2.4.2平面向量数量积的坐标表示PPT优秀课件
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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角ppt
小结作业
1.a∥b x1 y 2 x2 y1 0 a⊥b x1 x2 y1 y 2 0 二者有着本质区别. 2.若非零向量a 与b的夹角为锐角（钝 角），则a· b＞0（＜0），反之不成立.
3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几 何的内在联系，解析几何中与角度、距 离、平行、垂直有关的问题，可以考虑 用向量方法来解决.
例题讲解
例1、设a (5, 7), b (6, 4), 求a b及a、 b夹角的余弦.
变式练习
已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a· b； (2) (a＋2b)· (a－b)； (3) |a|2－4a· b. (1) 2；（2）17； （3）17.
【湖南师大附中内部资 料】高一数学必修4课件： 2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角 （新人教A版）
高一数学必修4第2章
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角
复习巩固
1、下列命题正确的有___________ 2 2 2 (1)a a (2) a a 2 2 2 (3) a b a b (4) a b a b (5)(0 a) b 0 ( a b) (6)若a b a c, 且a 0, 则b c
复习巩固
2、已知非零向量 AB与向量 AC满足 AB AC AB AC 1 （ + ）BC 0, 且 AB AC AB AC 2 则ABC为（
D
）
A、三边不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等边三角形 Ｄ、等边三角形
平面向量数量积的坐标表示课件(共33张PPT)-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
所以△ABC是直角三角形．
探索新知
例10 若点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），则△ABC是什么形状？证明你的猜想．
所以△ABC是直角三角形．
探索新知
解：
例11 设 a＝(5，－7)，b＝(－6，－ 4) ，求a·b及a，b的夹角θ(精确到1°).
利用计算器可得θ≈92°.
探索新知
则＝
探索新知
于是cos(α－ β)＝cos αcos β+sin αsin β
另一方面，如图（1）可知， θ
如图（2）可知，θ
于是± θ ，∈Z
所以cos(α－ β)＝
（1）
（2）
02
题型突破
题型突破
题型一 平面向量数量积的坐标运算
题型突破
题型突破
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.
(2)求模.利用计算两向量的模
(4)求角.由向量夹角的范围及求的值.
03
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
课
堂
小
结
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
例12 用向量方法证明两角差的余弦公式 cos(α－ β)＝cos αcos β+sin αsin β
证明：角 α， β的终边与单位圆的交点分别为A，B.
则(cos α ， sin α)， (cos β ， sin β)
设与 的夹角为θ，
探索新知
例10 若点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），则△ABC是什么形状？证明你的猜想．
所以△ABC是直角三角形．
探索新知
解：
例11 设 a＝(5，－7)，b＝(－6，－ 4) ，求a·b及a，b的夹角θ(精确到1°).
利用计算器可得θ≈92°.
探索新知
则＝
探索新知
于是cos(α－ β)＝cos αcos β+sin αsin β
另一方面，如图（1）可知， θ
如图（2）可知，θ
于是± θ ，∈Z
所以cos(α－ β)＝
（1）
（2）
02
题型突破
题型突破
题型一 平面向量数量积的坐标运算
题型突破
题型突破
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.
(2)求模.利用计算两向量的模
(4)求角.由向量夹角的范围及求的值.
03
当堂检测
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课
堂
小
结
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
例12 用向量方法证明两角差的余弦公式 cos(α－ β)＝cos αcos β+sin αsin β
证明：角 α， β的终边与单位圆的交点分别为A，B.
则(cos α ， sin α)， (cos β ， sin β)
设与 的夹角为θ，
高中数学：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件-PPT精品文档
(2) 已 知a 2, b1, a与b之 间 的 夹
为, 那 么 向m量 a4b的 模(为 )
3
A 2. B 2.3 C 6. D 1.2
讲授新课
探究： 已知两个非零a向(x量 1, y1),
b(x2, y2),怎样用 a 和b的坐标 表 示ab?
1. 平面两向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 即
2. 两个向量的数量积的性质: (3)当 a与 b同向 , ab 时 ab. 当 a与 b反向 , ab时 ab.
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质: (3)当 a与 b同向 , ab 时 ab. 当 a与 b反向 , ab时 ab.
2
特别 , a地 aa 或 a aa.
讲解范例:
例2. 设a(5,7),b(6, 4),求
ab及a、 b间的夹 (精 角确1o)到 .
讲解范例:
例3. 已 知a(1, 3), b( 31, 31),
则a 与b的 夹 角 是?多 少
讲解范例:
例3. 已 知a(1, 3), b( 31, 31),
则a 与b的 夹 角 是?多 少
|a|(x1x2)2(y1y2)2
3. 向量垂直的判定: ab x1x2y1y20.
课后作业
1. 阅读教材P109到P112; 2.2. P108 A组 3.第9、10、11题
课后思考:
1. 以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角 2.△OAB，使B=90，求点B和向量 的坐标.
2
特别 , a地 aa 或 a aa.
(4) cos a b . (5) ab a b.
ab
复习引入
3. 练习：
(1)已知 a1, b 2, 且 (ab)与 a垂,直 则a与b的夹(角)是
为, 那 么 向m量 a4b的 模(为 )
3
A 2. B 2.3 C 6. D 1.2
讲授新课
探究： 已知两个非零a向(x量 1, y1),
b(x2, y2),怎样用 a 和b的坐标 表 示ab?
1. 平面两向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 即
2. 两个向量的数量积的性质: (3)当 a与 b同向 , ab 时 ab. 当 a与 b反向 , ab时 ab.
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质: (3)当 a与 b同向 , ab 时 ab. 当 a与 b反向 , ab时 ab.
2
特别 , a地 aa 或 a aa.
讲解范例:
例2. 设a(5,7),b(6, 4),求
ab及a、 b间的夹 (精 角确1o)到 .
讲解范例:
例3. 已 知a(1, 3), b( 31, 31),
则a 与b的 夹 角 是?多 少
讲解范例:
例3. 已 知a(1, 3), b( 31, 31),
则a 与b的 夹 角 是?多 少
|a|(x1x2)2(y1y2)2
3. 向量垂直的判定: ab x1x2y1y20.
课后作业
1. 阅读教材P109到P112; 2.2. P108 A组 3.第9、10、11题
课后思考:
1. 以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角 2.△OAB，使B=90，求点B和向量 的坐标.
2
特别 , a地 aa 或 a aa.
(4) cos a b . (5) ab a b.
ab
复习引入
3. 练习：
(1)已知 a1, b 2, 且 (ab)与 a垂,直 则a与b的夹(角)是
高一数学必修4课件：2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
第二章 平面向量
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
温故知新 1．若m，n满足：|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135° ， 则m· n＝________.
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
思路方法技巧
第二章
2.4 2.4.2
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命题方向
数量积的坐标运算
平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题． 向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完 全代数化，并将数与形紧密结合起来． 主要解决以下三方面的问题： (1)求两点间的距离(求向量的模)． (2)求两向量的夹角． (3)证明两向量垂直．
π 25,5,5 2， . 4
[答案]
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
新课引入
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
向量的数量积的几何运算为我们展示了一幅美丽的画 卷，它解决了几何中与度量相关的角度，长度(距离)等问 题．通过前面的学习，我们知道向量可以用坐标表示，向量 的加法，减法，数乘运算也可以用坐标表示，那么任意两个 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其数量积a· b又如何表示呢？你 能给出其推导过程吗？要解决好这几个问题，就让我们一起 进入平面向量数量积的坐标表示、模、夹角的学习吧！
平面向量数量积的坐标表示(共27张PPT)
所以7 (4 ) 8 (3 2 ) 0,
52 解得 . 9
课堂小结
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1.数量积的坐标表示： a b x1 x2 y1 y2
2.向量垂直的判定
a b x1 x2 y1 y2 0
3.向量坐标表示的求模公式
讲课人：张艳琴复习旧知1、两向量数量积的定义：ab
a b cos
2、两个向量垂直： a b 3、向量的模长公式：
ab 0
a a 或者 a a
2
2
2
4、两个向量数量积的夹角公式：
ab
cos
a b
问题导入
向量的加法、减法、数乘都可以用“坐标语言”表
示，向量的数量积能否由“坐标语言”来表示？ 若两个向量
② j j = ④ j i =
1
0
3、想一想： 已知a 3i 2 j, b i j, 则a b 1
4、议一议：若a
( x1 , y1 ), b ( x2 , y 2 ),则
a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y 2 j ) ?
1. 平面两向量数量积的坐标表示:
a x1i y1 j , b x2i y2 j a b ( x1i y1 j ) ( x2i y2 j )
2 2 x1 x2i x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j
2、如何用向量的坐标来表示两向 量数量积的相关性质？
(1)垂直的充要条件：
设非零向量a x1 , y1 , b x2 , y2 , 则
平面向量数量积的坐标表示PPT教学课件
22
小结作业
1.a∥b x1 y2 x2 y1 0
a⊥b
本质区别.
x1
x2
y1 y2
0
二者有着
2.若非零向量a 与b的夹角为锐角（钝 角），则a·b＞0（＜0），反之不成立.
3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几 何的内在联系，解析几何中与角度、距 离、平行、垂直有关的问题，可以考虑 用向量方法来解决.
答：不一定；相等。
<>
返回
退出
三、相关概念
（1）向量AB大小称为向量的长度（也叫模），记为 AB （2）长度为0的向量叫零向量，记为0，它的方向是任意的。
（3）长度为1的向量叫单位向量。
思考：把所有单位向量的
起点集中于一点o，问它
o
们终点的轨迹是什么？
答：如图：轨迹是以o为圆 心，半径为1的圆。
我们知道：对于一个向量，只要不改
x
②字母表示：
Ⅰ、用有向线段的起点和终点的大写字母加箭
Ⅱ、手写时写A成B带头箭表头示的，小如写字母，如a：
Ⅲ、印刷时用黑体小写字母表示，如：a
3）向量的大小：
就是向量的长度（或称模）
用有向线段的长度表如示：，|AB|
<>
返回
退出
4）向量与有向线段的区别：
由有向线段的三要素：“起点、方向 、长度”可知，有向线段的起点是确定 的。而由向量的定义可知，对于一个向 量，只要不改变它的大小和方向，是可
cos a b
x1 x2 y1 y2
ab
x12 y12 x2 2 y2 2
理论迁移
例1 已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a·b； (2) (a＋2b)·(a－b)； (3) |a|2－4a·b.
2.4.2平面向量数量积的坐标表示黑底 -
a b ( x1i y1 j )( x2i y2 j )
2 2 y j x1 x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 1 2 2
x1 x2 y1 y2
a b x1 x2 y1 y2
例1 已知 a 5, b 4, a 与b 的夹角
=120 ，求a b.
解： a b= a b cos 5 4 cos120 10.
例2 a 3, 4 , b 5, 2 , 求a b.
解： a b -3 5 4 2 -7
问题二
已知一个向量的坐标, 能否利用坐标求出该向量的模 ? 2 2 2 1 若 a x , y , 则 a a a x y ,
AB =
x2 x1 + y2 y1 ，
2 2
即两点间的距离公式.Fra bibliotekx2 y2
2
2
.
例4 a 1,1 , b 3,3 , 求a 与 b的夹角 .
解： cos a b a b 1 （-3） +1 3 1 +1 （-3）+3
2 2 2 2
=0，
又因为0 180 ，所以 =90 .
小结
1. 设a x1 , y1 , b x2 , y2 , a与b的夹角为，则
① a b x1 x2 y1 y2
② a⊥b a b=0 x1x2 y1 y2 0
③a
④ cos
x
2 1
y
2 1
a b a b
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2
2 2 y j x1 x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 1 2 2
x1 x2 y1 y2
a b x1 x2 y1 y2
例1 已知 a 5, b 4, a 与b 的夹角
=120 ，求a b.
解： a b= a b cos 5 4 cos120 10.
例2 a 3, 4 , b 5, 2 , 求a b.
解： a b -3 5 4 2 -7
问题二
已知一个向量的坐标, 能否利用坐标求出该向量的模 ? 2 2 2 1 若 a x , y , 则 a a a x y ,
AB =
x2 x1 + y2 y1 ，
2 2
即两点间的距离公式.Fra bibliotekx2 y2
2
2
.
例4 a 1,1 , b 3,3 , 求a 与 b的夹角 .
解： cos a b a b 1 （-3） +1 3 1 +1 （-3）+3
2 2 2 2
=0，
又因为0 180 ，所以 =90 .
小结
1. 设a x1 , y1 , b x2 , y2 , a与b的夹角为，则
① a b x1 x2 y1 y2
② a⊥b a b=0 x1x2 y1 y2 0
③a
④ cos
x
2 1
y
2 1
a b a b
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2
平面向量数量积的坐标表示人教A版高中数学必修四课件
2
ab ab a 2abb 5
2. 已知 a =(1, 0)，b =(2, 1)，当k为何实数
时，向量k a － b 与 a +3b (1)平行；(2)垂直
2.4.2平面向量数量积的坐标表示-人 教A版高 中数学 必修四 课件( 共19张P PT)
2.4.2平面向量数量积的坐标表示-人 教A版高 中数学 必修四 课件( 共19张P PT)
2.4.2平面向量数量积的坐标表示-人 教A版高 中数学 必修四 课件( 共19张P PT)
2.4.2平面向量数量积的坐标表示-人 教A版高 中数学 必修四 课件( 共19张P PT)
【即时训练】
已知M→N＝(3,4)，则|M→N|等于( D )
A．3
B．4
C. 5
D．5
例 1 :1 已 知 a (3 , 1 ),b ( 1 , 2 ),求 a • b ，
a b ， a 与 b 的 夹 角 .
2.4.2平面向量数量积的坐标表示-人 教A版高 中数学 必修四 课件( 共19张P PT)
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2 已 知 a 2 , 3 , b 2 , 4 , 则 a b • a b .
法 一 ： a b (0 ,7 ),a b (4 , 1 ) （ a b ） （ a b ） 0 4 7 ( 1 ) 7 .
法 二 ： （ ab ） （ ab ） a2b2来自22ab13207
2.4.2平面向量数量积的坐标表示-人 教A版高 中数学 必修四 课件( 共19张P PT)
例3:已知 a =(1, 0)，b =(2, 1)，当k为何实数
时，向量k a － b 与 a +3b (1)平行；(2)垂直
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件 (共17张PPT)
cos
ab ab
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y 2
2
2
例1 已知 a 3,2 ，b 1, 1 ，求向量 a 与 b 的夹 角的余弦值.
解：设向量a与b 的夹角为，则 cos 3 1 2 1 3 2 1 1
a b x1 x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
容易推得
2.向量的长度（模）
a a x1 y1
2 2 2 2
或a
x 1 y1
2
2
若表示向量 a的 有 向 线 段 的 起 点 和 点 终的 坐 标 分 别 为 （x1，y1 ），（ x 2，y 2 ），那么
问题探究：
a b
的坐标公式的推导.
已知两非零向量 a （x1，y1 ）， b （x2，y2 ） 设i， j分 别 为 与 x轴 和y轴 方 向 相 同 的 单 位 向 ， 量则 有
a x1 i y1 j
2
b x2 i y2 j
B(x2,y2)
2
A(x1,y1)
a b （x1 i y1 j ） （ x 2 i y2 j ）
2 2
2 3 2 1 1 7 4 所以 45，即直线l1和l2的夹角为45.
2 , 2
1.已知A(1，2),B(4,0),C(8，6),D(5，8)，则四边 形ABCD的形状是 矩形 .
2.(2013·湖北高考)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),
是直角三角形，求k的值.
例3：已知向量 a＝(λ ，－2)，b＝(－3，5)，若向
2.4.2平面向量数量积的坐标表示教学课件
[研一题]
[例 2] 平面直角坐标系 xOy 中，O
是原点(如图)．已知点 A(16,12)、B(－5,15)．
(1)求| OA|，| AB|；
(2[[[[自)自 自 自求主主 主 主∠解O解 解 解A答答 答 答B.]]]] ((((1111))))由由 由 由OOOOAAAA＝＝ ＝ ＝((((11116666,,,,11112222))))，， ， ， AAAABBBB＝＝ ＝ ＝((((－－ － －5555－－ － －11116666,,,,11115555－－ － －11112222))))＝＝ ＝ ＝((((－－ － －22221111,,,,3333))))，， ， ，得得 得 得 ||||OOOOAAAA||||＝＝ ＝ ＝ 111166662222＋＋ ＋ ＋111122222222＝＝ ＝ ＝22220000，， ， ， ||||AAAABBBB||||＝＝ ＝ ＝ －－ － －222211112222＋＋ ＋ ＋33332222＝＝ ＝ ＝11115555 2222....
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
bj
oi x
b 设两个非零向量 a =(x1,y1), =(x2,y2),则
aaaaaaaa==bb==bb====xx======xx11==xxxx11iixx((xx11i11i(x(x++11xxxx11x+x+xx1xx12222yy11ii2222yyiiii++11++ii22++11++j2j2++yy,,jjyy+y+,y,yy1111xx1yy111xjjxyy11j))j221yy1))22yybb22((bb2(2x(xii==xxii22==22jjiixxjjii++xx++22++++22iixxyyiixxy++y2222++2y2y22jjyyyyj))11jyy)212)1ii22iijj,,jjjj,,jj++++yyyy111yy1yy2222jjjj2222
高中数学第二章平面向量2-4平面向量的数量积第2课时教学课件新人教A版必修4
(1)字母表示下的运算． 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与 向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算．
若 a＝(x，y)，则 a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ x2＋y2.
【互动探究】 本例中将“a∥b”改为“a·b＝10”，求a的坐 标．解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得x＋x22＋y＝y2＝101，0，
1．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10， 求：
(1)向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
解：(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)． 又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10.∴λ＝2.∴a＝ (2,4)． (2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
与向量模有关的问题
已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a 的坐标．
思路点拨：
解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得2xx－2＋y＝y2＝0，10， 解得
x＝2 y＝4
5， 5
或xy＝ ＝－ －24
5， 5，
所以 a＝(2 5，4 5)或 a＝(－2 5，－4 5)．
求向量的模的两种基本策略
思路点拨：(1)按求向量夹角的步骤求解； (2)利用两向量垂直数量积为零来证明．
(1)解：由题意知，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝－12cos
α＋
3 2 sin
α.
则
cos
θ
＝ |aa|·|bb|
＝
－12cos α＋ 1×1
3 2＋
3 2 sin
α＝
cos(120°－α)． ∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°.
(3)(a·b)·c. 思路点拨：首先求解相关向量的坐标，再代入 坐标运算表达式求解．
(2)坐标表示下的运算．
若 a＝(x，y)，则 a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ x2＋y2.
【互动探究】 本例中将“a∥b”改为“a·b＝10”，求a的坐 标．解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得x＋x22＋y＝y2＝101，0，
1．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10， 求：
(1)向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
解：(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)． 又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10.∴λ＝2.∴a＝ (2,4)． (2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
与向量模有关的问题
已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a 的坐标．
思路点拨：
解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得2xx－2＋y＝y2＝0，10， 解得
x＝2 y＝4
5， 5
或xy＝ ＝－ －24
5， 5，
所以 a＝(2 5，4 5)或 a＝(－2 5，－4 5)．
求向量的模的两种基本策略
思路点拨：(1)按求向量夹角的步骤求解； (2)利用两向量垂直数量积为零来证明．
(1)解：由题意知，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝－12cos
α＋
3 2 sin
α.
则
cos
θ
＝ |aa|·|bb|
＝
－12cos α＋ 1×1
3 2＋
3 2 sin
α＝
cos(120°－α)． ∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°.
(3)(a·b)·c. 思路点拨：首先求解相关向量的坐标，再代入 坐标运算表达式求解．
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abx1x2 y1y2 0
（2）平行
设a（x1, y1),b(x2, y2),则
a//bxy x y 0 21.05.2019
1 2 2 1 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b的夹角为 （0 180），
答案：B的坐标为（3，7） y B
22
A
或（7， 3）
22
O
x
21.05.2019
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四、逆向及综合运用
例3 （1）已知 a =（4，3），向量 b 是
垂直于 a 的单位向量，求 b .
（ 2）已 a知 1,0 b(1,2)，a/且 b /，a的 求坐 .
j
oi
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向
量的数量积的运算可转化为向量的坐标运
算。
21.05.2019
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2、向量的模和两点间的距离公式
2
(1)aaa 或 a aa；
(1)向量的模
2
设a (x, y),则 a x2 y2 ,或 a x2 y2；
三、基本技能的形成与巩固 例 1 (1已 ) a知 (1,2 3)b , (1,1),
求 ab， ab， a与 b的夹 .角
ab1 3， ab2 42 32(1 3)，
cos ab 1,0 180,60.
ab 2
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则cos ab
ab
设a（x1, y1),b(x2, y2),且a与b夹角为 ， (0 180)则cos x1x2 y1y2 .
x12 y12 x22 y22
其中x y 0，x y 0. 2 2
1 21.05.2019
1
22 2 2 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@Fra bibliotek提高练习
1、已 O A 知 (3,1)， O B(0,5)，A 且 /C/O， B BC A， B 则 C的 点 坐标 C(3, 23为 9)
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形.
3、已知 a = (1，2)，b = (-3，2)， 若k a +2 b 与 2 a - 4 b 平行，则k = - 1.
(2已 ) 知 a(2,3),b(2,4),
则（ ab） （ ab）
.
法一：a b (0,7),a b (4,1)
（a b）（ a b） 0 4 7 (1) 7.
法二：（a
b）（ a
b）
2
a
2
b
22
a b 13 20 7
样用 a和b的坐标表a示 b呢？
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二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示
如图，i 是x轴上的单位向量， j 是y
轴上的单位向量，
由于ab a bcos 所以 y A(x1,y1)
B(x2,y2)
i i 1 . j j 1 .
（ 3）已 a知 (3,0)b , (k,5)，a且 与 b的夹3角 ，
4
求 k的.值
答案 1） b： (3, （ 4)或 b(3,4).
55
55
（ 2）（ 2， 22）或 2， （ 22）； 3） k （ 5. 21.05.2019
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2
2
x1x2i x1y2i jx2y1i jy1y2 j
x1x2 y1y2
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故两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和。即
y A(x1,y1)
abx1x2y1y2. B(x2,y2) a
b
练习：课本P 1、2、3. 21.05.2019
119 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
y
证 : A 明 ( 2 B 1 ,3 2 ) ( 1 ,1 ) C(-2,5)
2.4.2平面向量 数量积的坐标表示、模、夹角
21.05.2019
一、复习引入
(1) a b a b cos
2
(2)a a a 或 a
a a；
a b a b 0; cos a b .
a b
我们学过两向量的和与差可以转
化为它们相应的坐标来运算,那么怎
（2）两点间的距离公式
设A（x1, y1)、B(x2 , y2 ),
则
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AB （x1 x2 )2 （y1 y2 )2
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3、两向量垂直和平行的坐标表示 （1）垂直 ab ab0
设a（x1, y1),b(x2, y2),则
AC (21,52)(3,3)
AA BC 1(3)130
B(2,3) A(1,2)
ABAC
x
三角A形B是 C 直角三.角形0
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练习2：以原点和A（5，2）为两 个顶点作等腰直角三角形OAB， B=90，求点B的坐标.
b
ja
i j j i 0 .
oi
x
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下面研究怎样用
a和b的坐标表a示b.
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
ax1iy1j bx2iy2 j,
ab(x1iy1j)(x2iy2 j)
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