习题12偏导数的几何应用
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一.
习题十二
x 1 y 1 z 1 1. 2x 1 3 y 1 z 1 0 , 2 3 1
x 1 y 1 z 1 2. , 1 4 3 ( x 1) 4( y 1) 3( z 1) 0.
二.1.解 : T 1,2t ,3t
该平面过原点 O 0,0,0 , 据M的 任 意 性 ,
任 意 的 切 平 面 交 于 一.点 证 毕.
二.3.解 :
Hale Waihona Puke Baidudz
dy dz 2 a 2 a 2 2 a 0 dx dx 点M处 : 2a 2a dy 2a dx dz 1 dy 1 , 0; S 1,0, dx 2 dx 2
二 .3 .
xa ya 切 线: z 2a , 0 2
z
点( 2,1,0)处 : Fx 1, Fy 2, Fz 0, n 1,2,0 x 2 y 1 z 切 平 面: x 2 2 y 1 0, 法 线: 1 2 0
dy dz 2x 2 y 2z 0 dx dx 2 x 2 y dy 2a dx dy
三 .2 .
y 解 : z x f f , z y f , M x0 , y0 , z0 , x y0 切 平 面: f M f M x x 0 x 0 f M y y 0 z z0 0, 整 理 得: z0 y0 f M x x0 f M y x0 z 0,
法 平 面: 2 x a z 2a 0
三.1.解 :
F xyz a ,曲 面F 0上点( x0 , y0 , z0 ),
3
切 平 面: y 0 z 0 x x 0 z 0 x 0 y y 0 x 0 y 0 z z 0 0, x y z 即: 1 3 x 0 3 y0 3 z 0 1 9 3 四面体体积 : V 3 x0 3 y0 3 z0 a . 6 2
2
2
1,2,1
1 1 1 1 1 2 2t 1 3t 0 t 1, ,点 1,1,1, , , 3 3 9 27
二.2.解 :
z
F e z xy 3, Fx y , Fy x , Fz e 1
习题十二
x 1 y 1 z 1 1. 2x 1 3 y 1 z 1 0 , 2 3 1
x 1 y 1 z 1 2. , 1 4 3 ( x 1) 4( y 1) 3( z 1) 0.
二.1.解 : T 1,2t ,3t
该平面过原点 O 0,0,0 , 据M的 任 意 性 ,
任 意 的 切 平 面 交 于 一.点 证 毕.
二.3.解 :
Hale Waihona Puke Baidudz
dy dz 2 a 2 a 2 2 a 0 dx dx 点M处 : 2a 2a dy 2a dx dz 1 dy 1 , 0; S 1,0, dx 2 dx 2
二 .3 .
xa ya 切 线: z 2a , 0 2
z
点( 2,1,0)处 : Fx 1, Fy 2, Fz 0, n 1,2,0 x 2 y 1 z 切 平 面: x 2 2 y 1 0, 法 线: 1 2 0
dy dz 2x 2 y 2z 0 dx dx 2 x 2 y dy 2a dx dy
三 .2 .
y 解 : z x f f , z y f , M x0 , y0 , z0 , x y0 切 平 面: f M f M x x 0 x 0 f M y y 0 z z0 0, 整 理 得: z0 y0 f M x x0 f M y x0 z 0,
法 平 面: 2 x a z 2a 0
三.1.解 :
F xyz a ,曲 面F 0上点( x0 , y0 , z0 ),
3
切 平 面: y 0 z 0 x x 0 z 0 x 0 y y 0 x 0 y 0 z z 0 0, x y z 即: 1 3 x 0 3 y0 3 z 0 1 9 3 四面体体积 : V 3 x0 3 y0 3 z0 a . 6 2
2
2
1,2,1
1 1 1 1 1 2 2t 1 3t 0 t 1, ,点 1,1,1, , , 3 3 9 27
二.2.解 :
z
F e z xy 3, Fx y , Fy x , Fz e 1