商和余式．
定义7.2 设 f ( λ ), g ( λ ) ∈ F [ λ ]，如果存在多项式 h(λ ) 使得 f (λ ) = h(λ ) g (λ ) ,则称多项式 g (λ) 整除 f (λ),记 为 g ( λ ) | f ( λ ). 如果 g ( λ ) | f ( λ ) ，则称 g ( λ ) 是 f ( λ ) 的因式， f ( λ ) 是 g ( λ ) 的倍式 ．
定理7.5 λ 矩阵 A(λ) 的 Smith 标准形唯一．
n× n 定理7.6 设 A(λ ), B(λ ) ∈F [λ ] ，则 A(λ ) ≅ B(λ ) 的充
k = m,
Ai = Bi , i = 0, 1, " , k .
设 A( λ ), B( λ ) 都是 n 阶 λ 矩阵，则有 | A(λ)B(λ)| = |A(λ)|| B(λ)|.
定义7.6 设 A(λ) ∈ F [λ]n×n，如果 A(λ) 中有一个 r 阶子式不为零 (1 ≤ r ≤ n) ,而所有 r + 1 阶子式(如果有的话) 全为零, 则称 A(λ) 的秩为 r, 记为 R(A(λ)) = r. 定义7.7 设 A(λ) ∈ F [λ]n×n，如果存在一个 n 阶 λ 矩阵 B(λ)，使得
其中 d i (λ ) ( i = 1," , r ) 是首项系数为 1 的多项式，并且
d i ( λ ) | d i + 1 ( λ ) , i = 1, " , r − 1,
则 A(λ) 的各阶行列式因子为
⎧ D1 ( λ ) = d 1 ( λ ), ⎪ ⎪ D 2 ( λ ) = d 1 ( λ )d 2 ( λ ), ⎨ """"" ⎪ ⎪ ⎩ D r ( λ ) = d 1 ( λ )d 2 ( λ ) " d r ( λ ).
系数全为零的多项式称为零多项式,零多项式是唯一 没有次数的多项式．
n− i f ( λ ) = a λ 设 ∑ i , i =0 n
g (λ ) = ∑ Hale Waihona Puke i λm − i，如果i =0
m
deg f ( λ ) = deg g ( λ ), a j = b j , j = 0 , 1, 2 , "
如果 n 阶 λ 矩阵 A( λ ) 可表为 A( λ ) = A0 λ + " + Ak − 1 λ + Ak , A0 ≠ 0 ,
k
n 阶 λ 矩阵 B ( λ ) 可表为 B ( λ ) = B0 λ m + " + B m − 1 λ + B m , B0 ≠ 0 ,
则 A( λ ) = B( λ ) 的充分必要条件为
则称 f ( λ ) 与 g ( λ ) 相等，记为 f ( λ ) = g ( λ ). 多项式运算满足交换律、结合律、分配律和消去律， 且
deg( f ( λ ) ± g ( λ )) ≤ max{deg f ( λ ), deg g ( λ )};
deg( f (λ ) g (λ )) = deg f (λ ) + deg g (λ ).
7.2 λ 矩阵及其标准形
定义7.5 设 aij(λ) (i, j = 1, 2, …, n) 是数域 F 上的多项 式,以 aij(λ) 为元素的 n 阶矩阵
⎛ a11 (λ ) a12 (λ ) ⎜ ⎜ a 21 (λ ) a 22 (λ ) A(λ ) = ⎜ " " ⎜ ⎜ a (λ ) a (λ ) n2 ⎝ n1 " a1n (λ ) ⎞ ⎟ " a2 n (λ ) ⎟ " " ⎟ ⎟ " a nn (λ ) ⎟ ⎠
b11 ( λ ) ≠ 0, b11 ( λ ) | bij ( λ ) , i , j = 1," , n.
定理7.3 设 A(λ) = (aij(λ)) ∈ F [λ]n×n,且 R(A(λ)) = r, 则
⎛ d 1 (λ ) ⎜ ⎜ ⎜ A(λ ) ≅ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ d 2 (λ ) % d r (λ ) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0⎠
于是
(1) D1 (λ ) | D2 (λ ), D2 (λ ) | D3 (λ ), ", Dr −1 (λ ) | Dr (λ ),
D2 (λ ) Dr (λ ) (2) d1 (λ ) = D1 (λ ), d2 (λ ) = , ", dr (λ ) = . D1 (λ ) Dr −1 (λ )
A( λ ) B ( λ ) = B ( λ ) A( λ ) = E ,
则称 λ 矩阵 A(λ) 是可逆的，并称 B(λ) 为 A(λ) 的逆矩阵, 记作 A-1(λ)． 定理7.2 设 A(λ) ∈ F [λ]n×n，则 A(λ) 可逆的充分必 要条件是 | A(λ) | 是非零常数．
下列变换称为 λ 矩阵的初等变换： （1）λ 矩阵的两行(列)互换位置； （2）λ 矩阵的某一行(列)乘以非零常数 k； （3）λ 矩阵某一行(列)的 ϕ ( λ ) 倍加到另一行(列), 其中 ϕ ( λ ) 是 λ 的多项式． 由单位矩阵 E 经过一次 λ 矩阵的初等变换所得到的 矩阵称为 λ 矩阵的初等矩阵． 三种初等矩阵分别记为 E(i, j),E(i(k)),E(i, j( ϕ ))，它 们都是可逆矩阵，并且逆矩阵还是初等矩阵．
定理7.1 设 f ( λ ), g ( λ ) ∈ F[ λ ] 且 g (λ ) ≠ 0 ，则存在 唯一的多项式 q ( λ ), r ( λ ) ∈ F [ λ ]，使得
f ( λ ) = q( λ ) g (λ ) + r (λ ),
其中 deg r (λ ) < deg g ( λ ) 或 r (λ ) = 0.
称为 n 阶多项式矩阵或 n 阶 λ 矩阵．称 k = max{ deg aij(λ) | i, j =1, 2, …, n } 为矩阵 A(λ) 的次数,记为 k = deg A(λ )． 数域 F 上的全体 n 阶 λ 矩阵记为 F [λ]n×n．
n× n 设 A(λ ) = (aij (λ )), B(λ ) = (bij (λ )) ∈ F [λ ] ，若
0 %
称为 A(λ) 的等价标准形或 Smith 标准形． Smith 标准形中的非零元 d 1 (λ ), d 2 (λ )," , d r (λ ) 称为 A(λ) 的不变因子．
例7.1 化 λ 矩阵为标准形：
⎛ − λ + 1 λ2 ⎜ A(λ ) = ⎜ λ λ ⎜ 2 2 1 λ λ + ⎝
⎛ λ2 − λ 1 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 0 − 1 0⎞ ⎛ 0 0 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ − λ λ 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟λ + ⎜ − 1 0 0 ⎟λ + ⎜ 0 0 0 ⎟. ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2⎟ 1 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1 0 λ⎠ ⎝
多项式的整除具有以下一些常用的性质: (1) 设 f (λ) 是任一多项式，则 f (λ) | 0； (2) 设 f (λ) 是任一多项式，c 是非零常数，则 c | f (λ ) ； (3) 如果 g (λ) | f (λ) 且 f (λ) | g (λ)，则 f (λ) = cg (λ), 其中 c 是非零常数； (4) 如果 g (λ) | h (λ)，h (λ) | f (λ)，则 g(λ) | f (λ) ； (5) 如果 g (λ) | fi (λ) (i = 1, 2, …, m) ，则
定义7.8 设 A(λ ), B(λ ) ∈F [λ]n×n，如果 A(λ) 经过有 限次的初等变换化为 B(λ),则称 λ 矩阵 A(λ) 与 B(λ) 等价, 记为 A(λ ) ≅ B(λ ) ． 注1 如果 n 阶 λ 矩阵 A(λ) 与 B(λ) 等价,则 |A(λ)| = c |B(λ)|，其中 c 是非零常数. 注2 即使 A(λ) 与 B(λ) 有相同的秩，A(λ) 与 B(λ) 也 不一定等价． 引理7.1 设 A(λ) 是 n 阶非零 λ 矩阵,则存在 n 阶 λ 矩阵 B(λ) = (bij(λ)),使得 A( λ ) ≅ B( λ ) ，且
f (λ ) = a0 λ + a1λ
n n −1
+ " + a n −1λ + a n
是数域 F 上的一元多项式,其中 a i ∈ F ( i = 0, 1, " , n). 数域 F 上的一元多项式的全体记为 F[ λ ]． 若 a0 ≠ 0,则称 a0λn 为多项式 f (λ) 的首项,a0 称为首项 系数，n 称为 f (λ) 的次数，记为 deg f ( λ ) = n. 首项系数为1的多项式称为首一多项式．