苏教版高二数学不等式的应用
【优质课件】苏教版必修5高二数学第3章《不等式》优秀课件.pptx
3.二元一次不等式表示的平面区域的判定 对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax ＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数 Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平 面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地， 当C≠0时，常取原点作为特殊点．
利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺 一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取 到最值，可以考虑用函数的单调性求解．
所以f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25.
(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值；
呈重点、现规律
1.不等式的基本性质 不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等 式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和 运用不等式的八条性质．
4.求目标函数最优解的方法 通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应 的点往往是可行域的顶点． 5.运用基本不等式求最值把握三个条件：①“一正”——各 项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三 相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
感谢各位老师！
祝： 身体健康
万事如意
例 1 设 不 等 式 x2 － 2ax ＋ a ＋ 2≤0 的 解 集 为 M ， 如 果 M⊆[1,4]，求实数a的取值范围． 解 M⊆[1,4]有两种情况： 其一是M＝∅，此时Δ<0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0， 下面分三种情况计算a的取值范围． 设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，
则有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)， (1)当Δ<0时，－1<a<2，M＝∅⊆[1,4]； (2)当Δ＝0时，a＝－1或2； 当a＝－1时，M＝{－1} [1,4]； 当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]．
数学苏教版必修5 基本不等式的应用
基本不等式的应用【教学目标】12a b +≤；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；22a b +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】2a b +≤，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值【教学难点】利用此不等式求函数的最大、最小值。
【教具准备】与教材内容相关的资料。
【教学设想】通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
【教学过程】学生探究过程： 1.课题导入1．基本不等式：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a22a b +≤求最大（小）值的步骤。
2.讲授新课1）利用基本不等式证明不等式例1 已知m>0,求证24624m m+≥。
[思维切入]因为m>0,所以可把24m和6m 分别看作基本不等式中的a 和b, 直接利用基本不等式。
[证明]因为 m>0,，由基本不等式得246221224m m +≥=⨯=当且仅当24m=6m ，即m=2时，取等号。
规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和246m m⨯=144为定值的前提条件。
3.巩固练习1[思维拓展1] 已知a,b,c,d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥.[思维拓展2] 求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+.例2 求证:473a a +≥-. [思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边44(3)333a a a a +=+-+--.这样变形后,在用基本不等式即可得证.[证明]443(3)333733a a a +=+-+≥==-- 当且仅当43a -=a-3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值例3 (1) 若x>0,求9()4f x x x=+的最小值; (2)若x<0,求9()4f x x x=+的最大值. [思维切入]本题(1)x>0和94x x⨯=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化. 解 1) 因为 x>0 由基本不等式得9()412f x x x =+≥==,当且仅当94x x =即x=32时, 9()4f x x x =+取最小值12.(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:99()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥=, 所以 ()12f x ≤. 当且仅当94x x -=-即x=-32时, 9()4f x x x=+取得最大-12.规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.巩固练习2[思维拓展1] 求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值.[思维拓展2] 若x>0,y>0,且281x y +=,求xy 的最小值.4.评价设计１．证明：22222a b a b ++≥+２．若1->x ，则x 为何值时11++x x 有最小值，最小值为几？【教学反思】2a b +≤证明不等式和求函数的最大、最小值。
苏教版数学高二-必修五课件 基本不等式的应用
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 一批货物随17列货车从A市以v千米/时匀速直达B市，已知两地
铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于
v
2
千米，那么
20
这批货物全部运到B市，最快需要__8__小时.
解析 设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，
则 t＝400＋v162v02＝4v00＋1460v0≥2
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值， 但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的， 这时通常可以借助函数 y＝x＋px(p>0)的单调性求得函数的最值. 2.求解应用题的方法与步骤： (1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.
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故③既够用，浪费也最少.
解析答案
4.函数f(x)＝x(4－2x)的最大值为____2____.
解析 ①当x∈(0,2)时， x,4－2x＞0， f(x)＝x(4－2x)≤122x＋42－2x2＝2， 当且仅当2x＝4－2x， 即x＝1时，等号成立. ②当x≤0或x≥2时， f(x)＜0， 故f(x)max＝2.
4v00×14600v＝8(小时)，
当且仅当4v00＝14600v，即 v＝100 时，等号成立，
此时t＝8小时.
解析答案
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当堂检测
12345
1.下列函数中，最小值为4的函数是____③____.
①y＝x＋4x；
②y＝sin x＋sin4 x(0＜x＜π)；
③y＝ex＋4e－x；
④y＝log3x＋logx81.
第3章 § 3.4基本不等式 ab≤a＋2 b (a≥0,b≥0)
苏教版高二数学不等式的应用
(2)已知: tan x 3tan y(0 y x )
2 求u x y的最值
例4.(1)求周长为12的直角三角形 面积的最大值
(2) 如图，设矩形ABCD(AB>CD)的周
长为24，把它关于AC对折起来，AB
折过去以后，交DC于点P，设AB=x，
求
的A最D大P面积及相应的x值。
12-x
———实际应用题
例1.某工厂建造一个无盖的长方形 贮藏水池,其容积为4800m2 ,深度为 3m, 如果池底每1m 2的造价为150元, 池壁每1m 2的造价为120元, 如何设 计水池,才能使总造价最低,最低 造价是多少?
例2.如图,一份印刷品的排版面积
(矩形)为A,它的两边都留有宽为b 的空白,如何选取纸张的尺寸,才能 使纸的用量最少?
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不等式的应用 江苏教育版-PPT课件
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例2.壁画最高点离地面14米，最低 离地面2米，若从离地面1.5米处观 此画，问离墙多远时，视角最大？
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例3.某种汽车购车时费用为10万元，每年的 保险、养路、汽油等费用共9千元，汽车的 年维修费逐年以等差数列递增，第一年为2 千元，第二年为4千元，第三年为6千元， ……问这种汽车使用几年后报废最合算？（ 即汽车的年平均费用为最低）。
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例7. 某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面墙建造平面图形为矩形，面积为126平方米的厂房，工程条件 是：
①建1米新墙的费用为a元；
②修1米旧墙的费用是a/4元；
③拆去1米旧墙用所得的材料建1米新墙的费用为a/2元，经讨论有两种方案：
A:利用旧墙的一段x米（x<14）为矩形厂房的一面边长；
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例4．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机 共3600台，每批都购入x台（x是正整数），且每批均需付 运费400元。贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入 电视机的总价值（不含运费）成正比。若每批购入400台， 则每年需用去运输和保管总费用43600元。现在全年只有 24000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排 每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由 。
用多少天应当报废？
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例6. 在某交通拥挤地段，交通部门规定，在
此地段内的车距d正比于车速v（km/小时） 的平方与车身长S（m）的积，且最小车距不 得少于半个车身长。假定车身长均为S(m)， 且 车 速 为 50(km/h) 时 ， 车 距 恰 为 车 身 长 S 。 问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使 此地段的车流量Q最大。
新教材苏教版高中数学必修第一册3.2基本不等式 精品教学课件
【跟踪训练】
1.若0<x< 8 ,则函数y=x(8-3x)的最大值为________.
4
4x 5
3.当x>1时,不等式x+ 1 ≥a恒成立,则实数a的最大值为________.
x 1
【思路导引】通过凑项或凑系数的方法把“不定”问题进行转化,再用基本不
等式求解.
【解析】1.选B.因为0<x<1,所以1-x>0.
所以x(3-3x)=3x(1-x)≤3 ( x 1 x )2 3 .
2
所以m=- （[ x）（1x）] -2≤-2-2=-4, 当且仅当-x= 1 ,即x=-1时取等号.
-x
类型二 拼凑法利用基本不等式求最值(逻辑推理、数学运算)
【典例】1.已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为 ( )
A. 1
B. 1
C. 3
D. 2
3
2
4
3
2.已知x< 5 ,则4x-2+ 1 的最大值为________.
x
答案:-12
【解题策略】 基本不等式的使用条件 (1)一正:a>0,b>0,即:所求最值的各项必须都是正值; (2)二定:ab或a+b为定值,即:含变量的各项的和或积必须是常数; (3)三相等:当且仅当a=b时取等号;即:等号能否取得. 在应用基本不等式求最值时,要逐一验证三个条件是否成立.
【补偿训练】
2
(3)应用:求和式的最小值,乘积式的最大值.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2 ab 均成立.
不等式的应用 江苏教育版(PPT)3-3
市交通拥挤问题，市政府决定修建一
条环城公路，分别在通往正西和东北
方向的公路上选取A、B两点，使环 城公路在A、B间为直线段，要求AB 路段与市中心O的距离为10公里，且 使A、B间的距离|AB|最小，请你确 定A、B两点的最佳位置。（不要求 作近似计算）
没有颜色，呈透明状。根据玉米籽粒形态、硬度及不同用途，玉米分为普通玉米（硬粒
型、中间型、马齿型、硬偏马型、马偏硬型）和特种玉米（高赖氨酸玉米、高油玉米、甜玉米、爆裂玉米、糯玉米）两种。玉米形状和大小因品种不同有所 不同，一般玉米长8-mm，宽-mm，厚-mm，如果玉米颗粒之间差异太大，会使玉米在加工过程中难以清洗和破碎。 [] 分布范围 我国各地均有栽培。全世界 热带和温带地区广泛种植，为一重要谷物。 [] 品种类型 玉米的品种类型很多，按用途分，有粮用饲用品种、菜用品种（包括糯质型、甜质型、玉米笋型）、 加工品种（甜玉米、玉米笋）、爆粒型品种（爆米花专用品种）等。 [] 种植技术 以夏玉米为例，推行“一增四改”技术：根据品种要求合理增加种植密度； 改用耐密型品种进行种植；改用免耕精量直播技术，直播玉米密度适宜、群体整齐度好；改粗放用肥为测土配方施肥；改人工种植为玉米机械化作业。 [] 选 用优良品种 精选优质良种，一般选用具有高产潜力、耐密紧凑、大穗型的中晚熟品种
玉米淀粉制糖 ? 玉米淀粉酿酒 ? 应用于石油化工 ? 变性淀粉的研究 ? 抗性淀粉的研究 8 挑选指南 推荐菜品 历史文化 形态特征 玉米 玉米 一年生高大草本。 秆直立，通常不分枝，高-米，基部各节具气生支柱根。叶鞘具横脉；叶舌膜质，长约毫米；叶片扁平宽大，线状披针形，基部圆形呈耳状，无毛或具疵柔毛， 中脉粗壮，边缘微粗糙。顶生； 微商货源 ；雄性圆锥花序大型，主轴与总状花序轴及其腋间均被细柔毛；雄性小穗孪生，长达厘米， 小穗柄一长一短，分别长-毫米及-毫米，被细柔毛；两颖近等长，膜质，约具脉，被纤毛；外稃及内稃透明膜质，稍短于颖；花橙黄色；长约毫米。雌花序 被多数宽大的鞘状苞片所包藏；雌小穗孪生，成-纵行排列于粗壮之序轴上，两颖等长，宽大，无脉，具纤毛；外稃及内稃透明膜质，雌蕊具极长而细弱的线 形花柱。颖果球形或扁球形，成熟后露出颖片和稃片之外，其大小随生长条件不同产生差异，一般长-毫米，宽略过于其长，胚长为颖果的/-/。染色体n=，， 8 。花果期秋季。 [] 物理特性 玉米的物理性状由粒色、粒形、种皮光泽、粒长、粒宽、百粒重、粒径、籽粒 花 花(张) 均匀程度和硬实率等指标组成。玉米 籽粒颜色包括种皮、糊粉层（富含蛋白质，也被称为蛋白质层）以及胚乳三部分。在大多数情况下，玉米成熟籽粒胚乳的颜色是黄色或白色，种皮和糊粉层
苏教版数学高二- 必修5素材 3.2一元二次不等式的解集为R的条件及应用
3.2 一元二次不等式的解集为R 的条件及应用我们知道，当0a >，且当0∆<时，不等式)0(02≠>++a c bx ax 的解集为R ；反之，亦然. 这是一个及其重要的结论，本文举例说明其应用，供参考. 一、求参数的值例1． 已知二次函数)(x f 的图象经过点),0,1(- 是否存在常数c b a ,,使不等式21)(2x x f x +≤≤对一切实数x 恒成立，若存在，求出c b a ,,；若不存在，请说明理由. 解：假设存在符合条件的c b a 、、.()f x 的图象过点)0,1(-，∴.0,0)1(=+-=-c b a f 即21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立，令1x =，则211112a b c ≤++≤+（）. 1.a b c ∴++=).21(21)(21212a x ax x f c a b -++==+=∴，， ∴2(),1()(1).2f x x f x x ≥⎧⎪⎨≤+⎪⎩即2211()0,(1)2211()0.(2)22ax x a a x x a ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≤⎪⎩对R x ∈成立. 由（1）0=a 时，不合题意，所以，⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=⇔≤-->⇔≤∆>.41,0)21(441,0,0,0a a a a a 将41=a 代入（2）得0122≥+-x x 解集为.R 故存在满足条件的,,abc ，使11,.42a c b === 二、求参数的取值范围例2．知实数d c b a ,,,满足,7,52222=+++=+++d c b a d c b a 求a 的最大值. 解：构造函数R x d x c x b x y ∈-+-+-=222)()()(，R x d c b x d c b x y ∈≥+++++-=,0 )(232222 ，当且仅当d c b x ===时取等号，则有0)(12)(42222≤++-++=∆d c b d c b ，即22520a a -+≤，解得.221≤≤a 故当d c b ===1时a 取最大值2.例3．已知对于任意实数m ，方程0)()1(2=-+-a x x m 恒有实根，求实数a 的取值范围.解：方程可化为.0)(2=+-+a m x mx（1）当0=m 时，方程恒有实根a x =；（2）当0≠m 时，任意实数m ，方程0)(2=+-+a m x mx 恒有实根，则判别式)(0)(41R m a m m ∈>++=∆恒成立，即01442>++ma m 对任意实数m 恒成立，所以，016162/<-=a ∆，解得.11<<-a综上，得当0=m 时，R a ∈；当0≠m 时，.11<<-a注意：（1）不等式R x c bx ax ∈>++,02恒成立, 则0>a ，且判别式0<∆，或．，且00>==c b a （2）不等式R x c bx ax ∈<++,02恒成立, 则0<a ，且判别式0<∆或．，且00<==c b a （3）不等式],[)0(02n m x a c bx ax ∈≠>++恒成立，则;0,0<>∆a 或 .0)(,2,0;0)(,2,0>≥->>≤->n f n ab a m f m a b a 或 （4）不等式],[)0(02n m x ac bx ax ∈≠<++恒成立, 则;0,0<<∆a 或.0)(,2,0;0)(,2,0<≥-<<≤-<n f n ab a m f m a b a 或 三、证明不等式证明不等式例4．已知,0>a 函数2bx ax y -=，当0>b 时，若对任意R x ∈都有1y ≤，求证：.2b a ≤证明：依题意，有,12≤-bx ax 即012≥+-ax bx )(R x ∈，而,0>b 所以，.2,0,04)(2b a a b a ≤∴>≤--=∆又例5．设,1,,,=++∈c b a R c b a 且求证：.31222≥++c b a证明: 构造函数,0)()()(222≥-+-+-=c x b x a x y而R x c b a x c b a x y ∈≥+++++-=,0)(232222恒成立，则判别式 22224()12()0.a b c a b c ∆=++-++≤因为1a b c ++=，故.31222≥++c b a 同步练习（供选用）1．不等式223222x kx k x x ++≥++对一切实数x 恒成立，求实数k 的取值范围． 2．当)6,2(-∈x 时，,02322>-++a b x a ax 当),6()2,(∞+--∞∈ x 时, .02322<-++a b x a ax（1）求b a ,的值；（2）当k 为何值时，)16(23)2(4322-++-++-k kx a b x a ax k 恒为负值？ 3．（1）若对任意实数,x 不等式02)2()2(2>++-+-k x k x k 恒成立, 则实数k 的取值范围是_____;（2）若集合,}01)1()1(|{22R x m x m x =<-+-- 则实数m 的取值范围是._____（3）设集合}01|{<<-=m m P ，044|{2<-+=mx mx m Q 对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ）（A ）Q P ⊆ （B ）P Q ⊆ （C ）Q P = （D ）∅=Q P4．已知函数3)1(4)54(22+-+-+=x k x k k y 的图象都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围.5．已知函数)(2)1()1011(22R x x a x a a y ∈+--+--=的值恒为正数, 求实数a 的取值范围.6．函数2()3f x x ax =++，当 ]2,2[-∈x 时，a x f ≥)(恒成立, 求实数a 的取值范围.7．若函数()f x =R ，求实数a 的取值范围. 答案1．]10,2[；2．08,8,4≤<---k ；3．（1）2k ≥；（2）31.5m -≤<（3）A 4．)19,1[ 5．)9,1[ 6．]2,7[- 7．]2,0(。
高二数学新教材苏教版必修5学案：第3章 3.4 3.4.2 基本不等式的应用
3.4.2 基本不等式的应用学习目标：1.掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能应用基本不等式解决生活中的应用问题．基本不等式与最值已知a ≥0，b ≥0，在运用基本不等式时，要注意： (1)和a ＋b 一定时，积ab有最大值；(2)积ab 一定时，和a ＋b 有最小值； (3)取等号的条件⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b 时，ab ＝a ＋b 2.[基础自测]1．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________． [解析] ∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝400， 当且仅当x ＝y ＝20时等号成立． [答案] 4002．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2.[解析] 设一边长为x m ，则另一边长为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋8－x 22＝16， 当且仅当x ＝8－x ，即x ＝4时等号成立． [答案] 16利用基本不等式求条件最值(1)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值是________． (2)若x ＋2y ＝1，且x >0，y >0，则8x ＋1y 的最小值为________． [思路探究] 注意条件“1x ＋9y ＝1”及“x ＋2y ＝1”的作用． [解] (1)∵1x ＋9y ＝1，x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋29 ＝16.当且仅当y x ＝9xy ，即x ＝4，y ＝12时等号成立． (2)∵x ＋2y ＝1，x >0，y >0， ∴8x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y (x ＋2y )＝8＋2＋16y x ＋xy ≥10＋216＝18.当且仅当16y x ＝x y ，即x ＝23，y ＝16时等号成立．[答案] (1)16 (2)18[规律方法] 解决含有两个变量的代数式的最值时，常用“变量”替换，“1”的替换，构造不等式求解.[跟踪训练]1．(1)已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． (2)已知点M (a ，b )在直线x ＋y ＝1上，则a 2＋b 2的最小值为________． [解析] (1)法一：由ab ＝a ＋b ＋3，得b ＝a ＋3a －1.由b >0，得a ＋3a －1>0.∵a >0，∴a >1.∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝a 2＋3aa －1＝[(a－1)＋1]2＋3[(a－1)＋1]a－1＝(a－1)＋4a－1＋5≥2(a－1)·4a－1＋5＝9.当且仅当a－1＝4a－1，即a＝3时，取等号，此时b＝3.∴ab的取值范围是[9，＋∞)．法二：由于a，b为正数，∴a＋b≥2ab，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，即(ab)2－2ab－3≥0，∴ab≥3，故ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，取等号．∴ab的取值范围是[9，＋∞)．(2)因为点M(a，b)在直线x＋y＝1上，所以a＋b＝1，因为a2＋b2≥(a＋b)22＝1 2，当且仅当a＝b＝12时等号成立，所以a2＋b2≥12＝22，所以a2＋b2的最小值为2 2.[答案](1)[9，＋∞)(2)22利用基本不等式解实际应用题层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)[思路探究]根据题目列函数关系式，利用基本不等式求最值并确定取得最值的条件，得出结论．[解] 设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x .∴每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10 800x ＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x . 当x ＋225x 取最小值时，y 有最小值． ∵x >0，∴x ＋225x ≥2x ·225x ＝30，当且仅当x ＝225x ，即x ＝15时，上式等号成立． 所以当x ＝15时，y 有最小值2 000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．[规律方法] 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法： （1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值； （4）根据实际背景写出答案. [跟踪训练]2．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元．且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式； (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？ [解] (1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元， 总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x ) ＝200＋12x (x ＋1)·16(万元)．∴y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x (x ＋1)·16 ＝16(－2x 2＋23x －50)． (2)年平均利润为 y x ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2x －50x＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x .又x ∈N *， ∴x ＋25x ≥2x ·25x ＝10，当且仅当x ＝5时，等号成立， 此时yx ≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.形如y ＝x ＋px 的最值问题[探究问题]可以用基本不等式求函数y ＝x ＋4x (x ≥4)的最小值吗？为什么？ [提示] ∵x ≥4， ∴y ＝x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x ， 即x ＝2时等号成立， 又x ≥4，故不可以用基本不等式求其最小值．由于y ＝x ＋4x 在[4，＋∞)上单调递增，故当x ＝4时， y min ＝4＋44＝5.已知a >0，求函数y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a的最小值．[思路探究] 分“a >1”和“0<a ≤1”两类分别求函数的最值． [解] ∵y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a＝x 2＋a ＋1x 2＋a.(1)当0<a ≤1时，y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a ≥2，当且仅当x 2＋a ＝1x 2＋a， 即x 2＋a ＝1，x ＝±1－a 时取等号y min ＝2. (2)当a >1时， 令x 2＋a ＝t ， 则t ≥a ，∴y ＝f (t )＝t ＋1t ，利用单调性可知f (t )在[a ，＋∞)上是增函数， ∴y ≥f (a )＝a ＋1a， 当且仅当t ＝a ，即x ＝0时等号成立． ∴y min ＝a ＋1a. 综上所述，当0<a ≤1时， y min ＝2； 当a >1时，y min ＝a ＋1a. [规律方法]1．利用基本不等式求最值的前提条件是：一正、二定、三相等． 2．在等号不成立时，常借助函数的单调性求其最值． [跟踪训练]3．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，求z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值．[解] 由x ＋y ＝1知x 2＋y 2＋2xy ＝1， ∴x 2＋y 2＝1－2xy .从而有z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝1xy (x 2y 2＋x 2＋y 2＋1)＝1xy (2＋x 2y 2－2xy )，令xy ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<t ≤14，且t ＝14时，x ＝y ＝12，则z ＝2t ＋t －2，再令f (t )＝2t ＋t ，可以证明f (t )＝2t ＋t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减，故当t＝14时，f(t)＝2t＋t取最小值334，∴当x＝y＝12时，z＝⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x⎝⎛⎭⎪⎫y＋1y取最小值254.1．已知x，y都是正数，(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．[解析](1)x＋y≥2xy＝215，即x＋y的最小值是215，当且仅当x＝y＝15时取最小值．(2)xy≤⎝⎛⎭⎪⎫x＋y22＝⎝⎛⎭⎪⎫1522＝2254，即xy的最大值是2254.当且仅当x＝y＝152时，xy取最大值．[答案](1)215(2)22542．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．[解析]每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－⎝⎛⎭⎪⎫x＋25x，而x>0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．[答案]83．已知a>0，b>0，a＋b＝1，则1a＋1b的取值范围是________．[解析]∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4.当且仅当b a ＝ab ， 即a ＝b ＝12时等号成立．[答案] 44．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．[解析] 设水池的造价为y 元，长方形底的一边长为x m ， 由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4x m. 那么y ＝120·4＋2·80·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2·4x ＝480＋320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x≥480＋320·2x ·4x ＝1 760(元)．当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元． [答案] 1 7605．设x ，y ＞0，且x ＋y ＝4，若不等式1x ＋4y ≥m 恒成立，求实数m 的最大值． [解] 1x ＋4y ＝14(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4x y ＋y x ≥14⎝⎛⎭⎪⎫5＋24x y ·y x ＝14(5＋4)＝94. 当且仅当4x y ＝y x ，且x ＋y ＝4，即x ＝43，y ＝83时，上式取“＝”．故⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y min＝94. ∵1x ＋4y ≥m 恒成立，∴m ≤94，∴m max ＝94.由Ruize收集整理。
最新苏教版必修5高二数学3.4.2《基本不等式的应用》ppt课件
内容
Contents
Page 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
明目标、知重点
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
1.熟练掌握基本不等式及变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
明目标、知重点
填要点·记疑点
明目标、知重点
(2)设 0<x<23，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值； 解 ∵0<x<23，∴3－2x>0， ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤22x＋23－2x2＝92. 当且仅当 2x＝3－2x，即
x＝34时，等号成立.
∵34∈0，32. ∴函数 y＝4x(3－2x)(0<x<32)的最大值为92.
故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
明目标、知重点
方法二 由1x＋9y＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值). 可知 x>1，y>9， ∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10 ≥2 x－1y－9＋10＝16， 当且仅当 x－1＝y－9＝3，即 x＝4，y＝12 时上式取等号，
明目标、知重点
(2)已知 x<3，求 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值；
解 ∵x<3，∴x－3<0.
∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋x－3＋3
＝－3－4 x＋3－x＋3≤－2
3－4 x·3－x＋3＝－1，
当且仅当3－4 x＝3－x，即 x＝1 时取等号.
∴f(x)的最大值为－1.
明目标、知重点
高中数学苏教版必修五《基本不等式的综合运用》课件
4
若函数f(x)的定义域为D，则当 x D时有： f (x) M 恒成立 __f__(_x_)_m_i_n___M_____ f (x) M 恒成立 __f__(_x_)_m_a_x____M____
易求得 当t
3 即 x 0 时，函数的最小值为
4 3 1. 3
方法提炼：应用基本不等式时在前两个条件满足
后，“相等”同样不能忽视.否则容易出现错解.
1.函数
f
x
x
4 x
的值域是_____， ____4__ 4，
2.若 x 0
x2
1 x2
___
2 （用不等号连接）
1
3.已知 0 x 1 ，函数 y x1 3x的最大值是 __1__2_
已知 x, y 0,且
1 x
1 y
1
，求
x 2y 的最小值。
分析：本题在于奇妙构造基本不等式求最值
的基本情势。但如果本题选择在条件中应用
基本不等式，然后在结论中再次应用基本不
等式的解法时，等号成立的条件不一定会同
时满足。
典型例题一
解：
x
2y
1 x
1 y
x
2y
2y x
x y
3
又 x, y 0, 2y x 2 2y x 2 2
苏教版 高中数学
基本不等式 的综合应用
1.应用基本不等式时要注意的几个问题 2.利用基本不等式求函数的最值问题 3.利用基本不等式解决恒成立问题
（1）基基本本不不等等式式__a__2_b____a_b__.
苏教版高中二年级数学---不等式-苏教版[整理
苏教版高中二年级数学---不等式重点、难点：教学重点：掌握一元二次不等式的解法，线性规划及基本不等式的应用。
教学难点：数形结合思想以及分类讨论思想的运用。
基本知识结构：本章研究了一元二次不等式的解法，并借助二元一次不等式（组）的几何意义求解简单的线性规划问题，最后探索了基本不等式的证明过程，例举了基本不等式的简单应用.不等式是刻画现实世界中不等关系的数学工具，它是描述优化问题的一种数学模型. 学习本章应注重数形结合，学会通过函数图象理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系，并能解释二元一次不等式和基本不等式的几何意义. 在此基础上，体会不等式在解决实际问题中的作用，进一步提高解决实际问题的能力.1、一元二次不等式的解法：先考查对应方程的根的判别式的符号，得到对应的一元二次方程的根，考查对应的二次函数的图象根据图象写出对应的一元二次不等式的解集。
2、二元一次不等式表示平面区域已知直线l：Ax+By+C＝0①当B>0时，Ax+By+C>0表示直线l上方的平面区域；Ax+By+C<0表示直线l下方的平面区域②当B<0时，Ax+By+C>0表示直线l下方的平面区域；Ax+By+C<0表示直线l上方的平面区域；③当B＝0时，（此时l⊥x轴）A>0 Ax+By+C>0表示直线l右侧的平面区域；Ax+By+C<0表示直线l左侧的平面区域A＜0时，仿A＞0自行讨论。
以上结论请自行证明。
3、线性规划中的几个概念（1）不等式组①是一组对变量x、y的约束条件。
（2）函数z＝2x+y为目标函数。
（3）满足线性约束条件的解（x、y）叫做可行解。
（4）所有可行解组成的集合叫做可行域。
（5）使线性目标函数取得最大或最小值的可行解叫做最优解。
4、掌握比较大小的常用方法：①基本结论：利用常见的基本不等式，直接比较两个代数式的大小。
这里主要是利用：当a 、b ∈R +时，ab ≤2ba +≤222ba +及其变形公式②作差、作商、平方作差法，根据题目的特点，合理选用。
苏教版高二数学选修4-5 不等式的应用 课件(21张)
解 :(1)∵0<x<1,∴-lo g2x>0,-lo5g2 ������>0,
∴(-log2x)+
-5
log2������
≥2
(-log2������)·
-
5 log2
������
=2
5,
即-
log2
������
+
5 log2
������
≥2
5,∴log2x+lo5g2������≤-2
5,
当且仅当 log2x=lo5g2������,即 x=2 5时取“=”,
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
反思利用不等式解决实际问题时,首先要认真审题,分析题意,建立合理 的不等式模型,最后通过基本不等式解题.
-11-
§5 不等式的应用
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
∴2=2������ + 3������≥2 ���6���������,即
xy≥6
当且仅当 2
������
=
3 ������
,即������
=
2,������
= 3 时取“
=
”号
.
∴xy 的最小值为 6.
答 案 :6
-3-
§5 不等式的应用
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
§5 不等式的应用
-1-
§5 不等式的应用
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
苏教版高二数学不等式的应用
【江苏版】2013年高二数学教案3.4.2《基本不等式的应用》(苏教版必修5)
基本不等式的应用学习目标1.知识与技能掌握基本不等式在求解实际问题中的应用，培养学生抽象概括问题的能力.2.过程与方法通过对实际问题的研究,体会数学建模的思想.3.情感、态度与价值观通过本节的学习,开拓数学视野,认识数学的科学价值与人文价值.教学过程一. 复习回顾二. 1.基本不等式用应用的条件;2.和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用.二. 数学运用1.例题讲解：例1. 用长为4a 的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大？分析:设矩形的长为(02)x x a <<,则它的宽为2a x -,矩形的面积为(2)S x a x =-, 用二次函数或基本不等式可求最值.例2. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，用基本不等式求解.解：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得l ＝240000＋720（x ＋1600x）≥240000＋720×2x ·1600x ＝240000＋720×2×40＝297600(元) 当x ＝1600x，即x ＝40时，l 有最小值297600 因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.评述：此题是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立. 例3．过点(1,2)的直线l 与x 轴的正半轴y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，当AOB ∆的面积最大时，求直线l 的方程.分析：这是解析几何中的最值问题,可先由直线方程得到条件,再用基本不等式求解. 解:设点(,0),(0,)(,0)A a B b a b >4a ,则直线l 方程为1x y a b +=由题意得:121a b +=.所以有1218ab a b =+≥⇒≥142AOB S ab ∆⇒=≥.当且仅当12a b=,即2,4a b ==取“=”.此时直线方程为240x y +-=. 评注:此题还可以由121a b +=得21a b a =⇒-2121AOB a S ab a ∆==- 再用换元法10t a =->,从而用基本不等式求解. 实际上，这种类型的函数一般都可转化为a y x x=+型. 例 4.一份矩形的印刷品的排版面积为A ,它的两边各留宽为a 的空白, 顶部与底部各留宽为a 的空白.如何选择纸张的的尺寸,才能使纸的用量最少?分析: 纸的用量最少即是要求纸的面积最小.方法一:设印刷品的长和宽分别为,,x y 则x y A =g .于是纸张的面积为2(2)(2)2244S x y x a y b A ay bx abA ab ==++=+++≥++=+g 当且仅当22ay bx =即2x a =+. 方法二:设纸张的长和宽分别为,,x y 则(2)(2)x a y b A --=.于是纸张的面积为 (2)22222Ax A x a a S x y bx bx x a x a -+==+=+--g 22(2)42Aa b x a A ab x a=+-++- 再用基本不等式求解.评注:此例是生活中的问题,由于条件中给出的都是字母,所以增加了问题的难度.方法二中也可以用换元法: 设2,2x a m y b n -=-=,从而转化为方法一.2.课堂练习:P.941,2,3题.三．课堂小结应用基本不等式解决实际问题,要先将实际问题转化为数学模型,再应用基本不等式求解,同时要考虑解的实际意义.四．课后作业P.95习题 第 7,8.10题.。
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被通知参加《小说选刊》的采风活动，是我平生头一次听到万安这个名字。从井冈山机场去往万安的路上，见到兴国县、泰和县的路牌，而万安所在地是吉安市，万安下辖镇，有一个叫五丰。这一 组吉祥的地名，寄寓着生活在此世代人民的愿望与心声。
来自北方的我，一下飞机就感受到空气的湿润和天气的温暖，北方已经凋零枯索，而这里还是到处绿色。丘陵，浅山，村庄，白墙，不规则的平地，收割后的稻田，不经意的水塘，这一切织成路上 的风景，组成江西钟灵毓秀的壮丽河山，又是江南水乡的秀丽和舒缓。脑海里响起央视的地方风光广告，清脆甜美的女声，反复地唱：江西是个好地方，好呀地方。这片绿色覆盖的山水之地，人杰地灵， 文脉深厚，文武双全，又是新中国红色革命的摇篮。踏上这片土地，怎能不让人心生激动与敬仰。司机略带忧虑地说，今年是少有的旱年，几个月没有下雨了，赣江水位达到历史最低。可是在我这北方 人的眼里，这历史下一页
我曾经写过一段这样的文字：县，是我国最普及最中间力量的一个行政级别，大多有着深厚历史渊源和多样文化传承，一个再陌生的，从没有到过、听说过的县，一旦走进，就会感受到浓郁厚重的 文化及悠远绵长的历史。这段话，正是对万安县一个很好的注解。bwin现金