目标规划

否定了企业的决策者是“经济人”概念 和 “最大化”行为准则，提出了“管理人” 的 概念和“令人满意”的行为准则，对现 代 目标规划研究企业考虑现有的资源条 企业管理的决策科学进行了开创性的研 件下，在多个经营目标中去寻求满意 究。 解，即使得完成目标的总体结果离事先 制定目标的差距最小。
例4.１ 资源表如下表所示。x1、x2、x3分别 为甲、乙、丙的产量。
（8）目标规划的一般模型。设xj（j=1,2,…,n） 为决策变量，
min z Pk ( wkl d l wkl dl ) k 1 l 1 K L
(4.1a) (4.1b) (4.1c) (4.1e)
n aij x j (, )bi n j 1 c x d d lj j l l gl j 1 xj 0 d , d l 0 l
例4.2 车间计划生产I、II 两种产品，每种产 品均需经过A、B两道工序加工。工艺资料如下 表所示。
产品 工序
产品甲 产品乙 每天加工能力（小时） 2 1 2.2 50 10 2 2 0.8 70 8 120 100 90
A B C 产品售价 （元/件） 产品利润 （元/件）
（1）车间如何安排生产计划，使产值和利润 都尽可能高。 （2）如果认为利润比产值重要，怎样决策。 解 设x1、x2分别为产品甲和产品乙的日产量， 得到线性多目标规划模型：
当利润大于3200时 d >0 且d 40x1 30x2 50x3 d1 3200 成立。 当利润恰好等于3200时 d 40x1 30x2 50x3 3200 成立。
1
1 ＝0，有
1 =0 且 d1 ＝0，有
实际利润只有上述三种情形之一发生，因而 可以将三个等式写成一个等式
第4章目标规划
目标规划的数学模型 目标规划的图解法 目标规划的单纯形法
4.1 目标规划的数学模型
线性规划模型的特征是在满足一组约束条 件下，寻求一个目标的最优解（最大值或最 小值）。而在现实生活中最优只是相对的， 或者说没有绝对意义下的最优，只有相对意 义下的满意。1978年诺贝尔经济学奖获得者. 西蒙(H.A.Simon-美国卡内基-梅隆大学, 1916-)教授提出“满意行为模型要比最大化行 为模型丰富得多”，
min d 4 d 5 3 x x 2 x d d 1 2 3 4 4 200 2 x 2 x 4 x d d 2 3 5 5 200 1
（5）材料不能购进表示不允许有正偏差，约束 条件为小于等于约束。 由于目标是有序的并且四个目标函数非负， 因此目标函数可以表达成一个函数：
（2）设 d 2 分别为未达到和超过产品比 、d 2 例要求的偏差变量，则产量比例尽量不超过 min d 1.5的数学表达式为： 2
x1 1.5 x 2 d 2 d 2 0
d 、 d （3）设 3 3 分别为产品丙的产量未达到和超
过30件的偏差变量，则产量丙的产量尽可能达 到30件的数学表达式为：
max Z 1 50x1 70x 2 max Z 2 10x1 8 x 2 2 x1 2 x 2 120 x 2 x 100 1 2 2.2 x1 0.8 x 2 90 x1、x 2 0
（1）将模型化为目标规划问题。首先，通过分 别求产值最大和利润最大的线性规划最优解。 产值最大的最优解：X(1)＝（20，40），Z1＝ 3800；利润最大的最优解：X(2)＝（30，30）， Z2＝540。 目标确定为产值和利润尽可能达到 3800 和 540 ， 得到目标规划数学模型：
min z P1 d1 P2 d 2 P3 d 3 P4 (d 4 d 5 )
40x1 30x 2 50x3 d1 d1 3200 x1－1.5 x 2 d 2 d 2 0 x3 d 3 d 3 30 3x1 x 2 2 x3 d 4 d4 200 2 x1 2 x 2 4 x3 d 5 d 5 200 4 x1 5 x 2 x3 360 2 x1 3x 2 5 x3 300 x 0，x 0，x 0, d 、d 0, j 1,2,5 2 3 j j 1
min Z d1 d 2
50x1 70x 2 d1 d1 3800 10 x 8 x d d 1 2 2 2 540 2 x 2 x 120 1 2 x1 2 x 2 100 2.2 x1 0.8 x 2 90 x 、 d 、 d j j 0, j 1,2 j
(i 1,, m) (l 1,, L) (l 1,, L)
( j 1,, n) (4.1d )
式中：Pk为第k级优先因子，w k=1, … ,K； ， kl、wkl 为分别赋予第l个目标约束的正负偏差变量的权 系数；gl为目标的预期目标值，l=1,…L。 (4.1b)为系统约束,（4.1c）为目标约束。
（4）按决策者的意愿，事先给定所要达到的目 标值，当期望结果不超过目标值时，目标函数 求正偏差变量最小；当期望结果不低于目标值 时，目标函数求负偏差变量最小；当期望结果 恰好等于目标值时，目标函数求正负偏差变量 之和最小。 （5）由目标构成的约束称为目标约束，目标约 束具有更大的弹性，允许结果与所制定的目标 值存在正或负的偏差，如例4.1中的5个等式约 束；如果决策者要求结果一定不能有正或负的 偏差，这种约束称为系统约束，如例4.1的
min z P d P d P d P ( d d 1 1 2 2 3 3 4 4 4 )
式中：Pj（j=1,2,3,4）称为目标的优先因子， 第一目标优于第二目标，第二目标优于第三目 标等等，其含义是按P1、P2、…的次序分别求 后面函数的最小值，首先求 d1 的最小值，在 此基础上再求 d 2 的最小值，最后求 d 4 d 5 的 最小值。则问题的目标规划数学模型为：
设 d－ 为未达到目标值的差值，称为负偏差变 量（negative deviation variable），d＋为 超过目标值的差值，称为正偏差变wenku.baidu.com （ positive deviation variable）, d－≥0、 d＋≥0。 d d （1）设 1 为未达到利润目标的差值， 1 为超 出利润目标的差值。 当利润小于3200时d1 >0 且 d1 ＝0，有 40x1 30x2 50x3 d1 3200 成立。
产品
消耗 资源
甲 3
乙 1
丙 2
现有 资源
200
设备A
设备B 材料C
材料D
2 4
2
2 5
3 30
4 1
5 50
200 360
300
利润（元/件） 40
使企业在计划期内总利润最大的线性规划模型为：
maxZ 40x1 30x2 50x3
3 x1 x 2 2 x3 200 2 x 2 x 4 x 200 1 2 3 4 x1 5 x 2 x3 360 2 x 3 x 5 x 300 2 3 1 x1 0，x 2 0，x3 0
解 设甲、乙、丙产品的产量分别为 x1、x2、x3。 如果按线性规划建模思路，最优解实质是求下 列一组不等式的解
40x1 30x 2 50x3 3200 x －1.5 x 0 2 1 x3 30 3 x1 x 2 2 x3 200 2 x 2 x 4 x 200 2 3 1 4 x1 5 x 2 x3 360 2 x1 3 x 2 5 x3 300 x1 0，x 2 0，x3 0
（1）目标规划数学模型的形式有：线性模型、 非线性模型、整数模型、交互作用模型等； （2）一个目标中的两个偏差变量 d 、d 一个等于零，偏差变量向量的叉积等于零： d－×d＋=0。
i i 至少
（3）一般目标规划是将多个目标函数写成一个 由偏差变量构成的函数求最小值，按多个目标 的重要性，确定优先等级，顺序求最小值；
40x1 30x2 50x3 d d 3200
1
1
利润不少于3200理解为达到或超过3200，即使 不能达到也要尽可能接近3200，可以表达成目 标函数 d1 取最小值，则有
min d 1 40x1 30x 2 50x3 d1 d1 3200
最优解X＝（50，30，10），Z＝3400。
现在决策者根据企业的实际情况和市场需求， 需要重新制定经营目标，其目标的优先顺序是： （1）利润不少于3200元； （ 2 ）产品甲与产品乙的产量比例尽量不超过 1.5； （3）提高产品丙的产量使之达到30件； （ 4 ）设备加工能力不足可以加班解决，能不 加班最好不加班； （ 5 ）受到资金的限制，只能使用现有材料不 能再购进。
通过计算不等式无解，即使设备B加班10小时 仍然无解。在实际生产过程中生产方案总是存 在的，无解只能说明在现有资源条件下，不可 能完全满足所有经营目标。
目标规划是按事先制定的目标顺序逐项检查， 尽可能使得结果达到预定目标，即使不能达 到目标也使得离目标的差距最小，这就是目 标规划的求解思路，对应的解称为满意解。 下面建立例4.1的目标规划数学模型。
材料约束； （6）目标的排序问题。多个目标之间有相互冲 突时，决策者首先必须对目标排序。排序的方 法有两两比较法、专家评分等方法，构造各目 标的权系数，依据权系数的大小确定目标顺 序；
（7）合理的确定目标数。目标规划的目标函数 中包含了多个目标，决策者对于具有相同重要 性的目标可以合并为一个目标，如果同一目标 中还想分出先后次序，可以赋予不同的权系 数，按系数大小再排序。例如，在例4.1中要求 设备B的加班时间不超过设备A的时间，目标函 数可以表达为 d 4 ，表示在 2d 5 d 4 、d 5 中先求 最小。 d 5 最小再求 d 4
min d 3 x3 d 3 d 3 30
d 、 d （4）设 4 4 为设备A的使用时间偏差变量， d5 、d 5 为设备B的使用时间偏差变量，最好不加班 d 和 d d d 的含义是 4 5 同时取最小值，等价于 4 5 取 最小值，则设备的目标函数和约束为：
（2）给 d 2 赋予一个比 d1 的系数大的权系数， 如 ，约束条件不变。 min Z d1 2d 2
权系数的大小依据重要程度给定，或者根据同 一优先级的偏差变量的关系给定，例如，当利 润 d2 减少一个单位时，产值 d1 减少 3个单位， 则 赋 d2予 权 系 数 3 ， 则 目 标 函 数 为 min Z d1 3d 2 ，等价于 min Z p1d 2＋p2 d1 。
4.2
目标规划的图解法
当目标规划模型中只含两个决策变量（不包含 偏差变量）时，可以用图解法求出满意解。 例4.3 企业计划生产甲、乙两种产品，这些产 品需要使用两种材料，要在两种不同设备上加 工。工艺资料如下表所示。